专题05 比例线段（8大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题05 比例线段 目录 【题型一 由成比例线段求值】 1 【题型二 比例尺】 2 【题型三 由比例的性质判断结论正误】 3 【题型四 由比例的性质求参数的值】 5 【题型五 由比例的性质求代数式的值】 6 【题型六 由比例的性质进行证明】 7 【题型七 由黄金分割求值】 9 【题型八 黄金分割的应用】 11 【题型一 由成比例线段求值】 例题：（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（   ） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．根据比例线段的定义，对题目各选项中的四条线段逐个分析并判断是否成比例即可． 【详解】解：由于，故不成比例，故A选项错误； 由于，故不成比例，故B选项错误； 由于，故不成比例，故C选项错误； 由于，故成比例，故D选项正确． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比例的性质．设，且，则，代入即可求出答案． 【详解】解：设，且， 则， ∴， 故选：A 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型二 比例尺】 例题：（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺为图上线段的长度与实际距离的比值，求解即可． 【详解】解：， ∴比例尺为：； 故选A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【答案】C 【分析】本题考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：根据题意，淮北到合肥的实际距离厘米， 厘米米， 淮北到合肥的实际距离是240000米， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，先设这个图距是，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于的方程，即可求解，解题的关键是根据比例尺不变列出方程． 【详解】解：设这个图距是， 则， 解得， 故答案为：． 【题型三 由比例的性质判断结论正误】 例题：（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中几个量用所设的未知数表示出来，进行约分． 根据比例的基本性质，设，，分别代入各选项进行计算即可得出答案． 【详解】解：设，（）， A. ，式子成立，故选项不符合题意； B. ，式子成立，故选项不符合题意； C. ，式子成立，故选项不符合题意； D. ，式子不成立，故选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么下列比例式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记比例的性质． 【详解】解：、∵，∴得，原选项正确，符合题意； 、∵，∴，原选项错误，不符合题意； 、∵，∴，原选项错误，不符合题意； 、∵，∴，原选项错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．如果，那么 B． C．方程的根是 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，以及比例的性质．A、等式两边利用同分母分数加法逆运算法则变形得到结果，即可做出判断；B、当a与b都小于0时，原式不成立；C、利用因式分解法求出方程的解，即可做出判断；D、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、变形得：，即，本选项正确； B、当时，，本选项错误； C、方程因式分解得：，解得：，本选项错误； D、，本选项错误， 故选：A． 【题型四 由比例的性质求参数的值】 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如果，，，是成比例线段，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段列出比例式即可求解，掌握比例线段的定义列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∴，即， ∴， 故选：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建三明·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查成比例线段，根据a，b，c，d是成比例线段，得到，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 2.（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）若x与2，5，8构成比例，则x的最大值为（   ） A．20 B．10 C．40 D．3.2 【答案】A 【分析】本题考查了比的运算，解题的关键是理解题意，正确列出比例式．根据题意可知时最大，求解即可． 【详解】解：根据题意可知时最大， 解得：． 故选：A． 【题型五 由比例的性质求代数式的值】 例题：（24-25九年级上·上海·期中）已知：，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 设，则，，，代入求出值后即可得到，，的值，再代入运算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴代入，，可得：， 解得：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查比例的性质，根据比例性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴，又， ∴， 故答案为：6． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则可根据已知条件式列出方程求出k，进而求出与k的关系，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型六 由比例的性质进行证明】 例题：（22-23九年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】设，可得，，然后分别代入和进行化简，即可得证． 【详解】解：设， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简，解题的关键是设出． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了比例的性质： （1）先根据已知条件得到，再分别代入进行求解即可； （2）设，则，，再代入计算即可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴． 2．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质： （1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可； （2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论； （3）求出，进而可得。 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型七 由黄金分割求值】 例题：（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点的概念．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短线段比长线段等于长线段比全线段，等于，则这个点叫线作段的黄金分割点．根据黄金分割点进行判断即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ， ， 故错误的是选项B， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知点P是线段的黄金分割点（），若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，分母有理化，根据点P是线段的黄金分割点（），得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型八 黄金分割的应用】 例题：（24-25九年级上·山西阳泉·期中）唢呐是山西八大套的乐器之一．如图．一个中号唢呐的长约为．若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割点，根据黄金分割点得，进而可得出． 【详解】解： ∵点P为靠近点B的黄金分割点， ∴，即， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相黄金分割，根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴ 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图1，在线段上找一个点，把分成和两段，其中是较小的一段，满足，则为线段的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，为的黄金分割点（），长度为，则的长度为 ．（结果用根号表示） 【答案】 【分析】设的长度为，则可根据黄金分割的含义列出比例式，进而整理出关于的一元二次方程，解方程即可求得的长度． 【详解】解：设的长度为， 长度为， ， 又图中点为的黄金分割点（）， ， 即：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，故舍去）， ， 即：的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，一元二次方程的应用，等式的性质，公式法解一元二次方程等知识点，正确理解黄金分割的含义并列出方程是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质即可解答． 【详解】解：根据比例的性质可得． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【详解】解：设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， ∴， 解得， ∴设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项判断即可得解，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，故不符合题意； B、，故四条线段成比例，故符合题意； C、，故四条线段不成比例，故不符合题意； D、，故四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，则的值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，由设，代入计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴设 ∴ 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，由得，则设，得到，，然后把，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：， ， 设，则，， ． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴，即， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了比例尺，根据，即可解答． 【详解】因为比例尺为，且图上距离是， 所以实际距离是． 故答案为：12． 9．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若，且，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要查了比例的基本性质．根据，可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，     ∵， ∴． 故答案为：10 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）点是线段的黄金分割点，且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，牢记比例关系和黄金分割比是关键．根据黄金分割点的定义解答，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点，， 设， ， ， ， ， ，（舍去）， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1)已知比例式，求x的值． (2)已知线段， 线段，求线段a， b的比例中项线段c． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，成比例线段的定义： （1）根据比例的性质得到，据此解方程即可； （2）根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵求线段a， b的比例中项线段c， ∴， ∵线段， 线段， ∴， ∴或（舍去）， 12．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，且，求a、b、c的值． 【答案】，，． 【分析】本题考查了比例的性质．根据设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 13．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？（结果保留根号） 分析：如图，雕像的上部高度与下部高度应有如下关系：，即，． 解：设雕像下部高度，则雕像的上部高度． 根据题意，得____________________（列方程）． 解得__________，__________（负数舍去）． 答：雕像的下部应设计的高度为__________m． 【答案】；，， 【分析】本题主要考查黄金分割，如图，雕像的上部高度与下部高度应有如下关系：，即，，代入数据计算即可． 【详解】解：设雕像下部高度，则雕像的上部高度． 根据题意，得（列方程）． 解得，（负数舍去）． 答：雕像的下部应设计的高度为m． 故答案为：；，， 14．（24-25九年级上·上海金山·期中）已知、、是的三边长，且，求： (1)的值． (2)若的周长为18，求各边的长． 【答案】(1)； (2)，，． 【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识，设，从而用表示出是解题的关键． （1）设，从而用表示出，再代入化简即可得解； （2）根据的周长为18，即，从而将（1）中的结论代入求出t即可得解． 【详解】（1）解：设， ，，， 代入，得； （2）由题意知，， 则， 解得， ，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 比例线段 目录 【题型一 由成比例线段求值】 1 【题型二 比例尺】 1 【题型三 由比例的性质判断结论正误】 2 【题型四 由比例的性质求参数的值】 2 【题型五 由比例的性质求代数式的值】 3 【题型六 由比例的性质进行证明】 3 【题型七 由黄金分割求值】 3 【题型八 黄金分割的应用】 4 【题型一 由成比例线段求值】 例题：（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（   ） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知，那么的值为 ． 【题型二 比例尺】 例题：（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 ． 【题型三 由比例的性质判断结论正误】 例题：（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么下列比例式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．如果，那么 B． C．方程的根是 D． 【题型四 由比例的性质求参数的值】 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如果，，，是成比例线段，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建三明·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 2.（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）若x与2，5，8构成比例，则x的最大值为（   ） A．20 B．10 C．40 D．3.2 【题型五 由比例的性质求代数式的值】 例题：（24-25九年级上·上海·期中）已知：，且，则的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若，且，则 ． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，且，求的值． 【题型六 由比例的性质进行证明】 例题：（22-23九年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求证：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证：． 2．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 【题型七 由黄金分割求值】 例题：（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知点P是线段的黄金分割点（），若，则 ． 【题型八 黄金分割的应用】 例题：（24-25九年级上·山西阳泉·期中）唢呐是山西八大套的乐器之一．如图．一个中号唢呐的长约为．若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图1，在线段上找一个点，把分成和两段，其中是较小的一段，满足，则为线段的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，为的黄金分割点（），长度为，则的长度为 ．（结果用根号表示） 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，则的值是（   ） A．5 B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·期末）已知，则 ． 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ． 8．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为 ． 9．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若，且，则 ． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）点是线段的黄金分割点，且，，则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1)已知比例式，求x的值． (2)已知线段， 线段，求线段a， b的比例中项线段c． 12．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，且，求a、b、c的值． 13．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？（结果保留根号） 分析：如图，雕像的上部高度与下部高度应有如下关系：，即，． 解：设雕像下部高度，则雕像的上部高度． 根据题意，得____________________（列方程）． 解得__________，__________（负数舍去）． 答：雕像的下部应设计的高度为__________m． 14．（24-25九年级上·上海金山·期中）已知、、是的三边长，且，求： (1)的值． (2)若的周长为18，求各边的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$