假期作业12 角的概念的推广-【快乐假期】2024年中职高一数学寒假作业（高教版）

　　　　　　假期作业１２　角的概念的推广 ●[每日一语]　运筹帷幄之中,决胜千里之外． １．角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按 　　　　方向旋转形 成的角 负角 一条射线绕其端点按 　　　　方向旋转形 成的角 零角 射 线 没 有 做 任 何 旋 转,始边与终边重合 ２．终边相同的角 一般地,我们有:所有与角α终边相同的 角,连同角α在内,可构成一个集合　　 　　,即任一与角α终边相同的角,都可 以表示成角α与整数个周角的和． ３．象限角、界限角 (１)象限角、界限角的概念 角的终边在第几个象限,就说这个角是 第几象限角;如果角的终边在坐标轴 上,那么就认为这个角不属于任何一个 象限,称这个角为界限角． (２)象限角的集合表示 (３)界限角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k􀅰３６０°,k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝１８０°＋k􀅰３６０°,k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α＝k􀅰１８０°,k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝９０°＋k􀅰３６０°,k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝－９０°＋k􀅰３６０°,k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α＝９０°＋k􀅰１８０°,k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α＝k􀅰９０°,k∈Z} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．若α是第四象限角,则１８０°－α是 (　　) A．第一象限角　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ２．终边与坐标轴重合的角α的集合是 (　　) A．{α|α＝k􀅰３６０°,k∈Z} B．{α|α＝k􀅰１８０°＋９０°,k∈Z} C．{α|α＝k􀅰１８０°,k∈Z} D．{α|α＝k􀅰９０°,k∈Z} ３．２０２３°角是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ４．与－４６０°角终边相同的角可以表示成 (　　) A．４６０°＋k􀅰３６０°,k∈Z B．１００°＋k􀅰３６０°,k∈Z C．２６０°＋k􀅰３６０°,k∈Z D．－２６０°＋k􀅰３６０°,k∈Z 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 ５．与－６６°终边相同的角是 (　　) A．３４° B．１０４° C．２１４° D．２９４° ６．下面各组角中,终边相同的是 (　　) A．３９０°,６９０° B．－３３０°,７５０° C．４８０°,－４２０° D．３０００°,－８４０° ７．－８７０°角的终边所在的象限是 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ８．下列说法中正确的个数是 (　　) ①终边相同的角一定相等;②钝角一定 是第二象限角;③第一象限角可能是负 角;④小于９０°的角都是锐角． A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ９．若α是第一象限角,则下列各角中属于第 四象限 (　　) A．９０°－α B．９０°＋α C．３６０°－α D．１８０°＋α １０．下列四个结论中,不正确的是 (　　) A．若角α和角β的终边重合,则α－β＝ k×３６０°,k∈Z B．若角α和角β 的终边关于原点对称, 则α＋β＝k×３６０°＋１８０°,k∈Z C．若角α和角β的终边关于x 轴对称, 则α＋β＝k×３６０°,k∈Z D．若角α和角β的终边关于y 轴对称, 则α＋β＝k×３６０°＋１８０°,k∈Z 二、填空题 １１．下列结论: ①三角形的内角必是第一、二象限角; ②始边相同而终边不同的角一定不相等; ③角α与－α的终边关于x 轴对称; ④第一象限的角一定不是负角． 其中正确的结论为　　　　(填序号)． １２．５０°角的始边与x轴的正半轴重合,把其 终边按顺时针方向旋转３周,所得的角 是　　　　． １３．已知角α的终边落在如 图阴 影 表 示 的 范 围 内 (不包含边界),那么角α 的集合是　　　　． １４．终边在直线y＝x 上的角的集合S＝ 　　　　． 三、解答题 １５．将下列各角表示为k􀅰３６０°＋α(k∈Z, ０°≤α＜３６０°)的形式,并指出是第几象 限角． (１)４２０°;(２)－５１０°;(３)１０２０°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 １６．如图所示． (１)分别写出终边落在OA,OB 位置上 的角的集合; (２)写出终边落在阴影部分的角的集合． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 赵爽 　　赵爽,又名婴,字君卿,中国数学家,东汉末至三国时期吴国人．他是我国历史上著 名的数学家与天文学家,生平不详．约１８２－２５０年,据载,他研究过张衡的天文学著作 «灵宪»和刘洪的«乾象历»,也提到过“算术”．他的主要贡献是约在２２２年深入研究了 «周髀»,该书是我国最古老的天文学著作,唐初改名为«周髀算经»该书写了序言,并作 了详细注释．该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理,其中一段５３０余字 的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献,他详细解释了«周髀算经»中勾股定 理,将勾股定理表述为:“勾股各自乘,并之,为弦实．开方除之,即弦”．又给出了新的证 明:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加 差实,亦成弦实”．“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明． 􀅰１３􀅰 ８．C　[由题意知,当０≤t≤１２时,令－１０t＋２９０≤２００, 解得９≤t≤１２;当１２＜t≤２４时,令５６t－２４≤２００,解 得１２＜t≤１６．故该天适宜开展户外活动的时长至多 为３＋４＝７(时)．] ９．B　[由题意w＝１０×(５５－n)＋９n＝５５０－n且n＝１, ２,􀆺,１０,即w 是n 的函数,A 正确;当n＝２时,w＝ ５５０－２＝５４８,B错误;由于w＝５５０－n在定义域上单 调递减,故w 的最小值为w＝５５０－１０＝５４０,C正确; 令w＝５５０－n＝５４９,则n＝１,D正确,故选B．] １０．B　[如图,圆的直径AC＝２OC＝ ５０cm,矩 形 的 边 AB＝xcm．∵ ∠ABC＝９０°, ∴ 由 勾 股 定 理, 得 BC ＝ ２５００－x２cm, ∴ 矩 形 ABCD 的 面 积 y ＝ AB 􀅰 BC ＝x 􀅰 ２５００－x２cm２, 又∵０＜AB＜AC＝５０,∴０＜x＜５０．故选B．] １１．解析:由汽车刹车距离y(m)与行驶速度的平方v２(v 的单位:km/h)成正比,设y＝kv２． 因为当 汽 车 行 驶 速 度 为 ６０km/h 时,刹 车 距 离 为 ２０m,所以２０＝３６００k,解得k＝ １１８０ ,所以y＝ １１８０v ２． 当v＝９０时,y＝ １１８０×９０ ２＝４５． 答案:４５ １２．解析:设在A 地销售该品牌的汽车x 辆,则在B 地销 售该品牌的汽车(１６－x)辆,所以可获得利润y＝ ４．１x－０．１x２＋２(１６－x)＝－０．１x２＋２．１x＋３２＝ －０．１(x－１０．５)２＋０．１×１０．５２＋３２． 因为x∈[０,１６]且x∈N, 所以当x＝１０或１１时,总利润取得最大值４３万元． 答案:４３ １３．解析:设小明原速度为x(m/min),则拿到书后的速 度为１．２５x(m/min), 则家校距离为１１x＋(２３－１１)×１．２５x＝２６x． 设爸爸行进速度为y(m/min), 由题意及题图得, １１x＝(１６－１１)y, (１６－１１)×(１．２５x＋y)＝１３８０,{ 解得x＝８０, y＝１７６． 所以小明家到学校的路程为８０×２６＝２０８０(m)． 答案:２０８０ １４．解析:看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程 与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自 行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以 是变速运动,因此②正确;两条曲线的交点的横坐标 对应着４．５,故③正确;骑自行车者出发４．５h后两 人相遇,且骑摩托车者先到乙城,所以两者速度不一 样,故④错误． 答案:①②③ １５．解:设工厂每月生产x件产品时,方案一的利润为y１ 元,方案二的利润为y２ 元． 由题意知y１＝(５０－２５)x－２×０．５x－３００００＝２４x －３００００, y２＝(５０－２５)x－１４×０．５x＝１８x． (１)当x＝３０００时,y１＝４２０００,y２＝５４０００, ∵y１＜y２,∴应选择方案二处理污水． (２)当x＝６０００时,y１＝１１４０００,y２＝１０８０００, ∵y１＞y２,∴应选择方案一处理污水． １６．解析:(１)y＝０．２５×x２×２０＋０．２５×(１００－x)２×１０ ＝１５２x ２－５００x＋２５０００(１０≤x≤９０)． (２)因为y＝１５２x ２－５００x＋２５０００＝ １５ ２ x－ １００ ３( ) ２ ＋５００００３ , 所以当x＝１００３ 时,y取得最小值,ymin＝ ５００００ ３ , 故发电站建在距A 城１００３km 处,能使月供电总费用 y最少． 假期作业１２ 知识复盘 １．逆时针　顺时针 ２．S＝{β|β＝α＋k􀅰３６０°,k∈Z} 素养提升 １．C　[可以给α赋一特殊值－６０°,则１８０°－α＝２４０°,故 １８０°－α是第三象限角．] ２．D　[终边落在坐标轴上的角大小为９０°或９０°的整数 倍,所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k􀅰 ９０°,k∈Z}．] ３．C　[２０２３°＝５×３６０°＋２２３°,故２０２３°角是第三象 限角．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６􀅰 ４．C　[因为－４６０°＝２６０°＋(－２)×３６０°,故－４６０°可以 表示成２６０°＋k􀅰３６０°,k∈Z．] ５．D　[与－６６°终边相同的角可以写成－６６°＋３６０°􀅰k 的形式,其中k∈Z．令k＝１可得,－６６°与２９４°的终边 相同,其他选项均不符合题意．] ６．B　[因为－３３０°＝－３６０°＋３０°,７５０°＝７２０°＋３０°,所 以－３３０°与７５０°终边相同．] ７．C　[－８７０°＝－３×３６０°＋２１０°,∴－８７０°是第三象 限角．] ８．B　[终边相同的角可以相差３６０°的整数倍,不一定相 等,①错误;钝角是大于９０°且小于１８０°的角,一定是 第二象限角,②正确;第一象限角可以是正角,也可以 是负角,③正确;小于９０°的角可以是锐角,也可以是 负角,④错误．综上,正确的个数是２．] ９．C　[取α＝３０°,可知C正确．] １０．B　[A 选项,因为α,β终边相同,所以α＝β＋k× ３６０°,k∈Z,即α－β＝k×３６０°,k∈Z,故 A 正确;B选 项,因为１８０°＋α与α 是终边关于原点对称的两个 角,所以角α和角β 的终边关于原点对称,必有α＝ １８０°＋β＋k×３６０°,k∈Z,即α－β＝k×３６０°＋１８０°,k ∈Z,故B错误;C选项,因为－α与α 是终边关于x 轴对称的两个角,所以角α和角β的终边关于x 轴对 称,必有β＝－α＋k×３６０°,k∈Z,即α＋β＝k×３６０°,k ∈Z,故C正确;D选项,因为１８０°－α和α 是终边关 于y 轴对称的两个角,所以β与１８０°－α的终边相 同,即β＝k×３６０°＋１８０°－α,k∈Z,所以α＋β＝k× ３６０°＋１８０°,k∈Z,故 D正确．] １１．解析:①９０°的角既不是第一象限角,也不是第二象限 角,故①不正确;②始边相同而终边不同的角一定不 相等,故②正确;③角α与－α,旋转的绝对量相同,只 是旋转方向不同,故③正确;④－３００°是第一象限角, 故④不正确． 答案:②③ １２．解析:顺 时 针 方 向 旋 转 ３ 周 转 了 － (３×３６０°)＝ －１０８０°．又５０°＋(－１０８０°)＝－１０３０°,故所得的角 为－１０３０°． 答案:－１０３０° １３．解析:观察图形可知,角α的集合是{α|k􀅰３６０°＋４５° ＜α＜k􀅰３６０°＋１５０°,k∈Z}． 答案:{α|k􀅰３６０°＋４５°＜α＜k􀅰３６０°＋１５０°,k∈Z} １４．解析:在０°~３６０°范围内,终边在直线y＝x 上的角 有两个,分别为４５°,２２５°,所以终边在直线y＝x 上 的角的集合是S＝{β|β＝４５°＋k􀅰３６０°,k∈Z}∪{β|β ＝２２５°＋k􀅰３６０°,k∈Z}＝{β|β＝４５°＋２k􀅰１８０°,k∈ Z}∪{β|β＝４５°＋１８０°＋２k􀅰１８０°,k∈Z}＝{β|β＝４５° ＋２k􀅰１８０°,k∈Z}∪{β|β＝４５°＋(２k＋１)􀅰１８０°,k∈ Z}＝{β|β＝４５°＋k􀅰１８０°,k∈Z}． 答案:{β|β＝４５°＋k􀅰１８０°,k∈Z} １５．解:(１)４２０°＝３６０°＋６０°, 而６０°角是第一象限角,故４２０°是第一象限角． (２)－５１０°＝－２×３６０°＋２１０°, 而２１０°是第三象限角,故－５１０°是第三象限角． (３)１０２０°＝２×３６０°＋３００°, 而３００°是第四象限角,故１０２０°是第四象限角． １６．解:(１)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝３０° ＋k􀅰３６０°,k∈Z}, 终边落在OB 位置上的角的集合为{α|α＝１０５°＋k􀅰 ３６０°,k∈Z}． (２)由(１)及图知,阴影部分的角的集合为{θ|３０°＋k 􀅰３６０°≤θ＜１０５°＋k􀅰３６０°,k∈Z}． 假期作业１３ 知识复盘 １．１３６０ ３．lr 　 正数　负数　０ 素养提升 １．D　[根据弧度的定义及角度与弧度的换算知 A,B,C 均正确,D错误．] ２．D　[根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是 弧度制,角的大小与圆的半径长短无关,而是与弧长 与半 径 的 比 值 有 关,所 以 D 是 错 误 的,A,B,C 均 正确．] ３．B　[５π１２＝ ５π １２× １８０ π( )°＝７５°．] ４．A　[１１２°３０′＝２２５°２ × π １８０°＝ ５π ８． ] ５．A　[由题意,该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为５１０ ＝１２． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６􀅰