专题07 三角函数-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题07 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：三角函数定义 题型一：已知终边上一点求三角函数※ 题型二：三角函数式正负 题型三：知一求二与弦切互化※ 考点二：三角函数图象与性质 题型四：图象平移变换 题型五：最值与最小正周期※ 考点、题型突破 考点一：三角函数定义 1. 终边取点定义： 在任意角的终边上任取一点， 设，则 2. 三角函数在各象限的正负 记忆方法二：口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3. 特殊角的弧度与三角函数值： 0° 弧度制 0 0 1 0 1 0 -1 0 1 不存在 -1 0 4. 同角三角函数的基本关系 （平方关系）；变形：. （商数关系） 题型一：已知终边上一点求三角函数※ 例1．已知角终边上一点，则（    ）． A． B． C． D． 例2．已知是角终边上一点，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．若角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 3．已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C． D．3 题型二：三角函数式正负 例1．若，那么为（     ） A．第一、三象限的角 B．第二、四象限的角 C．第一、四象限的角 D．第二、三象限的角 例2．已知，，则角的终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3．是是第一象限角或第二象限角的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件， D．既不充分也不必要条件 【突破训练】 1．设为第一象限角，，那么是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．已知且，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三：知一求二与弦切互化※ 例1．若为第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 例2．已知，为第一象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 例3．已知，则（ ） A． B． C．1 D．2 例4．已知，计算下列各式的值. (1)； (2). 【突破训练】 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则（ ） A． B． C．3 D．5 4．已知角的终边经过点，求： (1)和的值； (2)． 考点二：三角函数图象与性质 1. 函数图象的四种变换 ①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左平移个单位得的图象；向右平移个单位得的图象； ②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象； ③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象； ④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上平移个单位得到的图象，向下平移个单位得到的图象。 2. 三角函数的最小正周期、最值 ； 最小正周期 最大值 无 最小值 无 题型四：图象平移变换 例1．已知函数，则函数的图象可以由的图象（    ） A．向左平移得到 B．向右平移得到 C．向左平移得到 D．向右平移得到 例2．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【突破训练】 1．为了得到的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 2．要得到函数的图象，只须将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 题型五：最值与最小正周期 例1．的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 例2．下列函数最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 例3．已知和分别表示函数的最大值和最小值，则（　　） A． B． C． D． 例4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1．函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 3．函数的最大值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 模拟演练 1．已知是角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．已知，则角 的终边所在的象限是（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知，则角是（    ） A．第一象限角 B．第一或三象限角 C．第二或四象限角 D．第四象限角 7．已知角是第四象限角，且，则（   ）. A． B． C． D． 8．已知，则（ ） A． B． C． D． 9．把函数的图像变换为函数的图像，这种变换是（    ）． A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 10．已知，且，则的值为 ． 11．已知角的终边经过点且，则 . 12．已知，，则 . 13．已知，，则 ． 14．函数的最小正周期是 . 15．函数的最小正周期为 ． 16．已知， (1)求的值； (2)求的值. $$专题07 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：三角函数定义 题型一：已知终边上一点求三角函数※ 题型二：三角函数式正负 题型三：知一求二与弦切互化※ 考点二：三角函数图象与性质 题型四：图象平移变换 题型五：最值与最小正周期※ 考点、题型突破 考点一：三角函数定义 1. 终边取点定义： 在任意角的终边上任取一点， 设，则 2. 三角函数在各象限的正负 记忆方法二：口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3. 特殊角的弧度与三角函数值： 0° 弧度制 0 0 1 0 1 0 -1 0 1 不存在 -1 0 4. 同角三角函数的基本关系 （平方关系）；变形：. （商数关系） 题型一：已知终边上一点求三角函数※ 例1．已知角终边上一点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义、二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由角终边上一点得， . 故选：C 例2．已知是角终边上一点，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的正弦值即可求解y的值. 【详解】因为是角终边上一点，， 故点位于第二象限，所以，， 整理得：，因为，所以. 故选：D． 【突破训练】 1．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由角的终边过的点求解余弦值，再由诱导公式计算即可. 【详解】因为角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合， 它的终边过点， 所以， 因此. 故选：B. 2．若角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】根据任意角的三角函数的定义，结合题意，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以， 两边平方化简得， 所以或， 故选：C. 3．已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义列方程求解即可. 【详解】已知角的终边经过点， 其中， 所以，即. 则， 故选：B. 题型二：三角函数式正负 例1．若，那么为（     ） A．第一、三象限的角 B．第二、四象限的角 C．第一、四象限的角 D．第二、三象限的角 【答案】B 【分析】根据三角函数的符号分类讨论即可得出结论 【详解】已知， 若，则为第二象限角， 若，则为第四象限角， 所以为第二、四象限的角， 故选：B. 例2．已知，，则角的终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据诱导公式化简题设条件，得到，，即可求解 【详解】因为，所以，即 又，所以， 在平面直角坐标系中，当时，角的终边可能落在第三、四象限及轴负半轴， 当时，角的终边可能落在第一、四象限及轴正半轴， 综上，角的终边落在第四象限， 故选：D 例3．是是第一象限角或第二象限角的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件， D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质和充要条件的概念求解. 【详解】当时，则是第一象限角或第二象限角或轴正半轴，所以， 当是第一象限角或第二象限角，则，所以， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 【突破训练】 1．设为第一象限角，，那么是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性，必要性的定义，结合三角函数值在各象限的符号，即可判断. 【详解】若为第一象限角，则，所以成立，故充分性成立；若，则或，所以为第一或第四象限角，故必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据角的三角函数值在各象限的符号即可求解. 【详解】由题意得，因为，则在第一或第三象限. 因为，则在第三或第四象限或轴的负半轴上. 综上，所以在第三象限. 故选：C. 3．已知且，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据各象限三角函数的正负和同角三角函数间的关系即可解得. 【详解】由题，，则位于第一、二象限或轴正半轴上， 又知恒成立，则， 即，又知，则， 故，则位于第二、三象限或轴负半轴上， 综上，位于第二象限， 故选：B 题型三：知一求二与弦切互化※ 例1．若为第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角的三角函数的平方关系和商数关系求解即可. 【详解】因为为第二象限角，且， 则， 则. 故选：D. 例2．已知，为第一象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用商数关系和平方关系可求答案. 【分析】因为，所以， 又因为， 所以，所以. 因为为第一象限角，所以. 故选：A. 例3．已知，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由正余弦的齐次式，化弦为切，代入求值即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：B. 例4．已知，计算下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1)2 (2)0 【分析】（1）化简，根据三角函数的商的关系求解. （2）根据化简，再结合正余弦的齐次关系求解. 【详解】（1）化简得， 即，得到. （2）因为，显然，又， 所以 . 【突破训练】 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的平方关系，可求的值，进而求解的值. 【详解】∵，， ∴，可得， ∴. 故选：D. 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将与联立求解即可. 【详解】由可得，， 又， 又，，所以， 所以， 故选：D. 3．若，则（ ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】因为，则， 解得， 故选：A. 4．已知角的终边经过点，求： (1)和的值； (2)． 【答案】(1)， (2)7 【分析】（1）根据终边上点的坐标求出三角函数值即可解得. （2）根据终边上点的坐标求出三角函数值，再由同角三角函数间的关系化简即可解得. 【详解】（1）由题可知：， 则，. （2）∵， ∴原式. 考点二：三角函数图象与性质 1. 函数图象的四种变换 ①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左平移个单位得的图象；向右平移个单位得的图象； ②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象； ③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象； ④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上平移个单位得到的图象，向下平移个单位得到的图象。 2. 三角函数的最小正周期、最值 ； 最小正周期 最大值 无 最小值 无 题型四：图象平移变换 例1．已知函数，则函数的图象可以由的图象（    ） A．向左平移得到 B．向右平移得到 C．向左平移得到 D．向右平移得到 【答案】A 【分析】根据正弦型函数图像的平移变换原则即可求解. 【详解】由题意，由的图象向左平移得到函数， 故选：A. 例2．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的平移法则得出平移后的三角函数易得答案. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数， 则，，即，， 当时，取得最小值为． 故选：A. 【突破训练】 1．为了得到的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的平移变换规律即可解得. 【详解】由可知， 将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 故选：A. 2．要得到函数的图象，只须将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】根据函数平移规律“左加右减”，对进行变换即可得解. 【详解】由题可知，， 根据平移规律“左加右减”，故将向右平移个单位可得到函数的图象. 故选：B 题型五：最值与最小正周期 例1．的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的最小正周期公式代入计算即可. 【详解】的最小正周期为. 故选：B. 例2．下列函数最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的周期性即可选出正确答案. 【详解】对于A，的最小正周期，故A错误； 对于B：的最小正周期，故B正确； 对于C：的最小正周期，故C错误； 对于D：的最小正周期，故D错误； 故选：B. 例3．已知和分别表示函数的最大值和最小值，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的最值即可得解. 【详解】因为，所以， 所以函数的最大值，最小值， 所以， 故选：. 例4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先对三角函数式进行化简得，再根据的取值范围求解值域即可. 【详解】 因为， 当取最大值时，取得最大值， 当取最小值时，取得最小值， 所以该函数的值域为. 故选：. 【突破训练】 1．函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据正切函数的最小正周期公式即可解得. 【详解】由题（）的最小正周期为， 所以的最小正周期， 解得. 故选：A. 2．函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的二倍角公式将函数进行化简，再根据函数周期的公式计算即可求解. 【详解】因为 所以函数最小正周期为. 故选：B. 3．函数的最大值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 所以函数的最大值是3. 故选：D. 4．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 【答案】B 【分析】利用余弦二倍角公式化简解析式，然后根据余弦函数性质求最值周期即可. 【详解】根据题意有， 所以函数的最小正周期为， 当时取得最大值， 最大值为， 故选：B. 模拟演练 1．已知是角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角的三角函数的概念，结合二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】因为是角终边上一点，所以， 则， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的三角函数的定义即可求解. 【详解】由角的终边经过点，即， 所以， 故选：D． 3．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】由角的终边经过点得. 因为，则，所以解得． 故选：B. 4．已知，且，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的三角函数值符号即可得解. 【详解】因为，所以为第三或第四象限，或者终边在轴负半轴， ，所以为第一或第四象限，或者的终边在轴正半轴， 因为，且，则为第四象限角， 故选：. 5．已知，则角 的终边所在的象限是（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先利用诱导公式化简，然后根据三角函数在各象限的符号可求. 【详解】根据诱导公式可知，，， ， ∴，在第一二象限与轴的正半轴， ，在第二三象限与轴的负半轴； 角的终边所在的象限是第二象限； 故选：B． 6．已知，则角是（    ） A．第一象限角 B．第一或三象限角 C．第二或四象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】根据三角函数的符号即可得出结论. 【详解】因为，则与同号， 若，则为第一象限角， 若，则为第三象限角， 所以角是第一或三象限角. 故选：B. 7．已知角是第四象限角，且，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系及各象限角三角函数值的符号规则可求解. 【详解】由题可知， ，解得， 因为角是第四象限角，所以. 故选：C 8．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求式子进行化简，将代入求值即可得解. 【详解】， 故选：. 9．把函数的图像变换为函数的图像，这种变换是（    ）． A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【分析】根据三角函数左右平移变换对应解析式变换求解即可. 【详解】因为， 所以把函数的图像向右平移个单位，即可得到的图像. 故选：C. 10．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故答案为：． 11．已知角的终边经过点且，则 . 【答案】 【分析】由余弦值即可求出x的值. 【详解】因为点，所以， 所以， 即，解得：， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 12．已知，，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系，结合题意即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故答案为：． 13．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的商数关系，平方关系，结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以， 得到. 故答案为：﹒ 14．函数的最小正周期是 . 【答案】/ 【分析】根据两角和与差的正弦公式，结合周期公式即可求解. 【详解】由题意得，. 则其最小正周期为：. 故答案为：. 15．函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】利用二倍角公式将函数解析式化为正弦型函数求解. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：. 16．已知， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据正余弦的齐次式的化简即可求解； （2）根据二倍角公式，结合同角三角函数的平方关系及正余弦的齐次式的化简，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. $$