专题06：代数式的综合应用（期末压轴题专练）--2024-2025学年人教版七年级上册数学期末压轴题专题训练

专题:06：代数式的综合应用（期末压轴题专练） 1．小王购买了一套经济适用房，地面结构如图所示（墙体厚度、地砖间隙都忽略不计，单位：米），他计划给卧室铺上木地板，其余房间都铺上地砖． 根据图中的数据，解答下列问题：（结果用含x、y的代数式表示） (1)求整套住房需要铺多少平方米的地砖？ (2)当，时，求客厅的面积比其余房间的总面积多多少平方米？ 2．为发展校园篮球运动，某城区四个校区决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球服和篮球，已知每套篮球服100元，每个篮球80元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买10套篮球服，送一个篮球；乙商场的优惠方案是：若购买篮球服满80套（含80套），则购买篮球打五折. (1)若该城区四校联合购买80套篮球服和8个篮球；则到甲商场购买所花的费用为________元，到乙商场购买所花的费用为________元； (2)若该城区四校联合购买100套篮球服和个篮球，请用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买所花的费用； (3)在（2）的条件下，当时，在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠？ 3．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第5个图案中，三角形有_____个，六边形有_____个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形与六边形各有多少个？ (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 4．观察如图所示的图形与算式的规律并解决问题．       （    ） (1)根据前三个图形与算式的规律，写出如图所示的图形对应的算式：__________． (2)根据以上观察，__________． (3)利用上面发现的规律计算：． 5．如图，用三种大小不同的5个正方形和1个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中．最小的正方形的边长为． (1)______，______（用含x的代数式表示） (2)用含的代数式表示长方形的周长，并求当时长方形的周长． 6．中国制造享誉世界，东莞某企业承接了2024年巴黎奥运会吉祥物“弗里热”的生产订单，为完成订单，该企业一条半自动生产线原计划每天生产m个产品． (1)如果按计划生产，则该生产线每周生产______个产品，生产的产品总量与生产的时间成_______关系．（填“正比例”或“反比例”） (2)在实际生产过程中，该生产线某周生产的产品个数情况如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划数m的差/个 70 60 80 140 ①若周一生产的产品数是500个，则周二生产的产品数是多少？ ②该车间这一周平均每天的实际生产量比计划数多了还是少了？请计算说明； (3)在（2）的条件下，为保证按时完成订单，该企业又引进了一条智能化生产线来完成订单剩余的70000个产品，其每天的产量是半自动生产线计划生产量的a倍，并计划一个月（按30天计算）内完成． ①这条智能化生产线完成订单所需时间与a成_________关系；（填“正比例”或“反比例”） ②当时，该企业能否在规定时间内完成订单？请计算说明． 7．兴华中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人2000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生都按七折收费． (1)设参加这次红色旅游的老师与学生共有a名，用含a的代数式分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用； (2)请通过计算说明，当a的值分别是5，10时，该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？ 8．学校办公楼前有一长为，宽为的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为的圆形区域建一个喷泉，两边是长为，宽为的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 9．饮早茶俗称“叹茶”，是广东人特有的饮食文化，在清朝时早已开始在广州盛行．一壶茶、一两笼小点心，或会友，或雅坐，开启一天生活的优雅序章．广式点心是早茶重头戏，又称为“粤式点心”种类繁多，工艺精湛，堪称为中华面点艺术的瑰宝．其中水晶虾饺就是代表点心之一． (1)若一笼装4个虾饺，做笼水晶虾饺点心需要______个虾饺？需要的虾饺总数量与笼数成______比例关系（填正或反）？ (2)若用100个虾饺做成了笼水晶虾饺点心，且每笼虾饺的个数相等，则每笼虾饺的个数是______个？每笼虾饺的个数与水晶虾饺点心的总笼数成______比例关系（填正或反）？ (3)若有个虾饺，按每笼虾饺的个数相等规定，装了笼水晶虾饺点心，还剩下个虾饺．则每笼水晶虾饺点心的虾饺个数是多少？当，，时，则每笼水晶虾饺点心的虾饺个数是多少？ 10．实践探究： 学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： (1)当有7张桌子时，第一种方式能坐________人，第二种方式能坐_____人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你通过计算，选择以上一种合适的方式来摆放餐桌． 11．周末小明陪爸爸去陶瓷商城购买了一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商店都在出售一种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价40元，茶杯每只定价5元，且两家都有优惠，甲商店买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯），乙商店全场九折优惠，小明的爸爸需购买茶壶5把，茶杯只（不少于5只）． (1)分别用含有的代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用； (2)当时，在甲、乙哪家商店购买付款较少？请说明理由． 12．如图，两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上，请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： (1)求每本课本的厚度； (2)若有一摞上述规格的课本m本，整齐地叠放在桌子上，用含m的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)若这一摞课本有45本，求课本的顶部距离地面的高度． 13．学校一花坛为长方形，它的长为，宽为，图中扇形的半径都为，扇形中种植花卉，阴影部分种植四季青草． (1)用含有的式子表示种植四季青草部分（阴影部分）的面积（结果保留）； (2)若，，求种植四季青草部分（阴影部分）的面积的值（取，结果精确到十分位）． 14．有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖；来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖；来三个孩子，就给每人三块糖；…… (1)第一天有a个男孩一起去了老人家，老人一共给这些孩子多少块糖； (2)第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给这些孩子多少块糖； (3)第三天这个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖． 15．某景区有两种购票方式． 方式一：购买个人票，其中一张学生票30元，一张普通票60元； 方式二：购买团体票（人数不少于40人），团体票中每张票均在普通票的基础上打7折，游客可根据情况选择合适的购票方式．某校现有名师生前往该景区秋游，其中学生有人． (1)用含，的代数式表示该校师生按方式一购票时所需费用； (2)用含，的代数式表示该校师生按方式二购票时所需费用； (3)当，时，哪种购票方式更合算？请说明理由． 16．某玩具生产商计划生产一批玩具，每天生产玩具的个数与生产的天数之间的关系如下表所示． 每天生产的个数 生产的天数 1 2 3 (1)这批玩具共有多少个？ (2)生产的天数是怎样随着每天生产玩具的个数的变化而变化的？ (3)用m表示这批玩具的生产天数，用n表示每天生产的个数，用式子表示m与n的关系，m与n成什么比例关系？ 17．某销售学习用品的商店推出两种优惠方案： 方案一：买1个书包，赠送1支水性笔； 方案二：书包和水性笔一律九折优惠． 每个书包定价为20元，每支水性笔定价为5元，小浩首先需买4个书包． (1)小浩需买支水性笔（不少于4支），用含的式子表示两种优惠方案各多少元？ (2)当时，采用哪种方案更划算？ (3)在（2）的条件下，可选择两种方案同时采用，请你设计最省钱方案并计算出总价． 18．如图，一个零件的横截面是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：）． (1)用式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分面积的值．（，结果保留整数） 19．操场跑道的平面示意图如图所示，内圈直径是，外圈直径是，直道长是． (1)用含，，的代数式表示跑道的面积； (2)小江测量文体中心操场跑道的平面示意图（比例尺为1：1000）得，，，若为跑道铺设塑胶的造价是200元，则铺设文体中心操场跑道一共需要多少经费？（取3.14） 20．某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价元，茶碗每只定价元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供优惠方案如下： 方案一：买一套茶具送一只茶碗； 方案二：茶具和茶碗按定价的九五折付款． 现在某客户要到商场购买茶具套，茶碗只． (1)若该客户按方案一购买，需付款 元(用含的式子表示)；若该客户按方案二购买，需付款 元(用含x的式子表示)； (2)若时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为便宜？ (3)当，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】本题考查列代数式及代数式求值问题，得到地面总面积的等量关系是解决本题的关键； （1）根据图中数据分别表示出客厅，厨房，卫生间和卧室的面积，然后求和即可； （2）根据题意列式表示出客厅的面积比其余房间的总面积多的面积，然后将，求解即可． 【详解】（1）解：客厅的面积为，厨房的面积为，卫生间的面积是，卧室的面积是； ∴地砖的面积是； （2）解：客厅的面积为，厨房的面积为，卫生间的面积是，卧室的面积是； ∴客厅的面积比其余房间的总面积多． ∴当，时，． 2．(1)； (2)到甲商场购买所花的费用为：元，到乙商场购买所花的费用为：元 (3)到甲商场购买篮球服和篮球更优惠，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，根据题目，读懂题意，正确列出式子是解答本题的关键． （1）根据题意，购买套，甲商场可以用优惠方案，乙商场不能用优惠方案； （2）根据甲、乙商场的优惠方案分别计算，得到答案； （3）将分别代入甲、乙商场购买所花费用的代数式中，比较两个大小，得到哪家商场购买篮球服和篮球更优惠． 【详解】（1）解：甲商场的优惠方案是：每购买10套篮球服，送一个篮球， 到甲商场购买所花的费用为：（元）， 乙商场的优惠方案是：若购买篮球服满80套，则购买篮球打五折， 到乙商场购买所花的费用为：（元）； （2）解：到甲商场购买所花的费用为： 元， 到乙商场购买所花的费用为： 元； （3）解：当时， 到甲商场购买所花的费用为：（元）， 到乙商场购买所花的费用为：（元）， ， 到甲商场购买篮球服和篮球更优惠． 3．(1)12，5 (2)第n个图案中有三角形个，六边形有n个 (3)不存在，见解析 【分析】本题考查了多边形和图形的变化类的规律，注意由特殊到一般的分析方法． （1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第1个图案中，三角形4个，六边形有1个， 第2个图案中，三角形6个，六边形有2个， 第3个图案中，三角形8个，六边形有3个， 第4个图案中，三角形10个，六边形有4个， 所以第5个图案中，三角形12个，六边形有5个， 故答案为：12，5； （2）解：由（1）总结规律可得，第n个图案中有三角形个，六边形有n个； （3）解：不存在，理由如下： 因为当时，三角形个，六边形有40个，而， 所以不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与40个六边形． 4．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形的变化规律，有理数的混合运算． （1）分析所给的三个图形与算式即可求解； （2）对上述的图形与算式进行总结即可； （3）利用所得的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，…， ∴所求的图形的算式为， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 5．(1)， (2)，52 【分析】（1）根据题意，，，根据正方形的性质，得，代入解答即可． （2）根据长方形周长定义，列出代数式，并求代数式的值即可． 本题考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握长方形的性质，正方形的性质，列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：设最右边的最小正方形的右下顶点为M，最左边小正方形的左上顶点为N， 根据题意，得，， 故，， 故答案为：，． （2）解：根据题意，得长方形的周长为： ， 当时， ． 6．(1)；正比例 (2)①670；②多，计算见解析 (3)①反比例；②能，计算见解析 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，列代数式，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据原计划每天生产m个产品表示出每周生产的产品个数，根据正比例和反比例的定义进行判断即可； （2）①根据表格中的数据列式计算即可； ②先求出表格中数据的平均值，然后再进行判断即可； （3）①根据正比例和反比例定义进行判断即可； ②根据当时，，得出答案即可． 【详解】（1）解：如果按计划生产，则该生产线每周生产个产品，生产的产品总量与生产的时间成正比例关系， 故答案为：；正比例． （2）解：①． 答：周二生产的产品数是670． ②（个） 答：该车间这一周平均每天的实际生产量比计划数多，多了10个． （3）解：①这条智能化生产线完成订单所需时间与a成反比例关系； ②由（2）中①可知， 当时，． 答：当时，该企业能在规定时间内完成订单． 7．(1)甲：元；乙：元 (2)当时，选择甲旅行社费用少；当时，选择乙旅行社费用少，见解析 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）根据旅行社的优惠条件列式计算即可； （2）分别把和代入（1）的结果计算即可． 【详解】（1）解：甲：（元）； 乙：元； （2）解：当时， 甲：（元）；乙：（元）， 因为，所以选择甲旅行社费用少； 当时， 甲：（元）；乙：（元）， 因为，所以选择乙旅行社费用少 8．(1) (2)41 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，根据图形列出相应代数式是解题关键． （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆及两个小长方形的面积即可； （2）将已知值代入（1）中代数式即可． 【详解】（1）解：根据题意得，圆的半径为a， ∴； （2）解：当，取3时， ， ∴阴影部分的面积是41． 9．(1)，正 (2)，反 (3)每笼水晶虾饺点心的虾饺个数是个；当，，时，每笼水晶虾饺点心的虾饺个数是5个 【分析】本题主要考查列代数式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接进行求解； （3）由题意可得每笼水晶虾饺点心的虾饺个数为，然后再进行代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知一笼装4个虾饺，做笼水晶虾饺点心需要个虾饺，需要的虾饺总数量与笼数成正比例关系； 故答案为，正； （2）解：由题意得：每笼虾饺的个数是个，每笼虾饺的个数与水晶虾饺点心的总笼数成反比例关系； 故答案为，反； （3）解：由题意得： 每笼水晶虾饺点心的虾饺个数是个； 当，，时，则有（个）； 答：每笼水晶虾饺点心的虾饺个数是个；当，，时，每笼水晶虾饺点心的虾饺个数是5个． 10．(1)30；18 (2)； (3)选择第一种方式 【分析】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． （1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题； （2）根据（1）中所得规律列式可得； （3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：当有7张桌子时，第一种摆放方式能坐(人)， 第二种摆放方式能坐(人)． 故答案为：30；18； （2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人， 即有n张桌子时是人； 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人， 即人． 故答案为：；； （3）解：选择第一种方式．理由如下； 第一种方式：60张桌子一共可以坐(人)； 第二种方式：60张桌子一共可以坐(人)； ∵， ∴选择第一种方式． 11．(1)， (2)乙商店购买付款较少，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）根据甲乙两家商店的优惠规则即可求解； （2）将分别代入（1）中所得代数式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲商店所需的费用为：（元）， 乙商店所需的费用为：（元）； （2）解：乙商店购买付款较少，理由如下： 当时，（元），（元）， ∵， ∴乙商店购买付款较少． 12．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式和代数求值，有理数混合计算的实际应用： （1）3本书的厚度可以用算出，据此可求出每本课本的厚度； （2）先算出课桌的高度，再用x表示出课本距离地面的高度即可； （3）把代入（2）中求出的代数式中，计算出结果，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴每本课本的厚度为； （2）解：课桌的高度是：， 本书的高度是：， ∴这摞课本的顶部距离地面的高度是：； （3）解：当时，， ∴课本的顶部距离地面的高度是． 13．(1)种植四季青草部分（阴影部分）的面积为 (2)种植四季青草部分（阴影部分）的面积的值为 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，按四舍五入的方法求解一个数的近似值，掌握“列代数式及求解代数式的值”是解本题的关键，注意结果要求精确到十分位． （1）由阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个四分之一圆的面积即可． （2）把，，代入（1）中的代数式进行计算求值后四舍五入即可． 【详解】（1）解：∵阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个四分之一圆的面积， ∴， ∴种植四季青草部分（阴影部分）的面积为． （2）解：当，时， ∴， ∴， ∴种植四季青草部分（阴影部分）的面积的值为． 14．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式． （1）读懂题意，根据题意列代数式； （2）读懂题意，根据题意列代数式； （3）读懂题意，根据题意列代数式． 【详解】（1）解：根据题意得，， 答：第一天，老人一共给这些孩子块糖； （2）根据题意得，， 答：第二天，老人一共给这些孩子块糖； （3）根据题意得，， 答：第三天，老人一共给这些孩子块糖． 15．(1) (2) (3)按方式二购票更合算，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，依据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）利用已知条件列出代数式即可； （2）利用已知条件列出代数式即可； （3）将，分别代入（1）、（2）中的代数式，通过比较计算结果即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得，按方式一购票时所需费用为元． （2）解：由题意可得，按方式二购票时所需费用为（元）． （3）解：按方式二购票更合算．理由如下： 当，时， 方式一：（元）； 方式二：（元）． 因为． 所以按方式二购票更合算． 16．(1)这批玩具共有个 (2)生产的天数随着每天生产玩具的个数的减少而增加 (3)，m与n成反比例关系 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，列代数式，找到题中的数量关系进行解答． （1）用每天生产的量乘以天数即可得到答案； （2）观察表格可知，可以生产的天数是随着生产玩具的个数的减少而增加的； （3）根据每天生产的量乘以天数等于玩具生成的总量，总量不变即可得到结论． 【详解】（1）由表格可知，（个）．    这批玩具共有600个． （2）生产的天数随着每天生产玩具的个数的减少而增加． （3），这批玩具的总个数一定， ， m与n成反比例关系． 17．(1)方案一费用为：，方案二费用为： (2)方案一更划算 (3)最省钱的方案为：先按方案一购买4个书包并赠送4支水笔，再按方案二购买剩下的水笔，总价为152元 【分析】本题主要考查了列代数式、有理数运算等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据两个方案列出代数式即可； （2）将分别代入求解即可； （3）根据两个优惠方案，可设计出最省钱方案为：先按方案一购买4个书包并赠送4支水笔，再按方案二购买剩下的水笔，然后求解即可． 【详解】（1）解：方案一费用为：； 方案二费用为：； （2）当时， 方案一费用为：（元）； 方案二费用为：（元）， 因为， 所以方案一更划算； （3）择两种方案同时采用，最省钱的方案为：先按方案一购买4个书包并赠送4支水笔，再按方案二购买剩下的水笔， 则总价为（元）． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，解题关键是分析出图形的所有形状，按照各图形面积公式求解即可． （1）分析出图形中由四个图形组成，长方形、正方形，三角形，圆形，很容易用式子表示该图形中阴影部分的面积； （2）把代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解： ， 答：阴影部分的面积为：， （2）解：当时， 原式 答：零件的横截面积约为． 19．(1) (2)元 【分析】本题考查列代数式和代数式求值的应用．理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据跑道的面积=直道的面积+弯道的面积，结合长方形面积公式和圆的面积公式求解即可； （2）由比例尺可得出a代表的实际距离为，b代表的实际距离为，c代表的实际距离为，再代入（1）所求式子，可求出操场跑道的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：直道的面积为，弯道的面积为， 所以跑道的面积； （2）解：因为比例尺为1：1000， 所以a代表的实际距离为，b代表的实际距离为，c代表的实际距离为， 所以文体中心操场跑道的面积为， 所以铺设文体中心操场跑道一共需要元． 20．(1)， (2)方案一较为便宜；理由见解析 (3)能，可以有更合适的购买方式，见解析 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值问题； （1）方案一费用：套茶具费用﹣条茶碗费用；方案二费用：套茶具费用条茶碗费用，把相关数值代入求解即可； （2）把代入（1）得到的式子进行计算，然后比较结果即可； （3）根据题意得出按方案一购买套茶具和只茶碗，方案二购买剩余的只茶碗，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解：若客户按方案一购买，需要付款：元； 若客户按方案二购买，需要付款：元． 故答案为：，； （2）当时， 方案一：元， 方案二：元， 因为， 所以方案一较为便宜； （3）能，可以有更合适的购买方式． 按方案一购买套茶具和只茶碗，需要元， 按方案二购买剩余只茶碗，需要元， 共计付款：元， 故此方案应付钱数为元． 学科网（北京）股份有限公司 $$