专题03 圆锥曲线的方程（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题03 圆锥曲线的方程 一、题型归纳 二、经典基础题 题型一：方程与简单几何性质 1．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广西北海市·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西桂林市·期末）椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（22-23高二上·广西防城港市·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广西百色市·期末）设双曲线（）的虚轴长为2，焦距为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）若点在抛物线上，则该抛物线的方程为 7．（23-24高二上·广西桂林市·期末）（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率 B．的渐近线方程为 C．的焦距为 D．的焦点到渐近线的距离为 8．（23-24高二上·广西百色市·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是2 B．抛物线的焦点是 C．等轴双曲线的离心率是 D．不是圆方程 9．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）（多选）关于x，y的方程表示的曲线可以是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 10．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 12．（23-24高二上·广西北海·期末）（多选）已知方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件 B．“”是“曲线C为椭圆”的充要条件 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 13．（23-24高二上·广西贵港市·期末）（多选）已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（    ） A． B． C． D． 题型二：定义的应用 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 3．（23-24高二上·广西平果市·期末）设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（    ） A．13 B．16 C．20 D． 4．（22-23高二上·广西防城港市·期末）已知点在椭圆上，点分别为椭圆的左､右焦点，并满足面积等于4，则等于（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 题型三：离心率问题 1．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知双曲线()，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知点是椭圆上的两点.且直线恰好平分圆，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 4．（23-24高二上·广西贵港市·期末）如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 5．（23-24高二上·广西北海市·期末）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为 ．   6．（23-24高二上·广西桂林市·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为 . 7．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：焦点弦及弦长问题 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 . 2．（23-24高二上·广西贵港市·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 三、优选能力题 题型一： 最值问题 1．（22-23高二上·广西防城港市·期末）已知点和抛物线，抛物线的焦点为为抛物线上的动点，则的最小值是 . 2．（23-24高二上·广西北海市·期末）已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则（    ） A．2 B．13 C．6 D． 题型二：实际应用 1．（23-24高二上·广西北海市·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 .    题型三： 圆锥曲线的综合 1．（22-23高二上·广西贵港市·期末）（多选）已知双曲线的右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．若以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2 2．（22-23高二上·广西防城港市·期末）（多选）已知是椭圆上一点，是左､右焦点，下列选项中正确的是（    ） A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率 C． D．的面积的最大值是2 3．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是2 C．若点的坐标为，则的最小值为2 D．若为线段中点，则的坐标可以是 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 5．（23-24高二上·广西北海市·期末）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的一点，且满足为坐标原点，线段的中点为，直线与双曲线交于另一点，与双曲线的另一条渐近线相交于点．则（    ） A． B．点的坐标为 C．是的中点 D．是的中点 6．（22-23高二上·广西防城港市·期末）（多选）抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则下列说法一定正确的是（    ） A．的最小值为4 B．线段为直径的圆与直线相切 C．为定值 D．若，则 题型四：解答题 1．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长. 2．（23-24高二上·广西桂林市·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点.(1)求的焦点坐标及准线方程；(2)求的面积. 3．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知过抛物线的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)抛物线的准线与x轴交于点，过点的直线l交抛物线于M，N两点，当时，求直线l的方程. 4．（23-24高二上·广西北海市·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值． 5．（23-24高二上·广西南宁市·期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 6．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 7．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由. 8．（23-24高二上·广西贵港市·期末）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆和双曲线的离心率；(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：． 9．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知的周长为，其中点，.(1)求点C的轨迹方程；(2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围. 10．（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，直线与直线平行.过点且斜率为的直线与相交于、两点.(1)求的方程；(2)记直线、的斜率分别为、，求的最小值. 11．（23-24高二上·广西南宁市·期末）如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且.  (1)求动点Q的轨迹方程；(2)直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆锥曲线的方程 一、题型归纳 二、经典基础题 题型一：方程与简单几何性质 1．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知抛物线焦点在轴上，且，∴，所以焦点为.故选：B. 2．（23-24高二上·广西北海市·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的标准方程为，所以所求准线方程为.故选：D 3．（23-24高二上·广西桂林市·期末）椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】由椭圆知，，即，所以椭圆的长轴长为.故选：D 4．（22-23高二上·广西防城港市·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的焦点在轴，所以它的渐近线方程为，故A，B，C错误.故选D. 5．（23-24高二上·广西百色市·期末）设双曲线（）的虚轴长为2，焦距为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：因为该双曲线的虚轴长为2，焦距为，所以，解得，所以该双曲线方程为，故渐近线方程为：，故选:A. 6．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）若点在抛物线上，则该抛物线的方程为 【答案】 【详解】由在上，代入可得，即抛物线的方程为.故答案为：. 7．（23-24高二上·广西桂林市·期末）（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率 B．的渐近线方程为 C．的焦距为 D．的焦点到渐近线的距离为 【答案】ABD 【详解】对于双曲线，，，， 对于A选项，的离心率，A对； 对于B选项，的渐近线方程为，即，B对； 对于C选项，的焦距为，C错； 对于D选项，的焦点到渐近线的距离为，D对. 故选：ABD. 8．（23-24高二上·广西百色市·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是2 B．抛物线的焦点是 C．等轴双曲线的离心率是 D．不是圆方程 【答案】CD 【详解】椭圆两焦点在轴上，由可得长轴长是，A选项错误； 抛物线的图像开口向右，焦点坐标是，B选项错误； 等轴双曲线，，即，所以等轴双曲线的离心率，C选项正确； ，所以不是圆方程，D选项正确. 故选：CD. 9．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）（多选）关于x，y的方程表示的曲线可以是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】ABD 【详解】由题意得：对于方程， ①当时，方程即，表示圆； ②当时，方程即，即，表示y轴； ③当且时，方程即， 若，方程表示双曲线；若且，方程表示椭圆. 综合可得：方程不可能是抛物线. 故选：ABD. 10．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，即.故选：D. 11．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】方程表示双曲线，因为恒成立，所以，解得，故选：A． 12．（23-24高二上·广西北海·期末）（多选）已知方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件 B．“”是“曲线C为椭圆”的充要条件 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】AD 【详解】对于A选项，若方程表示的曲线为双曲线，则，解得或，故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件，A正确； 对于B选项，若曲线C表示为椭圆，则，可得且， B错误； 对于C选项，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，有，可得， C错误； 对于D选项，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，有，可得， D正确． 故选：AD． 13．（23-24高二上·广西贵港市·期末）（多选）已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，所以曲线为，直线为， 当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确． 故选：BD． 题型二：定义的应用 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A中，由，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确； 对于B中，由，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确； 对于C中，由，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确； 对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确. 故选：B. 2．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】椭圆，则，所以，因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.故选：D 3．（23-24高二上·广西平果市·期末）设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（    ） A．13 B．16 C．20 D． 【答案】B 【详解】由椭圆的定义，，焦距，所以的周长为.故选：B 4．（22-23高二上·广西防城港市·期末）已知点在椭圆上，点分别为椭圆的左､右焦点，并满足面积等于4，则等于（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】如图所示，由条件可知三点共圆.且以为直径.故.设，则，解得.因为点在椭圆上，所以，联立以上式子可解得：，故选：C. 5．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】抛物线的焦点，准线，过点作，垂足为，由，得，于是，设，则，解得， 所以的面积.故选：B 题型三：离心率问题 1．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知双曲线()，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由于，因此点A到渐近线距离为，其中一条渐近线方程为，所以有，可得.故选：C. 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，又因为，且分别为，的中点，所以,所以到渐近线的距离为，所以，，结合，可得：① 因为，所以即，整理得：，将①代入，，所以.故选：C. 3．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知点是椭圆上的两点.且直线恰好平分圆，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】设，.则，两式相减得，所以. 因直线恰好平分圆，则，则，.因为， 所以，即.所以椭圆的离心率为. 4．（23-24高二上·广西贵港市·期末）如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可设，则，由对称性知，由题可知，则，由椭圆的定义知，则，在中，，则，整理得，故的离心率为.故选：D. 5．（23-24高二上·广西北海市·期末）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为 ．   【答案】 【详解】设，则由条件及椭圆的定义可知：，在中，根据余弦定理可知，解之得或（舍去），则，即 ，解之得.故答案为： 6．（23-24高二上·广西桂林市·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为 . 【答案】 【详解】由题意，，即，可设，，，由，则，即，，在中，，则.故答案为：. 7．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，如图，  由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，于是，解得，，在中，，显然，解得，所以的离心率的取值范围是.故选：B 题型四：焦点弦及弦长问题 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 . 【答案】， 【详解】直线经过椭圆的左焦点，则，的周长为，解得，故，椭圆的短轴长为，由，得， .故答案为：；.    2．（23-24高二上·广西贵港市·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】设，，则，两式作差得，，当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；当时，得．设线段中点，因为坐标，且过焦点，所以，则的斜率，解得．故选：A. 三、优选能力题 题型一： 最值问题 1．（22-23高二上·广西防城港市·期末）已知点和抛物线，抛物线的焦点为为抛物线上的动点，则的最小值是 . 【答案】6 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，，当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，且最小值为．故答案为：. 2．（23-24高二上·广西北海市·期末）已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则（    ） A．2 B．13 C．6 D． 【答案】C 【详解】如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为，设横坐标分别为，则，，易知，则，即的最小值为，设，， 联立抛物线得，即， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立，故.故选：C 题型二：实际应用 1．（23-24高二上·广西北海市·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 .    【答案】 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：   设抛物线方程为，由题意可得：因为桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，所以在抛物线上，所以解得，所以抛物线方程为当水面上升后，不妨设由图可知则，解得，所以，所以当水面上升后，桥洞内水面宽为.故答案为：. 题型三： 圆锥曲线的综合 1．（22-23高二上·广西贵港市·期末）（多选）已知双曲线的右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．若以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2 【答案】BD 【详解】如图所示，设双曲线的左顶点为，因为以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，可得为等腰直角三角形，又因为过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，可得，所以，因为，所以，解得，所以双曲线的离心率为，所以D正确；由，可得双曲线的渐近线方程为，所以B正确．故选：BD.    2．（22-23高二上·广西防城港市·期末）（多选）已知是椭圆上一点，是左､右焦点，下列选项中正确的是（    ） A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率 C． D．的面积的最大值是2 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以椭圆的焦距为，故A错误； 对于B，椭圆的离心率为，故B正确；对于C，由椭圆的定义可得，故C正确； 对于D，设，则，所以，即的面积的最大值是2，故D正确.故选：BCD． 3．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是2 C．若点的坐标为，则的最小值为2 D．若为线段中点，则的坐标可以是 【答案】BD 【详解】由题意，故A错误；焦点到准线的距离是，B正确；对于，过点作垂直于准线，垂足为，则，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故C错误；对于D，假设的坐标是，设，则，由，两式相减得，即，所以，即，所以直线的方程为，即，将代入得，所以直线过点，符合题意，所以的坐标可以是，故D正确.故选：BD. 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 【答案】ABD 【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，则， 将代入，则，解得，则，， 由，则，即，将其代入，可得， 化简可得，由，解的，所以. 对于A，当点为椭圆的上顶点时，最大，如图：   由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，根据题意可作图如下：  设，，则，，在中， ，所以，整理可得，则，故B正确； 对于C，设，，则，，当时，为等腰三角形，易知此时的坐标为或，当时，为等腰三角形，此时，设，则，消去化简可得，由，则方程有解，故C错误； 对于D，设，，则，则，在中，根据余弦定理可得：，则， 化简可得，由选项A可知，则，，所以，解得，故D正确. 故选：ABD. 5．（23-24高二上·广西北海市·期末）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的一点，且满足为坐标原点，线段的中点为，直线与双曲线交于另一点，与双曲线的另一条渐近线相交于点．则（    ） A． B．点的坐标为 C．是的中点 D．是的中点 【答案】ACD 【详解】A选项，因为，为的中点，所以，A正确； B选项，渐近线方程为，设，则，解得，故，B错误； C选项，由B选项知，，故，直线方程为，即，联立，解得，故，由于，故是的中点，C正确； D选项，联立，即，解得，负值舍去，故，故， 由于，故是的中点，D正确. 故选：ACD 6．（22-23高二上·广西防城港市·期末）（多选）抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则下列说法一定正确的是（    ） A．的最小值为4 B．线段为直径的圆与直线相切 C．为定值 D．若，则 【答案】ABCD 【详解】A选项：抛物线，焦点为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短，所以的最小值为，故A正确； B选项：如图：设线段的中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，，所以，所以以线段为直径的圆与直线相切，故B正确； C选项：设直线所在的直线方程为，由，消去可得，所以，，故C正确； D选项：由C得，，故 ，故D正确； 故选：ABCD． 题型四：解答题 1．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长. 【详解】由题可知，双曲线是等轴双曲线，设方程为 因为点在双曲线上，代入方程得：. 解得. 所以双曲线的方程为，双曲线的标准方程为，并且，， 则， 离心率，实轴长． 2．（23-24高二上·广西桂林市·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点.(1)求的焦点坐标及准线方程；(2)求的面积. 【详解】（1）对于抛物线，，则，， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为. （2）设点、，易知直线过抛物线的焦点， 联立可得，由韦达定理可得， 由抛物线的焦点弦长公式可得，原点到直线的距离为， 因此，的面积为. 3．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知过抛物线的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)抛物线的准线与x轴交于点，过点的直线l交抛物线于M，N两点，当时，求直线l的方程. 【详解】（1）由题意可知，设直线AB的方程是，A，B两点的坐标分别为，， 与联立，消去y，得，所以， 由抛物线定义得，所以，从而抛物线方程是； （2）由题意可知，直线MN的斜率存在且不为0，，设直线MN的方程是， 设，，联立方程得，化简得， 由，解得，则,所以， 所以， 所以，解得，即，满足， 所以直线l的方程为. 4．（23-24高二上·广西北海市·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值． 【详解】（1）易知双曲线的渐近线为，根据题意可知，解之得， 故双曲线的标准方程为； （2）由上可知，设，显然， 由题意可知，即， 而. 5．（23-24高二上·广西南宁市·期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【详解】（1）法一因为到点的距离与到直线的距离相等； 所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为,则有  所以, 故的方程为. 法二设的坐标为则有, 所以. 即, 所以的方程为. （2）法一设方程为， 因为，所以，即. 所以，即； 由得，所以. 所以，即，所以； 所以方程为，故恒过定点. 法二设，因为，所以； 所以，所以.所以的方程为， 整理得，所以，即， 所以直线恒过定点. 6．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以，故，故， 所以双曲线； （2）双曲线的右焦点为，当直线斜率不为零时，设直线的方程为：， 设,，由，得 恒成立，， ， 即以直径的圆恒过点.当直线斜率为零时，此时以为直径的圆为过点， 综上，以直径的圆恒过点. 7．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由. 【详解】（1）椭圆离心率为，即， 点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形， ，，，故椭圆的方程为. （2）解：由直线与椭圆交于，两点，设，，则 联立得， ，则 ， . ，. 原点到的距离，为定值. 8．（23-24高二上·广西贵港市·期末）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆和双曲线的离心率；(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：． 【详解】（1）椭圆的焦距，双曲线的焦距， 则，整理得，从而，， 故椭圆的离心率，双曲线的离心率． （2）由（1）可知，椭圆， 因为，所以直线的方程为． 联立方程组，整理得， 则，则， 可得，即， 因为，，， 则，， 故．   9．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知的周长为，其中点，.(1)求点C的轨迹方程；(2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，所以， 根据椭圆定义可知，点C轨迹为椭圆，且因此，c＝1，可得， 则点C轨迹方程为，； （2）设点，因为点A与点D关于直线对称， 于是有，解得，即点， 设点为点C轨迹方程上一点，满足，， 则， 由于，所以时，，时，， 又因为，所以，因此. 10．（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，直线与直线平行.过点且斜率为的直线与相交于、两点.(1)求的方程；(2)记直线、的斜率分别为、，求的最小值. 【详解】（1）解：由题意可知点、，直线的斜率为， 因为直线与直线平行，则，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）解：设点、，由题意可知，直线的方程为，其中， 联立可得，，， 由韦达定理可得，，， 同理可得，所以， ， 因为，令，则，且，所以，， 当时，即当时，取最小值，此时，取最小值. 11．（23-24高二上·广西南宁市·期末）如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且.  (1)求动点Q的轨迹方程；(2)直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围. 【详解】（1）设动点，点，由点在圆上，则， 由，则，， 把，代入，得动点的轨迹方程为 （2）联立直线与（1）中的轨迹方程得， ，由于有两个交点、，故，解得， 设，，的中点，则，所以， 故AB的垂直平分线方程为，即 由圆上存在两点、，满足，，可知的垂直平分线与圆交于、两点， 由直线与圆的位置关系可得，解得：， 由、解得，的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$