假期作业9 函数的奇偶性-【快乐假期】2024年中职高一数学寒假作业（人教版）

１６．证明:设x１,x２ 是区间(０,＋∞)上的任意两个 不相等的实数,则Δx＝x２－x１,Δy＝f(x２)－ f(x１)＝ １ x２ －１x１ ＝ x１－x２ x１x２ ＝－ x２－x１ x１x２ , Δy Δx＝－ １ x１x２ ＜０． 因此f(x)＝１x 在区间(０,＋∞)上是减函数． 假期作业９ 知识复盘 １．f(－x)＝－f(x) ２．f(－x)＝f(x) ４．相同　相反 素养提升 １．A　[因为一个奇函数的定义域为{－１,２,a,b}, 奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b中一 个等于１,一个等于－２,所以a＋b＝１＋(－２)＝ －１．故选 A．] ２．D　[选项 A 中函数的定义域不关于原点对称, 故函数为非奇非偶函数;y＝x２＋x 为非奇非偶 函数;y＝x３ 为奇函数;y＝x２,x∈[－１,０)∪ (０,１]的定义域关于原点对称且满足f(－x)＝ f(x),则函数f(x)为偶函数,故选 D．] ３．C　[因为f(x)是定义在R上的偶函数且f(１) ＝１, 所以f(－１)＝f(１)＝１,故选C．] ４．B　[由题意,x∈R,f(－x)＝(－x)２＝x２＝ f(x),即函数为偶函数．故选B．] ５．A　[f(x)的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞),关 于原点对称．又f(－x)＝(－x)３＋ １－x＝－x ３ －１x＝－ (x３＋１x )＝－f(x),∴f(x)是奇函 数,其图象关于原点对称．故选 A．] ６．D　[由题知,函数f(x)为奇函数,所以f(－１) ＝－f(１)．将x＝１代入解析式f(x)＝x２＋１x , 得f(１)＝１２＋１１＝２ ,故f(－１)＝－f(１)＝ －２．] ７．A　[由题意,定义在[m－５,１－２m]上的奇函数 f(x),可得m－５＝－(１－２m),解得m＝－４, 又由当x＞０时,f(x)＝x２－２x,所以f(－４)＝ －f(４)＝－(４２－２×４)＝－８．故选 A．] ８．D　[A 中的函数的定义域关于原点不对称,不 具有奇偶性,故排除;B 中的函数为偶函数,但 在(０,＋∞)上单调递减,故排除;C中的函数是 奇函数,故排除;D中的函数是偶函数,且在(０, ＋∞)上单调递增．] ９．B　[由于奇函数的图象关于原点成中心对称, 故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调 性,且一侧的最小值对应另一 侧 的 最 大 值,故 选B．] １０．D　[由题意可得,函数f(x)在[－５,０]上也是 单调函数,再根据f(－４)＜f(－２),可得函数 f(x)在[－５,０]上是单调增函数,故函数f(x) 在[０,５]上是单调减函数,故f(０)＞f(１)．] １１．解析:①中不满足偶函数定义中的任意性,因 此①错 误;②中 由f(x)＋f(－x)＝０ 可 知 f(－x)＝－f(x),因此f(x)是 D 上的奇函 数,②正确;当f(－２)≠f(２)时,函数f(x)一 定不是偶函数,故③正确;④中若满足f(－２)＝ f(２)＝０,此时函数可能是奇函数,因此④正确． 答案:②③④ １２．解析:由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝０,得a (－x)２＋２(－x)＋ax２＋２x＝２ax２＝０,故a ＝０． 答案:０ １３．解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所 以a－１＝－２a,解得a＝１３． 又函数f(x)＝１３ x２＋bx＋b＋１为二次函数,结合偶函数图象的 特点,易得b＝０． 答案:１ ３　０ １４．解析:因 为 函 数 f(x) 是奇函数,所以其图象 关于原点中心对称,作 出图象如图所示,观察 图象可知,不等式f(x)＜０的解集为(－２,０) ∪(２,５]． 答案:(－２,０)∪(２,５] １５．解:(１)f(x)的定义域为[－１,０)∪(０,１],关于 原点对称．f(－x)＝ １－x ２ －x ＝－f (x),所以 f(x)为奇函数． (２)函数f(x)定义域为{－１,１},关于原点对 称,且f(x)＝０,又f(－x)＝－f(x),f(－x) ＝f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (３)函数f(x)的定义域为{x|x≠１},不关于原 点对称．故f(x)既不是奇函数也不偶函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 １６．解:(１)由题意作出函数图象如图: (２)据图可知,单调递增区间为(－１,０),(１,＋ ∞)． (３)据图可知,使f(x)＜０的x 的取值集合为 (－２,０)∪(０,２)． 假期作业１０ 知识复盘 １．增函数　减函数 ２．(１)ax２＋bx＋c(a≠０)　(２)(－h,k) ３．R　－b２a　 － b ２a ,４ac－b ２ ４a æ è ç ö ø ÷　减　增　增　减 素养提升 １．A　[正比例函数的解析式为y＝kx(k≠０),故 A 正确．] ２．A　[由方程组 y＝x－３ y＝－x－５{ ,解得 x＝－１ y＝－４{ ,故交 点坐标为(－１,－４)．] ３．B　[f(x)＝－x２＋４x－３＝－(x２－４x)－３＝ －(x－２)２＋４－３＝－(x－２)２＋１,所以,顶点 坐标为(２,１)．] ４．C　[函数f(x)＝x２－４x－１的对称轴为x＝２, 开口向上, 所以函数f(x)＝x２－４x－１的单调递减区间是 (－∞,２],故选C．] ５．A　[结合题图易知,不等式ax２＋bx＋c＞０的 解集为(－２,１),故选 A．] ６．C　[抛物线开口向上,对称轴为直线x＝１,则 f(０)＝f(２)．因为函数在区间[１,＋∞)上单调 递增,所以f(２)＜f(３),即f(０)＜f(３)．] ７．B　[对称轴x＝－b２≥１ ,解得b≤－２．] ８．C　[∵２＞０,∴抛物线开口向上,故 A 错误; ∵抛物线的顶点坐标为(３,１), ∴当x＝３时,函数有最小值,最小值为１,故 B 错误; ∵抛物线的对称轴为直线x＝３, ∴当x＜３时,y随x 的增大而减小,故 C正确; D错误．故选C．] ９．C　[由题意得f(０)＝０,则m－１＝０,所以m＝１． 所以f(x)＝x２＋２x．由x２＋２x＜０,得x(x＋２) ＜０,所以－２＜x＜０．] １０．A　[∵y＝－１２ (x－３)２＋５, ∴抛物线开口向下,对称轴为直线x＝３, ∴x＜３时,y随x 增大而增大, ∴当x＝１时,y最大,最大值为y＝－１２×４＋ ５＝３．故选 A．] １１．解析:由已知,３＝k×１,解得k＝３, ∴正比例函数的解析式为y＝３x, 令x＝３,y＝３×３＝９． 答案:９ １２．解析:∵y＝２x２－４x－５＝２(x－１)２－７, ∴抛物线的对称轴为直线x＝１． 答案:直线x＝１ １３．解析:∵抛物线y＝(a－１)x２－２x＋３在对称 轴左侧,y随x 的增大而增大, ∴a－１＜０,解得a＜１． 答案:a＜１ １４．解析:由已知,关于x 的二次方程ax２＋x＋１ ＝０的两根分别为m、１,且a＜０, 所以, １＋m＝－１a , １×m＝１a ì î í ï ï ï ï ,解得 a＝－２ m＝－１２ ì î í ïï ï ． 答案:－１２ １５．解:因为y＝３x２＋２x＋１＝３x＋１３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋２３ , 所以ymin＝f － １ ３ æ è ç ö ø ÷＝２３． 因此,该函数图象的对称轴是直线x＝－１３ ,它 在 区 间 －∞,－１３ æ è ç ] 上 是 减 函 数,在 区 间 －１３ ,＋∞[ öø÷上是增函数． １６．解:(１)观察题图可知方程ax２＋bx＋c＝０的 根,即为抛物线与x轴交点的横坐标, 所以两个根为x１＝０,x２＝２． (２)观察题图可知不等式ax２＋bx＋c＜０的解 集为{x|x＜０,或x＞２}． (３)由题图可知当k＞２时,方程ax２＋bx＋c＝ k无实数根． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 　　　　　　　　　假期作业９　函数的奇偶性 ●[每日一语]　温故而知新,可以为师矣． １．奇函数的定义: 如果对于函数y＝f(x)的定义域A 内的 任意一个值x 都有　　　　,则这个函 数是奇函数． 一个函数是奇函数的充要条件是,它的 图象是以坐标原点为对称中心的中心对 称图形． ２．偶函数的定义: 如果对于函数y＝f(x)的定义域A 内的 任意一个值x,都有　　　　,则这个函 数是偶函数． 一个函数是偶函数的充要条件是它的图 象是以y轴为对称轴的轴对称图形． ３．判断一个函数y＝f(x)(x∈A)的奇偶性 的步骤: S１　判断定义域是否关于原点对称,即 当x∈A 时,－x∈A 是否成立; S２　当S１不成立时,函数f(x)既不是 奇函数也不是偶函数． 当S１成立时,对于任意一个x∈A, 若f(－x)＝－f(x),则函数y＝f(x)是 奇函数; 若f(－x)＝f(x),则函数y＝f(x)是偶 函数; f(－x)≠f(x),且f(－x)≠－f(x),则 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． ４．奇偶性与单调性 一般地,若函数f(x)为奇函数,则f(x) 在关于原点对称的两个区间 [a,b]和 [－b,－a]上具有　　　　　的单调性; 若函数f(x)为偶函数,则f(x)在关于原 点对称的两个区间[a,b]和[－b,－a]上 具有　　　　的单调性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．已知一个奇函数的定义域为{－１,２,a, b},则a＋b等于 (　　) A．－１　　B．１　　C．０　　D．２ ２．下列函数中是偶函数的是 (　　) A．y＝２|x|－１．x∈[－１,２] B．y＝x２＋x C．y＝x３ D．y＝x２,x∈[－１,０)∪(０,１] ３．已知f(x)是定义在 R 上的偶函数,若 f(１)＝１,则f(－１)＝ (　　) A．－１　　B．０　　C．１　　D．２ ４．已知函数f(x)＝x２,x∈R,则 (　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．f(x)既是奇函数又是偶函数 D．f(x)既不是奇函数也不是偶函数 ５．f(x)＝x３＋１x 的图象关于 (　　) A．原点对称　　　　B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称 ６．已知函数f(x)为奇函数,当x＞０时, f(x)＝x２＋１x ,则f(－１)＝ (　　) A．２　　B．－１ C．０　　D．－２ ７．已知定义在[m－５,１－２m]上的奇函数 f(x),当x＞０ 时,f(x)＝x２ －２x,则 f(m)的值为 (　　) A．－８　　B．８ C．－２４　　D．２４ ８．下列函数中,既是偶函数又在(０,＋∞) 上单调递增的是 (　　) A．f(x)＝ x B．f(x)＝－x２＋１ C．f(x)＝１x D．f (x)＝|x|－１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 ９．若奇函数f(x)在[１,３]上为增函数,且有 最小值０,则它在[－３,－１]上 (　　) A．是减函数有最小值０ B．是增函数有最大值０ C．是减函数有最大值０ D．是增函数有最小值０ １０．已知函数f(x)在[－５,５]上是偶函数, 且在[０,５]上是单调函数,若f(－４)＜ f(－２),则下列不等式一定成立的是 (　　) A．f(－１)＜f(３) B．f(２)＜f(３) C．f(－３)＜f(５) D．f(０)＞f(１) 二、填空题 １１．对于函数y＝f(x),定义域为D∈[－２,２], 以下命题正确的是　　　　．(填题号) ①若f(－１)＝f(１),f(－２)＝f(２),则 y＝f(x)是D 上的偶函数;②若对于任 意x∈[－２,２],都有f(－x)＋f(x)＝ ０,则y＝f(x)是 D 上的奇函数;③若 f(２)≠f(－２),则f(x)不是偶函数;④ 若f(－２)＝f(２),则该函数可能是奇 函数． １２．已知函数f(x)＝ax２＋２x是奇函数,则 实数a＝　　　　． １３．若函数f(x)＝ax２＋bx＋３a＋b是偶函 数,定义域为[a－１,２a],则a＝　　　, b＝　　　　． １４．设奇函数f(x)的定义域为[－５,５],若 当x∈[０,５]时,f(x)的图象如图所示, 则不等式f(x)＜０的解集为　　　　． 三、解答题 １５．判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝ １－x ２ x ; (２)f(x)＝ x２－１＋ １－x２; (３)f(x)＝ xx－１ ; １６．已知函数y＝f(x)是定义在 R上的偶 函数,且当x≤０时,f(x)＝x２＋２x．现 已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如 图所示． (１)请补出完整函数y＝f(x)的图象; (２)根据图象写出函数y＝f(x)的增区 间; (３)根据图象写出使f(x)＜０的x的取 值集合． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 贾宪 　　贾宪,１１世纪前半叶中国北宋数学家．贾宪是中国十一世纪上半叶(北宋)的杰出数 学家．曾撰«黄帝九章算法细草»(九卷)和«算法古集»(二卷),都已失传．据«宋史»记载, 贾宪师从数学家楚衍学天文、历算,著有«黄帝九章算法细草»、«释锁算书»等书．贾宪著 作已佚,但他对数学的重要贡献,被南宋数学家杨辉引用,得以保存下来．贾宪的主要贡 献是创造了“贾宪三角”和“增乘开方法”．增乘开方法即求高次幂的正根法．目前中学数 学中的综合除法,其原理和程序都与它相仿．增乘开方法比传统的方法整齐简捷,又更 程序化,所以在开高次方时,尤其显出它的优越性．增乘开方法的计算程序大致和欧洲 数学家霍纳(公元１８１９年)的方法相同,但比他早７７０年． 􀅰１２􀅰