数学02（含考试版+参考答案+全解全析+答题卡）-2025年1月“八省联考”考前猜想卷

2025年1月“八省联考”考前猜想卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（其中为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故. 故选：C. 2．已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可得，解得． 故选：B. 3．已知向量，若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以． 因为，所以，解得． 故选：A 4．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，可得，所以， 因为在上单调递增，又， 由，可得，所以，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 在中，， 由余弦定理：, 所以，所以外接圆半径为，即. 在直角三角形中，，，所以. 设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，， 解得：. 所以球的表面积为：. 故选：A 6．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】因为为奇函数，则， 所以，又，所以，解得， 因为，所以时，取得最小值，最小值为8. 故选：D 7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上的投影为点，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线可知，焦点为， 设，则， 则， 所以， 当时，的最小值是， 故选：B 8．已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 因为， 所以，即， 又， 所以，又在区间上单调递减， 所以， 即. 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（    ）    A．2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长 B．2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元 C．逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大 D．2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合 【答案】ABD 【详解】对A：从2017-2023年中国新能源汽车市场规模数据看新能源汽车市场规模逐年增长，故A正确； 对B：数据从小到大排列为1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7个数据，其中位数为第4个数据3.4，故B正确； 对C：2021年增长是为，2022年增长1.6，2023年增长6.9，2024年增长4.7， 从增长量上看并不是逐年增加，故无法预计2025年的增长量最大，故C错误； 对D：从数据上看，市场规模前期增长缓慢，后期增长较快，故可用指数型函数模型进行拟合，故D正确； 故选：ABD 10．已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（    ） A． B．的外接圆周长为 C．的最大值为 D．若为线段的中点，且，则 【答案】AC 【详解】依题意，，故A正确； 记外接圆的半径为，则，则的外接圆周长为，故B错误； 由余弦定理，，则， 故，当且仅当时等号成立，故C正确； 由C可知，当时，为等边三角形，此时，故D错误. 故选：AC. 11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值是 B．的最小值为3 C．的最大值为3 D．的最小值是2 【答案】ABD 【详解】对于A，， 当且仅当，即，时取“=”，A正确； 对于B，，当时，取得最小值3，B正确； 对于C，令，， 其中锐角由确定，显然，则当，即时，， 因此，当时，取最大值，C不正确； 对于D， ， 当且仅当a=b=1时取“=”，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ． 【答案】240或3840 【详解】由于的展开式的二项式系数和为64，即， 解得n＝6． 又由于的展开式系数和为729，令得，即， 解得或-4， 的展开式的通项为，令， 解得， 所以展开式的常数项为， 故当时，，当时，． 故答案为：240或3840 13．若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为 ． 【答案】 【详解】直线，则， 令，解得，所以动直线恒过点， 又圆的圆心为，半径， 所以， 所以点在圆内， 所以当直线时直线与圆相交的弦长最短， 最短弦长为. 故答案为： 14．已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知，由可得， 即，则有， 设，易知在上单调递增， 故，所以，即， 设，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，则有，解之得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立． (1)求学生甲恰好答对3道题的概率； (2)设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望． 【详解】（1）学生甲恰好答对3道题有以下两种情况： 第一种情况是学生甲答对组的2道题和组的1道题， 其概率；...........................................................................（2分） 第二种情况是学生甲答对组的l道题和组的2道题， 其概率． 故学生甲恰好答对3道题的概率．.............................................（5分） （2）由题意可知的所有可能取值为． ， ， ， ，...........................................................................................（9分） 由（1）可知， 则的分布列为 0 1 2 3 4 故．............................................................（13分） 16．（15分）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． (1)证明：平面． (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：由三棱柱的性质可知． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以．........................................................................（2分） 因为为的中点，且是等边三角形，所以． 因为平面，且， 所以平面．.....................................................................................................（6分） （2）取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， 故．...................................（8分） 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．............................................（15分） 17．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 【详解】（1），， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：；..........................................................................................（4分） （2）函数定义域为，..........................（6分） 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得， 此时在上，在单调递减， 在上，在单调递增， 综上： 时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为；..........................................（9分） （3）由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且， 则要证，即证，即证， 而，则，否则方程不成立）， 所以即证，化简得，................................................................（11分） 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增，...........................................（13分） 所以，而，所以， 所以，得证．...................................................................................................（15分） 18．（17分）已知动圆M经过定点，且与圆内切. (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线PQ过定点. 【详解】（1）设动圆的半径为r，圆的圆心，半径， 显然点在圆内，则， 于是， 因此动点M的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，.................................（2分） 长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以轨迹C的方程为.........................................................................................（4分） （2）（i）设，，，由（1）知，， 显然，，而，则.（7分） ，又，即， 所以，为定值............................................................................（11分） （ii）由消去x得， ， 由（i）得，又，......................................（14分） 则 ，解得，满足， 因此直线PQ的方程为， 所以直线PQ过定点.................................................................................................（17分） 19．（17分）已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． (1)若，且为“2数列”，求． (2)若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． (3)若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 【详解】（1）由，且为“2数列”，得，即，...........（2分） 则， ， ， ．.............................................................（5分） （2）设数列的公比为， 由，得，....................................................................................（6分） 即， 则． 两式相减得， 即． 因为是首项为2的“数列”，所以，....................................................（8分） 即， 所以， 即对任意的恒成立． 因为，， 则，即， 解得，．.........................................................................................................（11分） 又由，即，得，所以． 检验可知符合要求，故数列的通项公式为．..................................（12分） （3）因为为“数列”，所以， 即对任意的恒成立， 因为，，所以． 再结合，，，反复利用， 可得对任意的，． 设函数，则．.....................................................................（15分） 由，得． 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，，即． 又，所以． 可得，，，， 累加可得， 即，即， 所以．.............................................................................................................（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年 1 月“八省联考”考前猜想卷 02 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订 …… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 2025年1月“八省联考”考前猜想卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（其中为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知向量，若，则（   ） A． B． C．2 D． 4．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上的投影为点，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 8．已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（    ） A．2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长 B．2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元 C．逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大 D．2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合 10．已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（    ） A． B．的外接圆周长为 C．的最大值为 D．若为线段的中点，且，则 11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值是 B．的最小值为3 C．的最大值为3 D．的最小值是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ． 13．若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为 ． 14．已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立． (1)求学生甲恰好答对3道题的概率； (2)设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望． 16．（15分）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． (1)证明：平面． (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 18．（17分）已知动圆M经过定点，且与圆内切. (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线PQ过定点. 19．（17分）已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． (1)若，且为“2数列”，求． (2)若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． (3)若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月“八省联考”考前猜想卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（其中为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知向量，若，则（   ） A． B． C．2 D． 4．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上的投影为点，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 8．已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（    ） A．2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长 B．2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元 C．逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大 D．2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合 10．已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（    ） A． B．的外接圆周长为 C．的最大值为 D．若为线段的中点，且，则 11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值是 B．的最小值为3 C．的最大值为3 D．的最小值是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ． 13．若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为 ． 14．已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立． (1)求学生甲恰好答对3道题的概率； (2)设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望． 16．（15分）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． (1)证明：平面． (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 18．（17分）已知动圆M经过定点，且与圆内切. (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线PQ过定点. 19．（17分）已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． (1)若，且为“2数列”，求． (2)若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． (3)若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2025年1月“八省联考”考前猜想卷02 数学参考答案与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 ABD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.240或3840 13.2 14.(0e2] 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【详解】(1)学生甲恰好答对3道题有以下两种情况： 第一种情况是学生甲答对A组的2道题和B组的1道题， (2分) 第二种情况是学生甲答对A组的1道题和B组的2道题， 其*B=-引得 2,11 故学生甲恰好答对3道题的概率P=月+B=)十)-3.…(5分) ,1,23,4 (2)由题意可知的所有可能取值为 x=---. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 Px--c号引--c对-》8. x--++c-》c*品 Px=周. (9分) 由(1)可知PX=3)= 3 则X的分布列为 0 2 13 36 6 36 3 9 故E(X)=0 13 +1×一+2× +3×-+4×-= 36 6 36 3 9 …(13 分) 16.(15分) CC/IAA 【详解】(1)证明：由三棱柱的性质可知 因为1M士平面MBC,所以CG上平面ABC 因为1Bc平面BC,所以CG1B (2分) 因为D为AB的中点，且△ABC是等边三角形，所以CD⊥AB, D.cGc平面ccD,且9 因为 ,CC∩CD=C 所以AB上平面 CCD (6分) (2)取48的中点A,连接DD.由题意可得 B,DC,DD 两两垂直，故以D为坐标原点， DB,DC,DD 的方向分别为少2轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 设B=2,则4-L0,0,B10,0,C05.0,D00,0),4-L0,3,C05,3到 故=(2,00)，AC=l5,3,DA=-10,3,Dc=0,5.0 分) 设平面4CD的法向量为=(，水，， i.DA=-x+3a=0, 则-DC=5y=0,令x=3,得n=30,1 设平面1BC的法向量为m=(,少，， m,AB=2x2=0, 则m4AG=+5y+3z,=0,令为2=5，得m=(0,5,- 设平面4C ABC 与平面所成的锐二面角为， 则cos0、 V10×220, o 即平面ACD与平面ABC所成锐二面角的余弦值为20，…(15 分) 17.(15分) 【详解】(1))=x-alnx f=l 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 f八=1-是，0=1-a, -1=(1-ax-D 所以在点1，f1处的切线方程为 整理得： (1-ax-y+a=0 …(4分） (2)函数fx=x-alnr定义域为0，+o,f川xy)=1-9=二a x…(6分) 当a≤0时，fx20,此时/八在0，+∞上单调递增。 当a>0时，令川刊=0，得x=a, 此时在0，上fx<0,川在0，@单调递减， 在a,四上fx>0,f八刊在a+w)单调递增， 综上： a≤0时， )的递增区间为0，+，无递减区间： a>0时，八的递减区间为0,0，递增区间为a+切。 (9分) 3》由2)可知，当>0时，-ahx一0才有两个不相等的实根，且5>0， 则要证和-以。·证合女，即证-合文， a-l>1 而5-s0·则-点61，否则方程不成立)， 所以即证1->。，化简得。--1>0， 分) 令g6)=5-c-小则8)=1-- 当0<式<1时，g)k0,所以8)在0,1单调递减 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 时，8)>0 当方>1 所以8在1，+∞单调递增， (13分) 所以8≥80=0，而1，所以8)>0， (a-1)x>a 所以 ,得证 (l5 分) 18.(17分) 【详解】（1)设动圆的半径为，圆B:(x-+=16的圆心F5.0,半径R=4, 显然点5.0在圆F内，则M=R-r=4-M 于是Mr+M=4>25=EE 因此动点M的轨迹C是以，F为焦点，长轴长为4的椭圆，… (2分) 长半轴长a=2,半焦距c=5,则短半轴长b=层-=， x2 所以轨迹C的方程为4+尸=1 (4 分) (2)①i设P,）,2）,T4m,由)知4-2,0)，B20 kw=km== 显然 +20=r=m力=6，而 m=- x-22,则x-2.(7 分) 5 ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 kk0=当，m=片.当 在26在2，荐+，即-4功， 所以kPkA0= 4的 3定值， 3(x2-4)12 分) [x=ty+n (ii)由x2+4y2=4消去x得+4)y2+2my+n2-4=0, △=42n2-42+4)(n2-4)=16(2+4-n2)>0 21n 分) y 2 则x+2名+2(+n+2%,+n+2y2+n+2(%+y)+n+2 n2-4 2+4 n2-4 1 .-4_2n+2 +(n+22 4n2+16m+1612,解得，满足 12+412+4 n=1 △>0 =y+1 因此直线PQ的方程为 1,0) 所以直线PQ过定点 4…(17分) 19.(17分) 【详解】1)由41，且a为“2数列”，得0-7=2，即0=2+7，.（2 分) 则4=2+7=2+4=3 4=2+T2=2+a,42=2+1×3=5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 a4=2+T=2+a,a4=2+lx3×5=17 a=2+T4=2+a,4,4,a=2+lx3×5×17=257 (5分) (2)设数列bn的公比为9g>0) 由么=207 G =T +log2b ,得 (6分) 即G.=∑=aa,4,…a,+log2b, 则s ad=aa4…a.a+logb 两式相减得0.=aa,4…a,04-刂+10g,1-1og, 即ai1=a4a,4…a(at-l+logq. 因为a}是首项为2的“k数列”，所以a一Tn=k,…(8 分) 即aa2a3an=al-k, 所以a=(a1-k(a1-1+log9, 即(k+lan4=k+log9对任意的n∈N恒成立。 因为a2=T+k=a+k=2+k,a=T+k=a,4+k=2(2+k)+k=3h+4, (k+1)a-k=l0g2 9 k+1(2+k)-k=log29 则大+la,-k=log:g即k+l训3张+4-k=6g:9 6解得k=-l,9=2..(】 分) 又由q=a+log,4,即4=2+log4,得么=4，所以bn=2 检验可知太=-1符合要求，故数列b.的通项公式为6.=2"。(2 分) (3)因为a}为“k数列”，所以a1-Tn=k, 即al=aa,a…a。+k对任意的n∈N"恒成立， 因为4>1，k>0,所以a2=a+k>1」 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 再结合a>l,k>0,a>1,反复利用aw1=aa,4…aw+k, 可得对任意的n∈N”,a,>1 设函数fx=nx-r+l,则f八x刘=二-.. 分) 由f"d=0,得x=1. 当x>1时，fx<0,所以八x)在1，+oo上单调递减. 所以当x>1时，fx=lnr-x+1<fI)=0,即lnx<x-1(x>. 又an>1,所以ha。<an-1. 可得lna<a,-l,na2<a2-l,,lna。<a。-1, 累加可得lna,+na+…+lnan<a,+a+…+an-n, 即naa…a,)<3-n,即n7<-n, 所以心>h7+n …(17 分)》 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025年1月“八省联考”考前猜想卷02 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D ] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ______ ______________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$