3.3.1 抛物线的标准方程（教学设计）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一上册）

3.3.1 抛物线的标准方程教学目标 1. 了解抛物线的定义，知道四种抛物线的标准方程； 教学重点：四种抛物线标准方程.教学重难点 教学难点：处理与代数中抛物线之间的关系．教材分析 本节课是抛物线的第一课时，本节在初中以二次函数图像的形式初步探讨过，现在是在学习了椭圆、双曲线以后的又一种圆锥曲线，是对研究学习抛物线方法和思想的深化. 教学工具 教学课件教学过程 （一）情境导入 平南三桥位于广西壮族自治区，是2020 年建成的世界上最大的跨径拱桥，多项技术填补了世界拱桥空白，成为“中国桥梁”建造的新名片．观察下图，桥拱的轮廓线是什么图形？有什么特点？ 可以看出，拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线，人们称之为抛物线． 那么，如何画出抛物线呢？ 【设计意图】创设情境帮助学生直观感受“生活中的抛物线”. （二）探索新知 可以看出,拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线,人们称之为抛物线．那么,如何画出抛物线呢？ 我们可以通过一个实验来完成. （1）将一把直尺固定在画板上,再取一个直角三角板,紧靠直尺 的一边l放置：  （2）取一条拉链,把它的一端固定在三角板的顶点C处,另一 端固定在画板上的点F处；  （3）将笔尖(点 M)放在拉链锁扣处保持锁扣与C端的拉链部 分始终在 CA 上,让三角板靠紧直尺并沿直尺边缘滑动，笔尖随之移 动,就画出了一段曲线； （4）当直角三角板的边 AC 经过点下时,向下翻转三角板．保持锁扣与C端的拉链部分始终在 CA 上,让三角板靠紧直尺继续沿直尺边缘滑动,笔尖又画出一段曲线.  显然,笔尖(即点M )始终保持到定点 F 的距离与到直尺边 l 的距离相等(|MF|=|MC|). 一般地,把平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点 F 称为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 我们从椭圆和双曲线的定义出发，通过建立合适的平面直角坐标系，分别求出了椭圆和双曲线的方程．那么，如何从抛物线的定义出发，建立恰当的平面直角坐标系来求出抛物线的方程呢？ + =1 (a>b>0) - =1 (a>0，b>0) 取过焦点 F且垂直于准线l 的直线为x轴；记x轴与准线l 的交点为 E,以线段 EF的垂直平分线为y轴,如图所示.设焦点到准线的距离为 p(p>0),即|EF|=p，则焦点F的坐标为，准线 l 的方程为 设M(x,y)为抛物线上的任意一点,点M到l的距离为|MN|,则有|MF|=|MN|. 于是,可得 将上式两边平方得 展开并整理得 y²=2px(p>0). 上面方程称为抛物线的标准方程. 类似地,通过建立不同的平面直角坐标系,可以得到抛物线其他三种形式的标准方程：y²=-2px, x² =2py, x² =-2py. 它们的焦点坐标、准线方程及图形归纳见表: 【设计意图】注意强调抛物线方程中参数p的几何意义，引导学生观察图像与标准方程之间的联系 （三）典例剖析 例1. 根据条件,求抛物线的标准方程. （1）焦点为F（0，－3）； （2）准线方程为; （3）焦点在y轴的正半轴上，并且p = 3. 解 （1）由于焦点在y轴的负半轴上，并且 ， 即 p = 4． 故抛物线的标准方程为 ． （2）由准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且 ， 即 p =2． 故抛物线的标准方程为 ． （3）由于焦点在y轴的正半轴上，并且p = 3，故抛物线的标准方程为 ． 例2. 求下列抛物线的交点坐标和准线方程. （1）y²=8x；（2）x²+4y=0. 解: （1）抛物线的焦点在x轴的正半轴上，并且2p = 8，所以． 故焦点坐标为（2，0），准线方程为x = －2． （2）将方程化成标准方程，为． 抛物线的焦点在y轴的负半轴上，并且－2p = －4，所以． 故焦点坐标为，准线方程为． 判断抛物线的焦点在哪个坐标轴上是解决有关抛物线问题的关键,为此可将抛物线方程化为标准方程，观察标准方程中的一次项,如果一次项含变量x,并且系数为正(或为负),则焦点在x轴的正半轴(或负半轴)上;如果一次项含变量,并且系数为正(或为负),则焦点在y轴的正半轴(或负半轴)上. 【设计意图】例1利用定义直接解决问题，例2引导学生先将抛物线方程化为标准形式. （四）巩固练习 1. 根据条件，求抛物线的标准方程． （1）焦点为F(0，2)； （2）焦点是为F(-2，0) ； （3）准线方程为y=1；（4）准线方程为x= ． 解：(1) 因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是. （2）因为抛物线的焦点是，所以开口向左， 设抛物线方程为， 又，则，所以抛物线方程为. （3）由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线， 设其方程为，则其准线方程为，得 故该抛物线的标准方程是， （4）由题知，抛物线的准线方程为， 所以抛物线开口向左，，即， 设拋物线的标准方程为，所以拋物线的标准方程为， 2．抛物线的焦点坐标为 ． 解：由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 3．抛物线的准线方程为 ． 解：因为，所以，所以抛物线的准线方程为． 故答案为： 4．已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 解：抛物线的准线方程为， 又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为. 故选：B 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. （五）归纳总结 【设计意图】培养学生反思学习过程的能力 （六）布置作业 练习3.3.1；习题3.3- 1,3题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$