第二十七章相似（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十七章 相似（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．若 = ，则 的值为（　　） A． B． C．1 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到对应的△A′B′O′．若点A的坐标是（﹣1，2），则点A′的坐标是（　　） A．（4，﹣2） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 3．如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高CP=1.2 m，在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4 m，通过测量知道BC的距离为1.5 m，则路灯AB的高度是（　　） A．3 m B．3.6 m C．4.5 m D．6 m 4．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为12，则的值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．12 5．如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与 相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交 于点N′，则PN-MN′的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知 ，若b+d≠0，则 ＝　 　． 8．如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为　 　.（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：）. 9．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是　 　． 10．如图所示， 是边长为9cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 11． 如图， 4 个小正方形拼成 “ ” 型模具， 其中三个顶点在正坐标轴上， 顶点 在反比例函数 的图象上， 若 ， 则 　 　. 12．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 为 的中点， 与 交于点 ，则 的长为　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，在中，点D、E分别在边AC、AB上，，求证：. 14．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，MB＝MC． （1）求证：△AMB∽△ABC； （2）若AM＝3，MB＝6，求AB的长． 15．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度 ，用长为 的竹竿 作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上.已知 ， ，求这棵树的高度 . 16．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC． （1）求证：AB=GD； （2）当CG=EG时，且AB=2，求CE． 17．在的正方形网格中，四边形的顶点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图． （1）在图1中作的平分线； （2）在图2中，连接交于点O，在上确定点M，使． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 的中点． （1）求证：∠ACD＝∠DEC； （2）延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长． 19．欧多克索斯约公元前400年出生于尼多斯，约公元前347年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他认为所谓的黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长部分与全部之比，等于较短部分与较长部分之比，其比值为．现在，我们也把顶角为的等腰三角形叫黄金三角形． 图1 图2 （1）如图1，在，的平分线交腰于点．请你根据上述材料利用所学知识，证明点为腰的黄金分割点； （2）如图2，在中，为斜边上的高，，若是的黄金分割点，求的长． 20．阅读下列材料，并按要求解答． [模型介绍]如图①，C是线段AB上一点，E、F在AB同侧，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一个“K”，我们称图①为“K”型图． [性质探究]性质1：如图①，△ACE∽△BFC； [模型应用]应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2 ，AB＝5．求BD． （1）请你完成性质1的证明过程； （2）请解答模型应用提出的问题． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图1，光线，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图2，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图3，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得，．（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离） （1）任务1 利用素材1证明△ABM△CDN； （2）任务2 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度； （3）任务3 利用素材3求出旗杆的高度． 22．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E． （1）求证：AM＝AN； （2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE； （3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明． 六、解答题（本大题共12分） 23．在中，D为AB边上一点，过点D作交AC于点E，以DE为折线，将翻折，设所得的与梯形DBCE重叠部分的面积为y. 图1图2 图3 （1）如图1，若，，，，则y的值为　 　； （2）如图2，若，，D为AB中点，则y的值为　 　； （3）若，，，设. ①求y与x的函数解析式； ②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由. 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．若 = ，则 的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解：由=，得y=x． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到对应的△A′B′O′．若点A的坐标是（﹣1，2），则点A′的坐标是（　　） A．（4，﹣2） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 【答案】B 【解析】解：由题意知，点A′的坐标为（2，-4） 故答案为：B． 3．如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高CP=1.2 m，在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4 m，通过测量知道BC的距离为1.5 m，则路灯AB的高度是（　　） A．3 m B．3.6 m C．4.5 m D．6 m 【答案】C 【解析】解：∵AB⊥BC，CP⊥QP， ∴∠ABC=∠CPE=90°， ∴AB∥CP， ∴∠A=∠ECP， ∴△ACB∽△CEP， ∴即 解之：AB=4.5. 故答案为：C. 4．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为12，则的值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】D 【解析】解：如图，过点作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∴， 即： ， ∴， 故答案为：D． 5．如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵GE // BD、GF//AC， ∴ ∴ 故答案为：C. 6．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与 相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交 于点N′，则PN-MN′的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4， ∴OA=OC，AD=AB=4， ∵N是AO的中点，P是OD的中点， ∴PN是△AOD的中位线， ∴PN= AD=2， ∵PM⊥BC， ∴PM//CD//AB， ∴点N′为OC的中点， ∴AC=4CN′， ∵PM//AB， ∴△CMN′∽△CBA， ∴ ， ∴MN′=1， ∴PN-MN′=2-1=1， 故答案为：A. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知 ，若b+d≠0，则 ＝　 　． 【答案】 【解析】设a=2m，c=2n， ∵ ， ∴b=3m，d=3n， ∴ = = ， 故答案为： 8．如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为　 　.（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：）. 【答案】（） 【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴， 设AC=x，则BC=AB-AC=100-x， ∴， ∴x2+100x=1002， 解得，(舍)， ∴AC的长为：（）cm. 故答案为：（）. 9．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是　 　． 【答案】12 【解析】解：∵点与点是对应点， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴的面积是12， 故答案为：12． 10．如图所示， 是边长为9cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 【答案】 cm² 【解析】解： 是边长为9cm的等边三角形， ，AB被截成三等分， ： ： ：4：9， ： ： ：3：5， 图中阴影部分的面积 ． 故答案为： cm². 11． 如图， 4 个小正方形拼成 “ ” 型模具， 其中三个顶点在正坐标轴上， 顶点 在反比例函数 的图象上， 若 ， 则 　 　. 【答案】24 【解析】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，连接AD， ∵∠ABC=∠BAF=∠AOF=90° ∴∠AFO+∠OAF=90°，∠OAF+∠CAB=90°， ∴∠AFO=∠CAB， ∴△ABC∽△FOA ∴即 解之：； 同理可知△AOF∽△FED， ∴即 解之：， ∴， ∴点D， ∵点D在反比例函数图象上， ∴ 故答案为：24. 12．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 为 的中点， 与 交于点 ，则 的长为　 　． 【答案】 【解析】如解图，过点 作 于 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，点 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ∽ ∴ ∴ ， 设 为 ，则 ，由勾股定理得 ， 又∵ ， ∴ ， 则 ， ∵ 且 ， ∴ ∽ ， ∴ ， 即 ， 解得 ， ∴ ． ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，在中，点D、E分别在边AC、AB上，，求证：. 【答案】∵AB＝2AD，AC＝2AE， ， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC． 14．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，MB＝MC． （1）求证：△AMB∽△ABC； （2）若AM＝3，MB＝6，求AB的长． 【答案】（1）证明：∵MB＝MC， ∴∠MBC＝∠MCB， ∵BM平分∠ABC， ∴∠MBC＝∠ABM， ∴∠ABM＝∠MCB， 又∵∠A＝∠A， ∴△AMB∽△ABC； （2）解：∵AM＝3，MB＝6＝MC， ∴AC＝9， ∵△AMB∽△ABC， ∴， ∴AB2＝27， ∴AB＝3（负值舍去）， ∴AB的长为3． 15．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度 ，用长为 的竹竿 作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上.已知 ， ，求这棵树的高度 . 【答案】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . 答：这棵树的高度 为 . 16．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC． （1）求证：AB=GD； （2）当CG=EG时，且AB=2，求CE． 【答案】（1）解：∵D，E是AC，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB，AB=2DE， ∴∠ABF=∠DGF， ∵F为AD中点， ∴AF=DF， 在△ABF和△DGF中， ∴△ABF≌△DGF（AAS）， ∴AB=GD （2）解：∵AB=2， ∴CD=2，DE=1， ∴GE=3， ∵CA=CB， ∴∠CAB=∠CBA， ∵CG=EG， ∴∠GEC=∠GCE， ∵DE∥AB， ∴∠GEC=∠CBA， ∴△GEC∽△CBA， 设CE=x， 则BC=2x， ∴ ，即 ， 解得： ，（负值舍去） ∴CE= . 17．在的正方形网格中，四边形的顶点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图． （1）在图1中作的平分线； （2）在图2中，连接交于点O，在上确定点M，使． 【答案】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，点M即为所求． 【分析】（1）在上取点F，使，从而构造腰为5的等腰三角形，连接，取的中点E，然后作射线，即可； （2）取的中点H，取格点，使，连接，从而构造平行四边形ACHG，交于点M，利用三角形中位线可得到点M即为所求． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 的中点． （1）求证：∠ACD＝∠DEC； （2）延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长． 【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∵∠DEC＝∠B， ∴∠ACD＝∠DEC． （2）证明：连结OE ∵E为BD弧的中点． ∴∠DCE＝∠BCE， ∵OC＝OE， ∴∠BCE＝∠OEC， ∴∠DCE＝∠OEC， ∴OE∥CD， ∴△POE∽△PCD， ∴ ， ∵PB＝BO，DE＝2 ∴PB＝BO＝OC ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴PE＝4． 19．欧多克索斯约公元前400年出生于尼多斯，约公元前347年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他认为所谓的黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长部分与全部之比，等于较短部分与较长部分之比，其比值为．现在，我们也把顶角为的等腰三角形叫黄金三角形． 图1 图2 （1）如图1，在，的平分线交腰于点．请你根据上述材料利用所学知识，证明点为腰的黄金分割点； （2）如图2，在中，为斜边上的高，，若是的黄金分割点，求的长． 【答案】（1）证明：在中， 为的平分线， ， ． ，即 点为腰的黄金分割点； （2）解：点是的黄金分割点， ． 又， 是斜边上的高， ． 20．阅读下列材料，并按要求解答． [模型介绍]如图①，C是线段AB上一点，E、F在AB同侧，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一个“K”，我们称图①为“K”型图． [性质探究]性质1：如图①，△ACE∽△BFC； [模型应用]应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2 ，AB＝5．求BD． （1）请你完成性质1的证明过程； （2）请解答模型应用提出的问题． 【答案】（1）证明：∵∠A＝∠B＝∠ECF＝90°， ∴∠ACE+∠BCF=90°，∠BFC+∠BCF=90° ∴∠ACE=∠BFC， 又∠A＝∠B＝90° ∴△ACE∽△BFC （2）解：如图，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H． 在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=1，CD=2， ∴AC= ， ∵AC2+BC2=5+20=25，AB2=52=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴∠ADC=∠ACB=∠CHB=90°， ∴符合“K”型图， ∴△ACD∽△CBH， ∴ ， ∴ ， ∵CH=2，BH=4， ∴DH=4， 在Rt△BDH中， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图1，光线，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图2，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图3，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得，．（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离） （1）任务1 利用素材1证明△ABM△CDN； （2）任务2 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度； （3）任务3 利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】（1）证明：由题意知：，， 即， ∵， ∴， ∴． （2）解：小陈同学还要测量图中线段DE的长度，记为a． 由题意知：， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵，，， ∴． （3）解：过点G作于点H，交PQ于点F． 由题意知：，，， 即， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E． （1）求证：AM＝AN； （2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE； （3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明． 【答案】（1）证明∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B， ∴∠BAM+∠MAD＝90°， ∵∠MAN＝90°， ∴∠MAD+∠DAN＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， ∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°， ∴△ABM≌△ADN（ASA） ∴AM＝AN； （2）∵AM＝AN，∠MAN＝90° ∴∠MNA＝45°， ∵∠CAD＝2∠NAD＝45°， ∴∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°， ∴△AMC∽△AEN， ∴， ∴AM•AN＝AC•AE， ∵AN＝AM， ∴AM2＝AC•AE； （3）ON＝2OM，理由：如图， 在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3， 根据勾股定理得，BM＝＝， 过点B作BF⊥MN于F， ∴∠OFB＝∠A＝90°， 由（1）知，AM＝AN， ∵∠MBN＝90°， ∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABC＝45°＝∠MBF， ∴∠ABM＝∠FBO， ∴△ABM∽△FBO， ∴， ∴， ∴FO＝， ∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝， ∴ON＝2OM． 六、解答题（本大题共12分） 23．在中，D为AB边上一点，过点D作交AC于点E，以DE为折线，将翻折，设所得的与梯形DBCE重叠部分的面积为y. 图1图2 图3 （1）如图1，若，，，，则y的值为　 　； （2）如图2，若，，D为AB中点，则y的值为　 　； （3）若，，，设. ①求y与x的函数解析式； ②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由. 【答案】（1） （2）12 （3）解：①当时，； 当时，. ②当时，， 当时，； 当时，. ，， 当时，. 综上所述，当时，y有最大值，最大值是10. 【解析】解：（1），，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ； （2），， 边上的高为， ， 为的中点，， ，， ， ， ， 故答案为：12。 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$