概率专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习23---概率专项训练 一、单选题 1．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（   ） A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚 C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚 2．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是.他说谎的概率是（    ） A．0.1 B．0.9 C．0.05 D．0.14 3．已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 5．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与相互独立 6．有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ). A． B． C． D． 8．若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（   ） （已知：） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 三、填空题 9．已知随机变量服从二项分布，若，，则 . 10．已知，则 . 11．为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 12．从数字，，，中随机取一个数字，第一次取到的数字为，再从数字，…，中随机取一个数字，则第二次取到数字为的概率是 . 四、解答题 13．甲、乙两人组队成“星对”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在一轮活动中，甲、乙都猜对的概率为，甲猜对且乙猜错的概率为. (1)求，的值； (2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 14．一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 15．小睿与小金同学进行羽毛球比赛，经过大数据分析，每局比赛小睿获胜的概率均约为. (1)若比赛为三局两胜制： （ⅰ）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ⅱ）求小金最终获胜的概率； (2) 若比赛为五局三胜制，已知小睿最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 16．某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C C D D ACD BC 1．A 【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局即可分出胜负，求得甲获胜的概率，进而得到答案. 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为，若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负， ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 所以甲胜出的概率为，甲应该分得赌金的，即甲分得赌金枚，乙分得赌金枚. 故选：A. 2．D 【分析】利用全概率公式直接求得结果. 【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 所以， 故选：D 3．C 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 4．C 【分析】应用全概率、贝叶斯公式求乘地铁回家的概率即可. 【详解】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 5．D 【分析】由古典概型计算可判断A错误；由及可得B错误；应用条件概率公式计算判断C,由独立事件的乘法公式可以判断D. 【详解】对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个， 事件包括，2个基本事件，所以，故A错误； 对于B：因为不互斥，，， 所以，故B错误； 对于C：事件包括4个基本事件，所以， ，故C错误； 对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，， ，与相互独立，故D正确； 故选：D. 6．D 【分析】根据全概率公式和条件概率公式即可得出答案. 【详解】设事件：知道答案，事件：答对本题， 则，， 则 故选：D 7．ACD 【分析】正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B不正确； 选项C：由于随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：， 所以，故C正确； 选项D：解法一：由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为直线：， ，所以在正态曲线中，的峰值较高，正态曲线较“瘦高”， 随机变量分布比较集中，所以，故D正确. 解法二：因为，， 所以， 故D正确. 故选：ACD. 8．BC 【分析】由题意可得随机变量，即可判断AB选项，根据题中数据结合正态分布性质求，，即可判断CD. 【详解】由题设可知，，则随机变量， 可得随机变量的标准差为，可得A错误，B正确； 因为 ，即C正确； 易知，即D错误. 故选：BC 9．9 【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，， 则，即得， 故答案为：9 10．/ 【分析】根据全概率公式直接计算出结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 11． 【分析】求出单位同学选择社团的总数，再求得三位同学选择不相同的的社团数，作比值即可；三位同学选择社团种类数可能取值为，分别求得概率，用数学期望的公式计算即可. 【详解】三位同学选择社团的总数为种，三位同学参加的社团各不相同的种类数是种， 所以三位同学参加的社团各不相同的概率为； 由题意可知，X的所有可能取值为，则 ；；， 则. 故答案为：； 12． 【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可. 【详解】记事件为“第一次取到数字”， ， 事件B为“第二次取到的数字为”， 由题意知是两两互斥的事件，且（样本空间）， . 故答案为：. 13．(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，即可列方程求解， （2）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）由已知由， 解得,所以. （2）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，则有 “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 ， 所以“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为. 14．(1) (2)的分布列为 【分析】(1)根据分步计数原理计算出总数，再列举出小球得分大于的情况，最后根据古典概率公式即可得出答案； (2)先写出的值，计算对应取值的概率，最后列出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）有放回抽取两次，总的可能有种，小球得分之和大于的情况只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；两次都取黑球种情况，所以小球得分之和大于的概率. （2）的取值有五种可能， ，，， ，， 所以的分布列为 . 15．(1)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ） (2) 【分析】（1）可取，按独立事件概率求解，写出分布列，由数学期望求得；可分打两局或打三局小金获胜求解即可； （2）分别求出“小睿最终获胜”的概率和“共进行了5场比赛”的概率，再按条件概率求解即可. 【详解】（1）解：（ⅰ）可取： ，， 所以的分布列为： X 2 3 P . （ⅱ）小金最终获胜的概率； （2）解：设事件“小睿最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”. 则， ， 故. 16．(1)， (2). 【分析】（1）记“低碳出行”为事件，根据二项分布的期望公式计算可得答案； （2）根据全概率公式计算可得答案. 【详解】（1）记“低碳出行”为事件，估计. 则，， ； （2）由（1）知，则有， 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件， 由题意，， 所以. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$