8.1 功与功率-【无畏物理】2024-2025学年高一物理同步学案（人教版2019必修二）

高中物理 必修二 第八章 机械能守恒定律 8.1功与功率 对功的理解 知识点一 1．内容：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 2．公式：W＝Flcos α。 3．功是标量(选填“标量”或“矢量”)。 4．功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 5．功的单位物理意义：1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m位移的过程中所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。 6．公式F＝Flcos α的理解与应用 (1)在使用公式W＝Flcos α计算功时，公式中各量W、F、l都要取国际单位制单位。 (2)功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功。 (3)公式W＝Flcos α只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。式中的l是力的作用点的位移，α是力F的方向与位移l的方向的夹角。 (4)力F对物体所做的功W，只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。 正功和负功 知识点二 1． 正功和负功 功是标量，但有正功、负功之分，功的正负既不表示大小，也不表示方向，只表示两种相反的做功效果，即为动力功还是阻力功． α的取值 W的取值 含义 α＝（直角） W＝0 力F不做功 0≤α＜（锐角） W＞0 力F对物体做正功 ＜α≤π（钝角） W＜0 力F对物体做负功 说明：力F对物体做负功，也可以表述为物体克服力F做功，这两种说法的意义是等同的。例如，可以说摩擦力做了－3 J的功，也可以说物体克服摩擦力做了3 J的功。 2．总功 当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，计算这几个力对物体所做的总功，通常有以下两种方法。 (1)这几个力对物体所做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和。若以W1、W2、W3…分别表示力F1、F2、F3…所做的功，则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3…(负功连同负号一起代入计算)。 (2)这几个力对物体所做的总功等于这几个力的合力对物体所做的功。若以F合表示这几个力的合力，则这些力所做的总功为W总＝F合lcos α。 功率 知识点三 1．定义：力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值。 2．定义式：P＝。 3．单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号W表示。 说明：在工程技术上常用的单位是千瓦kW，1 kW＝103 W。 4．意义 功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量。 5．功率与速度 (1)关系：当一个力与运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等于这个力与物体速度的乘积。 (2)关系式：P＝Fv。： ①若v是物体的平均速度，则P＝Fv为对应时间t内的平均功率。 ②若v是瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率。 (3)应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。 6．平均功率和瞬时功率 定义式P＝ 计算式P＝Fv 适用条件 任何情况下功率的计算(常用于求平均功率) 适用于F与v同向的情况 应用 求某个过程中的平均功率。当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率 若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率 公式理解 功率可以用P＝来表示，但功率并不由W、t决定 P一定时，F与v成反比；v一定时，F与P成正比；F一定时，v与P成正比 机车的两种启动方式 知识点四 机动车启动通常有两种方式，即以恒定功率启动和以恒定加速度启动． 分析的理论依据是机车功率P＝Fv，水平方向上应用牛顿第二定律，牵引力F与阻力有F－＝ma，应用这两个公式对运动过程进行分析． 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图 v­t图 和F­t图 OA段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变P＝Fv↑ 直到P额＝Fv1· 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动、维持时间t0＝　 AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝ v↑⇒F＝↓ ⇒ a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC段 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动 2．汽车启动问题中几个物理量的求法 (1)汽车的最大速度vmax的求法 汽车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vmax＝＝。 (2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法 牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度v′max＝，时间t＝。 (3)瞬时加速度a的求法：根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。 变力做功的求法 知识点五 1．图象法 我们可以用图象来描述力对物体做功的大小．以F为纵坐标，以l为横坐标．当恒力F对物体做功时，由F和l为邻边构成的矩形面积，即表示功的大小，如图甲；如果外力不是恒力，外力做功就不能用矩形表示．不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段内所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和，如图乙所示． 2．分段法(或微元法) 当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可． 例如：用水平拉力，拉着一物块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块与轨道间的动摩擦因数为μ，物块的质量为m，求此过程中摩擦力做的功． 由题意知，物块受到的摩擦力在整个过程中大小不变为F＝μmg、方向时刻变化，是变力，把圆轨道分成l1、l2、l3、…、ln微小段，摩擦力在每一段上可视为恒力，则在每一段上做的功W1＝μmgl1，W2＝μmgl2，W3＝μmgl3，…，Wn＝μmgln，摩擦力在一周内所做的功W＝W1＋W2＋W3＋…，Wn＝μmg(l1＋l2＋l3＋…＋ln)＝μmg·2πR. 从上述例子，可得到大小恒定的空气阻力、滑动摩擦力做功的大小，计算式为W＝－Fl，其中l为路程． 3．平均值法 当力F的大小发生变化，但F、l成线性关系时，可以代入F的平均值计算F做的功． 例如：如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的物块连接，物块放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力缓慢拉物块，使物块前进的位移为l，求这一过程中拉力对物体做了多少功？ 缓慢拉动物块，可认为物块处于平衡状态，故拉力等于弹力，大小为F＝kl. 因该力与位移成正比，可用平均力＝ 求功W＝·l＝kl2 对功的理解 考点一 【例1.1】水平路面上有一辆汽车向左运动，车厢内有一个固定斜面，一个人坐在斜面上，车与人始终相对静止。下列说法正确的是(　C　) A．汽车匀速行驶时，斜面对人的支持力不做功 B．汽车减速行驶时，斜面对人的支持力做负功 C．汽车减速行驶时，斜面对人的摩擦力一定做负功 D．汽车加速行驶时，斜面对人的摩擦力一定做正功 [解析：人受重力、垂直斜面向上的支持力、摩擦力三个力的作用，无论车做加速、匀速、减速运动，支持力与速度方向的夹角均小于90°，即支持力均做正功，A、B错；当车匀速运动时，人受到的合外力等于0，即人受的支持力与摩擦力的合力与人的重力等大反向，则当车向左做减速运动时，支持力与摩擦力的合力向右上方，才可使人的合力水平向右，则可知摩擦力在水平方向的分力一定大于支持力在水平方向的分力，故摩擦力与速度的夹角一定大于90°，即摩擦力做负功，C正确；同理，当车向左做加速运动时，支持力与摩擦力的合力向左上方，才可使人的合力水平向左，则可知摩擦力有三种情况，第1种情况摩擦力沿斜面向上，在水平方向的分力一定小于支持力在水平方向的分力，摩擦力做负功，第2种情况摩擦力为零，摩擦力不做功，第3种情况沿斜面向下，摩擦力做正功，D错误。] 【例1.2】(多选)在【例2】中，若车厢内的斜面改为水平面，人坐在水平面上，车与人始终相对静止。则下列说法正确的是(　ACD　) A．汽车匀速行驶时，水平面对人的支持力不做功 B．汽车减速行驶时，水平面对人的支持力做负功 C．汽车减速行驶时，水平面对人的摩擦力一定做负功 D．汽车加速行驶时，水平面对人的摩擦力一定做正功 [解析：当车匀速行驶时，人受重力、垂直水平面向上的支持力两个力的作用，无论车做加速、匀速、减速运动，支持力与速度方向的夹角均等于90°，即支持力均不做功，A正确，B错误；当车减速行驶时，人受重力、垂直水平面向上的支持力和水平向右的摩擦力三个力的作用，即人受的摩擦力的方向与速度方向相反，摩擦力做负功，C正确；当车加速行驶时，人受到水平面的摩擦力水平向左，与速度方向相同，摩擦力做正功，D正确。] 【例1.3】如图甲、乙质量分别为M和m的两物块，M>m，分别在同样大小的恒力F作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，F与水平面的夹角相同。经过相同的位移，设F对M做的功为W1，对m做的功为W2，则(　A　) 甲　　　　　　　　　 乙 A．无论水平面光滑与否，都有W1＝W2 B．若水平面光滑，则W1＞W2 C．若水平面粗糙，则W1＞W2 D．若水平面粗糙，则W1＜W2 [解析：恒力做的功W＝Flcos α，比较F、l、α三量即可。由题意知，F1＝F2，l1＝l2，α1＝α2，又W＝Flcos α，故无论水平面光滑还是粗糙，均有W1＝W2，故A正确。] 【练习1.1】下列关于做功的说法中正确的是(　D　) A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功 B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功 C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功 D．只要物体受力，又在力的方向上发生位移，则力一定对物体做功 [解析：做功有两个要素，第一要有力，第二在力的方向上物体要发生位移．A项错在物体可能没有发生位移，B项错在物体可能没受力，C项错在位移和力可能垂直，D项正确．] 【练习1.2】下列过程中人对物体做了功的是(　C　) A．小华用力推石头，但没有推动 B．小明举起杠铃后，在空中停留3秒的过程中 C．小红提着书包，随电梯一起匀速上升的过程中 D．小陈将冰壶推出后，冰壶在水平冰面上滑行了5米的过程中 [解析：A、B选项所述过程中，位移都为零，D中冰壶滑行时，不受人的推力，故人对物体不做功，只有C选项所述情景，人对物体做功，故C正确。] 【练习1.3】人进入电梯上楼，已知从1楼到20楼的过程中经历了先加速、后匀速、再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是(　D　) A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功 B．加速时做正功，匀速和减速时做负功 C．加速和匀速时做正功，减速时做负功 D．始终做正功 [解析：在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对人做正功，D正确。] 【例1.4】质量m＝3 kg的物体，受到与斜面平行向下的拉力F＝10 N，沿固定斜面下滑距离l＝2 m，斜面倾角θ＝30°，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝.求各力对物体所做的功，以及力对物体所做的总功．(g取10 m/s2) [解析：物体所受到的各个力均为恒力，可用功的公式进行计算．如右图，物体受到重力、拉力、斜面的支持力和摩擦力的作用，做单向直线运动，其位移的大小与移动的距离相等．所以，重力所做的功为 WG＝mglcos α＝mglcos(90°－θ)＝3×10×2×cos 60°J＝30 J；拉力所做的功WF＝Fl＝10×2 J＝20 J；支持力与物体运动方向垂直，它所做的功WN＝0；滑动摩擦力的方向与位移方向相反，做功为Wf＝－(μmgcos θ)l＝－×3×10×2× J＝－30 J；总功W＝WG＋WF＋WN＋Wf＝30 J＋20 J＋(－30) J＝20 J] 【例1.5】（多选）质量为1 500 kg的汽车在平直的公路上运动，v—t图象如图所示．由此可求(　ABD　) A．前25 s内汽车的平均速度 B．前10 s内汽车的加速度 C．前10 s内汽车所受的阻力 D．15～25 s内合外力对汽车所做的功　 [解析：由图象可知25 s内图象与时间轴所围的面积即为总位移，再除以时间可求出25 s的平均速度，A对；前10 s图象的斜率即为加速度，B对；能根据F合＝ma求出前10 s的合外力，但求不出阻力，因牵引力未知，C错；15 s～25 s所围面积为位移，再求出斜率为加速度，根据F合＝ma求出合外力，则据W合＝F合·l，可求功，D对．] 【练习1.4】如图质量m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平面成θ＝37°，大小F＝10 N的拉力作用，物体移动了l＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2.求： (1)拉力F所做的功W1. (2)摩擦力Ff所做的功W2.(3)重力G所做的功W3. (4)弹力FN所做的功W4.(5)合力F合所做的功W. (6)若物体运动的加速度为4.9 m/s2，则合外力F合所做的功是多少？ [解析：（1）；（2）；（3）、（4）物体在竖直方向上没有位移，所以重力和支持力做功都为零； （5） （6）由牛顿第二定律F合＝ma W合＝F合·l＝mal＝2×4.9×2 J＝19.6 J] 【练习1.5】如图一个物体放在水平面上，在与竖直方向成θ角的斜向下的推力F的作用下沿平面移动了距离s，若物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中(　C　) A．摩擦力做的功为fscos θ B．力F做的功为Fscos θ C．力F做的功为Fssin θ D．重力做的功为mgs [解析：摩擦力做功W＝－fs，则物体克服摩擦力做功为fs，故A错误；力F做功为Fscos(90°－θ)＝Fssin θ，故B错误，C正确；重力与位移相互垂直，故重力不做功，故D错误。] 【练习1.6】（多选）质量是2 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受拉力F作用沿水平面做匀变速运动，物体运动的速度—时间图象如图所示，若物体受摩擦力为10 N，则下列说法正确的是(　AD　) A．拉力做功150 J B．拉力做功100 J C．摩擦力做功250 J D．物体克服摩擦力做功250 J　 [解析：由图可知：a＝＝ m/s2＝2 m/s2，物体做匀减速运动，故Ff－F＝ma，F＝Ff－ma＝(10－2×2) N＝6 N，由图可知：l＝t＝×5 m＝25 m，故拉力做的功：WF＝Fl＝6×25 J＝150 J，摩擦力做的功WFf＝－Ffl＝－10×25 J＝－250 J，故物体克服摩擦力做功250 J.] 【有关摩擦力的功的计算】 【例1.6】如图的水平传送装置，AB间距为l，传送带以速度v匀速运转．把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求从A到B的过程中，摩擦力对零件所做的功． [解析：要求摩擦力对零件做的功，关键是要弄清零件在摩擦力方向上的位移是多少． 由于题中没有给出各物理量之间的定量关系，故存在两种可能． 当零件与传送带之间存在摩擦力时，摩擦力的大小为F＝μmg.分两种情况进行讨论： (1)零件在到达B处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v，零件在从A到B的过程中一直受摩擦力作用，则摩擦力对零件所做的功W＝Fl＝μmgl. (2)零件在到达B处之前已经达到传送带的速度v，零件只是在达到速度v之前的一段时间内受摩擦力作用，此后零件与传送带以相同的速度v运动，零件就不受摩擦力作用，即无滑动摩擦力存在，也无静摩擦力存在，则摩擦力对零件所做的功W′＝Fl′＝μmg＝mv2.] 方法总结 1．摩擦力做功可以是正，也可以是负，也可以是零． 2．在传送带上分析摩擦力做的功，有可能出现两种情况：一种情况是物体在传送带上一直加速运动，另一种情况是物体在传送带上先加速，后匀速，匀速时不受摩擦力作用. 【例1.7】质量为M的长木板放在光滑水平地面上，如图一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A端滑到B点，在木板上前进的距离为L，而木板前进的距离为l，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求： (1)摩擦力对滑块所做的功多大？ (2)摩擦力对木板所做的功多大？ [解析：由题图可知，木板的位移为l时，滑块的位移为l＋L，m与M之间的滑动摩擦力Ff＝μmg. 由公式W＝Flcos α可得摩擦力对滑块所做的功为Wm＝μmglmcos180°＝－μmg(l＋L)，负号表示做负功．摩擦力对木板所做的功为WM＝μmglM＝μmgl.] 【练习1.7】如图所示，质量为M的长木板B被固定在水平面上，一个质量为m的滑块A以某一速度沿木板表面由C点滑至D点，在木板上前进了L，若滑块与木板间动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？ [解析：对滑块W1＝－μmg·L ，对木板：因为板对地的位移为0，故摩擦力对木板做功W2＝0.] 【练习1.8】如图水平传送带以速度v＝6 m/s顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上，已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，在物体由M处传送到N处的过程中，传送带对物体的摩擦力做了多少功？(g取10 m/s2) [解析：物体放在传送带上后的加速度a＝＝＝μg＝0.3×10 m/s2＝3 m/s2；设一段时间后物体的速度增大到v＝6 m/s，此后物体与传送带速度相同，二者之间不再相对滑动，滑动摩擦力随之消失，可见滑动摩擦力的作用时间为t＝＝ s＝2 s；在这2 s内物体水平向右运动的位移为l＝at2＝×3×22 m＝6 m<L＝10 m；滑动摩擦力对物体所做的功为W＝Fl＝μmgl＝0.3×3×10×6 J＝54 J] 功率的理解与运用 考点二 【例2.1】(功率的理解)关于功率公式P＝和P＝Fv的说法中正确的是(　D　) A．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率 B．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率 C．由P＝Fv知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制增大 D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比 [解析：利用公式P＝，知道W和t只能计算平均功率，选项A错误；当公式P＝Fv中的v为瞬时速度时，求的是瞬时功率，当v为平均速度时，求的是平均功率，选项B错误；因为汽车的速度v不能无限制增大，汽车的功率也不能无限制增大，选项C错误；由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比，选项D正确。] 【例2.2】如图质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，求： (1)前2 s内重力做的功． (2)前2 s内重力的平均功率． (3)2 s末重力的瞬时功率． [解析：可分别用W＝F·l，P＝W/t和P＝F·v求解． (1)木块所受的合外力为F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝mg(sin θ－μcos θ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N ＝4 N 物体的加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2 前2 s内木块的位移l＝at2＝×2×22 m＝4 m 所以，重力在前2 s内做的功为 W＝mgsin θ·l＝2×10×0.6×4 J＝48 J (2)重力在前2 s内的平均功率为P＝＝ W＝24 W (3)木块在2 s末的瞬时功率 v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s P＝mg·sin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W] 【练习2.1】汽车以额定功率从水平路面开始上坡时，司机换低速挡是为了(　D　) A． 增大速度，增大牵引力 B．减小速度，减小牵引力 C. 增大速度，减小牵引力 D．减小速度，增大牵引力 [解析：汽车的额定功率是一定的，由P＝Fv可知，从水平路面开始上坡时，司机可通过换挡减小速度，从而增大牵引力，D正确。] 【练习2.2】一台起重机从静止起匀加速地将质量m＝1.0×103 kg的货物竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4.0 m/s.求起重机在这2 s内的平均输出功率及2 s末的瞬时功率．(g＝10 m/s2) [解析：物体运动的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2根据牛顿第二定律，计算绳的拉力F－mg＝ma F＝mg＋ma＝1.2×104 N，物体上升的位移l＝at2＝4 m 拉力做的功W＝F·l＝1.2×104×4 J＝4.8×104 J P＝＝2.4×104 W，2 s末的瞬时功率：P＝Fv＝1.2×104×4 W＝4.8×104 W] 【例2.3】（多选）提高物体(如汽车)运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减小阻力因数(设介质阻力与物体运动速率的平方成正比，即F阻＝kv2，k是阻力因数)．当发动机的额定功率为P0时，物体运动的最大速率为vm，如果要使物体运动速率增大到2vm，则下列方法可行的是(　CD　) A．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到2P0 B．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到 C．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到8P0 D．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到　 [解析：物体运动的最大速度为匀速运动时的速度，此时牵引力与阻力相等，由公式P0＝Fvm＝F阻vm＝kvm2·vm＝kvm3.若速率增大到2vm，而阻力因素不变时，则牵引力的功率为P′＝8kvm3＝8P0，A错，C正确；当发动机的额定功率不变时，即P0＝P′，则k＝8k′，k′＝，B错，D正确．] 【练习2.3】铁路提速，要解决许多技术问题．通常，列车阻力与速度平方成正比，即Ff＝kv2.列车要跑得快，必须用大功率的机车来牵引．试计算列车分别以120 km/h和40 km/h的速度匀速行驶时，机车功率大小的比值． [解析：列车匀速运动时牵引力F与受阻力Ff相等，且F＝Ff，而Ff＝kv2，则P＝Fv＝kv3，代入v1＝120 km/h，v2＝40 km/h，可得＝27∶1.] 【练习2.4】某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则(　B　　) A．v2＝k1v1 B．v2＝v1 C．v2＝v1 D．v2＝k2v1 [解析：该车在水平路面上达到最大速率时，处于平衡状态，即该车此时的牵引力F1＝k1mg，F2＝k2mg，两种情况下，车的功率相同，即F1v1＝F2v2，解得v2＝v1，故选项B正确。] 【例2.4】将一质量为m的物体从离地面h处，以速度v0水平抛出，求物体从抛出到落地过程中重力的功率和在物体刚要落地时重力的功率(不计空气阻力)． [解析：平抛运动过程中重力做的功为W＝mgh 平抛运动的时间t＝ ，从抛出到落地过程中重力的(平均)功率为 P＝＝＝mg 物体刚要落地时竖直分速度为vy＝gt＝.，刚要落地时重力的功率为P′＝mgvy＝mg.] 【练习2.5】雨滴在空中运动时所受阻力与其速度的平方成正比，若有两个雨滴从高空中落下，其质量分别为m1、m2，至落到地面前均已做匀速直线运动，此时重力的功率之比为(　D　) A．m1∶m2 B.∶ C.∶ D.∶　 [解析：当雨滴下落达到匀速时，m1g＝kv，m2g＝kv，而雨滴落地前瞬间重力的功率P1＝m1g·v1，P2＝m2g·v2，可求出：P1＝ ，P2＝ ，所以P1∶P2＝∶，只有D项正确．] 【练习2.6】如图所示，质量为2 kg的物体以10 m/s的初速度水平抛出，经过2 s落地。g取10 m/s2。关于重力做功的功率，下列说法正确的是(　C　) A．下落过程中重力的平均功率是400 W B．下落过程中重力的平均功率是100 W C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W D．落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W [解析：物体2 s下落的高度为h＝gt2＝20 m，落地的竖直分速度为vy＝gt＝20 m/s，所以落到地面前的瞬间重力的瞬时功率是P＝mgvy＝400 W，下落过程中重力的平均功率是＝＝200 W，选项C正确。] 机车的启动问题 考点三 【例3.1】一汽车额定功率为100 kW，质量为1.0×104 kg，设阻力恒为车重的k＝0.1倍． (1)若汽车保持恒定功率运动，求运动的最大速度． (2)若汽车以0.5 m/s2匀加速运动，求其匀加速运动的最长时间． (3)若汽车保持额定功率运动，当汽车速度为5 m/s时，运动的加速度是多大？ (4)汽车从静止开始能保持加速度a做匀加速运动的最长时间为tm，此后汽车的运动情况是(　B　) A．加速度为零，速度恒定 B．加速度逐渐减小直到为零，速度逐渐增大直到最大值后保持匀速 C．加速度逐渐减小，直到为零，速度也逐渐减小直到为零 D．加速度增大到某一值后不变，速度逐渐增大直到最后匀速 [解析：(1)当a＝0，即F＝Ff时速度最大为 vmax＝＝＝10 m/s 以后汽车保持vmax不变做匀速运动． (2)匀加速时由F－Ff＝ma得F＝ma＋Ff＝1.5×104 N达到额定功率时的速度vt＝＝ m/s≈6.7 m/s 此速度即匀加速运动的末速度，所以其匀加速运动的最长时间t＝＝ s＝13.4 s. (3)由P＝Fv得F1＝＝ N＝2×104 N由F－Ff＝ma 得a＝＝ m/s2＝1 m/s2 (4)匀加速运动到达最大功率后，功率Pmax不变，但此时仍有加速度a，仍在加速，根据P=Fv，P不变v增大F减小，所以加速度也在减小，B对] 【例3.2】质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为(　C　) A．　　　 B．　　 　C．　　 　D． [解析：在匀速运动时，f＝F＝，当速度为时，F1＝，由F1－f＝ma得a＝＝＝，故C正确。] 【练习3.1】（多选）一汽车在水平公路上行驶，设汽车在行驶过程中所受阻力不变．汽车的发动机始终以额定功率输出，关于牵引力和汽车速度的下列说法中正确的是(　CD　) A．汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大 B．汽车加速行驶时，牵引力增大，速度增大 C．汽车加速行驶时，牵引力减小，速度增大 D．当牵引力等于阻力时，速度达到最大值　 [解析：汽车的发动机输出功率恒定，P一定，则由式P＝Fv可得：v增大，F减小，但由于合外力方向与汽车运动方向一致，因此汽车速度仍在增大，当汽车受到的牵引力和阻力相等时，汽车速度达到最大值，而后进行匀速运动] 【练习3.2】在平直路面上运动的汽车额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。 (1)求汽车所能达到的最大速度； (2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？ (3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？ [解析：(1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff，则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度vmax＝＝12 m/s。 ① (2)汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有－Ff＝ma ② 得v＝＝ m/s＝8 m/s ③ 由v＝at得这一过程维持的时间t＝＝ s＝16 s。 (3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力F′＝＝ N＝3×104 N， 由牛顿第二定律得汽车的加速度a＝＝ m/s2＝5 m/s2。] 【练习3.3】质量为10 t的汽车，额定功率为5.88×104 W，在水平路面上行驶的最大速度为15 m/s，则汽车所受的最大阻力是多少？当车速为10 m/s时，汽车的加速度是多大？ [解析：汽车在水平方向上受两个力的作用：牵引力F和阻力Ff.对汽车来说，可以认为阻力Ff不随车速的变化而变化．设汽车始终在额定功率P下工作，用v表示速度，则P＝Fv.一开始启动时速度v较小，牵引力F较大，这时有F>Ff，汽车将加速行驶．随着速度v的增大，F不断减小，而Ff保持不变；当F＝Ff时加速度为零，速度v不再变化．根据F＝可知，F也不再变化，从此时起汽车将以最大速度vm匀速行驶．由P＝Fvm＝Ffvm可得Ff＝＝3 920 N ；当v＝10 m/s时，牵引力F′＝＝ N＝5 880 N；由牛顿第二定律有F′－Ff＝ma 所以a＝＝ m/s2＝0.196 m/s2] 【练习3.4】（多选）质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是(　BD　) A．at即为汽车额定功率下的速度最大值 B．at还不是汽车额定功率下速度最大值 C．汽车的额定功率是ma2t D．题中所给条件求不出汽车的额定功率　 [解析：汽车额定功率下的最大速度是a＝0时，vm＝＝，A错，B正确．汽车的功率是牵引力的功率，不是合力的功率，C错．由F－Ff＝ma，F＝Ff＋ma，因Ff不知，则F不知，故求不出汽车的额定功率，D正确．] 【例3.3】(机车启动与图像问题的综合运用)一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v­t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的倍，g取10 m/s2，则(　B　) A．汽车在前5 s内的阻力为200 N B．汽车在前5 s内的牵引力为6×103N C．汽车的额定功率为40 kW D．汽车的最大速度为20 m/s [解析：汽车受到地面的阻力为车重的倍，则阻力Ff＝mg＝×2×103×10 N＝2 000 N，选项A错误；由图知前5 s的加速度a＝＝2 m/s2，由牛顿第二定律知前5 s内的牵引力F＝Ff＋ma，得F＝(2 000＋2×103×2)N＝6×103N，选项B正确；5 s末达到额定功率P额＝Fv5＝6×103×10 W＝6×104 W＝60 kW，最大速度vmax＝＝ m/s＝30 m/s，选项C、D错误。] 【练习3.5】(多选)如图是一汽车在平直路面上启动的速度—时间图像，从t1时刻起汽车的功率保持不变，由图像可知(　BC　) A．0～t1时间内，汽车的牵引力增大，加速度增大，功率不变 B．0～t1时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变，功率增大 C．t1～t2时间内，汽车的牵引力减小，加速度减小 D．t1～t2时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变 [解析：0～t1时间内，汽车的速度是均匀增加的，是匀加速运动，所以汽车的牵引力不变，加速度不变，功率增大，故A错误，B正确；t1～t2时间内，汽车的功率已经达到最大值，功率不能再增加，所以汽车的牵引力在减小，加速度也要减小，故C正确，D错误。] 【练习3.6】（多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v—t图象如图所示．已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，则( BCD ) A．汽车在前5 s内的牵引力为4×103 N B．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N C．汽车的额定功率为60 kW D．汽车的最大速度为30 m/s　 [解析：由题图知在前5 s内汽车的加速度为a＝ m/s2＝2 m/s2，由牛顿第二定律得F－0.1mg＝ma，得F＝6×103 N，B正确；5 s末汽车的功率即为额定功率P＝Fv＝6×104 W，C正确；汽车达到最大速度时F＝Ff＝0.1mg＝2×103 N，由P＝Fv得vm＝＝＝30 m/s，D正确．] 变力做功的求法 考点四 【例4.1】如图一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中： (1)拉力F做的功． (2)重力mg做的功． (3)圆弧面对物体的支持力FN做的功． (4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功． [解析：(1)将圆弧分成很多小段l1，l2，…ln，拉力在每小段上做的功为W1，W2，…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体在该点的切线成37°角，所以：W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·R＝20π J＝62.8 J (2)重力mg做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－50 J (3)物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WFN＝0. (4)因物体在拉力F作用下缓慢移动，合外力做功为零，所以WF＋WG＋WFf＝0.所以WFf＝－WF－WG＝(－62.8＋50) J＝－12.8 J] 【练习4.1】如图摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力Ff的大小不变，求摆球从A运动到竖直位置B时，重力mg、绳的拉力FT、空气阻力Ff各做了多少功？ [解析：因为拉力FT在运动过程中，始终与运动方向垂直，故不做功，即WFT＝0.重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB在竖直方向上的投影OB，且OB＝L，所以WG＝mgL.空气阻力虽然大小不变，但方向不断改变，且任何时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题．如果将分成许多小弧段，使每一小段弧小到可以看成直线，在每一小段弧上Ff的大小、方向可以认为不变(即为恒力)，这样就把变力做功的问题转化为恒力做功的问题，如右图．因此Ff所做的总功等于每一小段弧上Ff所做功的代数和．即WFf＝－(FfΔL1＋FfΔL2＋…)＝－FfπL] 【练习4.2】如图磨杆长为L，在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F，求杆绕轴转动一周的过程中力F所做的功． [解析：磨杆绕轴转动过程中，力的方向不断变化，不能直接用公式W＝Flcos α进行计算．这时，必须把整个圆周分成许多小弧段，使每一小段弧都可以看作是这段弧的切线即可以看成是这段的位移，这样，由于F的大小不变，加之与速度的方向相同，因而对于每一小段圆弧均可视为恒力做功．杆绕轴转动一周所做功的总和为W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F·Δl1＋F·Δl2＋…＋F·Δln，因为Δl1＋Δl2＋…＋Δln＝2πL，所以W＝F·2πL.] 课后巩固 1．【难度1】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有力作用在物体上，并且物体也发生了位移时，力对物体一定做了功。 (×) (2)力F1做功10 J，F2做功－15 J，力F1比F2做功少。 (√) (3)功率越大表示做的功越多。 (×) (4)汽车的功率一定，汽车的速度越大，牵引力就越大。 (×) 2．【难度2】如图坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的(　C　) A．支持力做功为mgs　 B．重力做功为mgs C．拉力做功为Fscos θ D．滑动摩擦力做功为－μmgs [解析：支持力和重力与位移垂直，不做功，A、B错误；拉力和摩擦力做功分别为W1＝Fscos θ，W2＝－μ(mg－Fsin θ)s，C正确，D错误。] 3.【难度2】如图在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F1＝3 N和F2＝4 N的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10 m，求： (1)F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？ (2)F1和F2合力为多大？合力做功是多少？ [解析： (1) 力F1做的功W1＝F1lcos θ1＝3×10×cos 53° J＝18 J 力F2做的功W2＝F2lcos θ2＝4×10×cos 37° J＝32 J W1与W2的代数和W＝W1＋W2＝18 J＋32 J＝50 J (2)F1与F2的合力F＝＝ N＝5 N 合力F做的功W′＝Fl＝5×10 J＝50 J ] 4.【难度2.5】如图所示，是一个物体受到的力F与位移l的关系图象，由图象求力F对物体所做的功． [解析：F—l的面积表示F做的功： 0～2m内： W1＝20 J； 2 m～5m： W2＝－60 J； 5 m～6 m：W2＝20 J， 故整个过程W＝W1＋W2＋W3＝－20 J.] 5.【难度2.5】如图质量为m的物体以一定初速度v0滑上斜面，上滑到最高点后又沿原路返回．已知斜面倾角为θ，物体与斜面的动摩擦因数为μ，上滑的最大高度为h.则物体从开始滑上斜面到滑回到原出发点的过程中，重力做功是多少？摩擦力做功是多少？ [解析：由于重力是恒力，所以可直接用公式W＝F·lcos α计算，因为回到原出发点时位移为零，所以重力做功WG＝0.由于摩擦力是变力(方向变，上滑时沿斜面向下，下滑时沿斜面向上)，所以要分段运算． 因为Wf上滑＝Ff·lcos α＝－μmgcosθ·＝－μmghcotθ；Wf下滑＝Ff·lcos α＝－μmgcosθ·＝－μmghcotθ 所以Wf总＝Wf上滑＋Wf下滑＝－2μmghcotθ] 6.【难度2.5】在一次举重比赛中，一名运动员将质量为127.5 kg的杠铃举起历时约2 s，该运动员在举起杠铃运动中的平均功率约为(　B　) A．几十瓦左右　　 B．一千瓦左右 C．几十千瓦左右 D．几百千瓦左右 [解析:设举重运动员将杠铃举高1.7 m，则P＝＝＝1 083.75 W，故B正确。] 7．【难度2.5】如图在光滑的水平面上放着一个质量为10 kg的木箱，拉力F与水平方向成60°角，F＝2 N。木箱从静止开始运动，4 s末拉力的瞬时功率为 (　B　) A．0.2 W　　 B．0.4 W　　 C．0.8 W　　 D．1.6 W [解析：木箱加速度a＝＝0.1 m/s2，4 s末速度v＝at＝0.4 m/s，瞬时功率P＝Fvcos α＝0.4 W，B对] 8.【难度3】一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝t1时刻力F的功率是(　C　) A.t1　　　 B.t　　　 C.t1　　　 D.t　 [解析：物体的加速度a＝ t1时刻的速度v1＝at1＝t1所以t1时刻的功率P1＝Fv1＝t1.] 9.【难度3】如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为(　B　) A．mg B．mg C．mg D．mg [解析：小孩的加速度a＝＝g，由v2＝2as得小孩滑行距离s时的速率v＝，故此时重力的瞬时功率P＝mgvsin 30°＝mg，B正确。] 10.【难度3】（多选）质量为m的物体沿直线运动，只受到一个力F的作用．物体的位移l、速度v、加速度a和F对物体做功功率P随时间变化的图象如图所示，其中不可能的是(　AB　) [解析：在力F作用下物体做匀变速运动，C对；v应均匀增加，B错；l增加越来越快，A错；P＝Fv＝t，D对．] 11.【难度2】额定功率为80 kW的汽车在水平平直公路上行驶时最大速率可达20 m/s，汽车质量为2 000 kg，如果汽车从静止开始做匀加速运动，设运动过程中阻力不变，加速度大小为2 m/s2，求： (1)汽车所受阻力多大； (2)汽车做匀加速运动的过程可以维持多长时间。 [解析：(1)当牵引力与阻力相等时汽车的速度最大，由P＝F牵vm得F阻＝F牵＝＝ N＝4 000 N。 (2)由牛顿第二定律得F牵－F阻＝ma，F牵＝ma＋F阻＝2 000×2 N＋4 000 N＝8 000 N 由P＝F牵v得80 000＝8 000v，解得v＝10 m/s，由v＝at解得t＝5 s。] 12.【难度2】5·12汶川大地震，破坏性巨大，山崩地裂，房屋倒塌，道路中断，给抗灾抢险工作带来很大难度，大型机械一旦进入现场，其作用非常巨大．一起重机由静止开始匀加速竖直提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度匀速上升为止，重力加速度为g，空气阻力不计． (1)求钢绳的最大拉力为多大？ (2)求重物的最大速度为多大？ [解析：(1)重物做匀加速直线运动时，拉力F最大Fm＝ (2)当拉力F最小时，即重物做匀速直线运动时，速度达到最大值．此时F＝mg；vm＝＝] 13.【难度3】图示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动。g取10 m/s2，不计额外功。求： (1)起重机允许输出的最大功率； (2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率。 [解析：(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力。P0＝F0vm ① P0＝mgvm ② 代入数据，有P0＝5.1×104 W。③ (2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：P0＝Fv1 ④ F－mg＝ma ⑤ v1＝at1 ⑥ 由③④⑤⑥，代入数据，得t1＝5 s ⑦ t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则v2＝at ⑧ P＝Fv2 ⑨ 由⑤⑧⑨，代入数据，得P＝2.04×104 W。] 14.【难度3】质量为m，发动机的额定功率为P0的汽车沿平直公路行驶，当它的加速度为a时，速度为v，测得发动机的实际功率为P1，假设运动中所受阻力恒定，则它在平直公路上匀速行驶的最大速度是(　C　) A．v B． C． D．　 [解析：F＝Ff＋ma＝，得阻力Ff＝－ma.当F＝Ff时，速度最大为vmax，则vmax＝＝，故选C.] 1.【难度2.5】如图重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于木板始终保持静止，关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是(　D　) A．摩擦力对重物做正功 B．摩擦力对重物做负功 C．支持力对重物不做功 D．支持力对重物做正功　 [解析：重物P受到的摩擦力方向始终与速度方向垂直，故不做功，支持力的方向始终与速度方向相同，做正功．] 2.【难度3】如图同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与两斜面间的动摩擦因数相同。在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则(　B　) A．WA＞WB B．WA＝WB C．WA＜WB D．无法确定 [解析：设斜面AD、BD与水平面CD所成夹角分别为α、β，根据功的公式，得WA＝μmgsAD cos α＝μmgsCD，WB＝μmgsBDcos β＝μmgsCD，选项B正确。] 3.【难度3】（多选）如图质量相同的两物体处于同一高度，A沿固定在地面上的光滑斜面下滑，B自由下落，最后到达同一水平面，则(　AC　) A．重力对两物体做功相同 B．重力的平均功率相同 C．到达底端时重力的瞬时功率PA<PB D．到达底端时两物体的动能相同，速度相同　 [解析：重力对B物体做功为mgh，重力对A物体做功(mgsinθ)l＝mg(lsinθ)＝mgh，A正确．A、B两物体运动时间不同，平均功率不同，B错．到底端v＝2gh，v＝2(gsinθ)l＝2g(lsinθ)＝2gh.A、B两物体到底端速度大小相等，但方向不同，D错．到底端时A的瞬时功率PA＝(mgsin θ)vA，B的瞬时功率PB＝mgvB，显然PA<PB，C正确．] 4.【难度3】如图在加速向左运动的车厢中，一个人用力沿车前进的方向推车厢，已知人与车厢始终保持相对静止，那么人对车厢做功的情况是(　B　) A．做正功 B．做负功 C．不做功 D．无法确定　 [解析：先分析水平方向车厢对人的作用力的合力的方向．人随车厢加速运动，车厢对人的作用力的合力方向向左，则人对车厢的作用力方向向右，故人对车厢做负功．B正确.] 5.【难度3】（多选）如图木块A放在木块B的左上端，用恒力F拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做的功为W1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，F做的功为W2，比较两次做功，可能是(　AB　) A．W1<W2 B．W1＝W2 C．W1>W2 D．无法比较　 [解析：若A、B间接触面光滑，则第二次即使B不固定，用水平力F拉木块A时，木块B也会静止，则W1＝W2；若A、B间接触面粗糙，则把A拉至B的右端时，A相对地面的位移大于第一种情况下的位移，所以W1<W2] 6.【难度3】同一恒力按同样的方式施于物体上，使它分别由静止开始沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同的一段距离，恒力做的功和平均功率分别为W1、P1和W2、P2，则两者的关系是(　B　) A．W1>W2，P1>P2　　　 B．W1＝W2，P1<P2 C．W1＝W2，P1>P2 D．W1<W2，P1<P2 [解析：在计算力对物体所做的功时，要运用公式W＝Flcos α.而计算平均功率时，可在公式P＝和P＝Fvcos α中选出一个适合题意的．本题中由于功的关系已经确定，功率的大小由公式P＝即可得出．由恒力做功的公式W＝Flcos α可知，在F相同、l相同、α相同的情况下，所做的功一定相同，故W1＝W2，物体沿粗糙水平面运动时的加速度小，通过相同的位移所用时间长，即t1>t2.由平均功率计算公式P＝可得P1<P2.] 1．【难度3】如图木块A、B叠放在光滑水平面上，A、B之间不光滑，用水平力F拉B，使A、B一起沿光滑水平面加速运动，设A对B的摩擦力为F1，B对A的摩擦力为F2，则以下说法正确的是(　A　) A．F1对B做负功，F2对A做正功 B．F1对B做正功，F2对A不做功 C．F2对A做正功，F1对B不做功 D．F2对A不做功，F1对A做正功 [解析:以整体受力分析可知F＝(mA＋mB)a，可知A、B两物体的加速度向右，隔离木块A，通过受力分析可知，B对A的摩擦力F2向右，而A向右运动，由W＝Fl可知，F2对A做正功，A对B的摩擦力F1向左，F1对B做负功，A对] 2.【难度3.5】质量为m的汽车，其发动机额定功率为P。当它开上一个倾角为θ的斜坡时，受到的阻力为车重力的k倍，则车的最大速度为(　D　) A． B． C． D． [解析：当汽车做匀速运动时速度最大，此时汽车的牵引力F＝mgsinθ＋kmg，而P＝Fvm，由此可得vm＝，故选项D正确。] 3.【难度3.5】医生用20 N的力将5 mL药液在30 s的时间内注入病人的体内，若活塞的横截面积是1 cm2，试计算医生对活塞做功的平均功率是多大？ [解析：医生注射药液的全过程中活塞在力的作用下移动的距离为l＝＝5 cm＝0.05 m 医生对活塞做的功W＝Fl＝20×0.05 J＝1 J，医生对活塞做功的平均功率为P＝＝ W＝0.033 W] 4.【难度3.5】滑板运动是一项非常刺激的水上运动．研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力FN垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率(水可视为静止)．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时(如图所示)，滑板做匀速直线运动，相应的k＝54 kg/m，人和滑板的总质量为108 kg，试求(g取10 m/s2，sin 37°＝，忽略空气阻力)：(1)水平牵引力的大小． (2)滑板的速率． (3)水平牵引力的功率． [解析：(1)以滑板和运动员为研究对象，其受力如右图所示 由共点力平衡条件可得FNcos θ＝mg ① FNsin θ＝F ② 由①②联立，得F＝810N (2)FN＝，FN＝kv2，得 v＝ ＝5 m/s. (3)水平牵引力的功率P＝Fv＝4 050 W.] 5.【难度3.5】汽车的发动机的额定输出功率为P1，它在水平路面上行驶时受到的摩擦阻力大小恒定。汽车在水平路面上由静止开始运动，直到车速达到最大速度vmax。汽车发动机的输出功率P随时间变化的图像如图所示。若在0～t1时间内，汽车发动机的牵引力是恒定的，则汽车受到的合力F合随时间变化的图像可能是下列图中的(　D　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　 　D [解析：0～t1时间内牵引力是恒定的，故合力也是恒定的；输出功率在增大，当达到额定功率后，速度逐渐增大，牵引力逐渐减小，一直到牵引力等于摩擦力，故合力也一直减小直到等于零，选项D正确。] 6.【难度3.5】如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F开始提升原来静止的质量为m＝10 kg的物体，以大小为a＝2 m/s2的加速度匀加速上升，求前3 s内力F做的功．(g取10 m/s2) [解析：对物体受力分析知，物体受到两个力的作用：拉力F′和重力mg 由牛顿第二定律得F′－mg＝ma 所以F′＝m(g＋a)＝120 N 则力F为F＝F′＝60 N 物体从静止开始运动，3 s内的位移为 l＝at2＝×2×32 m＝9 m. 解法一　力F的作用点为绳的端点，而在物体发生9 m位移的过程中， 绳的端点的位移为2l＝18 m，所以力F做的功为W＝F·2l＝60×18 J＝1 080 J. 解法二　本题还可用等效法求力F做的功．由于滑轮和绳的质量及摩擦均不计，所以拉力F做的功和拉力F′对物体做的功相等．即WF＝WF′＝F′l＝120×9 J＝1080 J.] 7.【难度4】如图水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用水平方向的恒定推力F向前推车厢，在车以加速度a向前行驶距离L的过程中，下列说法正确的是(　A　) A．人对车的推力F做的功为FL B．人对车做的功为maL C．车对人的作用力大小为ma D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L [解析：根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，人对车的作用力为－ma，故人对车做的功为W′＝－maL，B错误；在水平方向上车对人的作用力的合力为ma，而车对人还有支持力，故车对人的作用力为F合＝＝m，C错误；对人由牛顿第二定律可知f－F＝ma，f＝ma＋F，车对人的摩擦力做的功为Wf＝fL＝(F＋ma)L，D错误。] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中物理 必修二 第八章 机械能守恒定律 8.1功与功率 对功的理解 知识点一 1．内容：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 2．公式：W＝Flcos α。 3．功是标量(选填“标量”或“矢量”)。 4．功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 5．功的单位物理意义：1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m位移的过程中所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。 6．公式F＝Flcos α的理解与应用 (1)在使用公式W＝Flcos α计算功时，公式中各量W、F、l都要取国际单位制单位。 (2)功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功。 (3)公式W＝Flcos α只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。式中的l是力的作用点的位移，α是力F的方向与位移l的方向的夹角。 (4)力F对物体所做的功W，只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。 正功和负功 知识点二 1． 正功和负功 功是标量，但有正功、负功之分，功的正负既不表示大小，也不表示方向，只表示两种相反的做功效果，即为动力功还是阻力功． α的取值 W的取值 含义 α＝（直角） W＝0 力F不做功 0≤α＜（锐角） W＞0 力F对物体做正功 ＜α≤π（钝角） W＜0 力F对物体做负功 说明：力F对物体做负功，也可以表述为物体克服力F做功，这两种说法的意义是等同的。例如，可以说摩擦力做了－3 J的功，也可以说物体克服摩擦力做了3 J的功。 2．总功 当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，计算这几个力对物体所做的总功，通常有以下两种方法。 (1)这几个力对物体所做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和。若以W1、W2、W3…分别表示力F1、F2、F3…所做的功，则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3…(负功连同负号一起代入计算)。 (2)这几个力对物体所做的总功等于这几个力的合力对物体所做的功。若以F合表示这几个力的合力，则这些力所做的总功为W总＝F合lcos α。 功率 知识点三 1．定义：力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值。 2．定义式：P＝。 3．单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号W表示。 说明：在工程技术上常用的单位是千瓦kW，1 kW＝103 W。 4．意义 功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量。 5．功率与速度 (1)关系：当一个力与运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等于这个力与物体速度的乘积。 (2)关系式：P＝Fv。： ①若v是物体的平均速度，则P＝Fv为对应时间t内的平均功率。 ②若v是瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率。 (3)应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。 6．平均功率和瞬时功率 定义式P＝ 计算式P＝Fv 适用条件 任何情况下功率的计算(常用于求平均功率) 适用于F与v同向的情况 应用 求某个过程中的平均功率。当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率 若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率 公式理解 功率可以用P＝来表示，但功率并不由W、t决定 P一定时，F与v成反比；v一定时，F与P成正比；F一定时，v与P成正比 机车的两种启动方式 知识点四 机动车启动通常有两种方式，即以恒定功率启动和以恒定加速度启动． 分析的理论依据是机车功率P＝Fv，水平方向上应用牛顿第二定律，牵引力F与阻力有F－＝ma，应用这两个公式对运动过程进行分析． 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图 v­t图 和F­t图 OA段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变P＝Fv↑ 直到P额＝Fv1· 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动、维持时间t0＝　 AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝ v↑⇒F＝↓ ⇒ a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC段 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动 2．汽车启动问题中几个物理量的求法 (1)汽车的最大速度vmax的求法 汽车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vmax＝＝。 (2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法 牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度v′max＝，时间t＝。 (3)瞬时加速度a的求法：根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。 变力做功的求法 知识点五 1．图象法 我们可以用图象来描述力对物体做功的大小．以F为纵坐标，以l为横坐标．当恒力F对物体做功时，由F和l为邻边构成的矩形面积，即表示功的大小，如图甲；如果外力不是恒力，外力做功就不能用矩形表示．不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段内所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和，如图乙所示． 2．分段法(或微元法) 当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可． 例如：用水平拉力，拉着一物块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块与轨道间的动摩擦因数为μ，物块的质量为m，求此过程中摩擦力做的功． 由题意知，物块受到的摩擦力在整个过程中大小不变为F＝μmg、方向时刻变化，是变力，把圆轨道分成l1、l2、l3、…、ln微小段，摩擦力在每一段上可视为恒力，则在每一段上做的功W1＝μmgl1，W2＝μmgl2，W3＝μmgl3，…，Wn＝μmgln，摩擦力在一周内所做的功W＝W1＋W2＋W3＋…，Wn＝μmg(l1＋l2＋l3＋…＋ln)＝μmg·2πR. 从上述例子，可得到大小恒定的空气阻力、滑动摩擦力做功的大小，计算式为W＝－Fl，其中l为路程． 3．平均值法 当力F的大小发生变化，但F、l成线性关系时，可以代入F的平均值计算F做的功． 例如：如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的物块连接，物块放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力缓慢拉物块，使物块前进的位移为l，求这一过程中拉力对物体做了多少功？ 缓慢拉动物块，可认为物块处于平衡状态，故拉力等于弹力，大小为F＝kl. 因该力与位移成正比，可用平均力＝ 求功W＝·l＝kl2 对功的理解 考点一 【例1.1】水平路面上有一辆汽车向左运动，车厢内有一个固定斜面，一个人坐在斜面上，车与人始终相对静止。下列说法正确的是(　 　) A．汽车匀速行驶时，斜面对人的支持力不做功 B．汽车减速行驶时，斜面对人的支持力做负功 C．汽车减速行驶时，斜面对人的摩擦力一定做负功 D．汽车加速行驶时，斜面对人的摩擦力一定做正功 【例1.2】(多选)在【例2】中，若车厢内的斜面改为水平面，人坐在水平面上，车与人始终相对静止。则下列说法正确的是(　 　) A．汽车匀速行驶时，水平面对人的支持力不做功 B．汽车减速行驶时，水平面对人的支持力做负功 C．汽车减速行驶时，水平面对人的摩擦力一定做负功 D．汽车加速行驶时，水平面对人的摩擦力一定做正功 【例1.3】如图甲、乙质量分别为M和m的两物块，M>m，分别在同样大小的恒力F作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，F与水平面的夹角相同。经过相同的位移，设F对M做的功为W1，对m做的功为W2，则(　　) 甲　　　　　　　　　 乙 A．无论水平面光滑与否，都有W1＝W2 B．若水平面光滑，则W1＞W2 C．若水平面粗糙，则W1＞W2 D．若水平面粗糙，则W1＜W2 【练习1.1】下列关于做功的说法中正确的是(　 　) A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功 B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功 C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功 D．只要物体受力，又在力的方向上发生位移，则力一定对物体做功 【练习1.2】下列过程中人对物体做了功的是(　 　) A．小华用力推石头，但没有推动 B．小明举起杠铃后，在空中停留3秒的过程中 C．小红提着书包，随电梯一起匀速上升的过程中 D．小陈将冰壶推出后，冰壶在水平冰面上滑行了5米的过程中 【练习1.3】人进入电梯上楼，已知从1楼到20楼的过程中经历了先加速、后匀速、再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是(　 　) A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功 B．加速时做正功，匀速和减速时做负功 C．加速和匀速时做正功，减速时做负功 D．始终做正功 【例1.4】质量m＝3 kg的物体，受到与斜面平行向下的拉力F＝10 N，沿固定斜面下滑距离l＝2 m，斜面倾角θ＝30°，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝.求各力对物体所做的功，以及力对物体所做的总功．(g取10 m/s2) 【例1.5】（多选）质量为1 500 kg的汽车在平直的公路上运动，v—t图象如图所示．由此可求(　 　) A．前25 s内汽车的平均速度 B．前10 s内汽车的加速度 C．前10 s内汽车所受的阻力 D．15～25 s内合外力对汽车所做的功　 【练习1.4】如图质量m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平面成θ＝37°，大小F＝10 N的拉力作用，物体移动了l＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2.求： (1)拉力F所做的功W1. (2)摩擦力Ff所做的功W2.(3)重力G所做的功W3. (4)弹力FN所做的功W4.(5)合力F合所做的功W. (6)若物体运动的加速度为4.9 m/s2，则合外力F合所做的功是多少？ 【练习1.5】如图一个物体放在水平面上，在与竖直方向成θ角的斜向下的推力F的作用下沿平面移动了距离s，若物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中(　C　) A．摩擦力做的功为fscos θ B．力F做的功为Fscos θ C．力F做的功为Fssin θ D．重力做的功为mgs 【练习1.6】（多选）质量是2 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受拉力F作用沿水平面做匀变速运动，物体运动的速度—时间图象如图所示，若物体受摩擦力为10 N，则下列说法正确的是(　 　) A．拉力做功150 J B．拉力做功100 J C．摩擦力做功250 J D．物体克服摩擦力做功250 J　 【有关摩擦力的功的计算】 【例1.6】如图的水平传送装置，AB间距为l，传送带以速度v匀速运转．把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求从A到B的过程中，摩擦力对零件所做的功． 方法总结 1．摩擦力做功可以是正，也可以是负，也可以是零． 2．在传送带上分析摩擦力做的功，有可能出现两种情况：一种情况是物体在传送带上一直加速运动，另一种情况是物体在传送带上先加速，后匀速，匀速时不受摩擦力作用. 【例1.7】质量为M的长木板放在光滑水平地面上，如图一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A端滑到B点，在木板上前进的距离为L，而木板前进的距离为l，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求： (1)摩擦力对滑块所做的功多大？ (2)摩擦力对木板所做的功多大？ 【练习1.7】如图所示，质量为M的长木板B被固定在水平面上，一个质量为m的滑块A以某一速度沿木板表面由C点滑至D点，在木板上前进了L，若滑块与木板间动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？ 【练习1.8】如图水平传送带以速度v＝6 m/s顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上，已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，在物体由M处传送到N处的过程中，传送带对物体的摩擦力做了多少功？(g取10 m/s2) 功率的理解与运用 考点二 【例2.1】(功率的理解)关于功率公式P＝和P＝Fv的说法中正确的是(　 　) A．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率 B．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率 C．由P＝Fv知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制增大 D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比 【例2.2】如图质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，求： (1)前2 s内重力做的功． (2)前2 s内重力的平均功率． (3)2 s末重力的瞬时功率． 【练习2.1】汽车以额定功率从水平路面开始上坡时，司机换低速挡是为了(　 　) A． 增大速度，增大牵引力 B．减小速度，减小牵引力 C. 增大速度，减小牵引力 D．减小速度，增大牵引力 【练习2.2】一台起重机从静止起匀加速地将质量m＝1.0×103 kg的货物竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4.0 m/s.求起重机在这2 s内的平均输出功率及2 s末的瞬时功率．(g＝10 m/s2) 【例2.3】（多选）提高物体(如汽车)运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减小阻力因数(设介质阻力与物体运动速率的平方成正比，即F阻＝kv2，k是阻力因数)．当发动机的额定功率为P0时，物体运动的最大速率为vm，如果要使物体运动速率增大到2vm，则下列方法可行的是(　 　) A．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到2P0 B．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到 C．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到8P0 D．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到　 【练习2.3】铁路提速，要解决许多技术问题．通常，列车阻力与速度平方成正比，即Ff＝kv2.列车要跑得快，必须用大功率的机车来牵引．试计算列车分别以120 km/h和40 km/h的速度匀速行驶时，机车功率大小的比值． 【练习2.4】某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则( 　　) A．v2＝k1v1 B．v2＝v1 C．v2＝v1 D．v2＝k2v1 【例2.4】将一质量为m的物体从离地面h处，以速度v0水平抛出，求物体从抛出到落地过程中重力的功率和在物体刚要落地时重力的功率(不计空气阻力)． 【练习2.5】雨滴在空中运动时所受阻力与其速度的平方成正比，若有两个雨滴从高空中落下，其质量分别为m1、m2，至落到地面前均已做匀速直线运动，此时重力的功率之比为(　 　) A．m1∶m2 B.∶ C.∶ D.∶　 【练习2.6】如图所示，质量为2 kg的物体以10 m/s的初速度水平抛出，经过2 s落地。g取10 m/s2。关于重力做功的功率，下列说法正确的是(　 　) A．下落过程中重力的平均功率是400 W B．下落过程中重力的平均功率是100 W C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W D．落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W 机车的启动问题 考点三 【例3.1】一汽车额定功率为100 kW，质量为1.0×104 kg，设阻力恒为车重的k＝0.1倍． (1)若汽车保持恒定功率运动，求运动的最大速度． (2)若汽车以0.5 m/s2匀加速运动，求其匀加速运动的最长时间． (3)若汽车保持额定功率运动，当汽车速度为5 m/s时，运动的加速度是多大？ (4)汽车从静止开始能保持加速度a做匀加速运动的最长时间为tm，此后汽车的运动情况是(　 　) A．加速度为零，速度恒定 B．加速度逐渐减小直到为零，速度逐渐增大直到最大值后保持匀速 C．加速度逐渐减小，直到为零，速度也逐渐减小直到为零 D．加速度增大到某一值后不变，速度逐渐增大直到最后匀速 【例3.2】质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为(　 　) A．　　　 B．　　 　C．　　 　D． 【练习3.1】（多选）一汽车在水平公路上行驶，设汽车在行驶过程中所受阻力不变．汽车的发动机始终以额定功率输出，关于牵引力和汽车速度的下列说法中正确的是(　 　) A．汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大 B．汽车加速行驶时，牵引力增大，速度增大 C．汽车加速行驶时，牵引力减小，速度增大 D．当牵引力等于阻力时，速度达到最大值　 【练习3.2】在平直路面上运动的汽车额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。 (1)求汽车所能达到的最大速度； (2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？ (3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？ 【练习3.3】质量为10 t的汽车，额定功率为5.88×104 W，在水平路面上行驶的最大速度为15 m/s，则汽车所受的最大阻力是多少？当车速为10 m/s时，汽车的加速度是多大？ 【练习3.4】（多选）质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是(　 　) A．at即为汽车额定功率下的速度最大值 B．at还不是汽车额定功率下速度最大值 C．汽车的额定功率是ma2t D．题中所给条件求不出汽车的额定功率　 【例3.3】(机车启动与图像问题的综合运用)一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v­t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的倍，g取10 m/s2，则(　 　) A．汽车在前5 s内的阻力为200 N B．汽车在前5 s内的牵引力为6×103N C．汽车的额定功率为40 kW D．汽车的最大速度为20 m/s 【练习3.5】(多选)如图是一汽车在平直路面上启动的速度—时间图像，从t1时刻起汽车的功率保持不变，由图像可知(　 　) A．0～t1时间内，汽车的牵引力增大，加速度增大，功率不变 B．0～t1时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变，功率增大 C．t1～t2时间内，汽车的牵引力减小，加速度减小 D．t1～t2时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变 【练习3.6】（多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v—t图象如图所示．已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，则( ) A．汽车在前5 s内的牵引力为4×103 N B．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N C．汽车的额定功率为60 kW D．汽车的最大速度为30 m/s　 变力做功的求法 考点四 【例4.1】如图一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中： (1)拉力F做的功． (2)重力mg做的功． (3)圆弧面对物体的支持力FN做的功． (4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功． 【练习4.1】如图摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力Ff的大小不变，求摆球从A运动到竖直位置B时，重力mg、绳的拉力FT、空气阻力Ff各做了多少功？ 【练习4.2】如图磨杆长为L，在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F，求杆绕轴转动一周的过程中力F所做的功． 课后巩固 1．【难度1】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有力作用在物体上，并且物体也发生了位移时，力对物体一定做了功。 ( ) (2)力F1做功10 J，F2做功－15 J，力F1比F2做功少。 ( ) (3)功率越大表示做的功越多。 ( ) (4)汽车的功率一定，汽车的速度越大，牵引力就越大。 ( ) 2．【难度2】如图坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的(　 　) A．支持力做功为mgs　 B．重力做功为mgs C．拉力做功为Fscos θ D．滑动摩擦力做功为－μmgs 3.【难度2】如图在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F1＝3 N和F2＝4 N的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10 m，求： (1)F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？ (2)F1和F2合力为多大？合力做功是多少？ 4.【难度2.5】如图所示，是一个物体受到的力F与位移l的关系图象，由图象求力F对物体所做的功． 5.【难度2.5】如图质量为m的物体以一定初速度v0滑上斜面，上滑到最高点后又沿原路返回．已知斜面倾角为θ，物体与斜面的动摩擦因数为μ，上滑的最大高度为h.则物体从开始滑上斜面到滑回到原出发点的过程中，重力做功是多少？摩擦力做功是多少？ 6.【难度2.5】在一次举重比赛中，一名运动员将质量为127.5 kg的杠铃举起历时约2 s，该运动员在举起杠铃运动中的平均功率约为(　 　) A．几十瓦左右　　 B．一千瓦左右 C．几十千瓦左右 D．几百千瓦左右 7．【难度2.5】如图在光滑的水平面上放着一个质量为10 kg的木箱，拉力F与水平方向成60°角，F＝2 N。木箱从静止开始运动，4 s末拉力的瞬时功率为 (　 　) A．0.2 W　　 B．0.4 W　　 C．0.8 W　　 D．1.6 W 8.【难度3】一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝t1时刻力F的功率是(　 　) A.t1　　　 B.t　　　 C.t1　　　 D.t　 9.【难度3】如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为(　 　) A．mg B．mg C．mg D．mg 10.【难度3】（多选）质量为m的物体沿直线运动，只受到一个力F的作用．物体的位移l、速度v、加速度a和F对物体做功功率P随时间变化的图象如图所示，其中不可能的是(　 　) 11.【难度2】额定功率为80 kW的汽车在水平平直公路上行驶时最大速率可达20 m/s，汽车质量为2 000 kg，如果汽车从静止开始做匀加速运动，设运动过程中阻力不变，加速度大小为2 m/s2，求： (1)汽车所受阻力多大； (2)汽车做匀加速运动的过程可以维持多长时间。 12.【难度2】5·12汶川大地震，破坏性巨大，山崩地裂，房屋倒塌，道路中断，给抗灾抢险工作带来很大难度，大型机械一旦进入现场，其作用非常巨大．一起重机由静止开始匀加速竖直提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度匀速上升为止，重力加速度为g，空气阻力不计． (1)求钢绳的最大拉力为多大？ (2)求重物的最大速度为多大？ 13.【难度3】图示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动。g取10 m/s2，不计额外功。求： (1)起重机允许输出的最大功率； (2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率。 14.【难度3】质量为m，发动机的额定功率为P0的汽车沿平直公路行驶，当它的加速度为a时，速度为v，测得发动机的实际功率为P1，假设运动中所受阻力恒定，则它在平直公路上匀速行驶的最大速度是(　 　) A．v B． C． D．　 1.【难度2.5】如图重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于木板始终保持静止，关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是(　 　) A．摩擦力对重物做正功 B．摩擦力对重物做负功 C．支持力对重物不做功 D．支持力对重物做正功　 2.【难度3】如图同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与两斜面间的动摩擦因数相同。在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则(　 　) A．WA＞WB B．WA＝WB C．WA＜WB D．无法确定 3.【难度3】（多选）如图质量相同的两物体处于同一高度，A沿固定在地面上的光滑斜面下滑，B自由下落，最后到达同一水平面，则(　 　) A．重力对两物体做功相同 B．重力的平均功率相同 C．到达底端时重力的瞬时功率PA<PB D．到达底端时两物体的动能相同，速度相同　 4.【难度3】如图在加速向左运动的车厢中，一个人用力沿车前进的方向推车厢，已知人与车厢始终保持相对静止，那么人对车厢做功的情况是(　 　) A．做正功 B．做负功 C．不做功 D．无法确定　 5.【难度3】（多选）如图木块A放在木块B的左上端，用恒力F拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做的功为W1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，F做的功为W2，比较两次做功，可能是(　 　) A．W1<W2 B．W1＝W2 C．W1>W2 D．无法比较　 6.【难度3】同一恒力按同样的方式施于物体上，使它分别由静止开始沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同的一段距离，恒力做的功和平均功率分别为W1、P1和W2、P2，则两者的关系是(　 　) A．W1>W2，P1>P2　　　 B．W1＝W2，P1<P2 C．W1＝W2，P1>P2 D．W1<W2，P1<P2 1．【难度3】如图木块A、B叠放在光滑水平面上，A、B之间不光滑，用水平力F拉B，使A、B一起沿光滑水平面加速运动，设A对B的摩擦力为F1，B对A的摩擦力为F2，则以下说法正确的是(　 　) A．F1对B做负功，F2对A做正功 B．F1对B做正功，F2对A不做功 C．F2对A做正功，F1对B不做功 D．F2对A不做功，F1对A做正功 2.【难度3.5】质量为m的汽车，其发动机额定功率为P。当它开上一个倾角为θ的斜坡时，受到的阻力为车重力的k倍，则车的最大速度为(　 　) A． B． C． D． 3.【难度3.5】医生用20 N的力将5 mL药液在30 s的时间内注入病人的体内，若活塞的横截面积是1 cm2，试计算医生对活塞做功的平均功率是多大？ 4.【难度3.5】滑板运动是一项非常刺激的水上运动．研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力FN垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率(水可视为静止)．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时(如图所示)，滑板做匀速直线运动，相应的k＝54 kg/m，人和滑板的总质量为108 kg，试求(g取10 m/s2，sin 37°＝，忽略空气阻力)：(1)水平牵引力的大小． (2)滑板的速率． (3)水平牵引力的功率． 5.【难度3.5】汽车的发动机的额定输出功率为P1，它在水平路面上行驶时受到的摩擦阻力大小恒定。汽车在水平路面上由静止开始运动，直到车速达到最大速度vmax。汽车发动机的输出功率P随时间变化的图像如图所示。若在0～t1时间内，汽车发动机的牵引力是恒定的，则汽车受到的合力F合随时间变化的图像可能是下列图中的(　 　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　 　D 6.【难度3.5】如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F开始提升原来静止的质量为m＝10 kg的物体，以大小为a＝2 m/s2的加速度匀加速上升，求前3 s内力F做的功．(g取10 m/s2) 7.【难度4】如图水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用水平方向的恒定推力F向前推车厢，在车以加速度a向前行驶距离L的过程中，下列说法正确的是(　 　) A．人对车的推力F做的功为FL B．人对车做的功为maL C．车对人的作用力大小为ma D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L 1 学科网（北京）股份有限公司 $$