假期作业14 指数函数与对数函数的应用-【快乐假期】2024年中职高一数学寒假作业（人教版）

１４．解析:因为f(x)＝ log４x,x＞０ f(x＋３),x≤０{ ,则f(－４) ＝f(－４＋３)＝f(－１)＝f(－１＋３)＝f(２)＝ log４２＝ １ ２． 答案:１ ２ １５．解:(１)(３)０＋ ３(－２)３＋lg５×lg２０＋(lg２)２ ＝１＋(－２)＋lg５×(lg４＋lg５)＋(lg２)２ ＝－１＋lg５×(２lg２＋lg５)＋(lg２)２ ＝－１＋(lg５)２＋２lg５􀅰lg２＋(lg２)２ ＝－１＋(lg５＋lg２)２ ＝－１＋[lg(５×２)]２ ＝－１＋(lg１０)２ ＝－１＋１＝０ (２)log４９０＝ log２(２×３２×５) log２４ ＝ １２ (log２ ＋ ２log２３＋log２５), 由２n＝５得log２５＝n,又log２３＝m, 所以log４９０＝ １ ２ (１＋２m＋n)＝m＋n２＋ １ ２． １６．解:(１)若函数f(x)是 R上的奇函数,则f(０) ＝０, 即log２(１＋a)＝０,∴a＝０． 当a＝０时,f(x)＝－x是R上的奇函数． 所以a＝０． (２)若函数f(x)的定义域是一切实数,则１２x ＋ a＞０恒成立． 即a＞－１ ２x 恒成立,由于－１ ２x ∈(－∞,０), 故只要a≥０,则a的取值范围是[０,＋∞)． 假期作业１４ 素养提升 １．C　[设销售收入为c,∵销售收入不变,∴xy＝ c(定值),∴y＝cx． 故选C．] ２．A　[通过图象上点可以发现,在第一象限从左 到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,图 象上的点大致都在函数y＝２x 的图象上,所以 指数函数最符合．] ３．D　[根据题中数据画出散点图如图所示． 由图可知上述散点大体分布在函数y＝log２x的 图象附近,故函数y＝log２x 可以近似地反映这 些数据的规律．故选 D．] ４．C　[∵N＝８１０×９５, ∴lgN＝lg８１０ ＋lg９５ ＝lg２３０ ＋lg３１０ ＝３０lg２＋ １０lg３≈９．０３０＋４．７７１＝１３．８０１, ∴N≈１０１３．８０１∈(１０１３,１０１４)．故选C．] ５．A　[将x＝１,y＝１００代入y＝alog２(x＋１)中, 得１００＝alog２(１＋１),解得a＝１００, 则y＝１００log２(x＋１),所以当x＝７时 y＝１００log２(７＋１)＝３００．故选 A．] ６．D　[由题意可得 ５(１＋p)m＝５．４ ５(１＋p)n＝５．５,{ 则５(１＋p) m 􀅰５(１＋p)n＝５．４×５．５,即存 m＋n期,本利和 为５(１＋p)m＋n＝５．４×１．１＝５．９４万元,故若存 m＋n 期,利 息 为 ５．９４－５＝０．９４ 万 元．故 选 D．] ７．B　[∵C＝３,当I＝e２ 时,S＝７, ∴７＝klne２＋３＝２k＋３,解得k＝２, ∴S＝２lnI＋３． 又S＝３ln３,∴３ln３＝２lnI＋３, ∴ln２７＝lnI２＋lne３＝ln(I２e３), ∴I２e３＝２７,∴I＝ ２７ e３ ＝３ ３ e１．５ ≈１．１６．故选B．] ８．B　 [∵第x 年某湿地公园越冬的白鹭数量y (只)近似满足y＝klog３(x＋１),x＝２时,y＝ １０００, ∴１０００＝klog３ ,解得k＝１０００． ∴当x＝５时,y＝１０００log３６＝１０００×(log３ ＋ log３２)＝１０００× １＋ ln２ ln３ æ è ç ö ø ÷≈１６３６．] ９．B　[由题图可知,函数y＝at 的图象经过点(１, ３),即a１＝３,则a＝３,∴y＝３t,∴３t＋１－３t＝２× ３t 不是常数．由y＝３t 可知蓝藻每个月的面积 是上 个 月 面 积 的 ３ 倍,则 每 个 月 的 增 长 率 为 ２００％,A 正确,B错误;当t＝４时,y＝３４＝８１＞ ８０,C正确;若蓝藻面积蔓延到２m２,４m２,８m２ 所经过的时间分别是t１,t２,t３,则３t１ ＝２,３t２ ＝ ４,３t３＝８,∴(３t２)２＝３t１ 􀅰３t３,则t１＋t３＝２t２,D 正确．故选B．] １０．A　[由题意可设太阳的星等为 m２,太阳的亮 度为E２,天狼星的星等为m１,天狼星的亮度为 E１,则由 m２－m１＝ ５ ２lg E１ E２ ,得－２６．７＋１．４５ ＝５２lg E１ E２ ,∴lg E１ E２ ＝－１０．１,lg E２ E１ ＝１０．１, E２ E１ ＝１０１０．１．故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 １１．解析:(１)第五天截去后,剩下１ ２５ ＝１３２． (２)第n天截去后,剩下１ ２n ． 答案:(１)１３２　 (２)１ ２n １２．解析:当W＝４００时,lnf１＝ ３lnk－ln４００ ３ , lnf３１＝lnk３－ln４００,则f３１＝ k３ ４００． 当W＝３２００时,lnf２＝ ３lnk－ln３２００ ３ , 即lnf３２＝lnk３－ln３２００,则f３３＝ k３ ３２００． 所以 f１ f２ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝８,即f１f２ ＝２． 答案:２ １３．解析:由题意得经过第n 块玻璃后,其光线的 强度变为原来的 １－１１０ æ è ç ö ø ÷ n ,由 １－１１０ æ è ç ö ø ÷ n ＜１５⇒ nlg９１０＜lg １ ５ ,可得n＞ －lg５２lg３－１＝ －lg１０２ ２lg３－１＝ lg２－１ ２lg３－１≈１５．２１７． 所以n 的最小值为１６,即 至少经过１６块这样的玻璃,光线强度能减弱 到原来的１ ５ 以下． 答案:１６ １４．解析:由题意知Ta＝２１℃．令T０＝８５℃,T＝ ３７℃．得３７－２１＝(８５－２１)􀅰 １２ æ è ç ö ø ÷ １６ h ,解得h ＝８． 令T０＝３７℃,T＝２５℃,则２５－２１＝(３７－２１) 􀅰 １ ２ æ è ç ö ø ÷ t ８ ,解得t＝１６． 答案:１６ １５．解:(１)因为这种病毒开机时占据内存２KB, 每３分钟后病毒所占内存是原来的２倍,所以 x分钟后病毒所占内存为y＝２ x ３＋１(x＞０)． (２)因为病毒占据内存不超过１GB时,计算机 能够正常使用,所以有２ x ３＋１≤２２０,解得x≤５７． 所以本次开机计算机能正常使用的时长为５７ 分钟． １６．解:(１)由题意可得t＝－６ln４０－１０９０－１０＝－６ln ３ ８ ＝－６(ln３－３ln２)≈－６×(１．１－３×０．７)＝６, 故大约经过６min水温降为４０℃． (２)由题意可得１．８＝－６lnθ－１０９０－１０ , ∴lnθ－１０９０－１０＝ln θ １０－１ ８ ＝－０．３ , 即ln θ１０－１ æ è ç ö ø ÷－ln８＝－０．３, ∴ln θ１０－１ æ è ç ö ø ÷＝３ln２－０．３≈１．８≈ln２＋ln３＝ ln６．∴θ≈７０,故经过１．８min水温大约降为 ７０℃． 假期作业１５ 知识复盘 一、 １．逆时针　顺时针 ２．S＝{β|β＝α＋k􀅰３６０°,k∈Z} 二、 １．１３６０ ３．lr 　 正数　负数　０ 素养提升 １．A　[１１２°３０′＝２２５２ × π １８０＝ ５π ８． 故选 A．] ２．B　[５π１２＝ ５π １２× １８０ π æ è ç ö ø ÷°＝７５°．故选B．] ３．B　[终边相同的角可以相差３６０°的整数倍,不 一定相等,①错误;钝角是大于９０°且小于１８０° 的角,一定是第二象限角,②正确;第一象限角 可以是正角,也可以是负角,③正确;小于９０°的 角可以是锐角,也可以是负角,④错误．综上,正 确的个数是２,故选B．] ４．D　[与－６６°终边相同的角可以写成－６６°＋ ３６０°􀅰k的形式,其中k∈Z．令k＝１可得,－６６° 与２９４°的终边相同,其他选项均不符合题意．故 选 D．] ５．D　[与３０°角终边相同的角α＝k􀅰３６０°＋３０°,k ∈Z,化为弧度制是α＝２kπ＋π６ ,k∈Z．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 　　　　假期作业１４　指数函数与对数函数的应用 ●[每日一语]　过而不改,是谓过矣． １．建立函数模型解决实际问题的基本过程 某些实际问题提供的变量关系是确定 的,即设自变量为x,因变量为y,它们已 建立了函数模型,我们可以利用该函数 模型得出实际问题的答案．具体基本过 程为: 实际问题 化归 　　　　　　　→ 函数模型 运 算 推 理 ↓ 函数模型的解 解释说明 　　　　←实际问题的解 􀜟 􀜟 ↓ ２．建立函数模型解决实际问题的步骤 (１)分析和理解实际问题的增长情况(“对 数增长”“直线上升”“指数爆炸”等); (２)根据增长情况选择函数类型建立函数 模型,将实际问题转化为数学问题; (３)求解函数模型; (４)用函数模型描述并解决实际问题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．据你估计,一种商品在销售收入不变的 条件下,其销量y 与价格x 之间的关系 最可能是下图中的 (　　) ２．“红豆生南国,春来 发几枝”,如图给出 了红豆生长时间x (月)与枝数y(枝) 的散点图(直角坐 标系中作出(x,y) 对应的点),那么最 符合红豆的枝数与 生长时间的关系的函数是 (　　) A．指数函数y＝２x B．对数函数y＝log２x C．幂函数y＝x３ D．二次函数y＝２x２ ３．某学校开展研究学习活动,一组同学获 得了下面的一组试验数据: x １．９９ ３ ４ ５．１ ８ y ０．９９ １．５８ ２．０１ ２．３５ ３．００ 如下四个模拟函数,能近似地反映这些 数据的规律的是 (　　) A．y＝０．５８x－０．１６ B．y＝２x－３．０２ C．y＝x２－５．５x＋８ D．y＝log２x ４．数学家纳皮尔发明了对数,对数的思想 方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘 法和加法运算．已知lg２≈０．３０１０,lg３≈ ０．４７７１,设 N＝８１０×９５,则 N 所在的区 间为 (　　) A．(１０１１,１０１２)　　　B．(１０１２,１０１３) C．(１０１３,１０１４) D．(１０１４,１０１５) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 ５．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引 入了一种以该昆虫为食物的特殊动物． 已知该动物的数量y(只)与引入时间x (年)的关系为y＝alog２(x＋１)．若该动 物在引入一年后的数量为１００,则在引入 ７年后,它们的数量为 (　　) A．３００ B．４００ C．６００ D．７００ ６．复利是一种计算利息的方法,即把前一 期的利息和本金加在一起算作本金,再 计算下一期的利息,我国现行定期储蓄 中的自动转存业务就是类似复利计算的 储蓄．某人在银行存入本金５万元并办 理了自动转存业务,已知每期利率为p, 若存 m 期,本利和为５．４万元,若存n 期,本利和为５．５万元,若存m＋n期,则 利息为 (　　) A．５．９４万元 B．１．１８万元 C．６．１８万元 D．０．９４万元 ７．韦伯———费希纳定律是表明心理量和物 理量之间关系的定律,其中心理量和物 理量之间满足关系式S＝klnI＋C(其中 S表示心理量,k是常数,I表示物理量, C是积分常数),表示的含义是心理量和 物理量的对数值成正比．通过研究表明C ＝３,当I＝e２ 时,S＝７,若S＝３ln３,则I 的值大约为(参考数据:e１．５≈４．４８,３≈ １．７３) (　　) A．１．０７ B．１．１６ C．１．４５ D．２．１５ ８．据统计,第x 年某湿地公园越冬的白鹭 数量y(只)近似满足y＝klog３(x＋１),观 测发现第２年有越冬白鹭１０００只,估计 第５年有越冬白鹭(ln２≈０．７,ln３≈１．１) (　　) A．１５３０只 B．１６３０只 C．１８３０只 D．１９３０只 ９．如图,某湖泊蓝藻的面积 y(单位:m２)与时间t(单 位:月)的关系满足y＝ at,则 下 列 说 法 不 正 确 的是 (　　) A．蓝藻面积每个月的增 长率为２００％ B．蓝藻每个月增加的面 积都相等 C．第４个月时,蓝藻面积就会超过８０m２ D．若蓝藻面积蔓延到２m２,４m２,８m２ 所经过的时间分别是t１,t２,t３,则一定 有２t２＝t１＋t３ １０．在天文学中,天体的明暗程度可以用星 等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度 满足m２－m１＝ ５ ２lg E１ E２ ,其中星等为mk 的星的亮度为Ek(k＝１,２)．已知太阳的 星等是－２６．７,天狼星的星等是－１．４５, 则太阳与天狼星的亮度的比值为 (　　) A．１０１０．１　　　　　　　B．１０．１ C．lg１０．１ D．１０－１０．１ 二、填空题 １１．我国古代著名哲学著作«庄子􀅰天下»中有 这样一段话:“一尺之捶,日取其半,万世不 竭．”意思是说:“一尺长的棍棒,每天截一 半,永远截不完．”第一天截去后剩下１２ ,第 二天截去后剩下１ ４ 􀆺􀆺 (１)第五天截去后,剩下　　　　; (２)第n天截去后,剩下　　　　． １２．生物学家采集了一些动物体重和脉搏 率对应的数据,并经过研究得到体重和 脉搏率的对数型关系:lnf＝lnk－lnW３ , 其中f是脉搏率(心跳次数/min),体重 为W(g),k为正的常数,则体重为４００g 的豚鼠和体重为３２００g的兔子的脉搏 率之比为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 １３．光线经过一块玻璃,强度损失１０％,那 么至少经过　　　　块这样的玻璃,光 线强度能减弱到原来的１ ５ 以下．(lg３≈ ０．４７７,lg２≈０．３) １４．物体在常温下的温度变化可以用牛顿 冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T０,经过一定时间t(单位:min)后的温 度是T,则T－Ta＝(T０－Ta) １ ２ æ è ç ö ø ÷ t h ,其 中Ta 称为环境温度,h为常数．现有一 杯用８５℃的热水冲的速溶咖啡,放在 ２１℃的房间中,如果咖啡降到３７℃需要 １６min,那么这杯咖啡要从３７℃ 降到 ２５℃,还需要　　　　min． 三、解答题 １５．一种专门占据内存的计算机病毒,能在 短时间内感染大量文件,使每个文件所 占内存都不同程度地加大,造成磁盘空 间的严重浪费．这种病毒开机时占据内 存２KB,每３分钟后病毒所占内存是原 来的２倍．记x分钟后病毒所占内存为 y KB． (１)求y关于x 的函数解析式; (２)如果病毒占据内存不超过１GB(１ GB＝２１０MB,１MB＝２１０KB),计算机能 够正常使用,求本次开机计算机能正常 使用的时长． １６．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷 却模型:t＝－１k 􀅰ln θ－θ０ θ１－θ０ (t为时间, 单位:min,θ０ 为环境温度,θ１ 为物体初 始温度,θ为冷却后温度,单位:℃,k为 常数)．假设一杯开水的初始温度θ１＝ ９０℃,环境温度θ０＝１０℃,常数k＝ １ ６． (参考数据:ln２≈０．７,ln３≈１．１) (１)大约经过几分钟水温降为４０℃? (２)经过１．８min水温大约降为多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 陈省身 　　陈省身,１９１１年１０月２８日生于浙江嘉兴秀水县,２０世纪最伟大的几何学家之一, 生前曾长期任教于美国加州大学伯克利分校(１９６０年起)、芝加哥大学(１９４９－１９６０ 年),并在伯克利建立了美国国家数学科学研究所(MSRI)． 　　为了纪念陈省身的卓越贡献,国际数学联盟(IMU)还特别设立了“陈省身奖(Chern Medal)”作为国际数学界最高级别的终身成就奖． 􀅰４３􀅰