专题05 三角函数（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题05 三角函数 三角函数的相关概念 1．（21-22高三上·北京·期末）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·北京·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三上·北京密云·期末）如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点．且点的横坐标为，若角的终边与角的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·北京昌平·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知角的终边在第三象限，且，则（    ） A． B．1 C． D． 6．（21-22高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，角的终边过点，将的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则 （    ） A． B． C． D． 7．（21-22高三上·北京顺义·期末） . 8．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知，则 ． 9．（21-22高三上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则 ． 三角函数求值 10．（23-24高三上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为.若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知为第二象限角，，则的值为 . 13．（21-22高三上·北京东城·期末）已知，，则 ， ． 三角函数的图像与性质 14．（22-23高三上·北京房山·期末）若角、是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高三上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（21-22高三上·北京·期末）已知函数，，则“”是“的值域为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（22-23高三上·北京西城·期末）设，均为锐角，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．最小正周期为，且作上为增函数 D．的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 19．（2022·北京西城·一模）如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间上是增函数 B．恰有个零点 C．的最小值为 D．的图象关于点中心对称 20．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，为图象的对称中心，、是该图象上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是（    ） A．函数的对称轴方程为 B．若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极小值点 C．函数在区间上单调递增 D．的图象关于轴对称 21．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 22．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论： ①在区间上有且仅有3个不同的零点； ②的最小正周期可能是； ③的取值范围是； ④在区间上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 23．（21-22高三上·北京·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①函数是周期为的偶函数； ②函数在区间上单调递减； ③函数在区间上的最小值为； ④将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合． 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 24．（21-22高三上·北京·期末）已知，则下列说法错误的是（    ） A．若在内单调，则 B．若在内无零点，则 C．若的最小正周期为，则 D．若时，直线是函数图象的一条对称轴 25．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论： ①函数的最小正周期是； ②函数在区间上单调递增； ③函数的图象过点； ④直线为函数的图象的一条对称轴． 其中所有正确结论的序号是 ． 26．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是 . 27．（22-23高三上·北京房山·期末）函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论： ①是函数的一个周期；     ②的图象关于直线对称； ③的图象关于点对称；     ④在上单调递增. 其中所有正确结论的序号是 . 三角函数解析式中相关量的求解 28．（21-22高三上·北京东城·期末）函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 28．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高三上·北京海淀·期末）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知，若存在，使，则正整数的一个取值是 ． 32．（23-24高三上·北京东城·期末）已知函数，若，则的一个取值为 . 33．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则 ． 34．（21-22高三·北京·期末）已知函数是偶函数，则的一个取值为 . 35．（21-22高三上·北京东城·期末）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为.若，则 ； . 36．（21-22高三上·北京·期末）若函数为偶函数，则常数的一个取值为 ． 37．（21-22高三上·北京·期末）若函数的一个周期是，则常数的一个取值可以为 . 38．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数，那么函数的最小正周期是 ：若函数在上具有单调性，且，则 . 39．（21-22高三上·北京·期末）某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示1月份，和是正整数，，.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律： ①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同. 根据已知信息，得到的表达式是 . 三角函数的图象变换 40．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 41．（22-23高三上·北京东城·期末）已知函数，则 ；若将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则的一个对称中心为 . 42．（2021·北京门头沟·二模）函数的图像向左平移 个长度单位得到函数的图像，若函数在区间单调递增，则的最大值为 三角函数的最值与范围问题 43．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 44．（21-22高三上·北京密云·期末）已知函数，，则（    ） A．最大值为2，最小值为1 B．最大值为，最小值为1 C．最大值为，最小值为1 D．最大值为，最小值为 45．（21-22高三上·北京通州·期末）函数是（    ） A．奇函数，且最大值为2 B．奇函数，且最大值为1 C．偶函数，且最大值为2 D．偶函数，且最大值为1 46．（21-22高三上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 47．（21-22高三上·北京海淀·期末）若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高三上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为．若记点到直线的距离为，则的极大值点为 ，最大值为 ．    49．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则取值范围为 ． 50．（21-22高三上·北京丰台·期末）函数的最小正周期 ，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的最大值为，则的值可以为 ． 三角函数综合性解答题 51．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知函数的图象过原点. (1)求的值及的最小正周期； (2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值. 52．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)设函数，求在区间上的最大值． 53．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若，且，求的值. 54．（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数的一个零点为. (1)求的值及的最小正周期； (2)若对恒成立，求的最大值和的最小值. 55．（23-24高三上·北京房山·期末）已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称. (1)求的值； (2)设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 56．（22-23高三·北京顺义·期末）已知函数的一个零点为． (1)求A和函数的最小正周期； (2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 57．（22-23高三上·北京通州·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 58．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下： 0 1 0 0 (1)直接写出的解析式及其单调递增区间； (2)在中，，求的面积. 59．（22-23高三上·北京西城·期末）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，且，求x的取值范围． 60．（21-22高三上·北京顺义·期末）函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最小值. 三角函数的结构不良 61．（23-24高三上·北京石景山·期末）设函数． (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：时，的值域是； 条件③：是的一条对称轴． 62．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知， (1)求的解析式； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到； 条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为. 注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 63．（22-23高三上·北京大兴·期末）函数（，，）部分图象如图所示，已知 .再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分. (1)求函数的解析式； (2)求的单调减区间. 64．（21-22高三上·北京密云·期末）已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知． (1)求的值； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值． 条件①：的最小正周期为； 条件②：的最大值与最小值之和为0； 条件③：． 65．（21-22高三上·北京房山·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，求函数在上的最小值. 条件①：的最大值为； 条件②：的一个对称中心为； 条件③：的一条对称轴为． 66．（21-22高三上·北京东城·期末）已知函数，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）的最小正周期； （2）在区间上的最大值． 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 67．（21-22高三上·北京·期末）已知函数，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）的最小正周期； （Ⅱ）的单调递增区间. 条件①：图像的对称轴为；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 1．（22-23高三上·北京顺义·期中）函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数在区间上的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列的公差为，集合.则（    ） A．不可能有无数个元素 B．当且仅当时，只有1个元素 C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 4．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③的最大值是；④曲线是轴对称图形，则正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 5．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知函数，则（    ） A． B．不是周期函数 C．在区间上存在极值 D．在区间内有且只有一个零点 6．（23-24高三上·北京东城·期末）设函数，对于下列四个判断： ①函数的一个周期为； ②函数的值域是； ③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； ④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点． 正确的判断是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（21-22高三上·北京·期末）已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论： ①的一个周期是； ②是偶函数； ③的最大值大于； ④在单调递减. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 8．（21-22高三上·北京·期末）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧EG，……，如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE，EG，GI的长度分别为，对于以下四个命题：①；②；③；④.其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 9．（21-22高三上·北京东城·期末）已知函数，，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，． ① ； ②若对任意都成立，则实数a的取值范围是 ． 10．（21-22高三上·北京西城·期末）对于函数，下列4个结论正确的是 . ①任取，都有； ②，对一切恒成立； ③若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则； ④函数有5个零点 11．（21-22高三·北京·期末）已知函数的部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知. (1)求函数的解析式： (2)设函数，若在区间上单调递减，求的最大值. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05三角函数 三角函数的相关概念 1．（21-22高三上·北京·期末）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式即可求出. 【详解】角的终边与单位圆交于点， ， . 故选：C. 2．（21-22高三上·北京·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的终边经过点，求得，再利用诱导公式求解. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点， 所以， 所以， 故选：A 3．（21-22高三上·北京密云·期末）如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点．且点的横坐标为，若角的终边与角的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义得到，结合诱导公式求出. 【详解】显然，，的终边与角的终边关于轴对称，故，，所以，所以C正确 故选：C 4．（22-23高三上·北京昌平·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】， 所以， 所以. 故选：D 5．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知角的终边在第三象限，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由同角之间的公式可求得，进而得解. 【详解】由角的终边在第三象限，则 由题设知，解得， 所以 故选：C 6．（21-22高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，角的终边过点，将的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由终边上的点知，，进而可得，即可求. 【详解】由角的终边过点，知：，， ∴，故. 故选：A. 7．（21-22高三上·北京顺义·期末） . 【答案】 【解析】利用诱导公式可求得结果. 【详解】. 故答案为：. 8．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解. 【详解】由题知，， 又，所以， 所以. 故答案为： 9．（21-22高三上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则 ． 【答案】/0.6 【分析】先根据三角函数定义求得，再使用诱导公式进行求解. 【详解】根据三角函数定义可得：，由诱导公式得：. 故答案为： 三角函数求值 10．（23-24高三上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意并根据可得，由三角函数定义知，然后应用差角余弦公式计算求值即可. 【详解】由题意，设，由已知A的坐标并结合三角函数的定义得， 则. 故选：C 11．（22-23高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为.若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案. 【详解】由三角函数的定义可知：， 故，故， 解得：. 故选：D 12．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知为第二象限角，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】由题知，再根据正弦的差角公式求解即可. 【详解】解：因为为第二象限角， 所以，， 所以， 故答案为： 13．（21-22高三上·北京东城·期末）已知，，则 ， ． 【答案】 【解析】本题根据角的范围，判断出来，通过即可求得. 【详解】因为，所以 因为，，所以 所以. 故答案为：；． 三角函数的图像与性质 14．（22-23高三上·北京房山·期末）若角、是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设可得，结合诱导公式判断内角、对应三角函数值的大小关系. 【详解】由锐角三角形知：且， 所以， 则，即，且，即. 又已知角的大小不确定，故A、B不一定成立，而C错，D对. 故选：D 15．（22-23高三上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断命题“角与角的终边关于轴对称”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案. 【详解】由题意知，角与角的终边关于轴对称时，则 ， 故，则，即； 当时，此时，角与角的终边不关于轴对称， 即“”成立不能得出“角与角的终边关于轴对称”成立， 故“角与角的终边关于轴对称”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 16．（21-22高三上·北京·期末）已知函数，，则“”是“的值域为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论. 【详解】充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立； 必要性：函数的最小正周期为， 因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立. 因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件. 故选：B. 【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法： （1）定义法； （2）集合法； （3）转化法. 17．（22-23高三上·北京西城·期末）设，均为锐角，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由于，均为锐角，所以，.先讨论充分性，当时，，结合函数在上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当时，由于，结合函数在上单调递增，即可得出，进而求解. 【详解】因为，均为锐角，所以，. 当时，， 由函数在上单调递增，所以， 故“”是“”的充分条件. 当时，由，，则，所以， 因为函数在上单调递增，所以，即， 故“”是“”的必要条件. 综上所述，“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 18．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．最小正周期为，且作上为增函数 D．的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 【答案】C 【分析】利用辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、最小正周期公式、单调性、奇偶性逐一判断即可. 【详解】， 对于A，因为，所以不是函数图象的对称轴，所以A错误， 对于B，因为，所以点不是函数图象的对称中心，所以B错误， 对于C，的最小正周期为 ，当即 时，单调递增，所以 在上单调增，所以C正确； 把的图象向右平移 个单位得到函数的图象，没有奇偶性，所以D错误， 故选：C 19．（2022·北京西城·一模）如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间上是增函数 B．恰有个零点 C．的最小值为 D．的图象关于点中心对称 【答案】B 【分析】由题意得到逐项判断. 【详解】解：由题意得：， 所以， 由得， 令，则，因为在上递减，在上递增， 所以在区间上是减函数，故A错误； 令，得或，解得或，故B正确； 因为，所以的最小值为，故C错误； 因为，关于对称，是轴对称图形， 所以不可能关于点中心对称，故D错误； 故选：B 20．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，为图象的对称中心，、是该图象上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是（    ） A．函数的对称轴方程为 B．若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极小值点 C．函数在区间上单调递增 D．的图象关于轴对称 【答案】B 【分析】利用函数的基本性质求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用极小值点的定义可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】设函数的最小正周期为，则，解得， 所以，，则， 又因为，由于，则， 所以，，则，所以，. 对于A选项，由可得，A错； 对于B选项，当时，， 因为函数在区间内有个零点，则， 此时，函数在区间内有个极小值点，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在区间上不单调，C错； 对于D选项，， 所以，函数的图象不关于轴对称，D错. 故选：B. 21．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【答案】B 【分析】根据二倍角公式，结合余弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可. 【详解】， 因为该函数最小正周期为，， 所以有，即， 当时，即当时，函数单调递减，因此选项A不正确，选项B正确； 当时，即当时，函数单调递增，因此选项C不正确，选项D不正确， 故选：B 22．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论： ①在区间上有且仅有3个不同的零点； ②的最小正周期可能是； ③的取值范围是； ④在区间上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④. 【详解】由函数， 令，则 函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合， 由，得，则， 即，，故③正确； 对于①，，， 当时，在区间上有且仅有3个不同的零点； 当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误； 对于②，周期，由，则，， 又，所以的最小正周期可能是，故②正确； 对于④，，，又， 又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误． 故正确结论的序号是：②③ 故选：B 【点睛】方法点睛：函数的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴，由求对称中心. (4)由求增区间；由求减区间. 23．（21-22高三上·北京·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①函数是周期为的偶函数； ②函数在区间上单调递减； ③函数在区间上的最小值为； ④将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合． 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【解析】由三角函数的周期公式和函数的奇偶性的定义可判断①； 由时，得，由的单调性可判断②； 由时，得，由，可判断③； 由图象的平移和诱导公式可得，由此可判断④． 【详解】因为函数，所以函数的周期为，而，所以函数是非奇非偶函数，故①不正确； 当时，得，而在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故②正确； 当时，得，所以，所以函数在区间上的最小值为，故③不正确； 将函数的图象向右平移个单位长度后，函数的解析式为，所以所得图象与的图象重合正确，故④正确． 故选：D． 24．（21-22高三上·北京·期末）已知，则下列说法错误的是（    ） A．若在内单调，则 B．若在内无零点，则 C．若的最小正周期为，则 D．若时，直线是函数图象的一条对称轴 【答案】C 【分析】化简函数的解析式为，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数， 对于A中，由，可得， 要使得在内单调，则满足，解得， 因为，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 要使得在内无零点，则，解得， 因为，所以，所以B正确； 对于C中，函数的最小正周期为，可得，解得，所以C不正确； 对于D中，若，则函数， 当时，，此时， 则直线是函数图象的一条对称轴，所以D正确. 故选：C. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法： 1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式； 2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中注意角的范围的判定，防止错解. 25．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论： ①函数的最小正周期是； ②函数在区间上单调递增； ③函数的图象过点； ④直线为函数的图象的一条对称轴． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据函数图象求出，结合三角函数的性质进而求出函数的零点，作出图象，利用数形结合的思想依次判断结论即可. 【详解】由图象得，， 又函数图象过点，所以， 由，得，所以， 所以，令， 所以函数的零点有，作出图象，如图， 由图象可得， 的最小正周期为，故①正确； 函数在上单调递增，即在上单调递增，故②正确； 令，得，即函数图象过点，故③错误； 由函数图象知直线是图象的一条对称轴，故④正确. 故答案为：①②④ 26．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②④ 【分析】取可判断①，取化简后可判断②，先化简，取可判断③，取可判断④. 【详解】对于①，当时，其最大值为1，最小值为0，的最大值与最小值的差为1，故①错误； 对于②，当时，，，因此对任意，，故②正确； 对于③，，，当时，故③错误； 对于④，当时，取，，使得对任意，都有，故正确. 故答案为：②④ 27．（22-23高三上·北京房山·期末）函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论： ①是函数的一个周期；     ②的图象关于直线对称； ③的图象关于点对称；     ④在上单调递增. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】①应用诱导公式判断判断是否成立即可；②③、的等量关系判断正误；④判断，，上，，对应单调性，即可判断. 【详解】①， 所以是函数的一个周期，正确； ， 所以不关于直线对称，而关于点对称，②错误，③正确； ④，则，，， 而在、、均递增，故在上单调递增，正确. 故答案为：①③④ 三角函数解析式中相关量的求解 28．（21-22高三上·北京东城·期末）函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值. 【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则. 又，则， 则，，则，， ，则，，则， . 故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 28．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象即可得到，进而求得，结合正弦型函数的性质可求得周期和，从而求得答案. 【详解】由图可知，函数过点和点，即， 又因为，所以， 结合正弦型函数的性质可知， ，解得， 所以，解得，因为，所以 所以，所以， 即， 解得， 因为，所以 故选：B. 30．（22-23高三上·北京海淀·期末）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件求出椭圆的长半轴长和短半轴长，由此可求，再求离心率，再求圆柱侧面展开图的底边边长，由此可得正弦型函数的周期. 【详解】设截口椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距长为， 因为圆柱的底面直径为2，所以，故，因为椭圆截面与底面的夹角为，所以，所以，所以，所以，所以， 观察图4知，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以. 故选：B. 31．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知，若存在，使，则正整数的一个取值是 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据三角函数的性质即可得，进而可求解. 【详解】由可得, 由于，所以不妨，，则，满足， 故答案为：3（答案不唯一） 32．（23-24高三上·北京东城·期末）已知函数，若，则的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用和角的正弦公式和诱导公式化简，求出即可求解. 【详解】， 即，解得， ，，. 的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一）. 33．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案. 【详解】由于若，且在区间上有最小值无最大值， ，则， 所以， ， 由于，所以的值为. 故答案为： 34．（21-22高三·北京·期末）已知函数是偶函数，则的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据偶函数的性质，结合诱导公式、余弦函数的性质进行求解即可. 【详解】因为该函数是偶函数，所以有， 当时，有， 于是有：或， 解得：， 当时，有， 于是有或， 解得， 所以，显然的一个取值可以是， 故答案为： 35．（21-22高三上·北京东城·期末）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为.若，则 ； . 【答案】 2 / 【分析】根据函数相邻的两个零点之间相距半个周期，结合，即可求出，求出，再根据即可求出. 【详解】解：因为函数相邻的两个零点之间相距半个周期， 所以， 所以， 所以， 令， 则，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：2；. 36．（21-22高三上·北京·期末）若函数为偶函数，则常数的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据函数为偶函数有，化简得对任意恒成立，所以有，取其中一个值即可得出答案. 【详解】解：因为函数为偶函数，则 所以 所以 等价于对任意恒成立，所以， 所以，所以常数的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 （1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； （2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式； （3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 37．（21-22高三上·北京·期末）若函数的一个周期是，则常数的一个取值可以为 . 【答案】2（答案不唯一） 【解析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期求解，注意题中已知条件是函数的一个周期是，并没有说是最小正周期．因此只要函数的最小正周期是除以一个正整数，都可满足题意． 【详解】， 令，，且为锐角， 则， 由，得， 实际上，由得，或者（且），（且），可为任意一个非零点的偶数． 故答案为：2．（填任一非0的偶数都可以）． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，求解三角函数周期，一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期性求解．而我们一般说周期通常是求最值正周期，若题中强调某个数是函数的一个周期，则这个周期不一定是最小正周期． 38．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数，那么函数的最小正周期是 ：若函数在上具有单调性，且，则 . 【答案】 【解析】（1）利用周期公式求解即可. （2）对代入化简可求出的正切值，写出表达式，根据范围确定的值. 【详解】（1） （2）由可得，利用诱导公式化简可得 ，展开得， ，又， 【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 39．（21-22高三上·北京·期末）某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示1月份，和是正整数，，.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律： ①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同. 根据已知信息，得到的表达式是 . 【答案】，是正整数且 【解析】根据最值列出等式求，再根据最高点和最低点对应的月份求周期，并求，以及利用最高点求. 【详解】由题意可知，解得：， ，解得：， 当时，， 得： ，， 所以的表达式是，是正整数且. 故答案为：，是正整数且 【点睛】方法点睛：形如 ，一般根据最值求，利用最值，零点对应的自变量的距离求周期和，以及“五点法”中的一个点求. 三角函数的图象变换 40．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数图像的平移变换可得解. 【详解】函数的图像向右平移个单位长度得到 故选：D 41．（22-23高三上·北京东城·期末）已知函数，则 ；若将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则的一个对称中心为 . 【答案】 (答案不唯一) 【分析】化简，代入即可求出；由三角函数的平移变换求出，再由三角函数的性质求出的对称中心，即可得出答案. 【详解】， 所以， 将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象， 则， 所以的对称中心为. 故的一个对称中心为. 故答案为：；(答案不唯一). 42．（2021·北京门头沟·二模）函数的图像向左平移 个长度单位得到函数的图像，若函数在区间单调递增，则的最大值为 【答案】 【分析】由平移变换得出第一空，根据正弦函数的单调性得出第二空. 【详解】函数的图像向左平移个长度单位得到函数的图象，因为，化简得，所以函数在上单调递增，所以，故的最大值为. 故答案为：； 三角函数的最值与范围问题 43．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，设出，，，，表达出，结合的范围求出最小值. 【详解】如图所示：不妨令，设，， 由于，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：C 44．（21-22高三上·北京密云·期末）已知函数，，则（    ） A．最大值为2，最小值为1 B．最大值为，最小值为1 C．最大值为，最小值为1 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【分析】利用化简f(x)解析式，根据二次函数的性质即可求f(x)最值. 【详解】， 时，sinx∈[，1]， ∴当sinx＝时，f(x)最大值为；当sinx＝1时，f(x)最小值为1. 故选：B. 45．（21-22高三上·北京通州·期末）函数是（    ） A．奇函数，且最大值为2 B．奇函数，且最大值为1 C．偶函数，且最大值为2 D．偶函数，且最大值为1 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义可判断奇偶性；利用二倍角公式结合三角函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意，， ，所以该函数为偶函数， 又， 所以当即时，取最大值1. 故选：D. 46．（21-22高三上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线距离，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】设点到直线的距离为， ， ， 即， 所以的最大值为：， 故选：D 47．（21-22高三上·北京海淀·期末）若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围. 【详解】由，可得当时函数单调递增， 即， 当时，， 又函数在， 所以， 即的最大值为， 故选：C. 48．（23-24高三上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为．若记点到直线的距离为，则的极大值点为 ，最大值为 ．    【答案】 或 /0.5 【分析】根据三角函数的概念得及，利用面积法求得，根据的范围及三角函数的性质讨论的单调性，进而求得答案. 【详解】由题意，， 由，得 ， ∴当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增；当时，单调递减， 则的极大值点为或， ∵，， ∴当，即或时，取最大值为． 故答案为：或；. 49．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，则，然后结合的图象与性质得到不等式组，解不等式组即可. 【详解】令，因为，所以， 则在上有且仅有两条对称轴， 当时，显然两条对称轴为和， 若，则有且仅有两条对称轴，解得； 若，则有三条以上的对称轴，不符合题意，舍去； 若，则有不足两条对称轴，不符合题意，舍去； 综上：， 故答案为：. 50．（21-22高三上·北京丰台·期末）函数的最小正周期 ，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的最大值为，则的值可以为 ． 【答案】 (答案不唯一) 【解析】根据周期公式直接求出最小正周期，求出，化简得出的解析式，根据最值得出，即可解出. 【详解】的最小正周期， 可得 则 ，其中为辅助角， 的最大值为， ，得，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据三角函数的最值求参数，解题的关键是通过三角恒等变化得出，从而由最值得出. 三角函数综合性解答题 51．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知函数的图象过原点. (1)求的值及的最小正周期； (2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用函数图象过原点求得，然后利用三角恒等变换化简函数，利用周期公式求解周期； （2）先利用换元法求解函数的单调递增区间，利用子集关系建立不等式求解即可. 【详解】（1）由得.所以 . 所以的最小正周期为. （2）由（），得（）. 所以的单调递增区间为（）. 因为在区间上单调递增，且，此时， 所以，故的最大值为. 52．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)设函数，求在区间上的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）直接利用定义求最小正周期和单调递增区间即可. （2）利用导数求函数最值即可. 【详解】（1）设的最小正周期为，显然，令，解得. （2）由已知得，， 当时，令，，令，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则最大值是. 53．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）由二倍角公式以及两角和与差化简可得，再求最小正周期和单调区间即可； （2）由得，则的值可求. 【详解】（1）因为， 所以. 所以的最小正周期. 令，得. 所以的单调递增区间为. （2）因为，所以. 因为， 所以. 所以. 所以. 所以的值为. 54．（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数的一个零点为. (1)求的值及的最小正周期； (2)若对恒成立，求的最大值和的最小值. 【答案】(1)，最小正周期为 (2)的最大值为，的最小值为1 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可代入求解，由周期公式即可求解， （2）根据整体法求解函数的最值，即可求解. 【详解】（1）， 由于，故， 所以，周期为， （2）当时，， 故当时，取最大值， 当时，取最小值，因此 因此，故的最大值为，的最小值为1 55．（23-24高三上·北京房山·期末）已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称. (1)求的值； (2)设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合的取值范围可求得的值； （2）利用三角恒等变换化简得出，由可得，结合题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 可得到函数， 由题意可知，函数为奇函数，则， 可得，又因为，则. （2）解：由（1）可知，， 则， 因为，则， 由，可得， 因为在区间上有且只有一个零点，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 56．（22-23高三·北京顺义·期末）已知函数的一个零点为． (1)求A和函数的最小正周期； (2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）解方程即可求，然后把函数降幂，辅助角公式后再求周期. （2）若恒成立，即求. 【详解】（1）的一个零点为 ，即， 所以函数的最小正周期为. （2） 当时有最大值，即 . 若恒成立，即, 所以，故的取值范围为. 57．（22-23高三上·北京通州·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】(1). (2)，. 【分析】（1）化简的表达式，根据最小正周期求得的值； （2）根据三角函数图象的变换规律，可得的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期,依题意得，解得. （2）由（1）知， 把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再把得到的图象向右平移个单位，得到的图象， 即， 由函数的单调递增区间为，, 令，得， 所以的单调递增区间为，. 58．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下： 0 1 0 0 (1)直接写出的解析式及其单调递增区间； (2)在中，，求的面积. 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）根据“五点法”可得函数的解析式，根据正弦函数的性质即得； （2）由题可得，然后根据余弦定理及三角形面积公式即得. 【详解】（1）由题可知函数的最小正周期为， 所以， 根据“五点法”可得，即， 所以， 由，可得， 所以函数的单调递增区间为； （2）因为，又，， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，即， 所以. 59．（22-23高三上·北京西城·期末）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，且，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式即可化解得，则得到其最小正周期； （2）根据范围求出，则，则，解出即可. 【详解】（1） 所以的最小正周期为. （2）因为,所以. 因为,所以. 所以.解得,所以的取值范围是. 60．（21-22高三上·北京顺义·期末）函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由图象可得出的最大值和最小正周期，可求得、的值，再由结合的取值范围可求得的值，进而可求得函数的解析式； （2）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可求得的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值. 【详解】（1）由图象可得， 函数的最小正周期为，所以，， ，所以，， ，，，可得， 因此，； （2）， 当时，， 所以，当时，函数取最小值，即. 【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 三角函数的结构不良 61．（23-24高三上·北京石景山·期末）设函数． (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：时，的值域是； 条件③：是的一条对称轴． 【答案】(1) (2)选②或③， 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解； （2）选①，由可判断； 选②，由题意，，由三角函数的性质可得周期，即可得； 选③，由题意，得，又是的一条对称轴，所以，由此可解得. 【详解】（1）因为，所以 ． 因为，所以． （2）选①， ∵，∴函数的图象不可能经过点，不合题意； 选②， 因为在区间上单调递减，且当时，的值域是， 所以，. 此时，由三角函数的性质可得，故．    因为，所以. 选③， 因为在区间上单调递减， 所以，即，解得．   因为是的一条对称轴，所以. 所以，即， 解得. 由，可知. 62．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知， (1)求的解析式； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到； 条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为. 注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）化简，若选①，将点代入求得，可得答案；选②，根据三角函数图象的平移变化规律可得，可得答案；选②，由函数的最小正周期可确定，可得答案； （2）由确定，从而求得的范围，根据不等式恒成立即可确定实数的取值范围. 【详解】（1）; 选①：函数的图象经过点，则， 所以，则， 由，可得，则； 选②：函数的图象可由函数的图象平移得到， 即的图象可由函数的图象平移得到， 则，则. 选③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为， 则函数的最小正周期为，故， 故. （2）当时，,则， 故， 又当时，关于的不等式恒成立，故, 即实数的取值范围为. 63．（22-23高三上·北京大兴·期末）函数（，，）部分图象如图所示，已知 .再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分. (1)求函数的解析式； (2)求的单调减区间. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据，可得周期，进而结合图象特征以及三角函数的对称性即可根据选项逐一求解， （2）根据整体法即可由正弦函数的单调区间进行求解. 【详解】（1）由图可知，所以. 又知.所以. 若选择条件①②，即，. 因为 . 由图可知是单调增区间上的一个零点，所以，，即 因为，所以当时，. 所以 又因为，所以. 所以. 若选择条件①③，即，. 因为 . 由图可知，，即. 因为， 所以当时，. 所以 . 又因为 ， 所以，故. 若选择条件②③，即，. 因为， 由图可知，当时取得最大值， 即， 由，得，， 因为，所以. 又 ， 所以，故. （2）因为函数的单调递减区间为，， 由，， 得，. 所以单调递减区间为，. 64．（21-22高三上·北京密云·期末）已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知． (1)求的值； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值． 条件①：的最小正周期为； 条件②：的最大值与最小值之和为0； 条件③：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先对函数化简得，若选择①和②，则，，求出的值，从而可得的解析式，从而可求出，若选择①和③，则，求出的值，从而可得的解析式，从而可求出，若选择②和③时，不存在， （2）由（1）得到的解析式，求出函数的增区间，再根据题意可求出的最大值 【详解】（1） （1）若选择①和②，则 ，， 解得， 所以 所以， 若选择①和③，则 ， 解得， 所以， 所以， 若选择②和③，则 ，且，这样的不存在， （2）由（1）可知，若选择①和②，， 由，得 ， 所以的增区间为， 因为函数在区间上是增函数， 所以实数的最大值为， 若选择①和③，则， 由，得 ， 所以的增区间为， 因为函数在区间上是增函数， 所以实数的最大值为， 65．（21-22高三上·北京房山·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，求函数在上的最小值. 条件①：的最大值为； 条件②：的一个对称中心为； 条件③：的一条对称轴为． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简为标准型，再求最小正周期即可； （2）分别讨论条件①②③对应的是否唯一确定，在满足题意的情况下求其最小值即可. 【详解】（1）因为 故函数的最小正周期. （2）选择条件①： 由的最大值为，可知，所以 所以 因为，所以， 所以 当，即时，取得最小值； 选择条件②： 由的一个对称中心为，可知， 所以，          所以 因为，所以      所以 当，即时，取得最小值； 选择条件③： 由的一条对称轴为，实数的值无法确定，不满足题意. 综上所述：选择条件①，的最小值为； 选择条件②，的最小值为； 选择条件③，的值无法确定. 66．（21-22高三上·北京东城·期末）已知函数，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）的最小正周期； （2）在区间上的最大值． 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】若选①，（1），（2）最大值为；若选②，（1），（2）最大值为； 【分析】若选①， （1），再计算周期即可. （2）根据得到，从而得到，即可得到函数的最大值. 若选②， （1），再计算周期即可. （2）根据得到，从而得到，即可得到函数的最大值. 【详解】若选①， （1） . . （2）因为，所以， 所以，即的最大值为. 若选②， . . （2）因为，所以， 所以，即的最大值为. 67．（21-22高三上·北京·期末）已知函数，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）的最小正周期； （Ⅱ）的单调递增区间. 条件①：图像的对称轴为；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析. 【解析】选① (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得 ，根据对称轴求得的值，进而求得的值，得到函数的解析式，求得最小正周期； （Ⅱ） 根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得的递增区间. 选② (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂得到，根据选择的条件求得的值，得到函数的解析式，并利用辅助角公式化简，然后求得的最小正周期； （Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得的递增区间. 选③逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得到 然后求得的最小正周期； （Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得的递增区间. 【详解】选① （图像的一条对称轴为）     解：(Ⅰ) （其中） 因为图像的一条对称轴为 所以 即有 所以 所以    故 所以的最小正周期为：     （Ⅱ）      所以的递增区间为 选② ( 解：(Ⅰ) 所以的最小正周期为： （Ⅱ） 所以的递增区间为 选③（） 解：（I） 所以的最小正周期为：   （Ⅱ）     所以的递增区间为 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，关键是逆用余弦的二倍角公式降幂后，并使用辅助角公式化简. 1．（22-23高三上·北京顺义·期中）函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据,在上,可得出,再根联立,得到的值,根据缩小的取值范围,进而代入求值即可. 【详解】解:由题知,, 均在上, , , , 故有:, 两等式联立有, 解得, , , , , 综上选项B正确. 故选:B 2．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数在区间上的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出时的解析式，根据周期性进而可求的最小值. 【详解】的周期为，所以只需讨论时的最小值即可， 因为的单调递减区间为,单调递增区间为，，且对称轴为， 当时，，且， 所以此时； 当时，，且， 所以此时； 当时，，此时； 所以， 所以在时的最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 3．（23-24高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列的公差为，集合.则（    ） A．不可能有无数个元素 B．当且仅当时，只有1个元素 C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 【答案】D 【分析】对于，选项，可取特殊数列验证即可；对于可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于，结合正弦函数的周期，即可判断. 【详解】选项，取，则，由，因为是无穷等差数列，正弦函数是周期为的函数，所以在每个周期上的值不相同，故错误； 选项，取，即，则，只有一个元素，故错误； 选项，假设只有2个元素，，这2个元素的乘积为，如图可知当等于或时，显然不是等差数列，与已知矛盾，故错误； 选项，当时, ， ， ， ， ， ，，所以最多有个元素， 又因为正弦函数的周期为，数列的公差为， 所以把周期平均分成份，所以个元素的和为0，故正确. 故选:. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断. 4．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③的最大值是；④曲线是轴对称图形，则正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据可判断④，根据余弦的有界性以及二次函数的性质即可判断①②③. 【详解】由于,所以,因此,故图象关于对称，因此曲线是轴对称图形，故④正确， 由于当时，分母单调递增，故当自变量越来越大时，分母的值也越来越大，而分子是有界的，所以的图象随着自变量的增大而无限靠近轴，因此不是周期函数，故①错误， ，当时，第一个等号成立，当时，第二个等号成立，故不存在的值，使得两个等号同时成立，因此 ，故③错误， ，当时，第一个等号成立，当时，第二个等号成立，故当时，两个等号同时成立，故当时，的最小值是，故②正确， 故选：B 5．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知函数，则（    ） A． B．不是周期函数 C．在区间上存在极值 D．在区间内有且只有一个零点 【答案】D 【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得，由此即可判断；对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令，解方程即可得解. 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误； 对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减， 所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误； 对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确. 故选：D. 6．（23-24高三上·北京东城·期末）设函数，对于下列四个判断： ①函数的一个周期为； ②函数的值域是； ③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； ④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点． 正确的判断是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断②；利用，结合两点间距离公式可判断③；结合解，根据解的情况判断④，即得答案. 【详解】对于①，，， 故不是函数的一个周期，①错误； 对于②，， 需满足，即， 令，，则即为， 当时，在上单调递增，则； 当时，， （，故） 此时在上单调递减，则， 综上，的值域是，②错误； 对于③，由②知，， 当时，, 满足此条件下的图象上的点到的距离； 当时，, 满足此条件下的图象上的点到的距离， 当且仅当且时等号成立， 而时，或， 满足此条件的x与矛盾，即等号取不到， 故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误； 对于④，由②的分析可知，则，即， 又，故当且仅当时，， 即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，④正确． 故选：D 【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解. 7．（21-22高三上·北京·期末）已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论： ①的一个周期是； ②是偶函数； ③的最大值大于； ④在单调递减. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】①，利用周期定义判断；②，利用和的值判断；③利用的值判断；④判断函数在的函数值判断即可． 【详解】解：①：因为， 所以函数的一个周期为，故①正确； ②：因为，， 所以，故函数不是偶函数；故②错误； ③因为，故③正确； ④：当时，，， 所以， 所以，即当时，为定值，故④错误； 故选：． 8．（21-22高三上·北京·期末）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧EG，……，如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE，EG，GI的长度分别为，对于以下四个命题：①；②；③；④.其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】不妨设，则，根据弧长公式求出，再对①②③④逐个验证可得答案. 【详解】不妨设，则， 所以， ， 所以， ， 所以， 所以，故①正确； ，， 所以，故②正确； ，， 所以，故③不正确； ，，所以， 故④不正确；所以①②正确， 故选：A 9．（21-22高三上·北京东城·期末）已知函数，，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，． ① ； ②若对任意都成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】①根据解析式以及取整的定义，将代入解析式可求函数值；②讨论的取值范围，求出，根据不等式恒成立，只需即可求解. 【详解】①由， . ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 又对任意都成立，即恒成立， ，所以， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：； 10．（21-22高三上·北京西城·期末）对于函数，下列4个结论正确的是 . ①任取，都有； ②，对一切恒成立； ③若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则； ④函数有5个零点 【答案】①③ 【分析】由函数图像判断①；取判断②；由函数与函数的图像结合对称性判断③；由函数与函数的图像判断④. 【详解】对于①，函数的图象如下图所示：由图可知，，则任取，都有，故①正确； 对于②，当时，则，而由解析式知，②错误； 对于③，函数与函数的图象如下图所示，若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则，由对称性可知，③正确； 对于④，函数与函数的图象如下图所示，由图可知，两函数的交点有3个，即函数有3个零点，④错误. 故答案为：①③. 11．（21-22高三·北京·期末）已知函数的部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知. (1)求函数的解析式： (2)设函数，若在区间上单调递减，求的最大值. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象可知，若选①②可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式；若选①③可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式；若选②③可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式. （2）结合（1）可得函数解析式，进而可求函数的单调区间，根据单调性可得参数的取值范围. 【详解】（1）选条件①②： 因为，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，， 所以，即. 因为，所以，. 所以. 选条件①③： 因为，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，， 所以，即. 因为，所以，. 所以. 选条件②③： 因为，，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，， 所以，即. 因为，所以，. 所以. （2）由题意得. 函数的单调递减区间为. 由， 得. 因为函数在区间上单调递减，且，此时. 所以，所以的最大值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$