假期作业15 角的概念的推广及其度量-【快乐假期】2024年中职高一数学寒假作业（人教版）

　　　　　　假期作业１５　角的概念的推广及其度量 ●[每日一语]　人而无信,不知其可也． 一、角的概念 １．角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按 　　　　方向旋转形 成的角 负角 一条射线绕其端点按 　　　　方向旋转形 成的角 零角 射 线 没 有 做 任 何 旋 转,始边与终边重合 ２．终边相同的角 一般地,我们有:所有与角α终边相同的 角,连同角α在内,可构成一个集合　　 　　,即任一与角α终边相同的角,都可 以表示成角α与整数个周角的和． ３．象限角、界限角 (１)象限角、界限角的概念 角的终边在第几个象限,就说这个角是 第几象限角;如果角的终边在坐标轴 上,那么就认为这个角不属于任何一个 象限,称这个角为界限角． (２)象限角的集合表示 (３)界限角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k􀅰３６０°,k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝１８０°＋k􀅰３６０°,k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α＝k􀅰１８０°,k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝９０°＋k􀅰３６０°,k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝－９０°＋k􀅰３６０°,k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α＝９０°＋k􀅰１８０°,k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α＝k􀅰９０°,k∈Z} 二、角度制与孤度制 １．角度制 角可以用度为单位进行度量,１度的角等 于周角的　　　　．这种用度作为单位 来度量角的单位制叫做角度制． ２．弧度制 (１)定义:以弧度作为单位来度量角的单位制． (２)记法:弧度单位用符号rad 表示,读作弧度．如图在单位 圆O 中,AB︵的长等于１,则 ∠AOB 就是１弧度的角． ３．弧度数 在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的 圆心角为αrad,那么|α|＝　　　　　．其 中,α的正负由角α的终边的旋转方向决 定,即逆时针旋转为正,顺时针旋转为负． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 一般地,正角的弧度数是一个　　　　, 负角的弧度数是一个　　　　,零角的 弧度数是　　　　． ４．弧度制建立的意义 角的概念推广后,在弧度制下,角的集合 与实数集 R 之间建立起一一对应的关 系,如图． ５．弧度与角度的换算 ６．弧度制下扇形的弧长公式和 面积公式 如图,设扇形的半径为 R,弧 长为l,圆心角为α(０＜α＜２π),则扇形的 弧长公式为l＝αR,扇形的面积公式为S ＝１２lR＝ １ ２αR ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．１１２°３０′化为弧度是 (　　) A．５π８　　　　　　B． ５ ８ C．１１２３π１８００ D． １１２３ １８００ ２．５π１２ 化为角度是 (　　) A．６０° B．７５° C．１１５° D．１３５° ３．下列说法中正确的个数是 (　　) ①终边相同的角一定相等;②钝角一定 是第二象限角;③第一象限角可能是负 角;④小于９０°的角都是锐角． A．１　　B．２　　C．３　　D．４ ４．与－６６°终边相同的角是 (　　) A．３４° B．１０４° C．２１４° D．２９４° ５．与３０°角终边相同的角的集合是 (　　) A．αα＝k􀅰３６０°＋π６ ,k∈Z{ } B．{α|α＝２kπ＋３０°,k∈Z} C．αα＝２k􀅰３６０°＋３０°,k∈Z{ } D．αα＝２kπ＋π６ ,k∈Z{ } ６．下列转化结果错误的是 (　　) A．１５０°化成弧度是５π６ B．－π４ 化成角度是４５° C．－１２０°化成弧度是－２π３ D．π６ 化成角度是３０° ７．２０２３°角是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ８．在半径为１０cm的圆上,有一条弧的长是 ５cm,则该弧所对的圆心角(正角)的弧 度数为 (　　) A．１２ B． π ２ C．２π D．２ ９．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正 方形的边长,则这段弧所对的圆周角(正 角)的弧度数为 (　　) A．２４ B． ２ ２ C．２ ２ D．２ １０．下列四个结论中,不正确的是 (　　) A．若角α和角β的终边重合,则α－β＝ k×３６０°,k∈Z B．若角α和角β 的终边关于原点对称, 则α＋β＝k×３６０°＋１８０°,k∈Z C．若角α和角β的终边关于x 轴对称, 则α＋β＝k×３６０°,k∈Z D．若角α和角β的终边关于y 轴对称, 则α＋β＝k×３６０°＋１８０°,k∈Z 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 二、填空题 １１．已知扇形的圆心角是２rad,其周长为６ cm,则扇形的面积为　　　　cm２． １２．已知角α的终边在图中阴 影所表示的范围内(不包 括边界),那么所有角α形 成的集合为　　　　． １３．“密位制”是一种度量角的 方法,我国采用的“密位制”是６０００密 位制,即将一个圆周角分为６０００等份, 每一个等份是一个密位,那么１２０密位 等于　　　　弧度． １４．终边在直线y＝x上的角的集合S＝　 　　　． 三、解答题 １５．用弧度分别表示终边落在如图所示的 阴影部分内(不包括边界)的角的集合． １６．已知角的顶点与直角坐标系的原点重 合,始边与x 轴的非负半轴重合,作出 下列各角,指出它们是第几象限角,并 指出在０°~３６０°范围内与其终边相同的 角． (１)４０５°;(２)－４５°;(３)４９５°;(４)－５２０° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 吴文俊 　　吴文俊(１９１９年５月１２日－２０１７年５月７日),１９１９年５月１２日出生于上海,祖 籍浙江嘉兴,数学家,中国科学院院士,中国科学院数学与系统科学研究院研究员,系统 科学研究所名誉所长． 　　吴文俊的研究工作涉及数学的诸多领域,其主要成就表现在拓扑学和数学机械化 两个领域．他为拓扑学做了奠基性的工作．他的示性类和示嵌类研究被国际数学界称为 “吴公式”,“吴示性类”,“吴示嵌类”,至今仍被国际同行广泛引用． 　　拓扑的嵌入理论是研究复杂几何体在欧氏空间的实现问题．在吴文俊之前,嵌入理 论只有零散的结果,吴文俊提出了吴示嵌类等一系列拓扑不变量,研究了嵌入理论的核 心,并由此发展了嵌入的统一理论．后来他将关于示嵌类的成果用于电路布线问题,给 出线性图平面嵌入的新判定准则,与以往的判定准则在性质上是完全不同的,是可计算的． 　　在拓扑学研究中,吴文俊起到了承前启后的作用,极大地推进了拓扑学的发展,引 发了大量的后续研究,他的工作也已经成为拓扑学的经典结果,半个世纪以来一直发挥 着重要作用,在许多数学领域中应用,成为教科书中的定理． 􀅰７３􀅰 三a2 1 1 11.解析：(1)第五天裁去后，剩下 (2)因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机 2 32 能够正常使用，所以有2+≤2”，解得x≤57. 天后 两 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57 分钟. 尺之捶 三天后 四天后 16.解：()由题意可得1=一6ln0-10 90-10 =一6ln8 取其半 0天后 =-6(ln3-3ln2)≈-6×(1.1-3X0.7)=6, 故大约经过6min水温降为40℃. → (2)由题意可得1.8=-6ln90-10' 0-10 (2)第n天截去后，剩下 20. 0一1 0-10-ln1 .ln90-10 8-=-0.3. 答案：1品《2 即1n(8-1-lh8=-0.3 12.解析：当W=400时，lnf=3n-ln400 3 n(0-1）=3h2-a.31.8=n2+la3 a=hE-h40,对月-6 ln6.∴.0≈70，故经过1.8min水温大约降为 70℃. 当W=3200时，lnf,=3nk-ln3200 假期作业15 即1nf=1n为-ln3200,则f月-3200 知识复盘 所以)=8，即=2 1.逆时针 顺时针 2.S={8B=a+k·360°，k∈Z} 答案：2 13.解析：由题意得经过第n块玻璃后，其光线的 1 强度变为原来的(1-：1-)广<号 1.360 0 正数 负数0 g品<1g吉，可得m>g59一2g3兰 1g5 -1g2 素养提升 是号15,21.所以n的最小维为16，中 1.A 01290=要×高-受故选A] 至少经过16块这样的玻璃，光线强度能减弱 2.B 0-(×1 °=75°.故选B.] 到原来的号以下 3.B[终边相同的角可以相差360°的整数倍，不 答案：16 一定相等，①错误；钝角是大于90°且小于180 14.解析：由题意知T。=21℃.令T。=85℃，T= 的角，一定是第二象限角，②正确；第一象限角 可以是正角，也可以是负角，③正确；小于90°的 37℃.得37-21=(85-21)· ,解得h 角可以是锐角，也可以是负角，①错误.综上，正 =8. 确的个数是2，故选B.] 令T。=37℃，T=25℃，则25-21=(37-21) 4.D[与一66°终边相同的角可以写成一66°十 ·(侵)）广解容1=1 360°·k的形式，其中k∈Z.令k=1可得，-66 与294°的终边相同，其他选项均不符合题意.故 答案：16 选D.] 15.解：(1)因为这种病毒开机时占据内存2KB, 5.D[与30°角终边相同的角a=k·360°+30°，k 每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍，所以 x分钟后病毒所占内存为y=2+1(x>0). ∈Z,化为孤度制是a=2kx+吾k∈乙.] ·67· 快乐假期 6.B[150°化成孤度是，A正确：-工化成角度 2π 13.解析：由题意知，120密位=120×6000= π 6 25 是-45°，B错误：-120°化成孤度是- 经c正 (孤度). 答案：器 确：化成角度是30，D正确，故选B.] 14.解析：在0°~360°范围内，终边在直线y=x上 7.C[2023°=5×360°+223°，故2023°角是第三 的角有两个，分别为45°，225°，所以终边在直 象限角.故选C.] 线y=x上的角的集合是S={BB=45°十k· 8.A[由题意，该孤所对的圆心角（正角）的孤度 360°，k∈Z}U{3B=225°+k·360°，k∈Z}= (B3=45°+2k·180°，k∈Z}U{33=45°+ 数为品-受故选A] 180°+2k·180°，k∈Z}={33=45°+2k· 180°，k∈Z}U(33=45°+(2k+1)·180°，k∈ 9.B[设此圆的半径为r,则正方形的边长为2r, Z)={3B=45°+k·180°，k∈Z}. 所以这段孤所对的圆心角的孤度数为。=区- 答案：{313=45°+k·180°，k∈Z}. 15.解：(1)225°角的终边可以看作是一135°角的终 2,则这段孤所对的圆网角的孤度数为.] 2 边，化为孤度，即一红，60角的终边即晉的终 10.B[A选项，因为a,3终边相同，所以a=B十k 边，所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的 ×360°，k∈Z,即a-3=k×360°，k∈Z,故A正 角的条合为e2x一<a<2kx十号k∈Z. 确；B选项，因为180°十a与a是终边关于原点 (2)与(1)类似可写出终边落在阴影部分内（不 对称的两个角，所以角α和角阝的终边关于原 点对称，必有a=180°+B+k×360°，k∈Z,即a 包括边界)的角的集合为a2kx十吾<Q<2元 -B=k×360°+180°，k∈Z,故B错误；C选项， 因为一a与a是终边关于x轴对称的两个角， +受，k∈ZU{a2kx十x+吾<a<2kx十x+ 所以角α和角B的终边关于x轴对称，必有B 吾，k∈Z=akx+吾<a<kx+受keZ. =-a+k×360°，k∈Z,即a+3=k×360°，k∈ 16解：作出各角如图所示. Z,故C正确；D选项，因为180°一a与a是终边 关于y轴对称的两个角，所以3与180°一a的 终边相同，即3=k×360°十180°-a,k∈Z,所 405 以a+3B=k×360°+180°，k∈Z,故D正确.故 选B.] 11.解析：设扇形的圆心角为a,半径为r,则扇形的 (2) 周长为ar十2=6，所以r=号cm,所以扇形的 495 西积5=r2= =4(cm2). -520° 答案： (3) (4) 12.解析：在0°~360°范围内，终边落在阴影内的 (1)405°角是第一象限角.405°=45°+360°，所 角a满足30°<a<150°或210°<a<330°，所以 以在0°~360°范围内，与405°角终边相同的角 所有满足题意的角a的集合为{ak·360°+ 是45°角. 30°<a<k·360°+150°，k∈Z}U{ak·360 (2)-45°角是第四象限角.一45°=315° +210°<a<k·360°+330°，k∈Z}={a|2k· 360°，所以在0°~360°范围内，与一45°角终边 相同的角是315°角. 180°+30°<a<2k·180°+150°，k∈Z}U{al (3)495°角是第二象限角.495°=135°+360°， (2k+1)·180°+30°<a<(2k+1)·180°+ 所以在0°~360°范围内，与495°角终边相同的 150°，k∈Z}={an·180°+30°<a<n·180 角是135°角. +150°，n∈Z}. (4)-520°角是第三象限角.-520°=200°一2 答案：{an·180°+30°<a<n·180°+150°，n ×360°，所以在0°360°范围内，与一520°角终 ∈Z 边相同的角是200°角. ·68·