精品解析：安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥三中 命题教师：蔡开根 审题教师：孟凡慧 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知：，：，若是必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是上的奇函数，且当时，，则当时有（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 8. 定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 9. 已知奇函数定义域为，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 的一个周期为 10. 函数满足，则正确的是（ ） A. B. C D. 11. 已知，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数对任意满足，则______. 13. 若函数，则使得成立的的取值范围是______. 14. 已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求最小正周期和单调增区间； （2）若函数在存在零点，求实数a的取值范围． 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 17. 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的值； （2）若，求的周长的取值范围． 18. 已知函数，. （1）若，求的极值； （2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值； （3）函数的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出的取值范围，若不存在则说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． （1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥三中 命题教师：蔡开根 审题教师：孟凡慧 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解不等式确定集合，然后由必要不充分条件得是的真子集可得结论． 【详解】∵且或，，又是的必要不充分条件，∴，∴， 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查由必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断： 命题对应集合，命题对应的集合，则 （1）是的充分条件； （2）是的必要条件； （3）是的充分必要条件； （4）是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶次根下大于等于零，结合对数函数的单调性，可得集合；根据三角函数的性质可得集合，结合交集的运算可得答案. 【详解】由题意且，故，解得，故； 由得，故； 综上. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化对数式为指数式判断，判断，化指数式为对数式判断，则答案可求. 【详解】由，得； 由，得； 由，得. ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查指数式、对数式中的大小比较，一般可利用中介值和函数单调性进行大小比较，是基础题. 4. 已知函数是上的奇函数，且当时，，则当时有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，设，则，，再变形可得函数解析式. 【详解】解：设，则， 因为当时， 又函数是上的奇函数 故当时有 故选： 【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得，进而得，从而结合二倍角正弦公式即可计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以 ，即， 所以由得， 所以. 故选：A. 6. 若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，在上恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由题意，函数的定义域为， 等价于在上恒成立， 若，则在上恒成立，满足条件； 若，则，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：A． 7. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解． 【详解】因为， 由图象知，时，，又，所以当时，， 即在上单调递减， 当时，，又，所以当时，， 即在上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项B正确， 故选：B． 8. 定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ∵函数是区间上的双中值函数， ∴区间上存在 ， 满足 ∴方程在区间有两个不相等的解， 令， 则， 解得 ∴实数的取值范围是. 故选:A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 9. 已知奇函数的定义域为，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 的一个周期为 【答案】AD 【解析】 【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断. 【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确； 又，即，则函数关于直线对称，B选项错误； 由可知， 即，函数的一个周期为，C选项错误，D选项正确； 故选：AD. 10. 函数满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调，再比较大小即得. 【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，，则，C正确； 对于D，，，则，D错误. 故选：AC 11. 已知，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可判断D.. 【详解】对于A，由于，故， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 即的最小值为 ，A正确； 对于B，由于，，则， 当且仅当时，等号成立， 故，即的最大值为，B正确； 对于C，又，得， 故 由于，而对称轴为， 则在上单调递减，在上无最值，C错误； 对于D，令，则， 故， 由于，故， ， 则， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数对任意满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【详解】因为，以代替得： ， 得：. 故答案为：. 13. 若函数，则使得成立的的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知函数为偶函数且在单调递增，由此抽象出不等式，解出即可 【详解】由函数的定义域为, 所以函数为偶函数 当时，与为单调递增函数 所以在单调递增 所以 所以 解得： 故答案为： 14. 已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为到上一点的最小距离即可，根据点点距离公式，得，利用导数求解最小值即可. 【详解】由于是焦点在轴上的抛物线，故设其焦点为， 则,所以, 故求到上一点的最小距离即可， 设，则， 记，则 由于函数在单调递增，且， 故当时，因此在单调递减， 当时，因此在单调递增， 故， 因此，故， 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若函数在存在零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据题意转化为方程在上有解，以为整体，结合正弦函数图象运算求解. 【小问1详解】 对于函数 ， 所以函数的最小正周期为， 令，则， ∴函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 令，即，则， ∵在存在零点，则方程在上有解， 若时，则，可得， ∴，得 故实数的取值范围是． 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解； （2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减， 所以，即. 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 17. 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的值； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围. 【小问1详解】 ，由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得：， 因为， 所以； 【小问2详解】 锐角中，，， 由正弦定理得：， 故， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 18. 已知函数，. （1）若，求的极值； （2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值； （3）函数的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出的取值范围，若不存在则说明理由. 【答案】（1）的极大值为，极小值为 （2） （3）不存，理由见解析 【解析】 【分析】（1）令，列极值表，即可求得极值； （2）求出切线方程，设，转化为在恒成立，再由基本不等式成立可得答案； （3）假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为，，分别代入切线方程和整理得，设，转化为，设，由导数判断出单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，解得：或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，当时，的极大值为， 当时，的极小值为； 【小问2详解】 因为，所以， 所以处切线方程为， 整理得：， 设，则： ， 由题意可知， 恒成立. 因为， 当且仅当时，等号成立，所以应有， 而，，所以只有即时，， 即成立， 所以. 【小问3详解】 由（2）可知，曲线在处切线方程为： ， 假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为，， 则： ， 由①式可得：，代入②式，则：， 整理得：， 设，则，设， 则， 所以单调递减， 因为，所以的解为. 即，解得， 此时， 所以不存在符合题意的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合. 【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目. 19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． （1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标； （2）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵； （3）根据定义分别计算、、，证明即可. 【小问1详解】 可求得，设，则，， 设点，， 故 所以. 【小问2详解】 设，，则，，， 故 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为 【小问3详解】 设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证. 【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$