假期作业4 不等式的基本性质-【快乐假期】2024年中职高一数学寒假作业（人教版）

　　　　　 假期作业４　不等式的基本性质 ●[每日一语]　有志者,事竟成． １．两个实数比较大小的方法 a－b＞０⇔a　　　　b, a－b＝０⇔a　　　　b, a－b＜０⇔a　　　　b． ２．不等式的基本性质 性质１(传递性):如果a＞b,b＞c,则　　 　　　　． 性质２(加法法则):如果a＞b,则　　　 　　　． 性质３(乘法法则):如果a＞b,c＞０,则　 　　　;如果a＞b,c＜０,则　　　　． 推论１:如果a＋b＞c,则a＞c－b． 推论２:如果a＞b,且c＞d,则a＋c＞b＋d． 推论３:如果a＞b＞０,且c＞d＞０,则ac ＞bd． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．下列关于不等关系的说法不正确的是 (　　) A．某隧道入口竖立着“限高４．５米”的警 示牌,是指示司机要安全通过隧道,应 使车载货物高度h(米)满足０＜h≤４．５ B．用不等式表示“a与b 的差是非负数” 为a－b＞０ C．不等式x≥２的含义是指x不小于２ D．若a＜b或a＝b之中有一个成立,则a ≤b成立 ２．某公司运输一批木材,总重量为６００吨, 车队有两种货车,A 型货车载重量３０吨, B 型货车载重量２４吨．设派出A 型货车 x 辆,B 型货车y 辆,则运输方案应满足 的关系式是 (　　) A．５x＋４y＜１００　　　B．５x＋４y≥１００ C．５x＋４y＞１００ D．５x＋４y≤１００ ３．完成一项装修工程,请木工需付工资每 人５００元,请瓦工需付工资每人４００元, 现有工人工资 预算２００００元,设木工x 人,瓦工y 人,则请工人需满足的关系 式是 (　　) A．５x＋４y＜２００ B．５x＋４y≥２００ C．５x＋４y＝２００ D．５x＋４y≤２００ ４．已知c∈R,则“a＝b”是“ac＝bc”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ５．设 M＝２a２－４a＋７,N＝a２－５a＋６,则有 (　　) A．M＜N B．M≤N C．M＞N D．M≥N ６．已知a＋b＜０,且a＞０,则 (　　) A．a２＜－ab＜b２ B．b２＜－ab＜a２ C．a２＜b２＜－ab D．－ab＜b２＜a２ ７．已知a,b∈R,设 M＝a２－ab,N＝ab－ b２,则 M 与N 的值的大小关系是 (　　) A．M＜N B．M≤N C．M＞N D．M≥N 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 ８．已知－１＜a＜０,则－a,－a３,a２ 的大小 关系是 (　　) A．a２＞－a３＞－a B．－a＞a２＞－a３ C．－a３＞－a＞a２ D．a２＞－a＞－a３ ９．若a＞b＞０,c＜d＜０,则 (　　) A．ad＞ b c B． a d＜ b c C．ac＞ b d D． a c＜ b d １０．下列不等式中不成立的是 (　　) A．若a＞b＞０,则ac２＞bc２ B．若a＞b＞０,则a２＞b２ C．若a＜b＜０,则a２＞ab＞b２ D．若a＜b＜０,则１a＞ １ b 二、填空题 １１．用“＞”或“＜”填空:x＋５　　　x＋２． １２．如果a＞０,b＜０,则ab　　　　０． １３若实数a＞b,则a２－ab　　　　ba－ b２．(填“＞”或“＜”) １４．若０＜x＜y＜１,则x－y的取值范围是 　　　　　　． 三．解答题 １５．比较下列各组中两式的大小: (１)(x＋５)(x＋７),(x＋６)２; (２)(x＋４)２,(x＋２)(x＋６); (３)(x＋１)２,２x＋１; １６．已知三个不等式:①ab＞０;②ca ＞ d b ; ③bc＞ad．若以其中两个作为条件,余下 的一个作为结论,请写出一个真命题, 并写出推理过程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 祖暅 　　祖暅,字景烁,范阳遒县(今河北涞水)人．中国南北朝时期数学家、天文学家,祖冲 之之子．同父亲祖冲之一起解决了球面积的计算问题,得到正确的体积公式,并据此提 出了著名的“祖暅原理”．祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作,提出 “幂势既同则积不容异”,即等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立 体体积相等,这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)．祖暅应用这个原理,解决了刘徽尚 未解决的 球 体 积 公 式．该 原 理 在 西 方 直 到 十 七 世 纪 才 由 意 大 利 数 学 家 卡 瓦 列 利 (BonaventuraCavalier)发现,比祖暅晚一千一百多年．祖暅是我国古代最伟大的数学家 之一． 􀅰８􀅰 １６．解:在数轴上表示集合A,B,U． 易得A∪B＝{x|－３≤x＜３},A∩B＝{x|－２ ＜x≤２},∁UA＝{x|x≤－２,或３≤x≤４}, ∁UB＝{x|x＜－３,或２＜x≤４}． ∴(∁UA)∪B＝{x|x≤２,或３≤x≤４},A∩ (∁UB)＝{x|２＜x＜３},∁U(A∪B)＝{x|x＜ －３,或３≤x≤４}． 假期作业３ 知识复盘 １．充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要 素养提升 １．C　[因为{x|－１＜x＜３}⫋{x|x＜３},所以p 是q 的必要不充分条件．] ２．D　[若a＋b＞０,取a＝３,b＝－２,则ab＞０不 成立;反之,若ab＞０,取a＝－２,b＝－３,则a＋ b＞０也不成立,因此“a＋b＞０”是“ab＞０”的既 不充分也不必要条件．] ３．A　[由|x－２|＜３,解得－１＜x＜５,{x|０＜x＜ ５}⫋{x|－１＜x＜５},故“０＜x＜５”是“|x－２| ＜３”的充分不必要条件．] ４．D　[根据题意,“x,y 为无理数”,则不能推出 “xy为无理数”,如x＝y＝ ２,但xy＝２是有理 数．反之,若“xy为无理数”,不能推出“x,y为无 理数”,如xy＝２ ２,x＝２是有理数,y＝ ２是无 理数．故“x,y为无理数”是“xy 为无理数”的既 不充分也不必要条件．] ５．A　[因为x＞２⇒x＞１,所以选 A．] ６．B　[“积跬步”不一定“至千里”,但“至千里”必 有“积跬步”,所以“积跬步”是“至千里”的必要 不充分条件．故选B．] ７．A　[若A＝B,则x＝x２,∴x＝０或x＝１,∴“x ＝１”是“A＝B”的充分不必要条件．故选 A．] ８．A　[返回家乡⇒攻破楼兰,但攻破楼兰⇒/ 返回 家乡,故选 A．] ９．C　[由２x－４≥０得x≥２,所以选项中只有{２, ３,５}⫋{x|x≥２},故只有 C选项中的条件是使 不等 式 ２x－４≥０ 成 立 的 一 个 充 分 不 必 要 条件．] １０．D　[对于 A,当c＝０时,满足ac＝bc,但此时 存在a≠b的情况,故 A 错误;对于B,x２≥１等 价于x≥１或x≤－１,故“x≥１”是“x２≥１”的 充分不必要条件,故 B错误;对于 C,“四边形 对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不 充分条件,故C错误;对于 D,“１＜x＜３”是“x ≥０”的充分不必要条件,故 D正确．] １１．解析:由x２＝９,可得x＝±３,∵{３}⫋{－３, ３},则“x＝３”是“x２＝９”的充分条件． 答案:充分 １２．解析:当两个三角形全等时,这两个三角形相 似,但两个三角形相似时不一定全等, 即q⇒p,p⇒/q,所以p是q 的必要不充分条件． 答案:必要不充分 １３．解析:一元二次方程x２＋x＋m＝０有实数解⇔ Δ＝１－４m≥０,即 m≤１４． 因为 m＜１４⇒m≤ １ ４ ,反之不成立,所以“m＜１４ ”是“一元二次方 程x２＋x＋m＝０ 有 实 数 解”的 充 分 不 必 要 条件． 答案:充分不必要 １４．解析:x２＞２x等价于x＜０或x＞２, 而且“x＞a”是“x２＞２x”的充分不必要条件,则 a≥２． 故a的取值范围是[２,＋∞)． 答案:[２,＋∞) １５．解:因为 N 是M 的必要条件,所以 M⊆N． 于是 a－１≥－３, a＋１≤８,{ 从而可得－２≤a≤７． 故a的取值范围为{a|－２≤a≤７}． １６．证明:充分性:∵ac＜０,∴Δ＝b２－４ac＞０, ∴方程一定有两个不等实根,分别设为x１,x２, 则x１x２＝ c a ＜０ ,∴方程的两根异号,即方程 ax２＋bx＋c＝０有一正根和一负根． 必要性:∵一元二次方程ax２＋bx＋c＝０数有 一正根和一负根,分别设为x１,x２,则由一元二 次方程根与系数的关系,得Δ＝b２－４ac＞０且 x１x２＝ c a＜０ ,解得ac＜０． 综上可知,一元二次方程ax２＋bx＋c＝０有一 正根和一负根的充要条件是ac＜０． 假期作业４ 知识复盘 １．＞　＝　＜ ２．a＞c　a＋c＞b＋c　ac＞bc　ac＜bc 素养提升 １．B　[因为“限高４．５米”即为“高度不超过４．５ 米”,不超过用“≤”表示,故选项 A 正确;因为 “非负数”即为“不是负数”,所以a－b≥０,故选 项B错误;因为不等式x≥２表示x＝２或x＞ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 ２,即x 不小于２,故选项 C正确;因为不等式a ≤b表示a＜b或a＝b,所以若a＜b或a＝b中 有一个成立,则a≤b一定成立,故选项 D正确． 故选B．] ２．B　[由题意可得,３０x＋２４y≥６００,所以有５x＋ ４y≥１００．故选B．] ３．D　[由题意知,x,y满足的不等式关系为５００x ＋４００y≤２００００,即５x＋４y≤２００．] ４．A　[a＝b⇒ac＝bc,但ac＝bc⇒/a＝b,原因是当 c＝０时,a,b的大小不确定,因此“a＝b”是“ac＝ bc”的充分不必要条件．] ５．C　[M－N＝２a２－４a＋７－(a２－５a＋６)＝a２＋ a＋１＝ a＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４＞０ ,故 M＞N,故选C．] ６．A　[由a＋b＜０,且a＞０可得b＜０,且a＜－b． 因为a２－(－ab)＝a(a＋b)＜０,所以０＜a２＜－ab, 又０＜a＜－b,所以０＜－ab＜(－b)２,所以０＜ a２＜－ab＜b２,选 A．] ７．D　[因为 M－N＝a２－２ab＋b２＝(a－b)２≥０, 所以 M≥N．] ８．B　[∵－１＜a＜０,∴１＋a＞０,０＜－a＜１,∴－ a－a２＝－a(１＋a)＞０,a２－(－a３)＝a２(１＋a) ＞０,∴－a＞a２＞－a３．故选B．] ９．B　[因为c＜d＜０,所以－c＞－d＞０,所以 １－d ＞ １－c＞０． 又a＞b＞０,所以 a－d＞ b －c ,所以a d ＜bc． ] １０．A　[对于A,若a＞b＞０,当c＝０时,ac２＝bc２, 故 A 满足题意;对于 B,若a＞b＞０,则a２－b２ ＝(a＋b)(a－b)＞０,即a２＞b２,故 B不满足题 意;对于C,若a＜b＜０,则a２＞ab,ab＞b２,即 a２＞ab＞b２,故C不满足题意;对于 D,若a＜b ＜０,则１a－ １ b＝ b－a ab ＞０ ,即１ a＞ １ b ,故 D不满 足题意．故选 A．] １１．解析:∵５＞２,∴x＋５＞x＋２ 答案:＞ １２．解析:∵a＞０,b＜０,∴ab＜０． 答案:＜ １３．解析:因为(a２－ab)－(ba－b２)＝(a－b)２,又a ＞b,所以(a－b)２＞０． 答案:＞ １４．解析:因为０＜x＜y＜１,所以０＜x＜１,－１＜ －y＜０,所以－１＜x－y＜１, 又因为x－y＜０,所以x－y 的 取 值 范 围 是 (－１,０)． 答案:(－１,０) １５．解:(１)∵(x＋５)(x＋７)－(x＋６)２＝(x２＋１２x ＋３５)－(x２＋１２x＋３６)＝－１＜０, ∴(x＋５)(x＋７)＜(x＋６)２． (２)∵(x＋４)２－(x＋２)(x＋６)＝(x２＋８x＋ １６)－(x２＋８x＋１２)＝４＞０, ∴(x＋４)２＞(x＋２)(x＋６)． (３)∵(x＋１)２－(２x＋１)＝(x２＋２x＋１)－(２x ＋１)＝x２≥０ ∴(x＋１)２≥２x＋１． １６．解:命题一:若ab＞０,且ca＞ d b ,则bc＞ad． 证明:因为c a＞ d b ,且ab＞０,所以ca 􀅰ab＞db 􀅰ab,即bc＞ad． 命题二:若ab＞０,且bc＞ad,则ca＞ d b 证明:因为ab＞０,所以１ab＞０ ,又bc＞ad,所以 bc􀅰１ab＞ad 􀅰１ ab ,即c a＞ d b． 命题三:若bc＞ad,且ca＞ d b ,则ab＞０． 证明:c a－ d b＞０⇒ bc－ad ab ＞０ , 又bc＞ad,∴ab＞０．(只要写出一个即可) 假期作业５ 知识复盘 １．[a,b]　(a,b)　[a,b)　(a,b] ５．(１)(－∞,x１)∪(x２,＋∞)　(x１,x２) (２)－∞,－b２a æ è ç ö ø ÷∪ －b２a ,＋∞æ è ç ö ø ÷　∅　(３)R　∅ ６．(１)a　０　－a　原点　(２){x|－a＜x＜a}　 {x|x＞a,或x＜－a}　(３)－c≤ax＋b≤c　ax ＋b≥c或ax＋b≤－c　∅　R　 －ba{ }　R 素养提升 １．B　[集合{x|－３≤x＜２}用区间表示为[－３, ２),故选B．] ２．D　[原不等式可化为４x≤６x＋１,即２x≥－１, 解得x≥－１２． ] ３．C　[由x＋２＞０,解得x＞－２;由x－４＞０,解 得x＞４;由x－６＜０,解得x＜６．所以不等式组 的解集为(４,６)．] ４．A　[５－|２－x|＞３⇒|２－x|＜２⇒－２＜２－x ＜２⇒－４＜－x＜０⇒０＜x＜４．] ５．A　[由平方根及分式可知x＋|x|＞０,即|x|＞ －x,故x＞０,故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰