第05讲 二次函数的应用-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

第05讲 二次函数的应用 课程标准 学习目标 1.掌握利用二次函数解决实际问题的基本思路和方法。 2.能从实际问题中抽象出二次函数模型，并分析求解。 体会二次函数在解决最值问题、运动轨迹等实际场景中的应用价值。 1.熟悉用二次函数解决问题的步骤和要点。 2.会建立二次函数模型解决几何、物理等领域的实际问题。 3.感受二次函数解决问题的强大功能，增强应用意识。 知识点01 应用二次函数性质解决抛物线图形问题 步骤:(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系; (2)把已知条件转化为点的坐标; (3)合理设出函数表达式; (4)利用待定系数法,求出函数表达式; (5)根据求得的表达式进一步分析,判断并进行有关计算. 【即学即练1】 阅读材料 某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用根立柱将横杆六等分加固，相邻两根立柱间距米，的长为米． 问题解决 (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式． (2)现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到根（将横杆八等分），并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式的方法．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）先建立平面直角坐标系，得到，根据待定系数法，设，代入即可得解； （2）设增加立柱后原，，三点移动到，，， 由题意可知，，即的横坐标为， 继而得到，计算横向和纵向变化，进而得到至少还需要准备的钢筋长度． 【详解】（1）以为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向， 建立平面直角坐标系，如图所示． ∵相邻两根立柱间距米，的长为米， ∴． 设，则，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）设增加立柱后原，，三点移动到，，， 由题意可知，，即的横坐标为，       代入中得，       ∴， ∴，       ∴，       ∴至少还需要准备的钢筋长度为米． 方法技巧：建立直角坐标系的原则有(1)简洁性:所建立的坐标系使二次函数表达式比较简洁;(2)可化性:能将已知条件转化为抛物线上的一些点的坐标.具体方法是要交代清楚坐标原点与坐标轴. 知识点02 应用二次函数性质求图形面积最值 步骤:(1)利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数关系式; (2)将二次函数关系式配方,化成顶点式y=a(x-h)²+k; (3) 根据顶点式,结合自变量的取值范围确定面积的最值. 【即学即练1】 如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际应用： （1）由四边形为矩形，，，可得，，，结合，再解方程即可； （2）由题意可得：，建立函数模型，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，且， ∴， ∴， 解得：或； ∴当或3时，的面积为． （2）解：由题意可得：， ∵， ∴当时，有最大值． 题型01 图形问题(实际问题与二次函数) 【典例1】已知，在中，，两直角边，的和为，设． (1)求的面积关于的函数表达式及的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1)，的取值范围是 (2)1或 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确得出二次函数的关系式是解此题的关键． （1）由题意得出，再由三角形面积公式可得，结合，，即可得出的取值范围； （2）当时，，求解即可． 【详解】（1）解：∵两直角边，的和为，设， ∴． 由三角形的面积公式，得，即，       ∵，， ∴， ∴关于的函数表达式是，的取值范围是． （2）解：当时，， 解得或． 【变式1】如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边的长为，矩形的面积为． (1)求与之间的函数关系式；（不要求写自变量取值范围） (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）根据长方形的面积公式即可求得S与x的函数关系式； （2）将代入即可求解，注意舍解． 【详解】（1）解：若垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴矩形的面积， ∴S与x的函数解析式． （2）解：当，则， 解得：， 由题意得，解得， ∴舍， ∴． 【变式2】如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点P作直线的垂线交于点D，当点P与A、C不重合时，作点A关于点D的对称点Q，设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积是． (1)的长为______； (2)当点Q与点C重合，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)4cm (2)当时，点Q与点C重合 (3)当时，，当时；；当时， 【分析】对于（1），根据直角三角形的性质解答； 对于（2），当点Q与点C重合时，即，再求出，进而得出答案； 对于（3），分，，三种情况，再根据面积公式求出答案． 【详解】（1）在中，， ∴， 故答案为：； （2）点Q与点C重合时，即， 根据勾股定理，得， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）当时，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， ∴； 当时， 根据题意可知，则， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴； 当时， 根据题意可知， ∴． 【点睛】这是一道关于动点问题在几何图形的应用，考查了一次函数，二次函数的应用，直角三角形的性质，特殊角三角函数，勾股定理，注意多种情况讨论． 题型02 图形运动问题(实际问题与二次函数） 【典例1】如图，在菱形中，，点从点出发，沿方向匀速运动，过点作交菱形的另一边于点，设点的运动路程为，的面积为，则与之间的函数图象可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】讨论点在和上两种情况，根据等边三角形的性质和特殊角的三角函数值求出三角形的高，再根据三角形面积公式计算，分别得出对应的函数解析式，利用函数的性质判断图像． 【详解】如图，设与交于点，与交于点， 当点在上时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是在边上的高，， 由菱形的性质得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 所以该部分是开口向下的二次函数， 当点在上时，如图， 设菱形的边长为， ∴， ∵ ∴， ∴， 所以该部分是开口向上的二次函数， 由此判断只有C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，动点问题的函数图像，解题的关键是将的底和高用含的式子表示出来，列出与之间的函数关系式，再根据函数关系式判定图像． 【变式1】如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】解：①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【变式2】如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒． ①当时，的面积为 ②有两个不同的值，都使的面积为 ③面积的最大值为： 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③ 【详解】解：①由题意得：根据题意得：，， ∴， ∴ ， 当时，故①正确； 当时， ， 解得：，， ∵， ∴出发时间有两个不同的值满足的面积为，故②正确； ∵ ∴当时，的面积最大，且最大值为，故③错误 故选：C． 题型03 销售问题(实际问题与二次函数) 【典例1】某超市购进了一批纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y（个）与每个的销售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为15元时，该超市可获得最大利润，最大利润是160元 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用． （1）设y与x之间的函数关系式为，用待定系数法可得y与x之间的函数关系式为； （2）根据题意得，又时，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，将，代入得： ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意知：， ∵，对称轴为直线， ∴时，随x的增大而增大， ∴时，取最大值，最大值为（元）， 答：当销售单价为15元时，该超市可获得最大利润，最大利润是160元． 【变式1】友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个．调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与单价x（元/个）有如下关系：（，x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求出w与x之间的函数解析式； (2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 【答案】(1) (2)销售单价定为45元/个时，最大利润是225元 (3)每天要获得200元的销售利润，销售单价定为40元/个 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识点， （1）由每天的销售利润＝每天的销售量×每件产品的利润列式，即可得解； （2）根据配方法和二次函数的性质，即可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，列方程，解方程，即可得解； 正确得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键． 【详解】（1） ， ∴w与x之间的函数解析式； （2）根据题意得：， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值是225， 答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是225元； （3）当时，， 解得，， ∵， ∴（不符合题意，舍）， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【变式2】一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … (1)由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； (2)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 【答案】(1)； (2)售价定为128元时，月销售利润达到最大． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意正确列出对应的二次函数关系是解题的关键． （1）设与的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设利润为，根据利润（售价进价）数量，列出关于的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设与的解析式为 把，代入，得 解得：， 设与的解析式为 故答案为：． （2）解：设利润为元，则， 当时，取最大值， 获利不得高于进价的，即售价不得高于（元）， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大， 答：售价定为128元时，月销售利润达到最大． 【变式3】某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）． (1)求与之间的函数表达式； (2)若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？ 【答案】(1) (2)17元或18元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，熟知待定系数法的一般步骤是解决（1）的关键，根据题意列出利润与定价的函数关系式是解决（2）的关键． （1）利用待定系数法即可求出y与x的函数表达式； （2）列出利润W关于定价x的函数关系式，然后根据二次函数的性质及自变量x的范围即可求出最大利润． 【详解】（1）解：依题意，设与的函数关系式为 则：， 解得： 即与的函数关系式为：； （2）解：设利润为元， 则由题意知： ∵ ∴抛物线开口向下 ∵，且是整数 ∴或18 即当定价为17元或18元，汽车清洗店每天获利最大． 题型04 拱桥、喷水类问题(实际问题与二次函数) 【典例1】根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为． 素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 【答案】任务1：；任务2：4.5米 【分析】本题考查的是二次函数应用，理解题意，求出函数表达式是解题的关键． 任务1：由待定系数法求解即可； 任务2：由待定系数法求出函数表达式，进而求解； 【详解】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 可设抛物线为． 又由题意，， ． ， 顶棚部分抛物线的表达式； 任务2：如图， ∵从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同， ∴从喷水口喷出的水流看成的抛物线为， 由题意，点， 把，代入，得 ，解得：， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵ ∴当时，抛物线有最大值为3.05米， 即处喷出的水流在距离点水平距离为4.5米时达到最高． 【变式1】如图是一座抛物线形石拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面． (1)如图平面直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点在图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数的应用； （1）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可； （2）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式是，由图象知，在抛物线上， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：∵点在图象上， ∴， 解得：． 【变式2】如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式； (2)如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？ (3)如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）当，则，解得：，则此时水面宽度为，原先水面宽度为，故可求出增加的长度； （3）设，则，由题意得：，则，故，由开口向下，且，得当时，． 【详解】（1）解：由题意得抛物线经过点，顶点为， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：当，则， 解得：， 则此时水面宽度为， 原先水面宽度为， ∴水面宽度增加； （3）解：， ∴对称轴为直线， 设，则， 由题意得：， ∴， ∴ ， ∴开口向下，由， 得当时，． 题型05 投球类问题(实际问题与二次函数) 【典例1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，函数中自变量与函数表达的实际意义；令，计算求解即可求出结果． 【详解】解：令 即 解得：（舍去） ∴推出铅球的距离为； 故选：C． 【变式1】某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩（即的长度）是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，求出点的坐标是正确解决问题的关键． 令，则，求出的值，即可得出点的坐标，从而得解． 【详解】解：令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ， 故选：D． 【变式2】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中正确的结论是（ ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题的关键． 根据时，可得，可判定结论①；根据二次函数的顶点坐标的计算，可判定结论②；把运动时的高度，运动时的高度计算出来比较即可判定结论③；由此即可求解． 【详解】解：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是， 令时，， 解得，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， 当时间为时，小球运动的最高高度为，故②正确； 当运动时，小球的高度为，当运动时，小球的的高度为， ∵， ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：C ． 【变式3】打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； (2)若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 【答案】(1) (2)水漂能不能飞过8米宽的河面 【分析】本题考查了二次函数的应用；利用顶点式得到所求抛物线解析式是解决本题的突破点；得到水漂第二次飞越时的函数解析式是解决本题的难点． （1）设水漂第一次飞越时的函数解析式为，由经过点，求出，再设水漂第二次飞越时的函数解析式为，求解即可得相应抛物线； （2）由飞越距离，可得 ，从而求出，再求出总共飞越距离为，最后再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，水漂第一次飞越时，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起． 设水漂第一次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得， 水漂第一次飞越时的函数解析式为 水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． 设水漂第二次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得或（舍去）， 水漂第二次飞越时的函数解析式为； （2）解：飞越两次，飞越距离， ， ， 总共飞越距离为， ， 水漂能不能飞过8米宽的河面． 一、单选题 1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，函数中自变量与函数表达的实际意义；令，计算求解即可求出结果． 【详解】解：令 即 解得：（舍去） ∴推出铅球的距离为； 故选：C． 2．如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：C． 3．如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∵点是中点， ∴，， 当时，点在上，点在上，， ∴； 如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴，，， ∴ ； 如图，当时，点都在上， ∴， 综上判断选项的图象符合题意， 故选：． 4．如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，把点A的坐标确定，代入解析式，确定抛物线，求出顶点坐标即可． 【详解】解：根据题意，得， 把，分别代入解析式，得， 解得， 故抛物线解析式为， 故 ， 故顶点坐标为， 故最大高度为， 故选：D． 5．数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：升）近似地满足函数关系（，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将，，代入得： ，解得：， ∴满足函数关系为， ∴当时，取到最大值， 故选：． 6．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，小明从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：），乘坐地铁的时间（单位：）是关于的一次函数，若小明骑单车的时间（单位：）也受的影响，其关系可以用来描述，则小明从文化宫回到家里所需的最短时间为（   ） A．39分钟 B．35分钟 C．39.5分钟 D．34.5分钟 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，二次函数的最值问题，设小明从文化宫回到家里所需的时间为，则，根据题意，确定二次函数的解析式，根据二次函数的性质，即可得出最短时间． 【详解】解：设小明从文化宫回到家里所需的时间为， 则， 当时，， 故选：C． 7．为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，小路此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当时，即， 解得：（舍去），， 所以小宇此次实心球训练的成绩为． 故选：B． 8．如图，教练对小明推铅球录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是解题关键．令，求出的值后即可判断得解． 【详解】解：令，即， 解得（舍去）， 选项D符合题意， 故选：D ． 9．一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压（毫米汞柱）与年龄（岁）大致满足关系：．如果一个女性的收缩压为110毫米汞柱，那么她的年龄是（    ）岁 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的基本应用，直接把代入函数，解出即可得解． 【详解】解：当时，． 解得，（舍）， 故这个女性的年龄为15岁， 故选：A． 10．野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分． 如果某只野兔一次跳跃中水平距离为（单位：），则竖直高度（单位：）为． 根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（   ） A．野兔经过约，跳跃竖直高度为 B．野兔跳跃竖直高度为时，经过约 C．野兔经过约，跳跃竖直高度为，并将继续上升 D．野兔两次到达竖直高度为的位置，其时间间隔约为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据野兔经过离地面的高度（单位：）的函数图象变化情况逐项进行判断． 【详解】解：根据时，与，可知：野兔经过约，跳跃竖直高度达到，然后继续上升，达到最高点后，开始下降，在跳起后的约第，跳跃竖直高度为，并继续下降， 两次时间差为， 故选项ABC错误，D正确． 故选D． 二、填空题 11．标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度之间的关系满足二次函数 ，则当温度为时，水的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，当温度为时，水的体积为 故答案为：． 12．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为 元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 【答案】52 【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键． 设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，根据题意表示出，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元， 根据题意得， 抛物线的对称轴为：． ，， 当时，有最大值． 故答案为：52． 13．若汽车刹车后行驶的距离(m)关于行驶的时间的函数表达式为，则汽车刹车后行驶的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，当汽车停下来时，由，当时，求出最大，即汽车刹车后行驶的距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由， ∴汽车刹车后行驶的距离为，当时，， 故答案为：． 14．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用． 建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题． 【详解】解：如图，根据题意抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴， 把代入， 解得， 两壁灯之间的距离为， 故答案为：． 15．矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 ． 【分析】本题考查了二次函数、矩形的周长和面积，因为矩形的周长为，一边长为，则另一边可以表示为，根据矩形的面积公式可以得到与的函数关系式；根据矩形的周长公式可以得到自变量的取值范围． 【详解】解：矩形的周长为，设其一边长为， 则矩形的另一边长为， ， 整理得：； 矩形的周长为， 矩形的长与宽的和为， ． 故答案为：； ． 16．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行 停下． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的运用，掌握二次函数的顶点式的实际意义是解题的关键． 把二次函数一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∴当时间为时，滑行了， ∴飞机滑行了停下， 故答案为： ． 17．如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为 m． 【答案】13 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． 球的落地点为，解一元二次方程即可． 【详解】时，， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴球掷出的水平距离OB为， 故答案为：13． 18．图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，求出解析式，然后当时，求出的值即可，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由题意得点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，，解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．    (1)求池底所在抛物线的解析式； (2)若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，求水面下降的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由图象可得抛物线的顶点坐标为，设池底所在抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）分别求出和时的函数值，再相减即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知，抛物线的顶点坐标为， ∴可设池底所在抛物线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴池底所在抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ∴水面下降的高度为． 20．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面米，铅球落地点在B处，铅球运行在运动员前4米处（即）达到最高点，最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题． (1)求铅球所经过路线的函数关系式． (2)求该运动员的铅球成绩是多少米？ 【答案】(1) (2)10米 【分析】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是求出解析式． （1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求出解析式即可； （2）求出（1）中抛物线与x轴正半轴的交点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：A点坐标为，点坐标为，且为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ， ， 抛物线解析式为； （2）解：令，则， ， 解得或， ∵因为点在轴正半轴， 点坐标为， ， 铅球的落地点离运动员有10米远， 即该运动员的铅球成绩是10米． 21．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向种植基地收购后，分成A（包装后直接销售）、B（加工成杨梅干销售）两类销售．已知A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格（万元/吨）与销售数量吨之间的函数关系如图；B类杨梅加工总费（万元）与加工数量（吨）之间的函数关系式是，平均销售价格为9万元/吨． (1)求与之间的函数关系式； (2)该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有吨，经营这批杨梅所获得的利润为W万元，求W的最大值．（利润总销售额成本加工费） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）分和两种情况，分别求出函数解析式即可； （2）根据利润总销售额成本加工费，分两种情况，列出函数关系式，利用函数的性质，求出最大值即可． 【详解】（1）解：当时，设， 把代入，得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴； （2）解：由题意，A类杨梅有吨，则：类杨梅有吨， 当时， ， ∴当时，有最大值为：； 当时， ； ∴随得增大而减小， ∴当时，有最大值为：， ∵， ∴最大为：． 22．梅山百姓商场在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接2008年元旦节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)如果每件童装降价4元，则商场每天盈利多少元？ (2)要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ (3)请你为商场估算一下，每件童装应降价多少时，商场每天盈利最多？最多盈利是多少元？ 【答案】(1)1008元 (2)每件童装应降价20元 (3)每件童装应降价15元，商场每天盈利最多，最多盈利是1250元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键． （1）利用降价4元后的销售量乘每件的利润求解即可； （2）设每件童装应降价x元，根据题意可列出关于x的方程，求解即可； （3）设最多盈利是w元，根据题意可得出w与x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵每件童装每降价1元，平均每天就可多售出2件， ∴如果每件童装降价4元，则商场每天盈利元； （2）解：设每件童装应降价x元， 根据题意有：， 解得：，， 经检验：舍去，取， 答：每件童装应降价20元； （3）解：设最多盈利是w元， 根据题意有：， ∵， ∴当时，w最大，． 答：每件童装应降价15元，商场每天盈利最多，最多盈利是1250元． 23．综合与实践 某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告，请根据该活动报告完成后面的任务． 课题 用数学的眼光观察校园 调查方式 实地查看了解 调查对象 校门口隔离栏 调查内容 平面图 数学眼光 各个栏杆上彩色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计） 相关数据 隔离栏长为13米，并且的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度米．隔离栏顶端G距栏杆底部距离米． 任务： (1)请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式． (2)若学校从防护栏的顶点G处开始向下拉横幅，为了不遮挡防护栏上的彩色栏杆，则横幅最宽为多宽？ (3)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 【答案】(1) (2)米 (3)相邻的两根栏杆分别是左起第9根与第10根或第3根与第4根 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）求出和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）栏杆彩色部分的最高点为第六根和第七根栏杆，它们高度一致，据此进行解答即可； （3）当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第根，它的彩色部分高度为，第根，它的彩色部分高度为，列方程求出，即可得到第9根与第10根的高度差为0.15米．再根据二次函数的对称性得到第3根与第4根的高度差也为0.15米． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为．依题意得． 隔离栏的长被12根栏杆等分成13份， ．， 将，代入， 得， 解得． 抛物线的表达式为． （2）栏杆彩色部分的最高点为第六根和第七根栏杆，它们高度一致， 依题意得，当时，． 横幅最宽为米． （3）当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时， 设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第根，它的彩色部分高度为， 第根，它的彩色部分高度为， 则， 解得． 故第9根与第10根的高度差为0.15米． 由抛物线的对称性可知第3根与第4根的高度差也为0.15米． 答：相邻的两根栏杆分别是左起第9根与第10根或第3根与第4根． 24．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 (1)求y与x的关系式； (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润； (3)由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，若该商品的日销售利润不低于1500元，求销售单价的取值范围． 【答案】(1)y与x的关系式为 (2)公司销售该商品获得的最大日利润为1600元 (3)销售单价的取值范围为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）设函数的表达式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）求出时的的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将代入上式得：， 解得， 故y与x的关系式为； （2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元， 则， ∵， ∴， ∵， 故抛物线开口向下， 故当时，w随x的增大而增大， ∴当（元）时，w的最大值为1600（元）， 故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元； （3）当时，， 解得， ∴， 答：销售单价的取值范围为． 25．已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 【答案】(1) (2)这个矩形的边长分别为30，20 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识，证明两个三角形相似是解题的关键． （1）由矩形性质易证明，则有；再证明四边形是矩形，得，结合，则由比例式得到关于的方程，解方程即可； （2）设，则可表示，由可求得，进而可表示出矩形的面积，由二次函数性质即可求得面积的最大值，从而求得矩形的边长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ∴； 又， ， 四边形是矩形， ； ， ∴， 解得； （2）解：设，则， ， ， 即， ， 矩形的面积 ， 当时，矩形的面积取得最大值600， 此时． 所以，这个矩形的边长分别为30，20． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数的应用 课程标准 学习目标 1.掌握利用二次函数解决实际问题的基本思路和方法。 2.能从实际问题中抽象出二次函数模型，并分析求解。 体会二次函数在解决最值问题、运动轨迹等实际场景中的应用价值。 1.熟悉用二次函数解决问题的步骤和要点。 2.会建立二次函数模型解决几何、物理等领域的实际问题。 3.感受二次函数解决问题的强大功能，增强应用意识。 知识点01 应用二次函数性质解决抛物线图形问题 步骤:(1)根据题意建立适当的 ; (2)把已知条件转化为点的坐标; (3)合理设出 ; (4)利用待定系数法,求出函数表达式; (5)根据求得的表达式进一步分析,判断并进行有关计算. 【即学即练1】 阅读材料 某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用根立柱将横杆六等分加固，相邻两根立柱间距米，的长为米． 问题解决 (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式． (2)现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到根（将横杆八等分），并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度． 方法技巧：建立直角坐标系的原则有(1)简洁性:所建立的坐标系使二次函数表达式比较简洁;(2)可化性:能将已知条件转化为抛物线上的一些点的坐标.具体方法是要交代清楚坐标原点与坐标轴. 知识点02 应用二次函数性质求图形面积最值 步骤:(1)利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数关系式; (2)将二次函数关系式 ,化成顶点式y=a(x-h)²+k; (3) 根据顶点式,结合 的取值范围确定面积的最值. 【即学即练1】 如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ 题型01 图形问题(实际问题与二次函数) 【典例1】已知，在中，，两直角边，的和为，设． (1)求的面积关于的函数表达式及的取值范围． (2)当时，求的值． 【变式1】如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边的长为，矩形的面积为． (1)求与之间的函数关系式；（不要求写自变量取值范围） (2)当时，求的值． 【变式2】如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点P作直线的垂线交于点D，当点P与A、C不重合时，作点A关于点D的对称点Q，设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积是． (1)的长为______； (2)当点Q与点C重合，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 题型02 图形运动问题(实际问题与二次函数） 【典例1】如图，在菱形中，，点从点出发，沿方向匀速运动，过点作交菱形的另一边于点，设点的运动路程为，的面积为，则与之间的函数图象可能为（    ） A．B．C．D． 【变式1】如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒． ①当时，的面积为 ②有两个不同的值，都使的面积为 ③面积的最大值为： 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型03 销售问题(实际问题与二次函数) 【典例1】某超市购进了一批纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y（个）与每个的销售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【变式1】友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个．调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与单价x（元/个）有如下关系：（，x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求出w与x之间的函数解析式； (2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 【变式2】一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … (1)由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； (2)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 【变式3】某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）． (1)求与之间的函数表达式； (2)若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？ 题型04 拱桥、喷水类问题(实际问题与二次函数) 【典例1】根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为． 素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 【变式1】如图是一座抛物线形石拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面． (1)如图平面直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点在图象上，求的值． 【变式2】如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式； (2)如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？ (3)如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度． 题型05 投球类问题(实际问题与二次函数) 【典例1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1】某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩（即的长度）是（  ） A． B． C． D． 【变式2】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中正确的结论是（ ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【变式3】打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； (2)若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 一、单选题 1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 4．如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（    ） A． B． C． D． 5．数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：升）近似地满足函数关系（，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 6．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，小明从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：），乘坐地铁的时间（单位：）是关于的一次函数，若小明骑单车的时间（单位：）也受的影响，其关系可以用来描述，则小明从文化宫回到家里所需的最短时间为（   ） A．39分钟 B．35分钟 C．39.5分钟 D．34.5分钟 7．为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 8．如图，教练对小明推铅球录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是（    ） A．或 B． C． D． 9．一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压（毫米汞柱）与年龄（岁）大致满足关系：．如果一个女性的收缩压为110毫米汞柱，那么她的年龄是（    ）岁 A．15 B．20 C．30 D．35 10．野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分． 如果某只野兔一次跳跃中水平距离为（单位：），则竖直高度（单位：）为． 根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（   ） A．野兔经过约，跳跃竖直高度为 B．野兔跳跃竖直高度为时，经过约 C．野兔经过约，跳跃竖直高度为，并将继续上升 D．野兔两次到达竖直高度为的位置，其时间间隔约为 二、填空题 11．标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度之间的关系满足二次函数 ，则当温度为时，水的体积为 ． 12．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为 元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 13．若汽车刹车后行驶的距离(m)关于行驶的时间的函数表达式为，则汽车刹车后行驶的距离是 ． 14．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为 ． 15．矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 16．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行 停下． 17．如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为 m． 18．图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ． 三、解答题 19．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．    (1)求池底所在抛物线的解析式； (2)若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，求水面下降的高度． 20．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面米，铅球落地点在B处，铅球运行在运动员前4米处（即）达到最高点，最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题． (1)求铅球所经过路线的函数关系式． (2)求该运动员的铅球成绩是多少米？ 21．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向种植基地收购后，分成A（包装后直接销售）、B（加工成杨梅干销售）两类销售．已知A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格（万元/吨）与销售数量吨之间的函数关系如图；B类杨梅加工总费（万元）与加工数量（吨）之间的函数关系式是，平均销售价格为9万元/吨． (1)求与之间的函数关系式； (2)该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有吨，经营这批杨梅所获得的利润为W万元，求W的最大值．（利润总销售额成本加工费） 22．梅山百姓商场在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接2008年元旦节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)如果每件童装降价4元，则商场每天盈利多少元？ (2)要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ (3)请你为商场估算一下，每件童装应降价多少时，商场每天盈利最多？最多盈利是多少元？ 23．综合与实践 某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告，请根据该活动报告完成后面的任务． 课题 用数学的眼光观察校园 调查方式 实地查看了解 调查对象 校门口隔离栏 调查内容 平面图 数学眼光 各个栏杆上彩色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计） 相关数据 隔离栏长为13米，并且的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度米．隔离栏顶端G距栏杆底部距离米． 任务： (1)请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式． (2)若学校从防护栏的顶点G处开始向下拉横幅，为了不遮挡防护栏上的彩色栏杆，则横幅最宽为多宽？ (3)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 24．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 (1)求y与x的关系式； (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润； (3)由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，若该商品的日销售利润不低于1500元，求销售单价的取值范围． 25．已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$