假期作业14 任意角的三角函数-【快乐假期】2024年中职高一数学寒假作业（高教版）

　　　　　　假期作业１４　任意角的三角函数 ●[每日一语]　过而不改,是谓过矣． １．任意角的正弦、余弦与正切的定义 前 提 如图,角α终边上异 于原点的任意一点P (x,y),r＝ x２＋y２ 定 义 正弦 称　　为角α的正弦,记作sinα,即 sinα＝　　 余弦 称　　为角α的余弦,记作cosα,即 cosα＝　　 正切 当角α的终边不在y 轴上时,称　　 为角α的正切,记作tanα,即tanα＝ 　　 角α的正弦、余弦、正切都称为α的　　 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限内的符号,如图所 示． 记忆口诀:一　　,二　　　,三　　　, 四　　． ２．单位圆与三角函数 设角α的终边与单位圆的交点为点P(x, y),那么sinα＝　　,cosα＝　　,tanα ＝　　(x≠０)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．已知角α的终边经过点(－４,３),则cosα 等于 (　　) A．４５　　B． ３ ５　　C．－ ３ ５　　D．－ ４ ５ ２．角α的终边与单位圆交于点P －３５ ,４ ５ æ è ç ö ø ÷, 则sinα－cosα等于 (　　) A．－７５ B．－ １ ５ C． ７ ５ D． １ ５ ３．当α为第二象限角时,|sinα|sinα － cosα |cosα| 的值是 (　　) A．１ B．０ C．２ D．－２ ４．下列选项中符号为负的是 (　　) A．sin１１０° B．cos(－６０°) C．tan４ D．cos２π３ ５．已知点P(tanα,cosα)在第四象限,则角 α的终边在 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ６．已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与 x轴的非负半轴重合,点P(１,－３)在角α 的终边上,则sinα＝ (　　) A．－ １０１０ B． １０ １０ C．３ １０１０ D．－ ３ １０ １０ ７．若sinθ􀅰cosθ＞０,则θ的终边在 (　　) A．第一或第四象限 B．第一或第三象限 C．第一或第二象限 D．第二或第四象限 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 ８．已知角α的终边过点(１２,－５),则sinα ＋１２cosα 等于 (　　) A．－１１３　　B． １ １３　　C． １ １２　　D．－ １ １２ ９．如果sinα􀅰cosα＜０,sinα􀅰tanα＜０,那 么角α的终边位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 １０．若０＜α＜２π,且sinα＜ ３２ ,cosα＞１２ ,则 角α的取值范围是 (　　) A．－π３ ,π ３ æ è ç ö ø ÷ B．０,π３ æ è ç ö ø ÷ C．５π３ ,２π æ è ç ö ø ÷ D．０,π３ æ è ç ö ø ÷∪ ５π３ ,２π æ è ç ö ø ÷ 二、填空题 １１．已知cosα＝－１５ ,sinα＝２ ６５ ,那么α的 终边在第　　　　象限． １２．α是第四象限角,α终边上点P(３,y),若 cosα＝３５ ,则tanα＝　　　　． １３．若cosα＝－ ３２ ,且角α的终边经过点 P(x,２),则P点的横坐标x是　　　　． １４．点P(tan２０２０°,cos２０２０°)位于第　　 　　象限． 三、解答题 １５．已知角α的终边经过点P(２,－３),求 sinα,cosα和tanα． １６．已知函数f(α)＝ sinα＋lg(２cosα－１), 求函数f(α)的定义域． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 陈省身 　　陈省身,１９１１年１０月２８日生于浙江嘉兴秀水县,２０世纪最伟大的几何学家之一, 生前曾长期任教于美国加州大学伯克利分校(１９６０年起)、芝加哥大学(１９４９－１９６０ 年),并在伯克利建立了美国国家数学科学研究所(MSRI)． 　　为了纪念陈省身的卓越贡献,国际数学联盟(IMU)还特别设立了“陈省身奖(Chern Medal)”作为国际数学界最高级别的终身成就奖． 􀅰６３􀅰 ６．D　[－１４８５°＝－１４８５°× π１８０°＝－ ３３π ４ ＝ ７π ４－１０π． ] ７．D　[与３０°角终边相同的角α＝k􀅰３６０°＋３０°,k∈Z, 化为弧度制是α＝２kπ＋π６ ,k∈Z．] ８．B　[１５０°化成弧度是５π６ ,A 正 确;－ π４ 化 成 角 度 是 －４５°,B错误;－１２０°化成弧度是－２π３ ,C 正确;π６ 化 成角度是３０°,D正确．] ９．B　[∵l＝αR,∴α＝lR ． 当R,l均变为原来的２倍时,α不变． 而S＝１２αR ２ 中, ∵α不变,∴S变为原来的４倍．] １０．B　[设此圆的半径为r,则正方形的边长为 ２r,所以 这段弧所对的圆心角的弧度数为α＝ ２rr ＝ ２ ,则这 段弧所对的圆周角的弧度数为 ２ ２． ] １１．解析:５π１２＝ ５π １２× １８０ π( )°＝７５°, －４８０°＝－４８０× π１８０＝－ ８π ３． 答案:７５　－８π３ １２．解析:∵S＝１２lR＝R ２,∴l＝２R,∴lR ＝２ ,故圆心角 为２rad． 答案:２ １３．解析:由题意知,１２０密位＝１２０× ２π６０００＝ π ２５ (弧度)． 答案:π ２５ １４．解析:设扇形的圆心角为α,半径为r,则扇形的周长为 αr＋２r＝６,所以r＝３２cm ,所以扇形的面积S＝１２αr ２＝ ９ ４ (cm２)． 答案:９ ４ １５．解:－１４８０°＝－１４８０× π１８０＝－ ７４ ９π＝－１０π＋ １６π ９ , 因为３π ２＜ １６π ９ ＜２π , 所以１６π ９ 是第四象限角,故－１４８０°是第四象限角． １６．解:(１)２２５°角的终边可以看作是－１３５°角的终边,化 为弧度,即－３π４ ,６０°角的终边即 π３ 的终边,所以终边 落在 阴 影 部 分 内 (不 包 括 边 界 )的 角 的 集 合 为 α|２kπ－３π４＜α＜２kπ＋ π ３ ,k∈Z{ }． (２)与(１)类似可写出终边落在阴影部分内(不包括 边界)的角的集合为 α|２kπ＋π６＜α＜２kπ＋ π ２ ,k∈Z{ }∪ α|２kπ＋π＋π６＜α＜２kπ＋π＋ π ２ ,k∈Z{ }＝ α|kπ＋π６＜α＜kπ＋ π ２ ,k∈Z{ }． 假期作业１４ 知识梳理 １．yr 　 y r 　 x r 　 x r 　 y x 　 y x 　 三角函数　全正　正弦 　正切　余弦 ２．y　x　yx 素养提升 １．D　[由题意可知,x＝－４,y＝３,r＝５,所以cosα＝xr ＝－４５． ] ２．C　[依题意cosα＝－３５ ,sinα＝４５ ,所以sinα－cosα ＝４５－ － ３ ５( )＝ ７ ５． ] ３．C　[∵α为第二象限角, ∴sinα＞０,cosα＜０． ∴|sinα|sinα － cosα |cosα|＝ sinα sinα－ cosα －cosα＝２． ] ４．D　[结合三角函数的定义可知,sin１１０°＞０, cos(－６０°)＞０,tan４＞０,cos２π３＝－ １ ２＜０． ] ５．C　[因为点P 在第四象限,所以有 tanα＞０, cosα＜０,{ 由此可 判断角α的终边在第三象限．] ６．D　[因为角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的 非负半轴重合,点 P(１,－３)在角α 的终边上,所以 sinα＝ －３ １２＋(－３)２ ＝－３ １０１０ ． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 ７．B　[因为sinθ􀅰cosθ＞０, 所以sinθ＜０,cosθ＜０或sinθ＞０,cosθ＞０, 所以θ的终边在第一象限或第三象限．] ８．B　[∵r＝ １２２＋(－５)２＝１３, ∴sinα＝－５１３ ,cosα＝１２１３ , ∴sinα＋１２cosα＝－ ５ １３＋ １ ２× １２ １３＝ １ １３． ] ９．B　[sinα􀅰cosα＜０,所以α是第二或第四象限角,又 sinα􀅰tanα＜０,所以α是第二或第三象限角,故α为 第二象限角,α的终边位于第二象限．] １０．D　[角α的取值范围为图中阴影部分, 即 ０,π３( )∪ ５π ３ ,２π( )． ] １１．解析:∵cosα＝－１５＜０ ,sinα＝２ ６５ ＞０ ,∴α是第二 象限角． 答案:二 １２．解析:∵cosα＝ ３ ３２＋y２ ＝３５ , ∴ ３２＋y２＝５, ∴y２＝１６, 又∵α是第四象限角, ∴点P 在第四象限, ∴y＜０,∴y＝－４, ∴tanα＝－４３． 答案:－４３ １３．解析:因为cosα＝－ ３２＜０ ,所以x＜０, 又r＝ x２＋２２,由题意得 x x２＋２２ ＝－ ３２ , 所以x＝－２ ３． 答案:－２ ３ １４．解析:因为２０２０°＝５×３６０°＋２２０°, 因为２２０°是第三象限角, 所以tan２０２０°＞０,cos２０２０°＜０, 所以点P 位于第四象限． 答案:四 １５．解:设x＝２,y＝－３,则r＝ x２＋y２＝ ２２＋(－３)２ ＝ １３．于是sinα＝yr ＝ －３ １３ ＝－３ １３１３ , cosα＝xr ＝ ２ １３ ＝２ １３１３ , tanα＝yx ＝－ ３ ２． １６．解:依题意 sinα≥０, ２cosα－１＞０,{ 即 sinα≥０, cosα＞１２． { 在直角坐标系中作单位圆,如图所示, 由三角函数线可得 ２kπ≤α≤２kπ＋π(k∈Z), ２kπ－π３＜α＜２kπ＋ π ３ (k∈Z),{ 解集为图中阴影重叠的部分,故原不等式组的解集 为 α|２kπ≤α＜２kπ＋π３ ,k∈Z{ }． 假期作业１５ 知识梳理 １．(１)sin２α＋cos２α＝１ ２．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα　－cosα　cosα 　－cosα　sinα　－sinα　tanα　－tanα　－tanα １．A　[因为α是第二象限角,所以cosα＜０,又sin２α＋ cos２α＝１,所以cosα＝－ １－sin２α＝－１２１３． ] ２．B　[由题意可得sinα＝ １－cos２α＝ ３５ ,∴tanα＝ sinα cosα＝－ ３ ４． ] ３．B　[cos(－１３８０°)＝cos１３８０°＝cos(３６０°×４－６０°) ＝cos６０°＝１２． ] ４．C　[tan５７０°＋sin３００°＝tan(３６０°＋２１０°)＋sin(３６０° －６０°) ＝tan(１８０°＋３０°)－sin６０° ＝tan３０°－sin６０°＝ ３３－ ３ ２＝－ ３ ６． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰