假期作业8 函数的单调性-【快乐假期】2024年中职高一数学寒假作业（人教版）

　　　　　　　假期作业８　函数的单调性 ●[每日一语]　敏而好学,不耻下问． １．增函数与减函数的概念 如果在给定的区间上自变量增大(减小) 时,函数值也随着增大(减小),这时称函 数在这个区间上是　　　　(图１)． 如果在给定的区间上自变量增大(减小) 时,函数值反而随着减小(增大),这时称 函数在这个区间上是　　　　(图２)． 　 　　图１　　　　　　　图２ ２．函数的单调性 如果一个函数y＝f(x)在某个区间上是 增函数或者是减函数,就说这个函数在 这个区间上具有(严格的)　　　　．这 个区间就称为这个函数的　　　　． ３．判断一个函数是增函数还是减函数的步骤: S１　取Δx,计算Δy． S２　计算k＝ΔyΔx． 当k＞０时,函数y＝f(x)在这个区 间上是增函数; 当k＜０时,函数y＝f(x)在这个区 间上是减函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．函数y＝f(x)的图象如图所示,其增区 间是 (　　) A．[０,１]　　　　B．[－４,－３]∪[１,４] C．[－３,１] D．[－３,４] ２．函数y＝f(x)是(０,＋∞)上的减函数,且０ ＜x１＜x２,则下列选项不正确的是 (　　) A．f(x１)＞f(x２) B．f(x１)－f(x２)＞０ C．(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＜０ D．f (x１)－f(x２) x１－x２ ＞０ ３．如图是函数y＝f(x)的图 象,其定义域为[－２,＋ ∞),则函数f(x)的单调 递减区间是 (　　) A．[－１,０) B．[１,＋∞) C．[－１,０),[１,＋∞) D．[－１,０)∪[１,＋∞) ４．下列函数在区间(０,＋∞)上是减函数 的是 (　　) A．y＝２x＋１ B．y＝x２＋１ C．y＝３－x D．y＝x２＋２x＋１ ５．已知f(x)＝(３a－１)x＋b在(－∞,＋∞)上 是增函数,则a的取值范围是 (　　) A．(－∞,１３ ) B．(１３ ,＋∞) C．(－∞,１３ ] D．[１３ ,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 ６．已知函数f(x)在区间[０,＋∞)上是增函 数,则f(２),f(π),f(３)的大小关系是 (　　) A．f(π)＞f(２)＞f(３) B．f(３)＞f(π)＞f(２) C．f(２)＞f(３)＞f(π) D．f(π)＞f(３)＞f(２) ７．已知函数f(x)＝８＋２x－x２,那么下列 结论正确的是 (　　) A．f(x)在(－∞,１]上是减函数 B．f(x)在(－∞,１]上是增函数 C．f(x)在[－１,＋∞)上是减函数 D．f(x)在[－１,＋∞)上是增函数 ８．下列四个函数中,在(０,＋∞)上单调递 增的是 (　　) A．f(x)＝３－x B．f(x)＝x２－３x C．f(x)＝２x D．f(x)＝１x ９．已知二次函数y＝x２－２ax＋１在区间 (２,３)内是单调函数,则实数a的取值范 围是 (　　) A．(－∞,２]∪[３,＋∞) B．[２,３] C．(－∞,－３]∪[－２,＋∞) D．[－３,－２] １０．函数f(x)＝|x－２|x 的单调递减区 间是 (　　) A．[１,２] B．[－１,０] C．[０,２] D．[２,＋∞) 二、填空题 １１．已知函数f(x)＝ ２x＋１,x≥１, ５－x,x＜１,{ 则f(x) 的单调递减区间是　　　　． １２．已 知 函 数 y＝ f(x)(x∈[－２, ６])的图象如图． 根据图象写出y ＝f(x)的单调区间,增区间为　　　 　,减区间为　　　　． １３．若函数f(x)在R上为增函数,且f(x－ ２)＜f(３),则x的取值范围为　　　． １４．函数y＝２ x－１的单调增区间为　　　 　． 三、解答题 １５．证明函数f(x)＝３x＋２在(－∞,＋∞) 上是增函数． １６．证明函数f(x)＝１x 在区间(０,＋∞)上 是减函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 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６．D　[因为函数f(x)在区间[０,＋∞)上是增函 数,并且π＞３＞２,所以f(π)＞f(３)＞f(２),所 以 D选项是正确的．故选 D．] ７．B　[由二次函数f(x)＝８＋２x－x２＝－(x－ １)２＋９的图象知B对,故选B．] ８．C　[根据一次函数、二次函数、反比例函数的单 调性可知:f(x)＝３－x,f(x)＝１x 在(０,＋∞) 上均单调递减;f(x)＝x２－３x在 ０,３２ æ è ç ] 上单调 递减,在 ３ ２ ,＋∞[ öø ÷ 上单调递增;f(x)＝２x 在 (０,＋∞)上单调递增．] ９．A　[由题意知,当－－２a２ ≤２ 或－－２a２ ≥３ ,即 a≤２或a≥３时,满足题意．故选 A．] １０．A　[f(x)＝|x－２|x＝ (x－２)x,x≥２, (２－x)x,x＜２．{ 作出此函数的图象如图所示 观察图象可知,f(x)＝|x－２|x 的单调递减区 间是[１,２]．] １１．解析:当x≥１时,f(x)是增函数,当x＜１时, f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为 (－∞,１) 答案:(－∞,１) １２．解析:由图象可知f(x)在[－２,６]上的递增区 间为[－２,－１]和[２,６],减区间为[－１,２]． 答案:[－２,－１]和[２,６]　[－１,２] １３．解析:因为函数f(x)是 R上的增函数,且f(x －２)＜f(３), 所以x－２＜３,解得x＜５． 所以x的取值范围为{x|x＜５}． 答案:(－∞,５) １４．解析:由x－１≥０,得函数的定义域为[１,＋∞)． 令u＝x－１(x≥１),则y＝２ u． 因为函数u＝x－１在[１,＋∞)上为增函数, 函数y＝２ u在[０,＋∞)上为增函数． 所以函数y＝２ x－１的单调增区间为[１,＋∞)． 答案:[１,＋∞)(或(１,＋∞)) １５．证明:设x１,x２ 是任意两个不相等的实数,则 Δx＝x２－x１,Δy＝f(x２)－f(x１)＝(３x２＋２) －(３x１＋２)＝３(x２－x１), Δy Δx＝ ３(x２－x１) x２－x１ ＝３＞０． 因此函数f(x)＝３x＋２在区间(－∞,＋∞)上 是增函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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奇函数,故排除;D中的函数是偶函数,且在(０, ＋∞)上单调递增．] ９．B　[由于奇函数的图象关于原点成中心对称, 故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调 性,且一侧的最小值对应另一 侧 的 最 大 值,故 选B．] １０．D　[由题意可得,函数f(x)在[－５,０]上也是 单调函数,再根据f(－４)＜f(－２),可得函数 f(x)在[－５,０]上是单调增函数,故函数f(x) 在[０,５]上是单调减函数,故f(０)＞f(１)．] １１．解析:①中不满足偶函数定义中的任意性,因 此①错 误;②中 由f(x)＋f(－x)＝０ 可 知 f(－x)＝－f(x),因此f(x)是 D 上的奇函 数,②正确;当f(－２)≠f(２)时,函数f(x)一 定不是偶函数,故③正确;④中若满足f(－２)＝ f(２)＝０,此时函数可能是奇函数,因此④正确． 答案:②③④ １２．解析:由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝０,得a (－x)２＋２(－x)＋ax２＋２x＝２ax２＝０,故a ＝０． 答案:０ １３．解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所 以a－１＝－２a,解得a＝１３． 又函数f(x)＝１３ x２＋bx＋b＋１为二次函数,结合偶函数图象的 特点,易得b＝０． 答案:１ ３　０ １４．解析:因 为 函 数 f(x) 是奇函数,所以其图象 关于原点中心对称,作 出图象如图所示,观察 图象可知,不等式f(x)＜０的解集为(－２,０) ∪(２,５]． 答案:(－２,０)∪(２,５] １５．解:(１)f(x)的定义域为[－１,０)∪(０,１],关于 原点对称．f(－x)＝ １－x ２ －x ＝－f (x),所以 f(x)为奇函数． (２)函数f(x)定义域为{－１,１},关于原点对 称,且f(x)＝０,又f(－x)＝－f(x),f(－x) ＝f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (３)函数f(x)的定义域为{x|x≠１},不关于原 点对称．故f(x)既不是奇函数也不偶函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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