专题06 平面向量（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题06 平面向量 平面向量的基本定理 1．（21-22高三上·北京东城·期末）已知点不共线，为实数，，则“”是“点在内（不含边界）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高三上·北京大兴·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 平面向量的平行与垂直 4．（21-22高三上·北京·期末）已知平面向量，，且，则实数 . 5．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知向量，且，则实数 . 6．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 7．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知向量，且，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·北京石景山·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高三上·北京大兴·期末）设向量，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（21-22高三上·北京房山·开学考试）已知向量，，则 ；若，则实数的值是 ． 12．（21-22高三上·北京东城·期末）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 平面向量的数量积 13．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 14．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知向量，，满足，，且，则（        ） A．-1 B．0 C．1 D．2 15．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在上． 若是坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高三上·北京东城·期末）已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（21-22高三上·北京顺义·期末）如图，△，△是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，，则（ ） A． B． C． D．大小不能确 18．（21-22高三上·北京·期末）在平行四边形中，，，，为的中点，则 （　　） A． B． C． D． 19．（21-22高三上·北京密云·期末）已知直线过定点，圆，若直线与圆相切于点，则的值为 ；使得直线与圆相交的的取值可以是 （写出一个即可）． 20．（21-22高三上·北京门头沟·期末）在梯形中，，，，，是的中点，则= 平面向量的夹角 21．（23-24高三上·北京房山·期末）已知向量，，且与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高三上·北京·期末）已知向量，则“与夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（21-22高三上·北京顺义·期末）已知，且则向量夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 平面向量的模 24．（21-22高三上·北京·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D．8 25．（21-22高三上·北京·期末）已知向量、，，，，则 . 26．（23-24高三上·北京西城·期末）设，是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（21-22高三上·北京·期末）已知平面向量，，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 28．（21-22高三上·北京昌平·期末）在四边形中，，，，则该四边形的面积是（    ） A． B． C．10 D．20 平面向量的投影与投影向量 29．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知向量，满足，在方向上的投影为2，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 30．（21-22高三上·北京房山·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为.从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则 ；的最大值为 平面向量的坐标运算 31．（21-22高三上·北京朝阳·期末）在直角坐标平面内，为坐标原点，已知点，将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高三上·北京通州·期末）已知向量，满足，，则等于（    ） A． B．13 C． D．29 33．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知点，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 ；点到直线的距离为 . 34．（23-24高三上·北京丰台·期末）矩形中，，，且分为的中点，则 ． 35．（21-22高三·北京·期末）在矩形中，若，，且，则的值为 ，的值为 . 36．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知正六边形的边长为．那么 ．若，则 ． 平面向量的最值与范围 37．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 38．（22-23高三·北京顺义·期末）已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 39．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高三上·北京通州·期末）在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高三上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（22-23高三上·北京西城·期末）在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（22-23高三上·北京房山·期末）在中，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．（21-22高三上·北京·期末）在中，，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 46．（21-22高三上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（22-23高三上·北京海淀·期末）设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上.则的渐近线方程是 ；的取值范围是 . 48．（21-22高三上·北京通州·期末）已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为 ，的最小值为 ． 49．（21-22高三上·北京海淀·期末）若，且，则 ，的最大值为 . 50．（21-22高三上·北京顺义·期末）已知单位向量满足，则与夹角的大小为 ；的最小值为 . 1．（22-23高三上·北京东城·期末）在中，“对于任意，”是“为直角三角形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知向量满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京朝阳·期末）在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·北京海淀·期末）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（    ） A． B．12 C． D．3 5．（23-24高三上·北京大兴·期末）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 ；若是圆上的动点，则的取值范围是 .    6．（21-22高三上·北京丰台·期末）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”．已知不同三点，，满足，给出下列四个结论： ①，，三点可能共线． ②，，三点可能构成锐角三角形． ③，，三点可能构成直角三角形． ④，，三点可能构成钝角三角形． 其中所有正确结论的序号是 ． 7．（21-22高三上·北京海淀·期末）有一个矩形纸片，，，E，F满足，，P，Q分别为线段，上的动点，且始终满足，若沿，将长方形纸片折起，能使与重合，折成一个三棱柱，则的取值范围是 ；三棱柱体积最大值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面向量 平面向量的基本定理 1．（21-22高三上·北京东城·期末）已知点不共线，为实数，，则“”是“点在内（不含边界）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用向量共线的推论及充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】若，且，可知三点共线， 若，点在内部（不含边界），则； 反之不成立，例如时，此时在外部， 所以“”是“点在内（不含边界）”的必要不充分条件， 故选：B. 2．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性. 【详解】当，且时， ，充分性满足； 当时， ，当，时， 是可以大于零的， 即当时，可能有，，必要性不满足， 故“，且”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3．（22-23高三上·北京大兴·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将用表示出来，求出，的值，即可求解． 【详解】由题意可得， 因为是平行四边形，所以，所以，所以， 因为，所以， 则． 故选:D 平面向量的平行与垂直 4．（21-22高三上·北京·期末）已知平面向量，，且，则实数 . 【答案】 【解析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，进而可求得的值. 【详解】已知平面向量，，且，所以，，解得. 故答案为：. 5．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知向量，且，则实数 . 【答案】 【解析】根据，由利用坐标运算求解. 【详解】因为向量，且， 所以， 解得， 故答案为：-1 6．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解. 【详解】已知向量,,所以， 因为与共线，所以，解得：. 故选：C 7．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知向量，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的数量积为0，结合二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由可得，即. 故选：B 8．（23-24高三上·北京石景山·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，利用即可得出的值. 【详解】由题意，， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：B. 9．（23-24高三上·北京大兴·期末）设向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数乘公式和模的公式代入即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以. 故选：D 10．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由可求出，再由充分性和必要性的定义即可得出答案. 【详解】若，则，解得：. 所以，而推不出. 故“”是“”的充分而不必要条件 故选：A. 11．（21-22高三上·北京房山·开学考试）已知向量，，则 ；若，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】利用向量模的坐标运算求，由向量线性运算的坐标表示求的坐标，再根据向量垂直的坐标表示，列方程求参数x即可. 【详解】由题设，，又， 由得：，即，可得. 故答案为：，. 12．（21-22高三上·北京东城·期末）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】因为，故即， 因为，是两个不共线向量，故与的夹角为锐角. 故“与的夹角为锐角”是“”的必要条件. 若与的夹角为，且，故， 所以，故即不垂直. “与的夹角为锐角”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 平面向量的数量积 13．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 【答案】 【分析】根据网格，利用平面向量的数量积运算求解. 【详解】由网格知：， 所以， 又， 所以， 所以， 故答案为：0，-2 14．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知向量，，满足，，且，则（        ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】求出的模，利用即可求出的值. 【详解】由题意， ，，且， ∴， ， 解得：， 故选：C. 15．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在上． 若是坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合抛物线第一定义求出坐标，再由向量数量积公式即可求解. 【详解】由可知，点，由得，故，所以. 故选：A 16．（23-24高三上·北京东城·期末）已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】非零向量，，满足，且， 对于A，不恒为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，不恒为，故C错误； 对于D，不恒为，故D错误. 故选：B. 17．（21-22高三上·北京顺义·期末）如图，△，△是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，，则（ ） A． B． C． D．大小不能确 【答案】B 【分析】构建直角坐标系，根据题意设，，，，，，再应用向量数量积的坐标运算求m、n，即可比较大小. 【详解】构建如下图示的直角坐标系，令，，，， 所以，可设，，且，， 则，， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，设点坐标，应用向量数量积的坐标运算求m、n的值或范围，比较它们的大小. 18．（21-22高三上·北京·期末）在平行四边形中，，，，为的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出图形，利用、表示向量、，然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值. 【详解】如下图所示： 由题意可得，， ，，， ， 因此，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是利用合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题. 19．（21-22高三上·北京密云·期末）已知直线过定点，圆，若直线与圆相切于点，则的值为 ；使得直线与圆相交的的取值可以是 （写出一个即可）． 【答案】 16 4（答案不唯一） 【分析】利用数量积的定义及圆的性质可得，然后利用切线长公式即得. 【详解】由直线，可知定点， 圆，得，圆心，半径为1， ∴，又直线与圆相切于点， 则AP⊥CP,, ∴， 当在直线上时，直线与圆相交，此时，即， 故答案为：16；4（答案不唯一）. 20．（21-22高三上·北京门头沟·期末）在梯形中，，，，，是的中点，则= 【答案】14 【分析】把看成基底，将用基底表示，然后利用数量积运算律求解即可 【详解】因为是的中点， 所以， 因为，，， 所以 ， 故答案为：14 求两个向量的夹角 21．（23-24高三上·北京房山·期末）已知向量，，且与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出，然后根据求解出的值. 【详解】因为，， 所以，所以， 解得或（舍去）， 故选：B. 22．（22-23高三上·北京·期末）已知向量，则“与夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先求与夹角为锐角时，的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项. 【详解】当，解得：， 且当时，，解得：， 所以“与夹角为锐角时，的取值范围是且， 所以“与夹角为锐角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 23．（21-22高三上·北京顺义·期末）已知，且则向量夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的垂直关系及模长可得，即可求夹角的余弦值.. 【详解】由题设，， 所以. 故选：A 平面向量的模 24．（21-22高三上·北京·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】先应用向量垂直数量积为0求参，再根据模长公式求模长即可. 【详解】因为所以,所以, 因为，所以. 故选：A. 25．（21-22高三上·北京·期末）已知向量、，，，，则 . 【答案】 【分析】由可得出的值，计算出的值，即可求得的值. 【详解】由已知条件可得，则， 所以，，因此，. 故答案为：. 26．（23-24高三上·北京西城·期末）设，是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据数量积的定义，结合，利用充分、必要条件的定义，结合不等式性质进行分析判定. 【详解】若成立，则，所以充分性成立， 若成立，即, 等价于（因为）， 当，时，满足则，但， 故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 27．（21-22高三上·北京·期末）已知平面向量，，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值． 【详解】由平面向量，可得， 由，可得，即，则， 所以. 故选：C． 28．（21-22高三上·北京昌平·期末）在四边形中，，，，则该四边形的面积是（    ） A． B． C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据向量垂直求得,进而得,, 【详解】解:因为，，, 所以,解得, 所以,, 所以该四边形的面积是 故选:C 平面向量的投影与投影向量 29．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知向量，满足，在方向上的投影为2，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到投影，得出和，即可得到的最小值. 【详解】因为在方向上的投影为2，所以. 所以，且. 因为， 所以. 故选：C 30．（21-22高三上·北京房山·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为.从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则 ；的最大值为 【答案】 0 4 【分析】由图可知与是垂直关系，即可得；由图可知，要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果． 【详解】由图可知与是垂直关系，所以； 由题意可知：则， 所以要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大， 由图形可知：当向量时，向量在向量上的投影最大， 即. 即的最大值为． 故答案为：；． 平面向量的坐标运算 31．（21-22高三上·北京朝阳·期末）在直角坐标平面内，为坐标原点，已知点，将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平面向量模长的坐标计算公式即可求出结果. 【详解】设，且，则 所以，解得， 则， 故选：B. 32．（22-23高三上·北京通州·期末）已知向量，满足，，则等于（    ） A． B．13 C． D．29 【答案】C 【分析】先求得向量，，进而求得. 【详解】依题意，， 两式相加得， 所以， 所以. 故选：C 33．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知点，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 ；点到直线的距离为 . 【答案】 / 【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式以及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意，所以， 而直线的表达式为，即所以点到直线的距离为. 故答案为：，. 34．（23-24高三上·北京丰台·期末）矩形中，，，且分为的中点，则 ． 【答案】/-1.75 【分析】以为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标表示求解即可. 【详解】以为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系， ， 所以， . 故答案为：. 35．（21-22高三·北京·期末）在矩形中，若，，且，则的值为 ，的值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，利用坐标法求出、，即可求出的值，最后利用坐标法求出平面向量数量积. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则，，，， 因为，所以， 所以，，， 所以，，因为， 所以，解得或（舍去）， 所以，，所以. 故答案为：； 36．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知正六边形的边长为．那么 ．若，则 ． 【答案】 4 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，根据正六边形，分别求得点A，B，D，F的坐标，利用平面向量的数量积和线性运算求解. 【详解】以A为原点，建立如图所示平面直角坐标系：    则， 所以， 所以，， 因为， 所以， 解得， 所以 故答案为：，4 平面向量的最值与范围 37．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，设出，，，，表达出，结合的范围求出最小值. 【详解】如图所示：不妨令，设，， 由于，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：C 38．（22-23高三·北京顺义·期末）已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可设，，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得. 【详解】因为点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点， 则，设，， 所以， 所以， 即的最小值为 故选：D. 【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法 一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解； 二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积. 39．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解. 【详解】设，如图所示： 则， 因为与的夹角为120°， 所以， 因为，且的起点相同， 所以其终点共线，即在直线AB上， 所以当时，最小，最小值为，无最大值， 所以的取值范围为， 故选；A 40．（23-24高三上·北京通州·期末）在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可求得，根据向量积即可知. 【详解】如图所示：当点与点重合时，此时最长， 易知，且相似比为， ，在中，由余弦定理得： ， 所以，此时满足，所以， 所以，此时， 由图可知，， 则. 故选：B. 41．（23-24高三上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，再利用圆上点到定点距离的最值求法可得结果. 【详解】设，易知， 由可得，整理得， 即动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又，可得的最大值为到圆心的距离再加上半径， 即. 故选：D 42．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】设，因点的坐标为，所以， 则， 设，即， 依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围， 即圆心到的距离，解得， 所以的取值范围为， 故选：D. 43．（22-23高三上·北京西城·期末）在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系， 则，直线所在直线方程为， 设，，则，， ， 当时，，当时，， 故其取值范围为， 故选：B. 44．（22-23高三上·北京房山·期末）在中，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用余弦定理可求得，根据向量数量积定义可得，利用三角形三边关系可求得的范围，结合二次函数性质可求得结果. 【详解】设，则， 由余弦定理得：， ； ，，， 即的取值范围为. 故选：D. 45．（21-22高三上·北京·期末）在中，，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先将平方后，利用二次函数的性质求出最值. 【详解】，，且 ， 当时，取得最小值为，则取得最小值为. 故选：A. 46．（21-22高三上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据直线与曲线都关于原点对称，得到，关于点B对称，则，即为，然后将问题转化为点B到直线的距离不大于1求解. 【详解】因为直线与曲线都关于原点对称，且都过原点， 所以为原点，，关于点B对称， 因为直线：（）上存在点满足， 所以， 则点B到直线的距离不大于1， 即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D 47．（22-23高三上·北京海淀·期末）设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上.则的渐近线方程是 ；的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程的关系可写出双曲线的渐近线方程；求出的取值范围，可得出，结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】在双曲线中，，，，则， 所以，双曲线的渐近线方程为， 直线的倾斜角为，由题意可知，则， 所以，. 故答案为：；. 48．（21-22高三上·北京通州·期末）已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】直接利用向量数量积的定义求解的值，由已知条件可得，配方后可求得其最小值 【详解】因为平面向量，的夹角为120°，且，， 所以， ， 所以当时，的最小值为， 故答案为： ， 49．（21-22高三上·北京海淀·期末）若，且，则 ，的最大值为 . 【答案】 2 【分析】由即可求，结合已知条件可得在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，应用数形结合法判断的最大时的位置，即可确定最大值. 【详解】由，可得， 由题设，在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，若，如下图示， ∴，要使的最大，只需共线，在上的投影最短， 由图知：共线时，的最大为. 故答案为：2，. 【点睛】关键点点睛：由已知条件将向量转化为图形形式，数形结合法分析的最大时动点的位置，即可求最大值. 50．（21-22高三上·北京顺义·期末）已知单位向量满足，则与夹角的大小为 ；的最小值为 . 【答案】 【解析】（1）利用向量夹角公式求解；（2）根据向量模的公式，展开后利用二次函数求最小值. 【详解】（1），， ，； （2） ， 当时，取得最小值，的最小值是. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是熟练掌握向量模的公式，并正确运用数量积的运算公式计算结果. 1．（22-23高三上·北京东城·期末）在中，“对于任意，”是“为直角三角形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】设，根据平面向量的运算可得，从而可得；若为直角三角形，不一定有，根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】设，则， 所以即为， 所以是边上的高，即,即, 故为直角三角形. 若为直角三角形，不一定有，故不一定有. 所以“对于任意，”是“为直角三角形”的充分而不必要条件. 故选:A. 2．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知向量满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把平移到共起点以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，求出的坐标，则根据得的终点得轨迹，根据 的意义求解最大值. 【详解】把平移到共起点，以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，见下图，设，则 又则点的轨迹为以为直径的圆，又因为所以故以为直径的圆为，所以的最大值就是以为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为 故选：C 3．（23-24高三上·北京朝阳·期末）在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果. 4．（22-23高三上·北京海淀·期末）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（    ） A． B．12 C． D．3 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出，分别表达出和，即可计算出的最大值 【详解】解：由题意 建立平面直角坐标系如下图所示： 则，，， ∵圆（后轮）的半径为 ∴圆 设 ∴， ∴ 当即，时最大， ∴最大值为 故选：A. 5．（23-24高三上·北京大兴·期末）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 ；若是圆上的动点，则的取值范围是 .    【答案】 1 【分析】根据正六边形的性质即可求解空1，利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求解. 【详解】取中点为， 由于正六边形的边长为2，所以, 因此到线段的距离为, 建立如图所示的直角坐标系，则, ， ， 由于, 故， 故答案为：1；    6．（21-22高三上·北京丰台·期末）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”．已知不同三点，，满足，给出下列四个结论： ①，，三点可能共线． ②，，三点可能构成锐角三角形． ③，，三点可能构成直角三角形． ④，，三点可能构成钝角三角形． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】设，，，利用新定义分别表示出、、， 利用结合绝对值三角不等式可得出且，所以，即可得，可得正确答案. 【详解】设，，， 由题意可得：， ， ， 由可得： ， 由绝对值三角不等式可得： ， ， 当且仅当且时等号成立， 所以， 所以，所以， 所以， 所以，，三点可能共线，可能构成直角三角形，可能构成钝角三角形， 所以①③④正确， 下面各举一例： ，，时，，三点共线； ，，时是直角三角形； ，，时是钝角三角形； 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用绝对值三角不等式可以得出 成立的条件为且，再转化为 ，属于难题. 7．（21-22高三上·北京海淀·期末）有一个矩形纸片，，，E，F满足，，P，Q分别为线段，上的动点，且始终满足，若沿，将长方形纸片折起，能使与重合，折成一个三棱柱，则的取值范围是 ；三棱柱体积最大值是 ． 【答案】 【分析】设，根据题意分析可得另外两边长为和，利用两边之和大于第三遍可得的取值范围；利用海伦公式求出三棱柱的底面积，根据二次函数知识求出底面积的最大值，可得体积的最大值. 【详解】因为，所以是线段上靠近的一个四等分点，所以 因为，所以是线段上靠近的一个四等分点，所以， 因为，所以，， 在三棱柱的底面中，设，则另外两边长为和， 则，解得，即的取值范围是， 三棱柱的底面半周长， 根据海伦公式可得三棱柱的底面积 ， 所以当时，底面积取得最大值为. 所以三棱柱的体积的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：利用海伦公式求出底面积是解题关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$