有效回避分类讨论的若干策略讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

有效回避分类讨论的若干策略 一、“分离变量”避免分类讨论 例1：奇函数是R上的减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围。 解：，且是R上的奇函数，减函数， 得到 （1） ，可得，问题转化为只要k小于的最小值即可。 令，因为在（0，）上是减函数， 故当时， 显然有，即 ∴k的取值范围为（-∞，2） 点评：按照常规思路，由（1）式转化为在上恒成立问题，可令，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到： 或或 解得或或，从而求得k的取值范围为（-∞，2）。这样解就显得比较烦琐，因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解。就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路。 练习1：已知定义域为的函数是奇函数. （1） 求的值； （2） 当时，恒成立，求实数k的取值范围. 二、“消除参数”避免分类讨论 例2：设，且，比较与的大小。 分析：本例通常应分与两种情况讨论，但运用换底公式消去a，就可避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的。 解：运用作商比较法， ，， 三、“反客为主”，避免分类讨论 例3：设不等式对于满足的一切m的值都成立，求m的取值范围。 分析：本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x的一元二次不等式，实质上是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为［-2，2］，求参数的范围。因此通过参数m与未知数x的地位的变化，借助于一次函数图象，避免了繁杂的对参数的讨论。 解：设，它是以m为自变量的一次函数，其图象为直线，由题意知，这条直线当时，线段在y轴的下方，满足它的为 即 四、“借助函数性质”避免分类讨论 例4：设定义在［-2，2］上的偶函数在区间［0，2］上单调递减，若，求实数m的取值范围。 分析：由函数的定义域知，但是与m到底是在［-2，0］、［0，2］的哪个区域内，不十分清楚，若就此讨论，将十分复杂，如果注意到性质“如果是偶函数，那么”，问题解答就简捷多了。 解：是偶函数，， 又当时，单调递减， ，解得 点评：本题应用了偶函数的一个简单性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，将“曲径”变“通途”。值得深思。 练习2：设f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上为减函数，求使f()＞f(2log2m-1)成立的实数m的取值范围。 解：∵f(x)是偶函数，∴f(2log2m-1)=f(|-2log2m-1|)，这就是题目中的隐含条件。又f(x)在[0,+∞)上是减函数知，由f()＞f(2log2m-1)，有＜|2log2m-1|。　　∴ 　　解得log2m≥2或log2m≤-1，∴m≥4或0＜m≤。故所求的m的取值范围为[4，+∞)∪(0, ]。 5、 “正难则反”避免分类讨论 　　例5： 三条抛物线f1(x)=x2-(2m-1)x-m+1，f2(x)=x2+(m+8)x+m2+13，f3(x)=x2+mx+m+4。若其中至少有一条与x轴没有交点，求实数m的取值范围。 　解：本题结论的反面是“求三条抛物线与x轴都有交点“的m的取值范围，则 　　 　　　　 4≤m≤6。其反面是m＜4或m＞6。 ∴m的取值范围是(-∞, 4)∪(6, +∞)。 练习:已知函数在区间[-1,1]上至少存在一个实数c，使，求实数的取值范围. 解：至少存在一个实数c，使，需要分多种情况考虑。 可以考虑反面，即对于区间[-1,1]上任意的数c，都有.结合图象知：解得或 取补集可求得所求范围： 6、 “挖掘隐含条件”避免分类讨论 例6. 已知函数，定义域为，且，值域为，求的值。 解： 在上为单调递减的函数 则 即为方程的两根，即 解得： 所以： 学科网（北京）股份有限公司 $$