7.3 万有引力理论的成就-【无畏物理】2024-2025学年高一物理同步学案（人教版2019必修二）

高中物理 必修二 第七章 万有引力与宇宙航行 韩老师 联系方式：15566742570 7.3 万有引力理论的成就 有关天体质量的计算方法 知识点一 一、“称量”地球的质量 1．合理假设：不考虑地球自转。 2．“称量”依据：地面上质量为m的物体所受重力等于地球对物体的引力，即mg＝G，由此可解得m地＝。 卡文迪什把测引力常量的实验称为“称量地球的质量”是不无道理的。 3．结论：只要知道g、R的值，就可以算出地球的质量。 二、计算天体质量 1．计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程G＝m，由此可解得M太＝。 这种方法我们称之为“rT”法小r大T法，小r是行星轨道的半径，大T是行星的公转周期。 2．结论：只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量。 3．计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量M行＝。 发现未知天体及预言哈雷彗星回归 知识点二 1．海王星的发现 英国剑桥大学学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2．其他天体的发现 近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 3．预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。 计算天体的质量与密度 考点一 1．天体质量的计算 (1)重力加速度法 ①若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量。 ②离地面h高处的重力加速度g由万有引力定律可得F＝G＝mg′，g′＝G. (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 G＝mrω2 M＝ G＝mr M＝ 2．天体密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度求天体密度 由mg＝G和M＝ρ·，得ρ＝。 (2)利用天体的卫星求天体密度 若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得G＝mr，中心天体质量M＝ρ·πR3，联立可得ρ＝。 【特殊情况】：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。 注意：(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。 (2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。 【例1.1】（多选）利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量(　 　) A．已知地球的半径R地和地面的重力加速度g B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T 　 【练习1.1】设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(　 　) A．GM＝　　　　 B．GM＝ C．GM＝ D．GM＝ 【练习1.2】（多选）下列各组数据中，能计算出地球质量的是(　 　) A．地球绕太阳运行的周期及日、地间距离 B．月球绕地球运行的周期及月、地间距离 C．人造地球卫星在地面附近的绕行速度和运动周期 D．地球同步卫星离地面的高度　 【例1.2】一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作．宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？如果可以，请说明理由及推导过程． 【例1.3】(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是(　 　) A．月球表面的重力加速度g月＝ B．月球的质量m月＝ C．月球的自转周期T＝ D．月球的平均密度ρ＝ 【练习1.3】地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是(　 　) A．　 B． C． D． 【练习1.4】（多选）已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离(两球中心之间的距离)为L.月球绕地球公转的周期为T₁，地球自转的周期为T₂，地球绕太阳公转周期为T₃，假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G，由以上条件可知（ ） A.地球的质量为 B.月球的质量为 C.地球的密度为 D.月球绕地球运动的加速度为 【练习1.5】（多选）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（ ） A.月球平均密度为 B.月球平均密度为 C.月球表面重力加速度为 D.月球表面重力加速度为 天体运动的分析与计算 考点二 1．天体运动的定性分析 设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 (1)由G＝m得v＝，r越大，天体的v越小。 (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小。 (3)由G＝mr得T＝2π，r越大，天体的T越大。 (4)由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小。 2．天体运动的定量计算 (1)解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度。 (2)常用的关系式： ①G＝m＝mω2r＝mr，万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力。 ②mg＝G即gR2＝GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。 【例2】有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求： (1)它们与太阳间的万有引力之比； (2)它们的公转周期之比。 (3)若r1＞r2，则两行星的运行的角速度ω1、ω2和线速度v1、v2的关系怎样？ 【练习2.1】中国古代的“太白金星”指的是八大行星中的金星。已知引力常量G，再给出下列条件，其中可以求出金星质量的是(　 　) A．金星绕太阳运动的轨道的半径和周期 B．卫星绕金星表面附近运动时的线速度 C．金星的半径和金星表面的重力加速度 D．金星绕太阳运动的周期及地球绕太阳运动的轨道半径和周期 【练习2.2】金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　 　) A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金 C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金 【练习2.3】我国古代神话传说中：地上的“凡人”过一年，天上的“神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一天”，某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的，则该卫星上的宇航员24 h内在太空中度过的“天”数约为(已知月球的运行周期为27天)(　 　) A．1　　 　 B．8　　　 C．16　　 　 D．24 双星问题的分析与求解 考点三 1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2．特点： (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即G＝m1ωr1，＝m2ωr2。 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 3．两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。 4．几个基本结论(建议自行推导) (1)轨道半径：r1＝L，r2＝L。 (2)星体质量：m1＝，m2＝。 (3)周期：T＝2πL。 [注：双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律求出双星总质量与双星距离和周期的关系式，从而分析判断。结合周期求出双星系统旋转的角速度和线速度关系。双星的运动要注意各自做圆周运动的向心力来源于彼此间的万有引力，并且两者的角速度、周期相同．] 【例3.1】（多选）银河系的恒星中有一些是双星.双星S₁和S₂在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，由天文观测测得其周期为T，S₁到O点的距离为r，已知S₁的质量是S₂质量的3倍，引力常量为G，则( ) A.S₂的轨道半径为 B.S₂的线速度大小为 C.S₁的质量为 D.S₂的质量为 【例3.2】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量． 【练习3.1】银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动. 由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G.由此可求出S2的质量为(　 　) A.　　　　　　　 B. C. D.　 【练习3.2】经过近两年观测研究，天文学家通过俗称“中国天眼”的500米口径射电望远镜(FAST)，在武仙座球状星团(M13)中发现一个脉冲双星系统，其中脉冲星为M13F，其自转周期为T1，与一个质量约为0.13倍太阳质量的白矮星相互绕转，构成双星系统，双星的公转周期为T₂。已知太阳的质量为M，假设双星运行轨道可视为圆周，双星间距离为L，则脉冲星M13F质量为（ ） A. B. C. D. 【练习3.3】(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是(　 　) A．这两颗恒星的质量必定相等 B．这两颗恒星的质量之和为 C．这两颗恒星的质量之比为m1∶m2＝R2∶R1 D．必有一颗恒星的质量为 【例3.3】（多选）利用中国天眼FAST射电望远镜对处于双中子星系统中的脉冲星PSRB1534+12的观测研究数据，中国科学院新疆天文台脉冲星团组科研人员首次发现该脉冲星存在弱态和爆发态两种辐射状态，相关科研成果发表在《天体物理学快报》上。如图所示，假设甲、乙两个双中子星系统分别绕各自中心做匀速圆周运动，甲、乙系统总质量相等，中子星间的距离也相等，甲系统中双星a、b的质量之比为3:2，乙系统中双星c、d的质量之比为2:1。下列说法正确的是（ ） A.甲、乙系统双星间的万有引力之比为9:5 B.甲、乙两个系统双星的绕转周期之比为1:1 C.甲中的a星与乙中的c星运行速度之比为6:5 D.甲中的b星与乙中的d星加速度之比为3:2 【练习3.4】(多选)宇宙观测发现，在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统，它们同时绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，已知甲、乙的质量之比为7∶1，由此可知(　 　) A．甲、乙的线速度大小之比为7∶1 B．甲、乙的向心力大小之比为1∶1 C．甲、乙的运行轨道半径之比为1∶7 D．甲、乙的周期之比为1∶7 【练习3.5】(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知(　 　) A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动 B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3 C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶ D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2 【例3.4】现代科学研究认为，银河系中恒星的数量大约在1000亿～4000亿颗之间，而且通过分析，科学家们认为，银河系中的恒星系统一半以上都是双星系统。如图所示为由A、B两颗恒星组成的星系统，A、B的质量分别为mA=2m₀，mB=3m₀，它们之间的距为L，均绕连线上的某点转动，由于引力的影响，A中的一部分物质被B吸走，该过程中可以认为它们间的距离不变，引力常量为G，下列说法正确的是（ ） A.此过程中两颗恒星间的万有引力不断增大 B.两颗恒星运行的周期 C.此过程中A的轨道半径不断变小 D.此过程中B的线速度不断变大 【练习3.6】2021年中国科学院云南天文台的科研人员发现一个特殊双星系统大熊座AX。假设该双星系统绕其连线上某点做匀速圆周运动，两星体间存在质量转移现象，质量较小的星体会一直吸食质量较大星体表面的物质，双星的周期在减小。下列说法正确的是（ ） A.双星间距离在减小 B.双星间距离保持不变 C.双星间万有引力一直增大 D.双星间万有引力保持不变 【练习3.7】（多选）如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则（ ） A.A的质量一定大于B的质量 B.A的加速度一定大于B的加速度 C.L一定时，M越小，T越大 D.L一定时，A的质量减小m而B的质量增加m，它们的向心力减小 课后巩固 1．【难度2】已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G为已知)(　 　) A．月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1 B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2 C．地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中心的距离R3 D．地球表面的重力加速度g及地球到太阳中心的距离R4　 2．【难度2】土星最大的卫星叫“泰坦”，如图。每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　 　) A．5×1017 kg　　　 B．5×1026 kg C．7×1033 kg D．4×1036 kg 3．【难度3】若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　 　) A． B． C． D． 4．【难度3】宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g′. (2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地． 5．【难度3】宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G.求该星球的质量M. 6．【难度3.5】已知太阳光从太阳射到地球需时间t，光速为c，地球公转轨道可近似看成圆轨道，公转周期为T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试计算： (1)太阳的质量； (2)地球的质量。 7．【难度3.5】在某星球上，宇航员用弹簧测力计提着质量为m的物体以加速度a竖直上升，此时弹簧测力计示数为F，而宇宙飞船在靠近该星球表面绕星球做匀速圆周运动而成为该星球的一颗卫星时，宇航员测得其环绕周期是T.根据上述数据，试求该星球的质量． 8．【难度2.5】一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(　 　) A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径 C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度 9．【难度2.5】我国于2008年9月25日实施了“神舟七号”载人航天飞行任务，实现航天员首次空间出舱活动．设宇航员测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T，离地面的高度为H，地球半径为R.则根据T、H、R和万有引力常量，不能计算出的量是(　 　) A．地球的质量 B．地球的平均密度 C．飞船所需的向心力 D．飞船线速度的大小　 10．【难度3】有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(　 　) A.　　　　 B．4倍　　　　 C．16倍　　　　 D．64倍 11．【难度3】据报道最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为(　 　) A．0.5　　　 B．2　　　 C．3.2　　　 D．4 12．【难度3】假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？ 13．【难度3】若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； (3)月球的密度。 1．【难度3】科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知(　 　) A．这颗行星的公转周期与地球相等 B．这颗行星的自转周期与地球相等 C．这颗行星质量等于地球的质量 D．这颗行星的密度等于地球的密度 2．【难度3】如图在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　 　) A．太阳对各小行星的引力相同 B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 3．【难度3】某同学设想驾驶一辆“陆地—太空”两用汽车，沿地球赤道行驶并且汽车相对于地球速度可以增加到足够大．当汽车速度增加到某一值时，它将成为脱离地面绕地球做圆周运动的“航天汽车”．不计空气阻力，已知地球的半径R＝6 400 km.下列说法正确的是(　 　) A．汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大 B．当汽车速度增加到7.9 km/s，将离开地面绕地球做圆周运动 C．此“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1 h D．在此“航天汽车”上可以用弹簧测力计测量物体的重力　 1．【难度3.5】我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取了月球的相关数据。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ(弧度)，引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是(　 　) A．　　 　 B． C． D． 2．【难度3.5】近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星，开发利用火星奠定了坚定的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(K为常数)(　 　) A．ρ＝KT　 　 B．ρ＝ C．ρ＝KT2　　 D．ρ＝ 3．【难度3.5】2019年4月10日9时许，包括中国在内，全球多地天文学家同步公布了黑洞“真容”。这是人类第一次凝视曾经只存在于理论中的天体——黑洞，一种体积极小、质量极大的天体，如同一个宇宙“吞噬之口”，连光也无法逃逸。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且AO大于BO，不考虑其他天体的影响。下列说法错误的是(　 　) A．黑洞A做圆周运动的向心力大小等于B做圆周运动的向心力大小 B．黑洞A的质量大于B的质量 C．黑洞A的线速度大于B的线速度 D．两黑洞之间的距离越大，A的周期越大 4．【难度3.5】2021年6月29日，一篇发表在《天体物理学杂志快报》的论文称发现了两例来自黑洞吞噬中子星的引力波事件。已知某双星系统中黑洞的质量约为中子星质量的5倍，它们中心间的距离为L，做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G。则（ ） A.黑洞与中子星的轨道半径之比为1：5 B.黑洞受到的向心力大于中子星受到的向心力 C.中子星的质量约为 D.若L缓慢减小，二者仍做匀速圆周运动，则T增大 5．【难度3.5】在宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线的某一点只在二者间的万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为△r(P星的轨道半径大于Q星的轨道半径)，引力常量为G，则下列结论错误的是( ) A.P、Q两颗星的质量差为 B.P、Q两颗星的线速度大小之差为 C.P、Q两颗星的质量之比为 D.P、Q两颗星的运动半径之比为 　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中物理 必修二 第七章 万有引力与宇宙航行 韩老师 联系方式：15566742570 7.3 万有引力理论的成就 有关天体质量的计算方法 知识点一 一、“称量”地球的质量 1．合理假设：不考虑地球自转。 2．“称量”依据：地面上质量为m的物体所受重力等于地球对物体的引力，即mg＝G，由此可解得m地＝。 卡文迪什把测引力常量的实验称为“称量地球的质量”是不无道理的。 3．结论：只要知道g、R的值，就可以算出地球的质量。 二、计算天体质量 1．计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程G＝m，由此可解得M太＝。 这种方法我们称之为“rT”法小r大T法，小r是行星轨道的半径，大T是行星的公转周期。 2．结论：只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量。 3．计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量M行＝。 发现未知天体及预言哈雷彗星回归 知识点二 1．海王星的发现 英国剑桥大学学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2．其他天体的发现 近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 3．预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。 计算天体的质量与密度 考点一 1．天体质量的计算 (1)重力加速度法 ①若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量。 ②离地面h高处的重力加速度g由万有引力定律可得F＝G＝mg′，g′＝G. (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 G＝mrω2 M＝ G＝mr M＝ 2．天体密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度求天体密度 由mg＝G和M＝ρ·，得ρ＝。 (2)利用天体的卫星求天体密度 若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得G＝mr，中心天体质量M＝ρ·πR3，联立可得ρ＝。 【特殊情况】：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。 注意：(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。 (2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。 【例1.1】（多选）利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量(　ABCD　) A．已知地球的半径R地和地面的重力加速度g B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T [解析：对A，设相对地面静止的物体质量为m，根据G＝mg 解得M地＝.故A正确． 对B，设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系可得出G＝mr，解得M地＝.故B正确． 对C，设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系可得出G＝m，解得M地＝.故C正确． 对D，设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系可得G＝mr()2 G＝m 以上两式消去r解得M地＝.故D正确．]　 【练习1.1】设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(　A　) A．GM＝　　　　 B．GM＝ C．GM＝ D．GM＝ [解析：对行星有＝mr，故GM＝，A正确。] 【练习1.2】（多选）下列各组数据中，能计算出地球质量的是(　BC　) A．地球绕太阳运行的周期及日、地间距离 B．月球绕地球运行的周期及月、地间距离 C．人造地球卫星在地面附近的绕行速度和运动周期 D．地球同步卫星离地面的高度　 [解析：根据题中各选项给出的条件可选用的公式有T＝① G＝m② mg＝m③由①②两式可知，若地球绕太阳运行的周期为T，日、地间距离为r，则能计算出太阳的质量，M＝，不能得出地球的质量，A错误；由①②两式可以算出地球质量M＝，其中T为月球绕地球运行的周期，r为月、地间距离，B正确；由①式得出r＝，代入②式得出地球质量为M＝，其中v、T分别表示人造地球卫星的绕行速度和运行周期，C正确；只知道同步卫星离地面的高度，不知道地球半径，不能求出地球质量，D错误．] 【例1.2】一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作．宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？如果可以，请说明理由及推导过程． [解析：使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动，设行星质量为M，宇宙飞船质量为m，行星半径为r，测出飞船运行周期为T. G＝mr 所以M＝ 又行星的体积V＝πr3 所以ρ＝＝，即宇航员只需测出T就能求出行星的密度．] 【例1.3】(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是(　AB　) A．月球表面的重力加速度g月＝ B．月球的质量m月＝ C．月球的自转周期T＝ D．月球的平均密度ρ＝ [解析：根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，A正确；由mg月＝G解得m月＝，B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，C错误；月球的平均密度ρ＝＝，D错误。] 【练习1.3】地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是(　A　) A．　 B． C． D． [解析：地球表面有G＝mg，得M＝　①，又由ρ＝＝　②，由①②得出ρ＝，故A正确。] 【练习1.4】（多选）已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离(两球中心之间的距离)为L.月球绕地球公转的周期为T₁，地球自转的周期为T₂，地球绕太阳公转周期为T₃，假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G，由以上条件可知（ CD ） A.地球的质量为 B.月球的质量为 C.地球的密度为 D.月球绕地球运动的加速度为 【练习1.5】（多选）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（ BD ） A.月球平均密度为 B.月球平均密度为 C.月球表面重力加速度为 D.月球表面重力加速度为 天体运动的分析与计算 考点二 1．天体运动的定性分析 设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 (1)由G＝m得v＝，r越大，天体的v越小。 (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小。 (3)由G＝mr得T＝2π，r越大，天体的T越大。 (4)由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小。 2．天体运动的定量计算 (1)解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度。 (2)常用的关系式： ①G＝m＝mω2r＝mr，万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力。 ②mg＝G即gR2＝GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。 【例2】有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求： (1)它们与太阳间的万有引力之比； (2)它们的公转周期之比。 (3)若r1＞r2，则两行星的运行的角速度ω1、ω2和线速度v1、v2的关系怎样？ [解析：(1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比＝＝。 (2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G＝mr 所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π ，则两天体绕太阳的公转周期之比＝。 (3)根据可知，由于r1＞r2，所以ω1＜ω2，v1＜v2.] 【练习2.1】中国古代的“太白金星”指的是八大行星中的金星。已知引力常量G，再给出下列条件，其中可以求出金星质量的是(　C　) A．金星绕太阳运动的轨道的半径和周期 B．卫星绕金星表面附近运动时的线速度 C．金星的半径和金星表面的重力加速度 D．金星绕太阳运动的周期及地球绕太阳运动的轨道半径和周期 [解析：行星绕太阳运动时，万有引力提供其所需要的向心力，故有G＝m金，可得太阳的质量表达式为M＝，而金星的质量m金在等式中已消掉，故A、D错误；由G＝，可得m金＝，由于金星的半径不知，故不能求出金星的质量，故B错误；在金星表面时，质量为m的物体所受重力与金星对其的万有引力相等，则mg＝G，得m金＝，若已知金星的半径与金星表面的重力加速度，可以求出金星的质量，故C正确。] 【练习2.2】金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　A　) A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金 C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金 [解析：金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，A对B错；同理有G＝m，解得v＝，题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，C、D错] 【练习2.3】我国古代神话传说中：地上的“凡人”过一年，天上的“神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一天”，某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的，则该卫星上的宇航员24 h内在太空中度过的“天”数约为(已知月球的运行周期为27天)(　B　) A．1　　 　 B．8　　　 C．16　　 　 D．24 [解析：根据天体运动公式G＝mr得＝，解得卫星运行的周期为3 h，故24 h内看到8次日出，B正确。] 双星问题的分析与求解 考点三 1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2．特点： (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即G＝m1ωr1，＝m2ωr2。 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 3．两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。 4．几个基本结论(建议自行推导) (1)轨道半径：r1＝L，r2＝L。 (2)星体质量：m1＝，m2＝。 (3)周期：T＝2πL。 [注：双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律求出双星总质量与双星距离和周期的关系式，从而分析判断。结合周期求出双星系统旋转的角速度和线速度关系。双星的运动要注意各自做圆周运动的向心力来源于彼此间的万有引力，并且两者的角速度、周期相同．] 【例3.1】（多选）银河系的恒星中有一些是双星.双星S₁和S₂在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，由天文观测测得其周期为T，S₁到O点的距离为r，已知S₁的质量是S₂质量的3倍，引力常量为G，则( BC ) A.S₂的轨道半径为 B.S₂的线速度大小为 C.S₁的质量为 D.S₂的质量为 【例3.2】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量． [解析：设两星质量分别为m1、m2，圆周运动半径分别为R1、R2，R1＋R2＝R① 双星的角速度相同，周期相同 G＝m1()2R1，＝m2()2R2 m2＝② m1＝③ 由①②③得m1＋m2＝] 【练习3.1】银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动. 由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G.由此可求出S2的质量为(　D　) A.　　　　　　　 B. C. D.　 [解析：设S1、S2两星体的质量分别为m1、m2，根据万有引力定律和牛顿定律得G＝m1()2r1 解之可得m2＝] 【练习3.2】经过近两年观测研究，天文学家通过俗称“中国天眼”的500米口径射电望远镜(FAST)，在武仙座球状星团(M13)中发现一个脉冲双星系统，其中脉冲星为M13F，其自转周期为T1，与一个质量约为0.13倍太阳质量的白矮星相互绕转，构成双星系统，双星的公转周期为T₂。已知太阳的质量为M，假设双星运行轨道可视为圆周，双星间距离为L，则脉冲星M13F质量为（ B ） A. B. C. D. 【练习3.3】(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是(　BCD　) A．这两颗恒星的质量必定相等 B．这两颗恒星的质量之和为 C．这两颗恒星的质量之比为m1∶m2＝R2∶R1 D．必有一颗恒星的质量为 [解析：对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得＝m1R1＝m2R2，所以两星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1，C对；由上式可得m1＝，m2＝，D对A错；m1＋m2＝，B对。] 【例3.3】（多选）利用中国天眼FAST射电望远镜对处于双中子星系统中的脉冲星PSRB1534+12的观测研究数据，中国科学院新疆天文台脉冲星团组科研人员首次发现该脉冲星存在弱态和爆发态两种辐射状态，相关科研成果发表在《天体物理学快报》上。如图所示，假设甲、乙两个双中子星系统分别绕各自中心做匀速圆周运动，甲、乙系统总质量相等，中子星间的距离也相等，甲系统中双星a、b的质量之比为3:2，乙系统中双星c、d的质量之比为2:1。下列说法正确的是（ BC ） A.甲、乙系统双星间的万有引力之比为9:5 B.甲、乙两个系统双星的绕转周期之比为1:1 C.甲中的a星与乙中的c星运行速度之比为6:5 D.甲中的b星与乙中的d星加速度之比为3:2 【练习3.4】(多选)宇宙观测发现，在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统，它们同时绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，已知甲、乙的质量之比为7∶1，由此可知(　BC　) A．甲、乙的线速度大小之比为7∶1 B．甲、乙的向心力大小之比为1∶1 C．甲、乙的运行轨道半径之比为1∶7 D．甲、乙的周期之比为1∶7 [解析：作为双星系统，甲、乙两星体周期是相等的，角速度也是相等的，它们之间的万有引力提供各自的向心力得mω2r＝Mω2R，甲、乙质量比为7∶1，所以甲、乙运行轨道半径之比为1∶7，根据v＝ωr可知，线速度之比为1∶7，故A错误，C正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲、乙向心力大小相等，故B正确；甲、乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故D错误。] 【练习3.5】(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知(　AD　) A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动 B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3 C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶ D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2 [解析：据题意可知甲、乙两恒星的距离始终保持不变，围绕两星连线上的一点做匀速圆周运动，靠相互间的万有引力提供向心力，角速度一定相同，故A正确，B错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有m甲r甲ω2＝m乙r乙ω2，得＝＝3∶2，根据v＝rω，知v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故C错误；根据a＝rω2知，向心加速度之比a甲∶a乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故D正确。] 【例3.4】现代科学研究认为，银河系中恒星的数量大约在1000亿～4000亿颗之间，而且通过分析，科学家们认为，银河系中的恒星系统一半以上都是双星系统。如图所示为由A、B两颗恒星组成的星系统，A、B的质量分别为mA=2m₀，mB=3m₀，它们之间的距为L，均绕连线上的某点转动，由于引力的影响，A中的一部分物质被B吸走，该过程中可以认为它们间的距离不变，引力常量为G，下列说法正确的是（ B ） A.此过程中两颗恒星间的万有引力不断增大 B.两颗恒星运行的周期 C.此过程中A的轨道半径不断变小 D.此过程中B的线速度不断变大 【练习3.6】2021年中国科学院云南天文台的科研人员发现一个特殊双星系统大熊座AX。假设该双星系统绕其连线上某点做匀速圆周运动，两星体间存在质量转移现象，质量较小的星体会一直吸食质量较大星体表面的物质，双星的周期在减小。下列说法正确的是（ A ） A.双星间距离在减小 B.双星间距离保持不变 C.双星间万有引力一直增大 D.双星间万有引力保持不变 【练习3.7】（多选）如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则（ BCD ） A.A的质量一定大于B的质量 B.A的加速度一定大于B的加速度 C.L一定时，M越小，T越大 D.L一定时，A的质量减小m而B的质量增加m，它们的向心力减小 课后巩固 1．【难度2】已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G为已知)(　A　) A．月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1 B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2 C．地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中心的距离R3 D．地球表面的重力加速度g及地球到太阳中心的距离R4　 [解析：计算地球的质量有两种方法：①以地球为中心星体，已知地球的行星或卫星的有关量．B、C均以太阳为中心星体，只能求太阳的质量．B、C错误．由＝mR得M＝，A正确．②已知地球表面的重力加速度和地球半径，由＝mg得M＝.但D中R4不是地球半径，D错误．] 2．【难度2】土星最大的卫星叫“泰坦”，如图。每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　B　) A．5×1017 kg　　　 B．5×1026 kg C．7×1033 kg D．4×1036 kg [解析：卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。设土星质量为M，则有＝mR，解得M＝，代入数据计算可得M＝ kg≈5×1026 kg，故B正确，A、C、D错误。] 3．【难度3】若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　A　) A． B． C． D． [解析：无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为G＝mr，即M∝，所以＝，A对] 4．【难度3】宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g′. (2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地． [解析：(1)在地球表面竖直上抛小球时有t＝；在某星球表面竖直上抛小球时有5t＝ 所以g′＝ g＝2 m/s2 由G＝mg，得M＝ 所以＝＝×()2＝] 5．【难度3】宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G.求该星球的质量M. [解析：设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有x2＋h2＝L2① 由平抛运动规律得知，当初速增大到原来的2倍，其水平射程也增大到2x，可得(2x)2＋h2＝(L)2② 由①②解得h＝＝L 设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律，得 h＝gt2③ 由万有引力定律与牛顿第二定律，得 G＝mg④ 式中m为小球的质量．联立以上各式，解得 M＝] 6．【难度3.5】已知太阳光从太阳射到地球需时间t，光速为c，地球公转轨道可近似看成圆轨道，公转周期为T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试计算： (1)太阳的质量； (2)地球的质量。 [解析：(1)设太阳的质量为M，地球的质量为m，因为太阳对地球的万有引力提供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力，有G＝mω2r＝mr 解得M＝＝。 (2)地球半径为R，则地面上质量为m′的物体的重力近似等于物体与地球的万有引力，故有：F′引＝m′g，即 ＝m′g，m＝。] 7．【难度3.5】在某星球上，宇航员用弹簧测力计提着质量为m的物体以加速度a竖直上升，此时弹簧测力计示数为F，而宇宙飞船在靠近该星球表面绕星球做匀速圆周运动而成为该星球的一颗卫星时，宇航员测得其环绕周期是T.根据上述数据，试求该星球的质量． [解析：由牛顿第二定律可知F－mg＝ma，所以mg＝F－ma，设星球半径为R，在星球表面mg＝G 所以F－ma＝G解得R＝ 设宇宙飞船的质量为m′，则其环绕星球表面飞行时，轨道半径约等于星球半径，则有＝m′()2R所以M＝＝ ，解得M＝，即该星球质量为.] 8．【难度2.5】一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(　A　) A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径 C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度 [解析：取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故A正确。] 9．【难度2.5】我国于2008年9月25日实施了“神舟七号”载人航天飞行任务，实现航天员首次空间出舱活动．设宇航员测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T，离地面的高度为H，地球半径为R.则根据T、H、R和万有引力常量，不能计算出的量是(　C　) A．地球的质量 B．地球的平均密度 C．飞船所需的向心力 D．飞船线速度的大小　 [解析：设地球质量为M，由万有引力提供向心力得：G＝m(H＋R)ω2＝m(H＋R)，由此式可求出地球的质量M，再由ρ＝，可求出地球的平均密度．由v＝，可求出飞船的线速度大小．] 10．【难度3】有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(　D　) A.　　　　 B．4倍　　　　 C．16倍　　　　 D．64倍 [解析：由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝4， 结合题意，该星球半径是地球半径的4倍． 根据M＝.＝·＝64.] 11．【难度3】据报道最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为(　B　) A．0.5　　　 B．2　　　 C．3.2　　　 D．4 [解析：在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力，，即G地＝G，同样在行星表面有G行＝G 以上二式相比可得＝×＝×，＝＝2故该行星的半径与地球的半径之比约为2，B正确。] 12．【难度3】假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？ [解析：设卫星的质量为m，天体的质量为M.卫星贴近表面运动时有G＝mR，则M＝ 根据数学知识可知星球的体积V＝πR3,故该星球密度ρ＝＝＝ 卫星距天体表面距离为h时有 G＝m(R＋h) M＝ ρ＝＝＝] 13．【难度3】若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； (3)月球的密度。 [解析：(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2，所以月球表面的自由落体加速度大小g月＝。 (2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，月球的质量M＝。 (3)月球的密度ρ＝＝＝。] 1．【难度3】科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知(　A　) A．这颗行星的公转周期与地球相等 B．这颗行星的自转周期与地球相等 C．这颗行星质量等于地球的质量 D．这颗行星的密度等于地球的密度 [解析：由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面，A正确。根据所给条件，无法进一步判断这行星与地球的自转周期、质量、密度是否相同．] 2．【难度3】如图在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　C　) A．太阳对各小行星的引力相同 B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 [解析：由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由G＝mr可得T＝，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得v＝，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D错误。] 3．【难度3】某同学设想驾驶一辆“陆地—太空”两用汽车，沿地球赤道行驶并且汽车相对于地球速度可以增加到足够大．当汽车速度增加到某一值时，它将成为脱离地面绕地球做圆周运动的“航天汽车”．不计空气阻力，已知地球的半径R＝6 400 km.下列说法正确的是(　B　) A．汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大 B．当汽车速度增加到7.9 km/s，将离开地面绕地球做圆周运动 C．此“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1 h D．在此“航天汽车”上可以用弹簧测力计测量物体的重力　 [解析：由mg－FN＝m得FN＝mg－m，A错；7.9 km/s是最小的发射速度，也是最大的环绕速度，B对；由mg＝m()2R知T＝84分钟，C错；“航天汽车”上处于完全失重状态，任何与重力有关的实验都无法进行，D错．] 1．【难度3.5】我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取了月球的相关数据。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ(弧度)，引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是(　B　) A．　　 　 B． C． D． [解析：该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线转过的角度是θ(弧度)，所以该卫星的线速度、角速度分别为v＝，ω＝，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝＝。根据万有引力提供向心力，有G＝m，得月球的质量为M＝＝，又因为月球的体积为V＝πR3，所以月球的密度ρ＝＝＝，故B正确。] 2．【难度3.5】近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星，开发利用火星奠定了坚定的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(K为常数)(　D　) A．ρ＝KT　 　 B．ρ＝ C．ρ＝KT2　　 D．ρ＝ [解析：火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝mR及密度公式ρ＝＝，得ρ＝＝，故D正确。] 3．【难度3.5】2019年4月10日9时许，包括中国在内，全球多地天文学家同步公布了黑洞“真容”。这是人类第一次凝视曾经只存在于理论中的天体——黑洞，一种体积极小、质量极大的天体，如同一个宇宙“吞噬之口”，连光也无法逃逸。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且AO大于BO，不考虑其他天体的影响。下列说法错误的是(　B　) A．黑洞A做圆周运动的向心力大小等于B做圆周运动的向心力大小 B．黑洞A的质量大于B的质量 C．黑洞A的线速度大于B的线速度 D．两黑洞之间的距离越大，A的周期越大 [解析：两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，A对B的作用力与B对A的作用力大小相等，方向相反，则黑洞A的向心力大小等于B的向心力大小，故A正确；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，由题图可知A的运动半径比较大，根据v＝ωr可知，黑洞A的线速度大于B的线速度，故C正确；A、B在匀速转动时的向心力大小关系为mAω2rA＝mBω2rB，由于A运动的半径比较大，所以A的质量小，故B错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，所以G＝mA＝mB，又rA＋rB＝L，L为两者之间的距离，T＝，则两黑洞之间的距离越大，A的周期越大，故D正确，B符合题意。] 4．【难度3.5】2021年6月29日，一篇发表在《天体物理学杂志快报》的论文称发现了两例来自黑洞吞噬中子星的引力波事件。已知某双星系统中黑洞的质量约为中子星质量的5倍，它们中心间的距离为L，做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G。则（ A ） A.黑洞与中子星的轨道半径之比为1：5 B.黑洞受到的向心力大于中子星受到的向心力 C.中子星的质量约为 D.若L缓慢减小，二者仍做匀速圆周运动，则T增大 5．【难度3.5】在宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线的某一点只在二者间的万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为△r(P星的轨道半径大于Q星的轨道半径)，引力常量为G，则下列结论错误的是( C ) A.P、Q两颗星的质量差为 B.P、Q两颗星的线速度大小之差为 C.P、Q两颗星的质量之比为 D.P、Q两颗星的运动半径之比为 　 学科网（北京）股份有限公司 $$