假期作业13 对数与对数函数-【快乐假期】2024年中职高一数学寒假作业（人教版）

　　　　　　假期作业１３　对数与对数函数 ●[每日一语]　知之为知之,不知为不知,是知也． １．对数的概念 若ab＝N(a＞０,且a≠１),那么数b称为 以a 为底N 的对数,记作b＝　　　　, 其中a称为对数的底数,N 叫做真数． ２．对数的性质、运算性质与换底公式 (１)对数的性质 ①loga ＝１(a＞０,且a≠１); ②loga１＝０(a＞０,且a≠１); ③０和负数没有对数; ④alogaN＝　　　　; ⑤loga b＝b(a＞０,且a≠１)． (２)常用对数和自然对数． ①把以１０为底的对数称为常用对数, 记作lgN; ②把以e为底的对数称为自然对数,记 作lnN． (３)对数的运算性质 如果a＞０且a≠１,M＞０,N＞０,那么 ①loga(MN)＝　　　　; ②loga M N＝　　　　 ; ③logaMn＝　　　　(n∈R)． (４)换底公式:logbN＝　　　　(b＞０,且 b≠１,N＞０,a＞０,且a≠１)． ３．对数函数及其性质 (１)概念:函数y＝logax(a＞０,且a≠１)称 为对数函数,其中x 是自变量,定义域 是(０,＋∞)． (２)对数函数的图象与性质 a＞１ ０＜a＜１ 图象 性质 定义域:　　　　 值域:　　　 当x＝１时,y＝０,即过定点　　　　 当x＞１时,y＞０; 当０＜x＜１时,y ＜０ 当x＞１时,y＜０; 当０＜x＜１时,y ＞０ 在(０,＋∞)上是 　　　　 在(０,＋∞)上是 　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．有下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以１０为底的对数叫做常用对数; ④以e为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ２．求值:２log５１０－log５４＝ (　　) A．１ B．log５１６ C．２ D．log５９６ ３．方程ln(log３x)＝０的解是 (　　) A．１ B．２ C．e D．３ ４．已知ab＞０,给出下面四个等式: ①lg(ab)＝lga＋lgb; ②lgab＝lga－lgb ③１２lg a b æ è ç ö ø ÷ ２ ＝lgab ; ④lg(ab)＝ １logab１０ ． 其中正确的个数为 (　　) A．０ B．１ C．２ D．３ ５．下列函数中为对数函数的是 (　　) A．y＝log１２(－x) B．y＝log４x２ C．y＝lnx D．y＝log(a２＋２a＋１)x(a是常数) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 ６．函数f(x)＝logax 在(０,＋∞)上是减函 数,则a的取值范围是 (　　) A．(０,＋∞)　　　B．(－∞,１) C．(０,１) D．(１,＋∞) ７．已知a＝log２７,b＝log３８,c＝０􀆰３０􀆰２,则a, b,c的大小关系为 (　　) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ８．函数f(x)＝log２(３x＋１)的值域为 (　　) A．(０,＋∞) B．[０,＋∞) C．(１,＋∞) D．[１,＋∞) ９．函数y＝ x＋１＋lg(２－x)的定义域为 (　　) A．(－１,２) B．(－１,２] C．[－１,２) D．[－１,２] １０．若loga ２ ３＜１ ,则实数a的取值范围是 (　　) A．０,２３ æ è ç ö ø ÷ B．２３ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ C．２３ ,１ æ è ç ö ø ÷ D．０,２３ æ è ç ö ø ÷∪(１,＋∞) 二、填空题 １１．log２１６＝　　　　． １２．log２３×log３４×log４８＝　　　　． １３．若对数函数y＝f(x)过点P(８,３),则 f １４ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． １４．已知函数f(x)＝ log４x,x＞０ f(x＋３),x≤０{ ,则f(－４) 的值为　　　　　． 三、解答题 １５．(１)计算:(３)０＋ ３(－２)３＋lg５×lg２０ ＋(lg２)２; (２)已知log２３＝m,２n＝５,试用m,n表 示log４９０． １６．已知函数f(x)＝log２ １ ２x ＋a æ è ç ö ø ÷． (１)若函数f(x)是 R上的奇函数,求a 的值; (２)若函数f(x)的定义域是一切实数, 求a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 李冶:«测圆海镜»———开元术 　　随着高次方程数值求解技术的发展,列方程的方法也相应产生,这就是所谓“开元 术”．在传世的宋元数学著作中,首先系统阐述开元术的是李冶的«测圆海镜»． 　　李冶(１１９２~１２７９)原名李治,号敬斋,金代真定栾城人,曾任钧州(今河南禹县)知 事,１２３２年钧州被蒙古军所破,遂隐居治学,被元世祖忽必烈聘为翰林学士,仅一年,便 辞官回家．１２４８年撰成«测圆海镜»,其主要目的就是说明用开元术列方程的方法．“开元 术”与现代代数中的列方程法相类似,“立天元———为某某”,相当于“设x为某某”,可以 说是符号代数的尝试． 􀅰１３􀅰 １２．解析:设f(x)＝ax(a＞０,且a≠１),则 １１６＝ a－２,解得a＝４, 所以f(x)＝４x 故f －１２ æ è ç ö ø ÷＝４－ １ ２ ＝１２． 答案:１ ２ １３．解析:原式＝( ３ ２)６×(３)６＋１－４× ４９１６＋|３ －π|＝４×２７＋１－７＋π－３＝９９＋π． 答案:９９＋π １４．解析:由题意可知,不等式２x－a≥０的解集为 [２,＋∞),则２２－a＝０,解得a＝４, 当a＝４时,由２x－４≥０,可得２x≥４＝２２,解得 x≥２,符合题意． 答案:４ １５．解:(１) －１３ æ è ç ö ø ÷ －１ －(３．１４－π)０＋|２－２|－ ２ ２＋ ２ ＝－３－１＋２－ ２－２ (２－ ２) ４－２ ＝－２－ ２ －(２－ ２)＝－４． (２) ３ a ７ ２ a－３÷ ３ a－８􀅰 ３ a１２ ＝ a ７ ２ 􀅰a－ ３ ２( ) １ ３ ÷ a－ ８ ３ 􀅰a４( ) １ ２ ＝a ２ ３ ÷a ２ ３ ＝１． １６．解:(１)由已知得 １２ æ è ç ö ø ÷ －a ＝２． 解得a＝１． (２)由(１)知f(x)＝ １２ æ è ç ö ø ÷ x , 又g(x)＝f(x),则４－x－２＝ １２ æ è ç ö ø ÷ x , 所以 １ ４ æ è ç ö ø ÷ x － １２ æ è ç ö ø ÷ x －２＝０, 令 １ ２ æ è ç ö ø ÷ x ＝t,则t＞０,t２－t－２＝０, 即(t－２)(t＋１)＝０, 又t＞０,故t＝２,即 １２ æ è ç ö ø ÷ x ＝２．解得x＝－１, 故满足条件的x的值为－１． 假期作业１３ 知识复盘 １．logaN　２．(１)④N　(３)①logaM＋logaN ②logaM－logaN　③nlogaM　(４) logaN logab ３．(０,＋∞)　R　(０,１)　增函数　减函数 素养提升 １．C　[①③④正确,②不正确,只有a＞０且a≠１ 时,ax＝N 才能化为对数式．] ２．C　[２log５１０－log５４＝log５１００－log５４＝log５２５ ＝２．故选C．] ３．D　[∵ln(log３x)＝０,∴log３x＝e０＝１,∴x＝３．] ４．B　[当a＜０,b＜０时,lg(ab)＝lg(－a)＋lg(－ b),lgab＝lg (－a)－lg(－b),故①②错误;当ab ＞０时,ab＞０ ,１ ２lg a b æ è ç ö ø ÷ ２ ＝lgab ,③正确;当ab ＝１时,④错误．因此只有一个正确,故选B．] ５．C　[对于 A,真数是－x,故 A 不是对数函数; 对于B,y＝log４x２＝log２|x|,真数是|x|,不是 x,故B不是对数函数;对于C,lnx的系数为１, 真数是x,故 C是对数函数;对于 D,底数a２＋ ２a＋１＝(a＋１)２≥０,故 D不是对数函数．] ６．C　[由对数函数的单调知识易知０＜a＜１．] ７．A　[显然c＝０􀆰３０􀆰２∈(０,１)． 因为log３ ＜log３８＜log３９,所以１＜b＜２． 因为log２７＞log２４＝２,所以a＞２． 故c＜b＜a．] ８．A　[∵３x＞０,∴３x＋１＞１,∴log２ ３x＋１( )＞０, ∴函数f(x)的值域为(０,＋∞)．故选 A．] ９．C　[要使函数式有意义,则 x＋１≥０, ２－x＞０,{ 解得－１ ≤x＜２,即函数的定义域为[－１,２)．] １０．D　[当a＞１时,loga ２ ３＜１＝loga ,解得a＞ ２ ３ ,所以此时a的取值范围为(１,＋∞);当０＜ a＜１时,loga ２ ３＜１＝loga ,解得０＜a＜２３ ,所 以此时a 的取值范围为 ０,２３ æ è ç ö ø ÷．综上,实数a 的取值范围是 ０,２３ æ è ç ö ø ÷∪(１,＋∞)．故选 D．] １１．解析:设log２１６＝x,则２x＝１６＝２４,所以x＝４ 答案:４ １２．解析:原式＝log２３× log２４ log２３ × log２８ log２４ ＝log２８＝３． 答案:３ １３．解析:设对数函数f(x)＝logax(a＞０,且a≠ １)．因为函数图象过点P(８,３),所以loga８＝３, 得a＝２,所以f １４ æ è ç ö ø ÷＝log２ １ ４＝－２． 答案:－２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６􀅰 １４．解析:因为f(x)＝ log４x,x＞０ f(x＋３),x≤０{ ,则f(－４) ＝f(－４＋３)＝f(－１)＝f(－１＋３)＝f(２)＝ log４２＝ １ ２． 答案:１ ２ １５．解:(１)(３)０＋ ３(－２)３＋lg５×lg２０＋(lg２)２ ＝１＋(－２)＋lg５×(lg４＋lg５)＋(lg２)２ ＝－１＋lg５×(２lg２＋lg５)＋(lg２)２ ＝－１＋(lg５)２＋２lg５􀅰lg２＋(lg２)２ ＝－１＋(lg５＋lg２)２ ＝－１＋[lg(５×２)]２ ＝－１＋(lg１０)２ ＝－１＋１＝０ (２)log４９０＝ log２(２×３２×５) log２４ ＝ １２ (log２ ＋ ２log２３＋log２５), 由２n＝５得log２５＝n,又log２３＝m, 所以log４９０＝ １ ２ (１＋２m＋n)＝m＋n２＋ １ ２． １６．解:(１)若函数f(x)是 R上的奇函数,则f(０) ＝０, 即log２(１＋a)＝０,∴a＝０． 当a＝０时,f(x)＝－x是R上的奇函数． 所以a＝０． (２)若函数f(x)的定义域是一切实数,则１２x ＋ a＞０恒成立． 即a＞－１ ２x 恒成立,由于－１ ２x ∈(－∞,０), 故只要a≥０,则a的取值范围是[０,＋∞)． 假期作业１４ 素养提升 １．C　[设销售收入为c,∵销售收入不变,∴xy＝ c(定值),∴y＝cx． 故选C．] ２．A　[通过图象上点可以发现,在第一象限从左 到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,图 象上的点大致都在函数y＝２x 的图象上,所以 指数函数最符合．] ３．D　[根据题中数据画出散点图如图所示． 由图可知上述散点大体分布在函数y＝log２x的 图象附近,故函数y＝log２x 可以近似地反映这 些数据的规律．故选 D．] ４．C　[∵N＝８１０×９５, ∴lgN＝lg８１０ ＋lg９５ ＝lg２３０ ＋lg３１０ ＝３０lg２＋ １０lg３≈９．０３０＋４．７７１＝１３．８０１, ∴N≈１０１３．８０１∈(１０１３,１０１４)．故选C．] ５．A　[将x＝１,y＝１００代入y＝alog２(x＋１)中, 得１００＝alog２(１＋１),解得a＝１００, 则y＝１００log２(x＋１),所以当x＝７时 y＝１００log２(７＋１)＝３００．故选 A．] ６．D　[由题意可得 ５(１＋p)m＝５．４ ５(１＋p)n＝５．５,{ 则５(１＋p) m 􀅰５(１＋p)n＝５．４×５．５,即存 m＋n期,本利和 为５(１＋p)m＋n＝５．４×１．１＝５．９４万元,故若存 m＋n 期,利 息 为 ５．９４－５＝０．９４ 万 元．故 选 D．] ７．B　[∵C＝３,当I＝e２ 时,S＝７, ∴７＝klne２＋３＝２k＋３,解得k＝２, ∴S＝２lnI＋３． 又S＝３ln３,∴３ln３＝２lnI＋３, ∴ln２７＝lnI２＋lne３＝ln(I２e３), ∴I２e３＝２７,∴I＝ ２７ e３ ＝３ ３ e１．５ ≈１．１６．故选B．] ８．B　 [∵第x 年某湿地公园越冬的白鹭数量y (只)近似满足y＝klog３(x＋１),x＝２时,y＝ １０００, ∴１０００＝klog３ ,解得k＝１０００． ∴当x＝５时,y＝１０００log３６＝１０００×(log３ ＋ log３２)＝１０００× １＋ ln２ ln３ æ è ç ö ø ÷≈１６３６．] ９．B　[由题图可知,函数y＝at 的图象经过点(１, ３),即a１＝３,则a＝３,∴y＝３t,∴３t＋１－３t＝２× ３t 不是常数．由y＝３t 可知蓝藻每个月的面积 是上 个 月 面 积 的 ３ 倍,则 每 个 月 的 增 长 率 为 ２００％,A 正确,B错误;当t＝４时,y＝３４＝８１＞ ８０,C正确;若蓝藻面积蔓延到２m２,４m２,８m２ 所经过的时间分别是t１,t２,t３,则３t１ ＝２,３t２ ＝ ４,３t３＝８,∴(３t２)２＝３t１ 􀅰３t３,则t１＋t３＝２t２,D 正确．故选B．] １０．A　[由题意可设太阳的星等为 m２,太阳的亮 度为E２,天狼星的星等为m１,天狼星的亮度为 E１,则由 m２－m１＝ ５ ２lg E１ E２ ,得－２６．７＋１．４５ ＝５２lg E１ E２ ,∴lg E１ E２ ＝－１０．１,lg E２ E１ ＝１０．１, E２ E１ ＝１０１０．１．故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰