专题08：一元一次方程同解问题（期末压轴题专练）--2024-2025学年人教版七年级上册数学期末压轴题专题训练

专题:08：一元一次方程同解问题（期末压轴题专练） 1．如果方程的解与关于x的方程的解相同，求a的值． 2．在做解方程练习时，有一个方程“”题中●处不清晰，李明问老师，老师只是说：“●是一个有理数，该方程的解与方程的解相同”依据老师的提示，请你帮李明求出方程的解，并找到这个有理数． 3．若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 4．已知方程和方程的解相同， (1)求的值； (2)求代数式的值． 5．嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 6．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若已知方程与方程的解相同，求的值． 7．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若已知方程与方程的解相同，求的值． 8．已知：关于x的方程的解与关于x的方程的解相同，且． (1)求a和b的值； (2)求代数式的值． 9．已知关于的方程与的解相同； (1)求这个相同的解； (2)求的值． 10．已知关于的一元一次方程． (1)求这个方程的解； (2)若这个方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 11．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (2)若关于x的两个方程与是同解方程，求a的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 12．已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值； (2)在（1）的条件下，若关于的方程无解，求的值． 13．已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求a的值； (2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 14．已知关于x的方程是一元一次方程，它的解与关于x的方程的解相同． (1)求k的值； (2)求a的值． 15．已知关于的两个方程和． (1)用含的式子表示方程的解． (2)若方程与的解相同，求的值． 16．已知关于 x 的方程是一元一次方程． (1)求 m 的值； (2)若该方程的解与关于 x 的方程 的解相同，求 n 的值． 17．已知方程和方程的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 18．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程； （1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值； （2）若关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，求a的值； （3）若关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝﹣（m+1）是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 19．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． （1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值； （2）若关于x的两个方程2x＝a+1与3x-a＝-2是同解方程，求a的值． 20．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)若关于的两个方程与是同解方程，求的值； (2)已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数_______． (3)若关于的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， ∴． 因为两个方程的解相同，所以满足方程， 将代入方程， 得，， 解得． 【点睛】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 2．方程的解是x=，这个有理数为 【分析】设■为a，先解出方程的解，代入，即可求出a的值，就是要求的有理数． 【详解】解：∵， 解得：x=， ∴y=x=， ■为a，则方程“”变为“”， 把y=代入得：， 解得：a=， ∴方程的解是x=，这个有理数为． 【点睛】本题考查了同解方程，理解同解方程的意义是解决问题的关键． 3．(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 4．(1) (2) 【分析】此题考查了学生的分析能力与计算能力，由于题目比较复杂，所以解题时要细心． （1）分别将两个方程中的用表示出来，然后建立方程就可得出的值． （2）将（1）求得的值代入即可． 【详解】（1）解：解方程 得， 解方程 ， 得 由题意得：， 解之得：． （2）将代入代数式中， 原式． 5．(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 6．(1) (2)m的值为 【分析】（1）由题意知，，计算求解即可； （2）由（1）可知，该一元一次方程为：，解得，，将代入，计算求解即可， 本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的定义，正确的解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：, （2）解：由（1）可知，该一元一次方程为：， 解得: ， ∵方程与方程的解相同， ∴将代入得，， 解得，， ∴m的值为． 7．(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义列式求解． （2）先解方程，再把方程的解代入原方程可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）原方程为：， ， 解得：，代入中， 得：，解得：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 8．(1)， (2)37 【分析】（1）将方程的解代入方程，可求出a的值，并根据求出b的值；掌握方程解得定义是解答本题的关键 （2）将（1）中求得的a和b的值代入计算即可，掌握代数式求值是解答本题的关键． 【详解】（1）解：解方程,得， 将代入方程，得，解得． ∵， ∴． 综上，，． （2）解：将，代入，得． 9．(1) (2) 【分析】（1）将解出来即可达到解答； （2）将（1）中的解代入进行求解即可． 【详解】（1）根据题意得， ； （2）根据（1）可得， ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，正确的计算是解决本题的关键． 10．(1) (2) 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）根据题意可知是方程的解，把代入方程中得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：由题意得是方程的解， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 11．(1) (2)1 (3)，或 【分析】（1）先解方程得到，再根据同解方程的定义得到方程的解为，则，解方程即可； （2）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （3）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到，再根据m，n都是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程是同解方程， ∴方程的解为， ∴， ∴； （2）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， 解得； （3）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了同解方程问题，熟知解一元一次方程的方法和同解方程的定义是解题的关键． 12．(1)， (2) 【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出的值，根据两个方程同解，即可求得的值； （2）把，的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式即可求得的值． 【详解】（1）解：∵关于的方程为一元一次方程， ∴，， 解得：， 当时，方程为： 解得：， 解得： ∴ （2）解：将，代入得： ， ∵关于的方程无解， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的解、一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 13．(1) (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再代入方程，即可求a的值 （2）根据已知条件可得b和c的值，最后代入求值即可解答． 【详解】（1）解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项．得． 系数化为1，得． 将代入，得， 解得． （2）由题意得，， 所以． 【点睛】本题考查了同解方程，数轴和有理数的乘方运算的知识，解答本题的关键是理解方程的解． 14．(1) (2) 【分析】（1）由一元一次方程的概念知：，且，即可求得的值； （2）把（1）中求得的的值代入原方程，解方程即可求得方程的解，再方程的解代入方程中，即可求得的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：由（1）可得原方程为， 解得， 把代入方程， 得， ， 解得． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念及其解，解一元一次方程等知识，熟悉这些知识是关键． 15．(1) (2) 【分析】（1）移项，系数化成1即可； （2）先求出每个方程的解，根据已知得出关于a的方程，求出a即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得：， ∵方程与的解相同， 由（1）知方程的解是， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 16．(1)3 (2) 【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值; （2）根据两个方程同解可得n的值． 【详解】（1）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得：， （2）当时，方程为：， 解得：， 解得， ． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 17．(1) (2)2 【分析】（1）分别解两个方程，根据解相同列出新的方程，求解即可得到m的值； （2）代入m的值求解即可． 【详解】（1）由解得：， 由解得：， 由题知：， 解得：； （2）当时，． 【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程和代数式求值，列出关于m的方程是解题的关键． 18．（1）m＝1；（2）a＝﹣7；（3）m＝3，n＝4或m＝1，n＝6． 【分析】（1）根据题意解方程再把方程的解代入到mx＝m+1求出m即可； （2）把a当做有理数解方程，用含a的表达式表示x，再根据两方程同解列方程求a即可； （3）把m，n当成有理数，用含m，n的表达式表示x，再根据两方程同解列方程求m，n即可； 【详解】（1）解方程2x＝4得x＝2， 把x＝2代入mx＝m+1得2m＝m+1， 解得m＝1； （2）关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2得x＝，x＝， ∵关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程， ∴， 解得a＝﹣7； （3）解关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝（m+1）得x＝，x＝， ∵关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝（m+1）是同解方程， ∴＝， ∴mn﹣3m﹣3＝0， mn＝3（m+1）， ∵m，n是正整数， ∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6． 【点睛】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数． 19．（1）m＝1；（2）a＝-7． 【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于m的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可； （2）分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）2x＝4 解得：x＝2 把x＝2代入mx＝m+1，得：2m＝m+1， 解得：m＝1； （2）2x＝a+1 解得：x 3x﹣a＝-2 解得：x ∵关于x的两个方程2x＝a+1与3x-a＝-2是同解方程， ∴ 解得：a＝-7． 【点睛】本题考查了同解方程、一元一次方程的知识；正确理解同解方程的定义是解题的关键． 20．(1) (2) (3)或． 【分析】(1)根据题意解方程再把方程的解代入到求出即可； （2）把当作已知数解方程，用含的表达式表示，再根据方程有整数解求即可； （3）把当成已知数，用含的表达式表示，再根据两方程同解列方程求即可； 【详解】（1）解： ， 把代入，得， 解得 （2）解： 解得： ∵关于的方程有整数解， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴； （3）解关于x的两个方程与 得， ， ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴， ， ∵是正整数， ∴或． 【点睛】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数，掌握方程的解的定义以及解一元一次方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$