专题04 一元一次方程80道计算题专训（8大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】(1)按照去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤解方程即可． (2)按照去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤解方程即可． (3)按照去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤解方程即可． (4)按照去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤解方程即可． 本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：原方程去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：原方程去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：原方程去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．（1）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （4）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （5）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （6）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （7）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （8）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （3）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （4）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （5）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （6）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （7）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （8）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，去括号时要注意符号问题，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （4）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把系数化为1，得； （3）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （4）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算． （1）先移项合并同类项，再系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号，， 移项， 合并同类项，， 系数化1，； （2）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （4）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （5）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （6）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）， ， ， ； （2）， ， ， ； （3）， ， ， ； （4）， ， ， ， ； （5）， ， ， ， ； （6）， ， ， ． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （3）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （4）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解： ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （3）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （4）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）合并同类项即可得解； （2）合并同类项，再系数化为1即可得解； （3）合并同类项，再系数化为1即可得解； （4）合并同类项，再系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：合并同类项可得：； （2）解：合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （3）解：合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （4）解：合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （3）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（2024七年级上·山东·专题练习）利用去括号解一元一次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （3）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （4）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 整理得：， 解得：； （2）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，； （3）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 【经典例题二 解含分母的一元一次方程】 11．（2024七年级上·山东·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）先整理原方程，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：原方程可化为： 即： 去分母得：， 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 12．（2024七年级上·山东·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）先证明原方程，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （3）解：， 去小括号，得， 整理，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （4）解： 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，去分母时都乘以分母的最小公倍数，分子要加括号． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （2）先将分子、分母化为整数，再根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． （2）解： 整理，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）解下列一元一次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （4）先将分子和分母的系数化为整数，然后再按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：； （2）解： 解得：； （3）解： 解得：； （4）解： ， ， ， ， 解得：． 15．（2024七年级上·浙江·专题练习）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （4）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解． 【详解】（1） 解：去分母，得, 去括号，得． 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2） 解：去分母，得， 去括号，得． 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3） 解：去分母，得， 去括号，得． 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （4） 解：去分母，得， 去括号，得. 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解； （2）方程去分母，移项合并，把未知数系数化为1，求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解； 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：； （2）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：； （3）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （4）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ； （4）， ， ， ， ， ． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程 (1)， (2)， (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． （3）去分母、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， x的系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， y的系数化为1，得． （3）解：， 去分母，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． （4）解：， 去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得： ． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：方程整理得：， 即， 移项合并得：， 解得：． 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】 21．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【详解】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．难易适中．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 【分析】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）解绝对值方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 23．（17-18七年级下·全国·课后作业）阅读下题和解题过程：化简：，使结果不含绝对值． 解：当时，即时：原式； 当时，即时：原式． 这种解题的方法叫“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【详解】试题分析：分为两种情况，当2x﹣1≥0或2x﹣1＜0，先去掉绝对值符号，求出即可． 试题解析：解：当2x﹣1≥0时，原方程可化为：2x﹣1=3，解得：x=2，当2x﹣1＜0时，原方程化为﹣（2x﹣1）=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x=2或x=﹣1． 点睛：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号． 24．（20-21七年级上·广东云浮·期末）阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： （1）零点值是_________和__________； （2）化简代数式； （3）解方程； （4）的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 【答案】（1）3，﹣4；（2）当时，；当时，；当时，；（3）或；（4）2025， 【分析】（1）令和，求出x的值即可得出的零点值； （2）由题意可得：零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和，分三种情况求出的值即可； （3）在（2）的情况下，分别建立方程求解即可； （4）首先根据题意求解出原式中对应的零点值，再根据材料过程进行不同范围分类讨论，最后即可得出结果． 【详解】解：（1）令和，解得：和， 故答案为：3，﹣4． （2）当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，． （3）当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； ∴方程的解为或． （4）中的零点值分别为：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 显然，当时，原式取得最小值，最小值为2025， 故答案为：2025，． 【点睛】本题考查化简绝对值，仔细阅读材料，明确绝对值的代数意义是解题关键． 25．（15-16七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）解方程． 【答案】（1）分别令和，分别求出x的值即可；（2）分、和三种情况分别化简即可；（3）根据（2）的结果，解方程即可． 【详解】试题分析： 试题解析：解：（1）分别令和，分别求得和． 所以和的零点值分别为和． （2）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，原式 （3）当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为或． 考点：新概念、整式的加减、一元一次方程． 26．（23-24七年级上·湖北黄石·期中）（1）已知有理数x，y在数轴上的位置如图所示，化简：；    （2）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： ①数轴上，表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2的两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数 a和的两点之间距离是3，那么      ②若数轴上表示数a的点，满足，求数a表示的数 【答案】（1）；（2）①3；5；或；②数a表示的数为或7 【分析】（1）根据x，y在数轴上的位置得出，，进行求解即可； （2）①根据数轴上两点间的距离公式直接求解； ②分三种情况进行讨论，求出结果即可． 【详解】解：（1）根据x，y在数轴上的位置可知，，， ∴，，， ∴，， ∴ ； （2）①数轴上，表示4和1的两点之间的距离是；表示和2的两点之间的距离是； 如果表示数a和的两点之间距离是3，那么， 即， 解得：或； 故答案为：3；5；或． ②当时， ， ∵， ∴， 解得：； 当时， ， ∴此时没有合适的a的值使； 当时， ， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知，数a表示的数为或7． 【点睛】本题考查数轴与绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特点． 27．（22-23七年级上·全国·期末）阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： (1)零点值是_________和_________； (2)化简代数式； (3)解方程； (4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 【答案】(1)3， (2)当时，；当时，；当时， (3)或 (4)2025， 【分析】（1）令和，再解方程可得答案； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，合并同类项即可； （3） 分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，建立一元一次方程，再解方程即可； （4）先求解零点值，，，，再分五种情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，再化简绝对值，从而可得答案． 【详解】（1）解：令和， 解得：和， 故答案为：，； （2）当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，． （3）当时，， 解得； 当时，， 方程无解； 当时，， 解得； ∴方程的解为或． （4）中的零点值分别为： ，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 显然，当时，原式取得最小值，最小值为2025， 【点睛】本题是材料阅读题，考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解零点值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 28．（2022七年级上·全国·专题练习）阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值． 解：①当时，即时， 原式； ②当，即时， 原式 这种解题的方法叫“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分两种情况讨论，当 时或 时，先去掉绝对值，再化简即可． （2）分两种情况讨论，当 时或 时，去掉绝对值，再化简即可． 【详解】（1）解：①当时， 即， ， 解得：； ②当， 即， ， 解得：； 方程的解为或； （2）①当时， 即， ， 解得：； ②当， 即， ， 解得：； 方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号． 29．（23-24七年级上·山东青岛·期中）【阅读材料】 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系．两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示．如图，在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为． 【解决问题】 （1）数轴上有理数与1对应的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数m与对应的两点之间的距离是______（用含m的式子表示）； （3）若数轴上有理数n与对应的两点之间的距离是5，则______． 【拓展应用】 点M，N，P是数轴上的三个点，其中，点M表示的数为2，点N表示的数为，点P表示的数为x．若点P在点M，N之间，则______；若，则______． 【答案】【解决问题】（1）7；（2）（或）；（3）4或 【拓展应用】5；或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式的应用，理解题意是解决问题的关键； 【解决问题】（1）根据两点距离公式求解即可； （2）根据两点距离公式求解即可； （3）根据两点距离公式可得，解方程即可； 【拓展应用】根据x的范围分类讨论即可． 【详解】解：【解决问题】（1）由题意可得与1对应的两点之间的距离是， 故答案为：7； （2）数轴上有理数m与对应的两点之间的距离是或， 故答案为：（或）； （3）根据数轴上有理数n与对应的两点之间的距离是5，结合题意可得 ， ， 或； 【拓展应用】点M表示的数为2，点N表示的数为，点P在点M，N之间， ， ； 若，则点P不在点M，N之间， 分如下两种情况： 当P在M左侧，即时， ， 解得， 当P在N右侧时，即时， ， 解得， 故答案为：5；或． 30．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值： （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，解一元一次方程，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键． （1）观察关于x的方程可得出第n个方程为，且其解为，再结合所给方程即得出答案； （2）根据（1）所得规律解答即可； （3）根据（1）所得规律，分析得出是第个方程的解，再写出这个方程即可． 【详解】（1）解：观察关于x的方程可得出第n个方程为，其解为， 因为，即， 所以该方程的解为； （2）解：由（1）可知第2024个方程的解； （3）解：因为， 所以由（1）可知，该解为第个方程的解， 所以这个方程是，即． 32．（2024·安徽阜阳·一模）如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…． 依此规律，请解答下面的问题． (1)图5中共有黑点的个数为 ． (2)图n中共有黑点的个数为 ． (3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解．仔细观察图形的变化情况找到规律，利用规律解答即可． （1）根据所给的图形进行类比得到答案； （2）根据（1）中的结果类比得到公式即可； （3）利用公式得到方程解题即可． 【详解】（1） 观察图形发现： 第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有：个黑点； 第四个图形有个黑点； 第五个图形有个黑点； 故答案为：； （2）依据上边各式得到：第个图形有个黑点， 故答案为：； （3）解： ， 解得：， 答：n的值为． 33．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x 0 1 2 a 0 1 b 5 7 2 1 10 (1)【初步感知】 ①根据表中信息可知，________，________； ②若的值比的值大27.求x的值． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________． (3)【问题解决】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式． 【答案】(1)①；3；② (2)2；3 (3) 【分析】本题考查了代数式求值及一元一次方程的解，熟练掌握列代数式是解答本题的关键． （1）①将对应的值代入含有的代数式计算即可；②根据题意可得关于x的方程，解方程即可求解； （2）根据表格中的数据分析判断即可； （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数．又因为时，的值为6．所以．解得即可得到代数式． 【详解】（1）①当时，代数式；当时，； 故答案为：． ②根据题意得， 解得． （2）表中的值的变化规律是的系数是1，的值每增加1，的值就增加1； 的值的变化规律是的系数是2，的值每增加1，的值就增加 2． 类似的，的值的变化规律是的系数是，的值每增加1，的值就减少 3． 故答案为：2；3． （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数． 又因为时，的值为6． 所以．解得， 故这个代数式为 34．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）如下表，方程①、方程②、方程③、方程④是按照一定规律排列的一列方程： 序号 方程 方程的解 ① ② ③ 　　 ④ 　　 (1)将上表补充完整； (2)写出表内这列方程中的第（为正整数）个方程和它的解． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了解一元一次方程，规律探究．熟练掌握解一元一次方程，并推导一般性规律是解题的关键． （1）分别求两个一元一次方程的解，然后补表即可； （2）根据表格推导一般性规律即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； ， ， ， ， ∴补表如下： 序号 方程 方程的解 ① ② ③          ④          （2）解：由表格可知，序号每增加1，方程的解增加2， ∴第（为正整数）个方程，解为， ∴第（为正整数）个方程和它的解分别为，． 35．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）用相同的小木棒按如图方式拼成图形． (1)按图形规律完成下表： 图形 1 2 3 4 5 … 所用木棒根数 6 14 22 … (2)按这种方式拼下去，第个图形需要___________根小木棒（用的代数式表示）； (3)小颖同学说他按这种方式拼出来的一个图形共用了2024根小木棒，你认为可能吗?如果可能，那是第几个图形?如果不能，请说明理由． 【答案】(1)30，38 (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查图形类规律探究、解一元一次方程，关键是找出前后两个图形的变化规律． （1）根据前后两个图形相差8个小木棒可完成表格； （2）由变化规律可得结论； （3）根据（2）中结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形需要个小木棒， 第2个图形需要个小木棒， 第3个图形需要个小木棒， 第4个图形需要个小木棒， 第5个图形需要个小木棒， 故答案为：30，38； （2）解：由（1）得：第n个图形需要个小木棒， 故答案为：； （3）解：小颖的说法不可能， 理由：由得， ∵n为正整数， ∴不合题意， 故小颖的说法不可能． 36．（2023七年级上·江苏·专题练习）（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 【答案】（1）； （2），方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，数字类的规律型探索，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． （1）根据去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可； （2）把代入方程中求出a的值，然后找出（1）中方程的规律即可得到答案． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：； （2）∵方程的解是， ∴， ∴， 解得， ∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴方程的解为， ∴方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 37．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)图5有多少颗黑色棋子？ (2)若第个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值． 【答案】(1)19颗 (2)1008 【分析】（1）按规律数黑色棋子的个数，找到规律，代入求解即可； （2）根据（1）中的规律，列方程求解即可． 【详解】（1）解：图1中有1个黑色棋子； 图2中有颗黑色棋子，比图1多3个； 图3中有颗黑色棋子，比图2多4个； 图4中有颗黑色棋子，比图3多5； 图5中有颗黑色棋子，比图4多6个； ∴图5有19颗黑色棋子； （2）解：由（1）得：第个图形比第n个图形中多颗棋子， ， 解得：， 所以n是值为：1008． 【点睛】本题考查了图形规律的探究，找到变化规律是解题的关键． 38．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【观察与发现】用火柴棒以下图中的方式按规律搭图形： 图形编号 ① ② ③ ④ …… 火柴棒根数 5 9 13 …… 【归纳与应用】 (1)直接填写：___________． (2)第n个图形需要的火柴棒的根数是___________． (3)若搭第n个图形恰好需要97根火柴棒，求n的值． 【答案】(1)17 (2) (3) 【分析】本题考查图形类规律探究． （1）直接数出第④个图形中火柴棒的根数即可； （2）根据已有图形，得到后一个图形比前一个图形多4根火柴棒，即可得出第n个图形需要的火柴棒的根数； （3）根据（2）中的结论，得到一元一次方程，进行求解即可． 解题的关键是得到后一个图形比前一个图形多4根火柴棒． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为：17． （2）由已有图形和表格中的数据可知：后一个图形比前一个图形多4根火柴棒， ∴第n个图形需要的火柴棒的根数是； 故答案为：； （3）由题意，得：， 解得：． 39．（22-23七年级上·广东河源·阶段练习）观察算式：；；；；… (1)按照这个规律可得：__________； (2)请你用以上规律计算：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）按照题目中得出的规律得出结果即可； （2）按照题目中得出的规律进行计算即可； （3）将方程变形为，根据解析（2）中的结果原方程可变为，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； … ∴； 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知条件得出一般规律． 40．（22-23七年级上·浙江金华·期末）已知一列，数，，，…，具有以下规律：，． 例：若，则，， ，， ，… 请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题． (1)若，求下列两个问题． ①______，______． ②在数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为，求线段AB的长． (2)已知，求的值． 【答案】(1)①，；②4 (2)或 【分析】（1）①根据题中所给规律进行求解即可；②再求出，再根据数轴上两点距离求解即可； （2）根据题中规律结合条件进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：，； ②， ∴， 即线段AB的长4； （2）解：由题意，，， ∵， ∴， 当即时， ，解得； 当时， ，等式不成立，即不存在； 当时，，解得， 综上，或． 【点睛】本题考查数字类规律探究、一元一次方程、化简绝对值，理解题中规律，会利用类比的方法求解是解答的关键． 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 41．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同．求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，先根据方程的定义，求出的值，然后解第一个方程，求出的值，代入第二个方程，得到关于的方程，再进行求解即可． 【详解】解：∵为一元一次方程， ∴， ∴， ∴方程化为：，解得：， 把代入，得：， 解得：； 故：，． 42．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 43．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程是一元一次方程，它的解与关于的方程的解相同，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解得，进而求出方程的解为，再把代入方程中求出a的值即可． 【详解】解；∵关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， ∴关于的方程，即为， ∴， 解得， ∵关于的方程是一元一次方程，它的解与关于的方程的解相同， ∴关于的方程的解为， ∴， 解得 44．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）如果方程 的解与方程的解相同， 求 的值. 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的概念，解一元一次方程，求代数式的值，求出的解，把解代入中，可求得的值，即可求得代数式的值． 【详解】解方程，       得． 把代入方程中， 得：， 解得， ∴ ． 45．（22-23七年级上·陕西西安·期末）已知关于x的一元一次方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】1 【分析】本题考查解一元一次方程，先解方程求得x的值后，再将其代入另一个方程中求得a的值即可． 【详解】解：， 两边同除以3得：， 解得：， 将代入中可得， 解得：． 46．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】5 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解；分别解两个关于x的一元一次方程，根据题意得出关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：，解得； 解，解得：， 根据题意， 解得：． 47．（23-24七年级上·全国·单元测试）若方程与的解相同，求的值． 【答案】25 【分析】此题考查了同解方程，掌握同解方程即为两个方程解相同的方程是解题的关键．根据解方程的步骤先求出第一个方程的解，代入第二个方程求出的值，再代入的值即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 解得， 把代入， 解得． 所以． 48．（23-24七年级上·江西新余·阶段练习）如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【答案】 【分析】题目主要考查解一元一次方程，理解题意，先求出方程的解代入，再求解即可确定a的值，代入求解即可． 【详解】解：方程得， 将代入方程得， 解之得， 故． 49．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，先解，把代入，求出k的值，然后再代入代数式求值即可． 【详解】解： 又∵方程与方程的解相同 ∴ 50．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，掌握同解方程的意义及一元一次方程的解法是解题关键．先分别解出两个一元一次方程，再令其解相等得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：解方程， 解得， 解方程， 解得， 由题意得： 解得：． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 51．（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 52．（23-24七年级上·云南昆明·期末）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：． 例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)求有理数对的值； (2)当满足等式的是整数时，求整数的值． 【答案】(1)； (2)或； 【分析】本题考查有理数混合运算的新运算，一元一次方程整数解问题， （1）读懂新运算直接代入求解即可得到答案； （）根据新运算列方程求解，再结合整数解求解即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由题意可得， ， 解得：， ∵是整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∵为整数， ∴或． 53．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 54．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）阅读与理解：对一个关于x的多项式求导数，多项式中的导数等于，常数项的导数为0．已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式；若，要求的导出多项式，先化简，则的导出多项式．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的导出多项式 ； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于x的方程的解； ②已知是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为整数，求正整数a的值． 【答案】(1) (2)①；②2或4； 【分析】（1）利用题目已知的规定求解即可； （2）①先把化简，根据题目已知的规定求出，再根据列方程求解即可； ②根据题目已知的规定，求出导出的多项式，再根据关于x的方程的解为整数，进行计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ②∵是关于x的二次多项式， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵有整数解， ∴， 且为整数， ∵a为正整数，且， ∴a的值为2或4． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，根据题目的已知理解，是解题的关键． 55．（23-24七年级上·重庆梁平·期末）新规定一种运算法则：自然数到的连乘积用表示，例如：，，，，在这种规定下，请你解决下列问题： （1）计算_____________. （2）下列说法正确的是（    ） A．    B．    C．    D． （3）若关于的等式为，求整数的值. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】(1)根据定义的运算法则进行求解即可； (2)根据定义的运算法则逐项进行计算，然后进行判断即可； (3)根据定义的运算进行化简，然后解方程即可. 【详解】(1)， 故答案为：； (2) ，故A选项错误，B选项错误； = = = =8！ 故C选项正确，D选项错误， 故选C； (3)， ， 去分母得：， 所以x-1=±10， x-1=10或x-1=-10， 所以或. 【点睛】本题考查了新定义运算，涉及了有理数的混合运算，解一元一次方程等，正确理解新定义运算的运算法则，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤等是解题的关键. 56．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）定义，若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”． (1)判断，是不是方程的“友好系数”，并写出判断过程． (2)若方程有“友好系数”，请求出此方程的所有“友好系数”． 【答案】(1)和都是方程的“友好系数”； (2)或或2． 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）分别将和代入方程，求出方程的解，再判断即可； （2）解方程得，当是整数时，也是整数，由此可得方程的“友好系数”． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴为此方程的“友好系数”； 当时，， 解得， ∴为此方程的“友好系数”； （2）解：， ， ， 为整数， ， ， 解得：， 要使的值为整数，则，，，， 为整数， ∴或或2． 57．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）定义一种新运算“”：，比如：． (1)若，求的值， (2)若关于的方程的解为正整数，则满足条件所有整数的和为_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）先根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先根据新运算的定义可得一个关于x的一元一次方程，解方程得出方程的解，再根据方程的解为正整数和k为整数即可得． 【详解】（1）解：， 则， 解得； （2）， 则， 整理得：， ∵关于x的方程的解为正整数，且为整数， ∴或或或， 故答案为：12． 58．（23-24七年级上·广东江门·期中）【材料阅读】通过学习绝对值之后，我们知道，表示8与的差的绝对值，实际上也可理解为8与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．同理，也可理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)计算： ． (2)若，求x的值． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，并写出解题过程． 【答案】(1) (2)或 (3)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，求一个数的绝对值，一元一次方程的应用，正确讨论x的取值范围从而去绝对值解方程是解题的关键． （1）先计算出的结果，再根据绝对值的意义求解即可； （2）根据绝对值的意义可得或，解方程即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况去绝对值，然后解方程求出x的取值范围，进而求出符合题意的整数x的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴或， 解得或； （3）解：当时， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当时， ∵， ∴，此时恒成立； 当时， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，当时，， ∴符合题意的整数x有． 59．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）对于有理数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：． (1)计算：； (2)解方程； (3)若x，y均为整数，满足等式，且使得为整数，求满足条件的所有数对． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）根据新运算法则，列出一元一次方程，求解即可； （3）根据新运算法则，求出的关系式，再根据新运算法则求出的值，进而求出值，即可得解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：由题意得：， ， ， ； （3）解：∵x，y为整数且 ∴， ∴ 又∵为整数， ∴为整数， ∴或， ∴， ∴对应的 综上：所以满足条件的数对有． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．理解并掌握新运算法则，是解题的关键． 60．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）阅读下面材料，并完成问题： 我们把不超过数的最大整数称为的整数部分，记作，把称为的小数部分，记作，则．如：，，； (1)_________，_________； (2)若，的值为_____________； (3)，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）按新定义计算即可求解； （2）由得，，并将此代入可得，从而可得，再由，求出，分类讨论．①当时，②当时，即可求解； （3）将代入得，整理得，由，可得，将代入 整理得，只有当时，才成立，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 因为是整数部分， 所以： ①当时， 可求得， 则； ②当时， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或； （3）解：因为， 所以， 整理得：， 因为， 所以， 所以， 所以 整理得：， 所以范围内， 只有当时， 才成立， 所以解得：； 故的值为． 【点睛】本题考查新定义计算，一元一次方程，理解新定义，能将所求问题转化为一元一次方程及求出是解题的关键． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 61．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)48； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算及一元一次方程的应用，理解定义的新运算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 62．（23-24七年级上·广东梅州·期末）对于有理数，定义了一种新运算“※”为 如：． (1)计算：①__________，②___________； (2)若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)5， (2)； (3)． 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程． （1）根据题中定义代入即可得出； （2）根据，代入题中定义，解方程即可求解； （3）先利用整式的加减求得的值，得到，再整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：； ； 故答案为：5，； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得； （3）解：由题意 ， ∵， ∴，即， ∴． 63．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）在有理数范围内定义新运算“*”，其规则为，求方程中x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解新算法、将方程化成一元一次方程是解题的关键．根据新定义的运算将原方程写成一元一次方程，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴可化为， 解得． 64．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在实数范围内定义运算“”：，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，整式的加减与化简求值； （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据新定义列出代数式，根据整式的加减进行化简，然后根据已知式子的值，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）， ， 解得：； （3）原式 ， 当时，， 原式 ． 65．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及有理数的混合运算的方法，要熟练掌握． （1）根据，求出的值是多少即可． （2）根据题中新定义得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴=； （2）∵， ∴， 化简得：， 解得：． 66．（22-23七年级上·江西宜春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 【答案】(1)是“美好方程”，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可． 【详解】（1）解方程得， 解方程得， 因为， 所以这两个方程是“美好方程”； （2）解方程得， 根据题意，方程的解为：， 所以， 解得． 67．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算“”，对于任意有理数，有， (1)计算：； (2)解方程； (3)若，，化简． 【答案】(1)34 (2) (3) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算以及整式的混合运算，解题的关键是： （1）由题目中给出的运算方法，先算，再算即可； （2）由题目中给出的运算方法，得出，解方程即可； （3）由题目中给出的运算方法，先求出与，再相加即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， 解方程，得； （3），， ， ， ． 68．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）定义：对于一个有理数x，我们把“”称作x的对称数．若，则；若，则．例如：，． (1)填空： ① ； ； ； ②若，且，则 ． (2)已知有理数a，b，当时，满足，试求代数式的值． (3)解方程：． 【答案】(1)①3，，；②2 (2) (3)当时，；当时，；当时，（舍去） 【分析】本题考查的是新定义运算，一元一次方程的解法，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）①直接根据新定义列式计算即可；② 根据新定义建立方程，再解方程即可； （2）求解，当，即，可得，，当，即，可得，可得，再整体代入求值即可； （3）分三种情况讨论：当时，可得，当时，可得，当时，可得，再解方程即可并检验即可. 【详解】（1）解：①；；； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 当，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 当，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 综上： （3）当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：，符合题意， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：，符合题意， 综上：或 69．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”． (1)方程与方程______“互补方程”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， （1）分别求得两个方程的解，再利用“互补方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于 的方程解答即可； （3）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】（1）由，解得； 由，解得． ， 方程与方程是“互补方程”． 故答案为：是； （2）由，解得； 由解得． 关于的方程与方程是“互补方程”， ， 解得． （3）由，解得； 由，解得； 关于的方程与是“互补方程”， ， 解得． 70．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）定义一种新的运算符号“”，它的运算法则为：当，为有理数时，，例如：，． (1)计算：的值； (2)计算：的值； (3)若，求有理数的值． 【答案】(1) (2) (3)有理数的值为或2． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键． （1）根据代值求解即可； （2）根据代值，再根据整式的加减运算法则求解即可； （3）根据新定义得到方程，分和两种情况，解方程即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由题意得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，有理数的值为或2． 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 71．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将4移项到方程左边变成，每项都，然后通分，利用乘法分配律，把写在括号外面，根据a，b，c，d为正数得，求出x即可，每项都减1进行通分是解题的关键． 【详解】解：原方程化为： ， ∴， ∴， ∵a，b，c，d是正数， ∴0， ∴， ∴． 72．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先求出方程的解，再求出方程的解，两者差额为，即可解答． 【详解】 根据题意可知： 73．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键． （1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解． （2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：根据图1可得：①；②． （2）解：由题意得：或， 解得：，． 74．（16-17七年级上·安徽蚌埠·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 【答案】(1)或 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键． （1）利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）利用绝对值的意义讨论：当或b+1＝0或b+1＞0时确定方程的解的个数． 【详解】（1）， 当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得； 所以原方程的解是或． （2）∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程只有一个解； 当，即时，方程有两个解． 75．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）1990年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同”这一处理不同文化关系的十六字“箴言”．在数学上，我们不妨约定：若关于的方程与同时满足，则称方程与互为“美美与共”方程．根据该约定，回答下列问题． (1)已知关于的方程与互为“美美与共”方程，且方程的解为，则______，______，______； (2)是否存在有理数，使关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若方程的解也是方程的解，求方程的“美美与共”方程的解． 【答案】(1)1；；； (2)存在； (3)方程的“美美与共”方程的解为 【分析】（1）根据题干信息得出，，先方程的解为，求出，即可得出答案； （2）先求出方程的解为：，在求出方程的“美美与共”方程的解为，根据和都为整数，求出结果即可； （3）先求出方程的解为：，得出方程的解为，再求出方程的“美美与共”方程为，求出方程的解为：． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵方程的解为， ∴， 解得：， ∴方程与互为“美美与共”方程， ∴，， ∴， 故答案为：1；；； （2）解：存在； 方程的解为：， 方程的“美美与共”方程为：，且其解为， ∵关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数， ∴和都为整数， ∴； （3）解：方程的解为：， ∵方程的解也是方程的解， ∴方程的解为， ∵方程的“美美与共”方程为， ∴方程的解为：． 即方程的“美美与共”方程的解为． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步骤准确计算． 76．（22-23七年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）仿照材料可知，即可求解； （2）仿照材料可知或，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，解得：， 故答案为：，； （2）∵关于x的方程的解是或， ∴方程中或， 当时，， 当时，； 故方程的解为或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，利用换元的思想是解决问题的关键． 77．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______； (2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出b的值； （2）由是“缘解方程”得出，将代入方程可得，然后把，代入可求出n的值，进而可得m的值； （3）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出，求得，再把原式化简成含的式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵是“缘解方程”， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵（即）是“缘解方程”， ∴， ∵解为， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， ∵方程是“缘解方程”， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，整式的化简求值，理解“缘解方程”的定义是解题的关键． 78．（22-23七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 【详解】解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 79．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）阅读并解决问题： 对于任何数，我们规定符号的意义是． 例如：． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求的值即可； （2）先利用运算法则化简，再将，代入求解即可； （3）先利用运算法则得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）解： ， ， ，， 原式 ． （3）解：∵ ∴， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查整式的加减——化简求值、有理数的混合运算和解一元一次方程，正确理解题目定义的新运算，掌握运算法则是解答本题的关键． 80．（21-22七年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】（1）将代入一元一次方程：得出关于k的方程，解方程即可； （2）把代入得：，把代入得，整理得出，根据m是整数，k为正整数，求出或2 即可； （3）整理方程得：，根据方程无解，得出，把代入得，整理方程得出，把整体代入得，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程：的解是， ∴将代入一元一次方程：得： ，解得：． 故答案为：． （2）解：当时，代入方程得， 整理得：， 把代入得， ， ∵m是整数，k为正整数， ∴、3， ∴或2 ． （3）解：整理方程得：， ∵无解， ∴，即， 把代入得， 整理方程得， 把代入得，解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型） 【题型目录】题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1)； (2)； 6．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) (3) 10．（2024七年级上·山东·专题练习）利用去括号解一元一次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 解含分母的一元一次方程】 11．（2024七年级上·山东·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 12．（2024七年级上·山东·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）解下列一元一次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（2024七年级上·浙江·专题练习）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程 (1)， (2)， (3) (4) 20．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】21．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）解绝对值方程：． 23．（17-18七年级下·全国·课后作业）阅读下题和解题过程：化简：，使结果不含绝对值． 解：当时，即时：原式； 当时，即时：原式． 这种解题的方法叫“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 24．（20-21七年级上·广东云浮·期末）阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： （1）零点值是_________和__________； （2）化简代数式； （3）解方程； （4）的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 25．（15-16七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）解方程． 26．（23-24七年级上·湖北黄石·期中）（1）已知有理数x，y在数轴上的位置如图所示，化简：；    （2）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： ①数轴上，表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2的两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数 a和的两点之间距离是3，那么      ②若数轴上表示数a的点，满足，求数a表示的数 27．（22-23七年级上·全国·期末）阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： (1)零点值是_________和_________； (2)化简代数式； (3)解方程； (4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 28．（2022七年级上·全国·专题练习）阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值． 解：①当时，即时， 原式； ②当，即时， 原式 这种解题的方法叫“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解下列方程： (1)； (2)． 29．（23-24七年级上·山东青岛·期中）【阅读材料】 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系．两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示．如图，在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为． 【解决问题】 （1）数轴上有理数与1对应的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数m与对应的两点之间的距离是______（用含m的式子表示）； （3）若数轴上有理数n与对应的两点之间的距离是5，则______． 【拓展应用】 点M，N，P是数轴上的三个点，其中，点M表示的数为2，点N表示的数为，点P表示的数为x．若点P在点M，N之间，则______；若，则______． 30．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 32．（2024·安徽阜阳·一模）如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…． 依此规律，请解答下面的问题． (1)图5中共有黑点的个数为 ． (2)图n中共有黑点的个数为 ． (3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值． 33．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x 0 1 2 a 0 1 b 5 7 2 1 10 (1)【初步感知】 ①根据表中信息可知，________，________； ②若的值比的值大27.求x的值． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________． (3)【问题解决】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式． 34．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）如下表，方程①、方程②、方程③、方程④是按照一定规律排列的一列方程： 序号 方程 方程的解 ① ② ③ 　　 ④ 　　 (1)将上表补充完整； (2)写出表内这列方程中的第（为正整数）个方程和它的解． 35．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）用相同的小木棒按如图方式拼成图形． (1)按图形规律完成下表： 图形 1 2 3 4 5 … 所用木棒根数 6 14 22 … (2)按这种方式拼下去，第个图形需要___________根小木棒（用的代数式表示）； (3)小颖同学说他按这种方式拼出来的一个图形共用了2024根小木棒，你认为可能吗?如果可能，那是第几个图形?如果不能，请说明理由． 36．（2023七年级上·江苏·专题练习）（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 37．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)图5有多少颗黑色棋子？ (2)若第个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值． 38．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【观察与发现】用火柴棒以下图中的方式按规律搭图形： 图形编号 ① ② ③ ④ …… 火柴棒根数 5 9 13 …… 【归纳与应用】 (1)直接填写：___________． (2)第n个图形需要的火柴棒的根数是___________． (3)若搭第n个图形恰好需要97根火柴棒，求n的值． 39．（22-23七年级上·广东河源·阶段练习）观察算式：；；；；… (1)按照这个规律可得：__________； (2)请你用以上规律计算：； (3)解方程：． 40．（22-23七年级上·浙江金华·期末）已知一列，数，，，…，具有以下规律：，． 例：若，则，， ，， ，… 请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题． (1)若，求下列两个问题． ①______，______． ②在数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为，求线段AB的长． (2)已知，求的值． 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 41．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同．求、的值． 42．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 43．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程是一元一次方程，它的解与关于的方程的解相同，求和的值． 44．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）如果方程 的解与方程的解相同， 求 的值. 45．（22-23七年级上·陕西西安·期末）已知关于x的一元一次方程的解与方程的解相同，求a的值． 46．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 47．（23-24七年级上·全国·单元测试）若方程与的解相同，求的值． 48．（23-24七年级上·江西新余·阶段练习）如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 49．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 50．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 51．（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 52．（23-24七年级上·云南昆明·期末）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：． 例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)求有理数对的值； (2)当满足等式的是整数时，求整数的值． 53．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 54．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）阅读与理解：对一个关于x的多项式求导数，多项式中的导数等于，常数项的导数为0．已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式；若，要求的导出多项式，先化简，则的导出多项式．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的导出多项式 ； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于x的方程的解； ②已知是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为整数，求正整数a的值． 55．（23-24七年级上·重庆梁平·期末）新规定一种运算法则：自然数到的连乘积用表示，例如：，，，，在这种规定下，请你解决下列问题： （1）计算_____________. （2）下列说法正确的是（    ） A．    B．    C．    D． （3）若关于的等式为，求整数的值. 56．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）定义，若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”． (1)判断，是不是方程的“友好系数”，并写出判断过程． (2)若方程有“友好系数”，请求出此方程的所有“友好系数”． 57．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）定义一种新运算“”：，比如：． (1)若，求的值， (2)若关于的方程的解为正整数，则满足条件所有整数的和为_____． 58．（23-24七年级上·广东江门·期中）【材料阅读】通过学习绝对值之后，我们知道，表示8与的差的绝对值，实际上也可理解为8与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．同理，也可理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)计算： ． (2)若，求x的值． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，并写出解题过程． 59．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）对于有理数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：． (1)计算：； (2)解方程； (3)若x，y均为整数，满足等式，且使得为整数，求满足条件的所有数对． 60．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）阅读下面材料，并完成问题： 我们把不超过数的最大整数称为的整数部分，记作，把称为的小数部分，记作，则．如：，，； (1)_________，_________； (2)若，的值为_____________； (3)，求的值． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 61．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 62．（23-24七年级上·广东梅州·期末）对于有理数，定义了一种新运算“※”为 如：． (1)计算：①__________，②___________； (2)若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； (3)若，且，求的值． 63．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）在有理数范围内定义新运算“*”，其规则为，求方程中x的值． 64．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在实数范围内定义运算“”：，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求的值． (3)若，求的值． 65．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 66．（22-23七年级上·江西宜春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 67．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算“”，对于任意有理数，有， (1)计算：； (2)解方程； (3)若，，化简． 68．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）定义：对于一个有理数x，我们把“”称作x的对称数．若，则；若，则．例如：，． (1)填空： ① ； ； ； ②若，且，则 ． (2)已知有理数a，b，当时，满足，试求代数式的值． (3)解方程：． 69．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”． (1)方程与方程______“互补方程”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值． 70．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）定义一种新的运算符号“”，它的运算法则为：当，为有理数时，，例如：，． (1)计算：的值； (2)计算：的值； (3)若，求有理数的值． 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 71．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 72．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 73．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 74．（16-17七年级上·安徽蚌埠·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 75．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）1990年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同”这一处理不同文化关系的十六字“箴言”．在数学上，我们不妨约定：若关于的方程与同时满足，则称方程与互为“美美与共”方程．根据该约定，回答下列问题． (1)已知关于的方程与互为“美美与共”方程，且方程的解为，则______，______，______； (2)是否存在有理数，使关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若方程的解也是方程的解，求方程的“美美与共”方程的解． 76．（22-23七年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 77．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______； (2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值． 78．（22-23七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 79．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）阅读并解决问题： 对于任何数，我们规定符号的意义是． 例如：． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 80．（21-22七年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$