假期作业8 函数的单调性-【快乐假期】2024年中职高一数学寒假作业（高教版）

　　　　　　　　　　假期作业８　函数的单调性 ●[每日一语]　敏而好学,不耻下问． １．增函数、减函数的概念 设函数y＝f(x)的定义域为D,区间I⊆D． (１)如果对于区间I 上的任意两点x１ 和 x２,当x１＜x２ 时,都有f(x１)＜f(x２), 那么称函数y＝f(x)在区间I上是　　 　　,区间I称为函数y＝f(x)的增区 间．如图(１)所示． (２)如果对于区间I 上的任意两点x１ 和 x２,当x１＜x２ 时,都有f(x１)＞f(x２), 那么称函数y＝f(x)在区间I上是　　 　　,区间I称为函数y＝f(x)的减区 间,如图(２)所示． 　 图(１)　　　　　　　　图(２) ２．函数的单调性 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数 或减函数,那么称函数y＝f(x)在区间I 上具有　　　　,区间I称为　　　　． 增区间也称为单调增区间,减区间也称 为单调减区间． ３．利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤: 取值 任取x１,x２ ∈I,且x１ ＜x２ 作差 ↓ f(x１)－f(x２)(或f(x２)－f(x１)) 变形 ↓ 通过因式分解、配方、通分、分 母(分子)有理化等方法,向有 利于判断差的符号的方向变形 定号 ↓ 确定f(x１)－f(x２)(或f(x２) －f(x１))的正负,当正负不 确定时,需进行分类讨论 下结论 ↓ 指出函数f(x)在给定的区间 I上的单调性 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．函数y＝f(x)的图象如图所示,其增区 间是 (　　) A．[０,１]　　　　B．[－４,－３]∪[１,４] C．[－３,１] D．[－３,４] ２．函数y＝f(x)是(０,＋∞)上的减函数,且０ ＜x１＜x２,则下列选项不正确的是 (　　) A．f(x１)＞f(x２) B．f(x１)－f(x２)＞０ C．(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＜０ D．f (x１)－f(x２) x１－x２ ＞０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 ３．如图是函数y＝f(x)的图 象,其定义域为[－２,＋∞), 则函数f(x)的单调递减 区间是 (　　) A．[－１,０) B．[１,＋∞) C．[－１,０),[１,＋∞) D．[－１,０)∪[１,＋∞) ４．下列函数在区间(０,＋∞)上是减函数 的是 (　　) A．y＝２x＋１ B．y＝x２＋１ C．y＝３－x D．y＝x２＋２x＋１ ５．已知f(x)＝(３a－１)x＋b在(－∞,＋∞)上 是增函数,则a的取值范围是 (　　) A．(－∞,１３ ) B．(１３ ,＋∞) C．(－∞,１３ ] D．[１３ ,＋∞) ６．已知函数f(x)在区间[０,＋∞)上是增函 数,则f(２),f(π),f(３)的大小关系是 (　　) A．f(π)＞f(２)＞f(３) B．f(３)＞f(π)＞f(２) C．f(２)＞f(３)＞f(π) D．f(π)＞f(３)＞f(２) ７．已知函数f(x)＝８＋２x－x２,那么下列 结论正确的是 (　　) A．f(x)在(－∞,１]上是减函数 B．f(x)在(－∞,１]上是增函数 C．f(x)在[－１,＋∞)上是减函数 D．f(x)在[－１,＋∞)上是增函数 ８．下列四个函数中,在(０,＋∞)上单调递 增的是 (　　) A．f(x)＝３－x B．f(x)＝x２－３x C．f(x)＝２x D．f(x)＝１x ９．已知二次函数y＝x２－２ax＋１在区间 (２,３)内是单调函数,则实数a的取值范 围是 (　　) A．(－∞,２]∪[３,＋∞) B．[２,３] C．(－∞,－３]∪[－２,＋∞) D．[－３,－２] １０．函数f(x)＝|x－２|x 的单调递减区 间是 (　　) A．[１,２] B．[－１,０] C．[０,２] D．[２,＋∞) 二、填空题 １１．已知函数f(x)＝ ２x＋１,x≥１, ５－x,x＜１,{ 则f(x) 的单调递减区间是　　　　． １２．已 知 函 数 y＝ f(x)(x∈[－２, ６])的图象如图． 根据图象写出y＝f(x)的单调区间,增区 间为　　　　,减区间为　　　　． １３．若函数f(x)在R上为增函数,且f(x－ ２)＜f(３),则x的取值范围为　　　． １４．函数y＝２ x－１的单调增区间为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 三、解答题 １５．证明函数f(x)＝３x＋２在(－∞,＋∞) 上是增函数． １６．证明函数f(x)＝１x 在区间(０,＋∞)上 是减函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 柯召 　　柯召(１９１０年４月１２日~２００２年１１月８日),字惠棠,浙江温岭人,数学家、中国 科学院资深院士、被称为中国近代数论的创始人、二次型研究的开拓者、一代数学宗师． １９３３年(中华民国二十二年)毕业于清华大学,１９３７年(民国二十六年)获英国曼彻 斯特大学博士学位,１９５０年加入九三学社,１９５５年当选为中国科学院院士． 柯召主要从事数论、组合论和代数的研究．在数论方面,在表二次型为线性型平方 和的研究上取得一系列重要成果;在不定方程方面,突破了１００多年来未能解决的卡塔 兰猜想的二次“幂”情形,获一系列重要结果,被国际上誉为“柯氏定理”,创造的方法至 今仍被广泛引用;在组合论方面,柯召与 Erd_s、拉多合作的关于有限集合的工作,即 “Erd_sＧ柯Ｇ拉多定理”,开辟了极值集论迅速发展的道路． 􀅰０２􀅰 (３)因为a＞０,所以f(a),f(a－１)有意义． f(a)＝ a＋３＋ １a＋２ ;f(a－１)＝ a－１＋３＋ １ a－１＋２＝ a＋２＋ １ a＋１． １６．解:(１)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的 图象(图１)． 图１ (２)由图１中函数取值的情况,结合函数 M(x)的定 义,可得函数 M(x)的图像(图２)． 图２ 由(x＋１)２＝x＋１,得x(x＋１)＝０．解得x＝－１或x ＝０． 结合图２,得出函数 M(x)的解析式为 M(x)＝ (x＋１)２,x≤－１, x＋１,－１＜x≤０, (x＋１)２,x＞０． ì î í ï ï ïï 假期作业８ 知识梳理 １．(１)增函数　(２)减函数 ２．单调性　单调区间 素养提升 １．C　[函数图象在区间[－３,１]上是上升的,故其增区 间是[－３,１]．故选C．] ２．D　[A,B选项,y＝f(x)是(０,＋∞)上的减函数,且 ０＜x１＜x２,故f(x１)＞f(x２),则f(x１)－f(x２)＞０, A,B正确;C,D选项,因为x１－x２＜０,f(x１)－f(x２) ＞０,所 以 (x１ －x２)[f (x１)－f (x２)]＜０, f(x１)－f(x２) x１－x２ ＜０,C正确,D错误．] ３．C　[若函数单调递减,则对应图象呈下降趋势,则由 题图知,f(x)的单调递减区间为[－１,０),[１,＋∞), 故选C．] ４．C　[函数y＝３－x 在区间(０,＋∞)上是减函数．A, B,D中的函数在(０,＋∞)上是增函数,故选C．] ５．B　[f(x)＝(３a－１)x＋b为增函数,应满足３a－１＞０,即 a＞１３ ,故选B．] ６．D　[因为函数f(x)在区间[０,＋∞)上是增函数,并 且π＞３＞２,所以f(π)＞f(３)＞f(２),所以 D选项是 正确的．故选 D．] ７．B　[由二次函数f(x)＝８＋２x－x２＝－(x－１)２＋９ 的图象知B对,故选B．] ８．C　[根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 可知:f(x)＝３－x,f(x)＝１x 在(０,＋∞)上均单调递 减;f(x)＝x２ －３x 在 ０,３２( ] 上 单 调 递 减,在 ３ ２ ,＋∞[ ) 上单调递增;f(x)＝２x 在(０,＋∞)上单 调递增．] ９．A　[由题意知,当－－２a２ ≤２ 或－－２a２ ≥３ ,即a≤２ 或a≥３时,满足题意．故选 A．] １０．A　[f(x)＝|x－２|x＝ (x－２)x,x≥２, (２－x)x,x＜２．{ 作出此函数的图象如图所示 观察图象可知,f(x)＝|x－２|x 的单调递减区间是 [１,２]．] １１．解析:当x≥１时,f(x)是增函数,当x＜１时,f(x)是 减函数,所以f(x)的单调递减区间为(－∞,１) 答案:(－∞,１) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 １２．解析:由图象可知f(x)在[－２,６]上的递增区间为 [－２,－１]和[２,６],减区间为[－１,２]． 答案:[－２,－１]和[２,６]　[－１,２] １３．解析:因为函数f(x)是R上的增函数,且f(x－２)＜ f(３), 所以x－２＜３,解得x＜５． 所以x的取值范围为{x|x＜５}． 答案:(－∞,５) １４．解析:由x－１≥０,得函数的定义域为[１,＋∞)． 令u＝x－１(x≥１),则y＝２ u． 因为函数u＝x－１在[１,＋∞)上为增函数,函数y ＝２ u在[０,＋∞)上为增函数． 所以函数y＝２ x－１的单调增区间为[１,＋∞)． 答案:[１,＋∞)(或(１,＋∞)) １５．证明:任取x１,x２∈(－∞,＋∞),且x１＜x２, 则f(x１)－f(x２)＝(３x１＋２)－(３x２＋２)＝３(x１－ x２), ∵x１＜x２,∴x１－x２＜０, ∴f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２)． 所以函数f(x)＝３x＋２在区间(－∞,＋∞)上是增 函数． １６．证明:任取x１,x２∈(０,＋∞),且x１＜x２, 则f(x１)－f(x２)＝ １ x１ －１x２ ＝ x２－x１ x１x２ , ∵０＜x１＜x２,∴x２－x１＞０,x１x２＞０, ∴f(x１)－f(x２)＞０,即f(x１)＞f(x２)． 所以函数f(x)＝１x 在区间(０,＋∞)上是减函数． 假期作业９ 知识复盘 １．f(－x)＝f(x)　y轴 ２．f(－x)＝－f(x)　原点 ４．相同　相反 素养提升 １．A　[因为一个奇函数的定义域为{－１,２,a,b},奇函 数的定义域关于原点对称,所以a与b中一个等于１, 一个等于－２,所以a＋b＝１＋(－２)＝－１．故选 A．] ２．D　[选项 A 中函数的定义域不关于原点对称,故函 数为非奇非偶函数;y＝x２＋x 为非奇非偶函数;y＝ x３ 为奇函数;y＝x２,x∈[－１,０)∪(０,１]的定义域关 于原点对称且满足f(－x)＝f(x),则函数f(x)为偶 函数,故选 D．] ３．C　[因为f(x)是定义在R上的偶函数且f(１)＝１, 所以f(－１)＝f(１)＝１,故选C．] ４．B　[由题意,x∈R,f(－x)＝(－x)２＝x２＝f(x),即 函数为偶函数．故选B．] ５．A　[f(x)的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞),关于原 点对称．又f(－x)＝(－x)３＋ １－x＝－x ３－ １x ＝ －(x３＋１x )＝－f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于 原点对称．故选 A．] ６．D　[由 题 知,函 数f(x)为 奇 函 数,所 以f(－１)＝ －f(１)．将x＝１代入解析式f(x)＝x２＋１x ,得f(１) ＝１２＋１１＝２ ,故f(－１)＝－f(１)＝－２．] ７．A　[由 题 意,定 义 在 [m－５,１－２m]上 的 奇 函 数 f(x),可得m－５＝－(１－２m),解得m＝－４, 又由当x＞０ 时,f(x)＝x２－２x,所 以 f(－４)＝ －f(４)＝－(４２－２×４)＝－８．故选 A．] ８．D　[A中的函数的定义域关于原点不对称,不具有奇 偶性,故排除;B中的函数为偶函数,但在(０,＋∞)上 单调递减,故排除;C中的函数是奇函数,故排除;D中 的函数是偶函数,且在(０,＋∞)上单调递增．] ９．B　[由于奇函数的图象关于原点成中心对称,故奇函 数的图象在对称区间上具有相同的单调性,且一侧的 最小值对应另一侧的最大值,故选B．] １０．D　[由题意可得,函数f(x)在[－５,０]上也是单调 函数,再根据f(－４)＜f(－２),可得函数f(x)在 [－５,０]上是单调增函数,故函数f(x)在[０,５]上是 单调减函数,故f(０)＞f(１)．] １１．解析:①中不满足偶函数定义中的任意性,因此①错 误;② 中 由 f(x)＋f(－x)＝０ 可 知f(－x)＝ －f(x),因此 f(x)是 D 上 的 奇 函 数,② 正 确;当 f(－２)≠f(２)时,函数f(x)一定不是偶函数,故③正 确;④中若满足f(－２)＝f(２)＝０,此时函数可能是奇函 数,因此④正确． 答案:②③④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰