4.1.2数列的概念课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.2 数列的概念 第4章 数列 1、数列中的每一个数叫做这个数列的 。 2、各项依次叫做这个数列的 (首项)， … ， … 3、数列的一般形式可以写成： a1，a2，a3，…，an，…， 简记为 。 {an} 项 第1项 第2项 第n项 一、数列的概念与一般形式： 注意：{ an }与an 区别与联系 { an }表示整个数列 a1，a2，a3，…，an，… ； an 只是表示数列{ an }中的第 n 项， 导入 2 4、数列的通项公式： ①一些数列的通项公式不是唯一的； ②不是每一个数列都能写出它的通项公式. 数列 {an} 的第n项 an 与序号 n 之间的关系式叫数列的通项公式 5、求数列通项公式的一般方法： ①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。 ②通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系， 写出一个满足条件的最简捷的公式。 注意： 导入 意大利数学家斐波那契在十三世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子？ 时间/月 初生兔子/对 成熟兔子/对 兔子总数/对 1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 5 6 7 1 13 8 5 8 5 3 5 2 3 2 3 … … … … 探究新知 从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …. 你发现这个数列的规律了吗？ 由1对新生的小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为 . 如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，数列的规律是递推关系: Fn=Fn-1+Fn-2(n>2) 这个数列称为斐波那契数列. 所以，过了一年之后，总共会有233对兔子. 探究新知 1 3 9 27 ... 项与序号之间的关系 相邻两项之间的关系 an=3an-1(n≥2) an=3n-1 通项公式 递推公式 问题1、什么是数列的递推公式？ 探究新知 6 1、数列的递推公式： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 如果知道了一个数列的首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律. 如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察. 注意：(1)不是所有的数列都有递推公式； (3)递推公式表示an与它的前一项an－1(或前n项)之间的关系， 通项公式表示an与n之间的关系． (2)当用递推公式给出一个数列时，必须给出：①数列{an}的第1项(或前几项） ②递推关系 探究新知 7 2、数列的前n项和： 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和， 记作Sn，即 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 显然S1=a1， 问题1 数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？ 于是我们有 Sn =a1+a2+a3+...+an-1+an， an=Sn-Sn-1,n≥2 a1=S1,n=1 探究新知 8 例1 已知数列{an}的首项为a1=1, 递推公式为 写出这个数列的前5项. 例题巩固 9 1、根据下列条件, 写出数列{an}的前5项，并猜想它的通项公式P8-2 练习 例2、已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2. 解:(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5 ＝4n－5. 此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故an＝4n－5(n∈N*). 例题巩固 例2、已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2. 例题巩固 练习 2、 13 练习 3、 14 练习 4、 总结 16 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，】 ∴an＝ (n∈N*) 例题巩固 例3、 例3（2)已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式. 解：由递推式可得 ∴数列的通项为 . n∈N* 把以上n-1个式子相乘得 又 a1 = 1满足上式 总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，可用累乘法求通项公式. 例题巩固 18 累加法 练习 5、 19 累乘法 练习 5、 20 总结 21 例题巩固 例4、 一般地，对于以递推公式的形式给出的数列，求解时常需要转化为通项公式或得到一个特殊数列(如本题中的周期数列)来解决． (1)周期数列的一般形式 周期数列的递推公式的一般形式为an＋k＝an(n∈N*，k∈N*，k≥2)，如数列1,2,3,1,2,3,1,2,3，…是周期为3的周期数列，满足an＋3＝an(n∈N*)． (2)周期数列的判断方法 要判断一个数列是否具有周期性，主要方法是利用递推公式求出数列的若干项，观察得到规律或由递推公式直接发现规律． 总结 1.递推公式：（1）初始值；（2）递推关系式 已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式 3.用递推公式求数列通项公式的方法：观察法、累加法、累乘法. 小结 C 课堂检测 2.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(　　) A.an=an-1+2(n≥2) B.an=2an-1(n≥2) C.a1=2,an=an-1+2(n≥2) D.a1=2,an=2an-1(n≥2) C 解析 A,B中没有说明第一项,无法递推;D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意. 课堂检测 C 课堂检测 4.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-2,则an=　　　　　　.  解析 当n≥2时,an=Sn- =3n-2-3n-1+2=2·3n-1,当n=1时,a1=31-2=1,不符合n≥2时的关系式an=2·3n-1, 课堂检测 5、已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-n,求{an}的通项公式. 解由Sn=n2-n得Sn-1=(n-1)2-(n-1)=n2-3n+2(n≥2). 则an=Sn-Sn-1=2n-2(n≥2). 当n=1时,a1=S1=0,满足an=2n-2,所以{an}的通项公式是an=2n-2. 课堂检测 (2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1； 当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2， 则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1 ＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1. 若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1， 故an＝ 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn.若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an。 解：a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1) ＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)， 又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1). 例3 已知数列：a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq \f(n,3)，求an. 解：当n≥2时，由a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq \f(n,3)， 得a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝eq \f(n－1,3)， 两式相减得3n－1an＝eq \f(n,3)－eq \f(n－1,3)＝eq \f(1,3)，则an＝eq \f(1,3n). 当n＝1时，a1＝eq \f(1,3)，满足an＝eq \f(1,3n)，所以an＝eq \f(1,3n). 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式， 那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式， 那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1,Sn－Sn－1，n≥2.)) an－an－1＝. 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－， ∴an＋1＝1－， ∴an＝－(n≥2)． 累加法： 当an＝an－1＋f(n-1)时， (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an； 解： (1)∵an＋1－an＝， ∴a2－a1＝，a3－a2＝，a4－a3＝，…， 例4 （1）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋ eq \f(1,n) )，求数列{an}的通项公式. 解：an＋1－an＝ln (1＋ eq \f(1,n) )＝ln eq \f(1＋n,n) ＝ln (1＋n)－ln n， a1＝2， a2－a1＝ln 2， a3－a2＝ln 3－ln 2， …， an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)， 以上各式相加得an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln (n－1)]. 所以an＝2＋ln n(n≥2). 因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n． 例4 （2）设数列{an}中，a1＝1，an＝(1－ eq \f(1,n) )an－1(n≥2)，求通项公式an. 解：因为a1＝1，an＝(1－ eq \f(1,n) )an－1(n≥2)，所以 eq \f(an,an－1) ＝ eq \f(n－1,n) ， eq \f(an,an－1) = eq \f(n－1,n) ， eq \f(an－1,an－2) = eq \f(n－2,n－1) ，..., eq \f(a2,a1) = eq \f(1,2) , 以上各式相乘得 eq \f(an,an－1) × eq \f(an－1,an－2) ×…× eq \f(a2,a1) ＝ eq \f(n－1,n) × eq \f(n－2,n－1) ×…× eq \f(1,2) ， eq \f(an,a1) ＝ eq \f(1,n) .又因为n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝ eq \f(1,n) (n∈N*). 方法归纳 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1求通项公式． (2)累乘法：当eq \f(an,an－1)＝g(n)时，常用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1求通项公式． 解：　a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1， ∴{an}是周期为4的数列，∴a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－. 1.已知数列{an}满足a1=2,an=1+(n≥2),则a3=(　　) A. B. C. D. 解析 因为a1=2,所以a2=1+,a3=1+=1+.故选C. 3.[2024福建龙岩高二校考阶段练习]设数列{an}中,a1=2,an+=1(n≥2且n∈N*),则a2 023=(　　) A.-1 B. C.2 D. 解析 因为a1=2,an+=1(n≥2且n∈N*),所以a2=1-,a3=1-=-1,a4=1-=2,a5=1-,a6=1-=-1,a7=1-=2,…,所以数列{an}是周期为3的数列,所以a2 023=a674×3+1=a1=2.故选C. ∴an= $$