圆与方程专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习17---圆与方程专项训练 一、单选题 1．已知直线：与直线：相交于点P，若点P始终在圆内，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 3．已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16] 4．已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知点P为圆上一动点，若直线上存在两点A，B，满足，且，则r的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知圆C的圆心在直线上，并且圆 C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 8．在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（    ） A．当时，的方程是 B．当时，以为直径的圆与的公共弦长为 C．当时，圆的圆心在线段的延长线上 D．以为直径的圆始终与相交 三、填空题 9．圆被直线截得的弦长为 ． 10．已知圆的周长为，则实数的值为 . 11．过圆上的一个动点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为 . 12．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 四、解答题 13．已知圆：和圆：. (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 14．已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为 (1)求圆的标准方程； (2)求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值. 15．已知圆上三点坐标分别为． (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 16．已知直线. (1)求过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C C C D ABC ACD 1．D 【分析】根据两直线经过定点，且垂直可判断点的轨迹为，进而利用两圆的位置关系为内含，利用圆心距和半径的关系求解. 【详解】由于：恒过定点，直线：恒过， 且两直线互相垂直， 因此在以为直径的圆上运动，故点的轨迹为(去除点)， 由于点P始终在圆内，因此内含于， 故两圆的圆心距， 解得， 故选：D 2．B 【分析】首先确定圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 因为，则， 所以圆与圆相交. 故选：B 3．C 【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据表示圆上点到原点距离的平方求范围. 【详解】将化为，即圆心为，半径为3， 由表示圆上点到原点距离的平方，而圆心到原点的距离为1， 又在圆内， 所以圆上点到原点距离范围为，故的取值范围是. 故选：C 4．C 【分析】将圆的方程与直线方程联立，设、 ，利用可得 ，利用韦达定理，即可求出. 【详解】由，得， 则，即， 联立，得， 设，，则，， 则， 因为，所以， 则，即，解得. 故选：C. 5．C 【分析】根据题意，由4，且，可得，点P在以为直径的圆M 上，转化为圆C与圆M有公共点，当圆C 与圆M 外切，且时，r 取得最小值. 【详解】设的中点M，由，且可得， 点P在以为直径的圆M 上，且圆C与圆M有公共点， 圆心到直线的距离为， 当圆C 与圆M外切，且时，r取得最小值 故选：C. 6．D 【详解】联立两圆方程，求出交点的坐标，得的垂直平分线方程，与直线联立即可求解. 【解答】设圆与圆的交点为 联立两圆方程，得，解得，或 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得AB的垂直平分线方程为，即， 联立与，得，解得， 即圆心坐标为. 故选：D 7．ABC 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与过圆心的直线垂直，从而判断选项D. 【详解】选项A中，直线方程整理得，由，解得， ∴直线过定点，A正确； 选项B中，在圆方程中令，得，， ∴轴上的弦长为，B正确； 选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且， ∴，则直线方程为，即，D错误. 故选：ABC. 8．ACD 【分析】根据题意设，由可得轨迹，当时，可得轨迹的方程，根据圆与圆的位置关系确定相交弦长从而可判断A，B；根据圆心的坐标确定与，坐标关系即可判断C；分别判断与时，圆的端点在圆内还是外即可判断圆与圆的位置，从而判断D. 【详解】设，因为，，则， 整理得点的轨迹为为， 对于A，B，当时，的方程是，故A正确； 此时圆心，半径，又以为直径的圆圆心为，半径为2，圆的方程为， 所以两圆方程作差可得公共弦长所在直线方程为：， 故公共弦长，故B不正确； 对于C，由于方程为，则此时圆心坐标为， 当时，，则圆的圆心在线段的延长线上，故C正确； 对于D，由于以为直径的圆方程为，圆的圆心为，半径为， 当时，，因为圆的圆心在线段的延长线上， 又， 则，， 故点在圆内，在圆外，即此时以为直径的圆始终与相交； 当时，，的圆心在线段的延长线上， 又，， 则，， 故点在圆外，在圆内，即此时以为直径的圆始终与相交； 综上，以为直径的圆始终与相交，故D正确. 故选：ACD. 9．8 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为：8 10．-3 【分析】由周长求出圆的半径，从而根据半径得到方程，求出实数的值. 【详解】设圆的半径为r，则由题意，故， 将圆一般式化为标准式得， 则. 故答案为：-3 11． 【分析】作图，根据圆的切线的性质，设，则，根据点在圆上求出的范围，进而得到的范围，最终得到的取值范围. 【详解】 圆的圆心为，半径为1， 将圆化为， ，半径为2，， 点在圆上，， 设与交于点，，，则， 在中，， 则. 故答案为：. 12． 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再由、，将问题化为先求最小值，进而求最小面积. 【详解】由，即，则，半径， 所以到的距离，即直线与圆相离，如下图示，    由题意，且，而， 所以，要使四边形的面积最小，只需最小， 又，即只需最小，显然， 所以，故最小. 故答案为：. 13．(1)证明见解析； (2)，. 【分析】（1）根据圆的方程确定圆心和半径，利用半径和差与圆心距的大小关系判断圆的位置关系； （2）两圆方程作差求公共弦方程，应用几何法求公共弦长. 【详解】（1）根据题意，圆：的圆心为，半径， 圆：，得，圆心为，半径， 圆心距， ， 圆和圆相交. （2）将两圆方程相减，有，即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离，故公共弦的弦长为. 14．(1) (2)最大值为；最小值为 【分析】（1）设圆心，根据圆的定义，待定系数法可得圆的方程； （2）分离参数可得直线过定点，且点在圆内，进而可得弦长的最值. 【详解】（1）由已知圆心在直线上， 则设， 又圆经过点和， 则， 即， 解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为； （2） 由已知直线， 即， 令，解得， 即直线过定点， 且， 所以当直线过点时弦长最大为， 当直线时弦长最小为. 15．(1) (2) (3)5 【分析】（1）设圆的一般方程为，将圆上三点坐标代入方程，得到一个三元一次方程组，解方程组即可求出、、的值. （2）先求出弦中点坐标，再根据两直线垂直斜率之积为求出垂直平分线的斜率，最后利用点斜式求出直线方程. （3）可先求出的长度，再求出点到直线的距离，根据三角形面积公式计算. 【详解】（1）设圆的一般方程为. 将，，分别代入方程可得： 解得，，. 所以圆的一般方程为. （2）先求中点坐标，，，中点坐标为.，则弦垂直平分线的斜率为. 根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为，即. （3）. 直线的方程为，即. 点到直线的距离. 所以的面积. 16．(1) (2) 【分析】（1）先求出交点坐标，由平行得直线斜率，由点斜式得直线方程并整理； （2）设出圆的一般方程，代入已知条件列方程组求解． 【详解】（1）由解得，，即直线与的交点为， 直线的斜率为直线的斜率， 直线的方程为，即：. （2）设圆的方程为， 则由题意有， 解得，， 所以，圆的方程为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$