精品解析：广东省惠州市博罗县2024-2025学年高一上学期阶段性教学质量检测数学试题

博罗县2024—2025学年度第一学期高一阶段性教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，19小题；总分：150分，检测用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 已知则下列选项错误的是（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于y轴对称 C. 在定义域上单调递减 D. 在内的值域为 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二次不等式的解集为，则的值为_______. 13. 已知函数奇函数，且当时，，则______，当时，______. 14. 函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.已知函数图象成中心对称，则：__________. 四、解答题：本大题共5小题，其中15小题13分，16题与17题每小题15分，18题与19题每小题17分，共77分. 15. 已知函数 （1）求的值； （2）在给出的坐标系中画出函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域. 16. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17. 如图，在周长为8矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. （1）求的周长； （2）试用表示，并求的取值范围； （3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的值； （2）用定义法判定的单调性； （3）求使成立实数的取值范围. 19. 对于集合M，定义函数对于两个集合，定义集合.已知 （1）写出和的值，并用列举法写出集合； （2）用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值； （3）有多少个集合对，满足，，且？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 博罗县2024—2025学年度第一学期高一阶段性教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，19小题；总分：150分，检测用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集与补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题得否定为全称量词命题即可得解. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：B. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且可求得结果. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】讨论和时，从而求出不等式恒成立时实数的取值范围. 【详解】当时，，解得，不合题意； 当时，，解得. 故选：. 6. 不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由含参一元二次不等式的求解方法，对参数分类讨论得到结果. 【详解】， ①当时，明显不符合题意； ②当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故； ③当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，，，故. 所以实数的取值范围为或. 故选：D. 7. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，代入化简后利用基本不等式可求得答案 【详解】由题意得，， 则， 当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为． 故选：C 8. 已知则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值． 依据最大值最小值的定义逐一分析选项可得结果. 【详解】由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值． 对于选项A，因为，分别取中的一个最小值与一个最大值， 所以，故A正确． 对于选项B，当，则，， 所以； 当时，，，所以． 综上所述，，故B正确． 对于选项C，取，则， 而，此时，故C错误． 对于选项D，当，即时，， 因为，所以，，所以； 当，即时，， 因为，所以，，所以． 综上所述，，故D正确． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于y轴对称 C. 在定义域上单调递减 D. 在内的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断． 【详解】将点的坐标代入，可得， 则， 所以的图象经过点，A正确； 根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性， 函数在内值域为，故BC错误，D正确， 故选：AD． 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 11. 高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可. 【详解】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确； 对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确； 对C，函数，当时，，故C错误； 对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二次不等式的解集为，则的值为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】由二次不等式与二次方程的关系可得，从而得解. 【详解】二次不等式的解集为， 则，且的两个根为和. 所以，解得. 所以 【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系，属于基础题. 13. 已知函数是奇函数，且当时，，则______，当时，______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】不妨设，则，将代入解析式，由即可求解． 【详解】设，则，又因为， ， 所以， 是奇函数，，所以， 即，且. 故答案为：①1 ② 14. 函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.已知函数图象成中心对称，则：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的充要条件，利用待定系数法求出函数的对称中心，再求值即可. 【详解】设函数图象的对称中心为， 设，则为奇函数， 且，则， 即，即， 整理得，于是，解得， 因此函数图象的对称中心为，则， 令， 则， 于是，解得， 所以. 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 四、解答题：本大题共5小题，其中15小题13分，16题与17题每小题15分，18题与19题每小题17分，共77分. 15. 已知函数 （1）求的值； （2）在给出的坐标系中画出函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域. 【答案】（1）1； （2）作图见解析，增区间为，减区间为，值域是. 【解析】 【分析】（1）判断并代入求出函数值. （2）画出给定函数的图象，结合图象求出单调区间及值域. 【小问1详解】 函数，则，所以. 【小问2详解】 当时，，其图象是直线在轴及左侧部分； 当时，，其图象是抛物线在轴右侧部分， 函数的大致图象，如图： 函数的递增区间为，递减区间为， 当时，；当时，， 所以函数的值域是. 16. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】 （1）由集合描述求集合、，根据集合交运算求；（2）由充分不必要条件知⫋，即可求m的取值范围. 详解】， （1）时，， ∴； （2）“”是“”的充分不必要条件，即⫋， 又且， ∴，解得； 【点睛】本题考查了集合基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属于基础题. 17. 如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. （1）求的周长； （2）试用表示，并求的取值范围； （3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1）4； （2），； （3）当时，的面积取得最大值. 【解析】 【分析】（1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长. （2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围. （3）将面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 依题意，， 则≌，于是, 因此， 所以的周长为定值4. 【小问2详解】 由折叠知，则，即, 由（1）知，即，则， 在中，由勾股定理得， 即，化简得， 而,，则且，即， 所以，. 【小问3详解】 在中,，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积取得最大值，为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的值； （2）用定义法判定的单调性； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上是增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用定义证明函数的奇偶性即可； （2）按“区间取值——作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得； （3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得，解得， 验证：当时，. 由题意，的定义域关于原点对称. 且任意，都有， 所以是奇函数，满足题意. 故. 【小问2详解】 在上是增函数. 由（1）知，，. 证明：设，且， 则， ，，， ，， 在上是增函数. 【小问3详解】 ， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 则， 由（2）知在上是增函数， 所以，即，解得. 故实数的取值范围是. 19. 对于集合M，定义函数对于两个集合，定义集合.已知 （1）写出和的值，并用列举法写出集合； （2）用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值； （3）有多少个集合对，满足，，且？ 【答案】（1）,,， （2）4 （3）128 【解析】 【分析】（1）依据定义直接得到答案； （2）根据题意可知：对于集合，①且，则；②若且，则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值． （3）由⊆，且（△）△（△）=△求出集合所满足的条件，进而确定集合对（，）的个数． 试题解析： 【小问1详解】 ，，. 【小问2详解】 根据题意可知：对于集合， ①且，则； ②若且，则. 所以要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素. 所以当为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，取到最小值4. 【小问3详解】 因为， 所以. 由定义可知：. 所以对任意元素，， . 所以. 所以. 由知：. 所以. 所以. 所以，即. 因为， 所以满足题意的集合对的个数为. 【点睛】本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.理解新定义是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$