7.2 万有引力定律-【无畏物理】2024-2025学年高一物理同步学案（人教版2019必修二）

高中物理 必修二 第七章 万有引力与宇宙航行 7.2 万有引力定律 万有引力定律的推导 知识点一 一、行星与太阳间的引力 1．两个理想化模型 行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。 (1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。 (2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。 理想模型的建立 1行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动。太阳：中心天体；行星：环绕天体 2太阳与行星间的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力。 2．太阳对行星的引力： 3．行星对太阳的引力： 4．式中G为比例系数，与太阳、行星都没有关系．太阳与行星间的引力方向沿着二者的连线。 5．结论：太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线． 经过类似的分析过程，即可得出公式F＝G． 6．结论：地面物体受地球的引力，月球所受地球的引力，太阳与行星的引力，遵从相同的规律。 二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2．表达式：F＝G。 3. 引力常量：1．测量者：卡文迪什。 2．数值：G＝6.67408(31)×10－11N·m2/kg2 ；通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。 注：卡文迪什扭秤实验利用了“等效法”和“放大法”。 难点剖析 1．不同星球表面的重力加速度大小一样吗？在同一星球重力加速度随高度如何变化？ 不一样．在某星球表面，由G＝mg，得星球表面的重力加速度g＝，由此知g取决于该星球的质量M和半径R. 在同一星球G＝mg，得g＝。由此知随着高度h的增大，g减小. 万有引力定律的推导 考点一 【例1】(多选)下列叙述正确的是 (　AB　) A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝m，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的 B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的 C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的 D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用以上三个公式，都是可以在实验室中得到验证的 [解析：公式F＝m中，是行星做圆周运动的加速度，故这个关系式实际上是牛顿第二定律，也是向心力公式，所以能通过实验验证，A正确；v＝是在匀速圆周运动中，周长、时间与线速度的关系式，B正确；开普勒第三定律＝k是无法在实验室中得到验证的，是开普勒在研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的，故C、D错误。] 【练习1.1】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公式F＝G中G是比例系数，与太阳、行星都没关系。 (√) (2)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。 (√) (3)月球绕地球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。 (√) (4)由于太阳质量大于行星质量，故太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。 (×) 【练习1.2】(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是(　BD　) A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大 B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小 C．由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比 D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力 [解析：由F＝，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星的质量决定，A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，C错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，向心力由太阳对行星的引力提供，D正确。] 【练习1.3】太阳对行星的引力提供了行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，这个向心力大小(　D　) A．与行星距太阳的距离成正比 B．与行星距太阳的距离成反比 C．与行星运动的速率的平方成正比 D．与行星距太阳的距离的平方成反比　 [解析：由引力公式F＝G知A、B、C错误，D正确．] 万有引力定律的理解 考点二 1．F＝G的适用条件 (1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 2．引力常量G (1)对G值的理解 ①目前引力常量推荐的标准值G＝6.674 08(31)×10－11N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。 ②引力常量有单位，单位符号为N·m2/kg2。 ③因为引力常量G很小，我们日常生活中接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难察觉到物体之间的引力。 (2)引力常量的测定 卡文迪什扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生力矩，如图所示，此力矩与石英丝N力矩平衡。万有引力力矩使T形架转动，T形架转动时带动平面镜M也发生转动，进而使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的距离，进而计算偏转角度。利用石英丝N扭转力矩和扭转角度的关系，求出扭转力矩，从而求出大球和小球间的万有引力。利用F＝G，即G＝，比较准确地得出了G的数值。 (3)引力常量测定的意义 ①卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。 ②引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值。 ③卡文迪什扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法，合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代。 【例2.1】(多选)下列关于万有引力定律的说法中正确的有(　BD　) A．万有引力定律是开普勒发现的 B．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用 C．F＝G中的G是由卡文迪什测定的一个比例常数，没有单位 D．F＝G中的r可以是两个质量分布均匀的球体球心间的距离 [解析：万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，A错；万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，B正确；F＝G中的G是一个比例常数，单位为N·m2/kg2，C错误；F＝G中的r可以是两个质量分布均匀的球体球心间的距离，D正确。] 【例2.2】两个质量均匀的球体，相距r，它们之间的万有引力为1×10－8 N，若它们的质量、距离都增加为原来的两倍，则它们之间的万有引力为(　B　) A．4×10－8 N　　 B．1×10－8 N C．2×10－8 N D．8×10－8 N [解析：原来的万有引力为F＝，后来变为F′＝＝，即F′＝F＝1×10－8 N。故B正确。] 【练习2.1】对于万有引力定律的数学表达式F＝G，下列说法中正确的是(　C　) A．公式中G为引力常量，是人为规定的 B．r趋近零时，万有引力趋于无穷大 C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关 D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 [解析：万有引力公式中的引力常量G是由实验测定的，而不是人为规定的，A错误；使用公式F＝G时，若两物体可以看成质点，则r为两物体之间的距离。认为r趋于零，万有引力趋于无穷大的纯数学思想是不正确的，因为当物体间的距离r→0时，物体不可以看成质点，就不能直接应用公式F＝G计算，B错误；两个物体间的万有引力是作用力与反作用力的关系，不是平衡力，C正确，D错误。] 【练习2.2】(多选)关于引力常量，下列说法正确的是(　CD　) A．引力常量是两个质量为1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力 B．牛顿发现了万有引力定律，测出了引力常量的值 C．引力常量的确定，证明了万有引力的存在 D．引力常量的确定，使人们可以测出天体的质量 [解析：引力常量的大小等于两个质量为1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力的大小，而引力常量不能说是两质点间的吸引力，选项A错误；牛顿发现了万有引力，但他并未测出引力常量，引力常量是卡文迪什巧妙地利用扭秤装置在实验室中第一次比较精确地测出的，选项B错误；引力常量的确定，不仅证明了万有引力的存在，而且也使人们可以测出天体的质量，这也是测出引力常量的意义所在，选项C、D正确。] 【练习2.3】要使两物体间的引力减小到原来的，下列方法可行的是(　A　) A．两物体的距离不变，质量各减小为原来的一半 B．两物体的距离变为原来的2倍，质量各减为原来的一半 C．两物体的质量变为原来的一半，距离也减为原来的一半 D．两物体的质量都变为原来的2倍，距离不变　 [解析：由F＝G可得r不变，M、m各减小一半后，F变为原来的，A正确；r变为原来的2倍，M、m减为原来的一半，其引力将变为原来的；M、m、r都变为原来的一半，F不变；r不变，M、m变为原来的2倍，则引力变为原来的4倍．] 【练习2.4】如图M、N为两个完全相同的质量分布均匀的小球，AB为MN连线的中垂线，有一质量为m的小球从MN连线的中点O沿OA方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是(　D　) A． 一直增大 B．一直减小 C．先减小、后增大 D．先增大、后减小　 [解析：质量为m的物体在O点时，受到的万有引力为零，沿OA方向到无穷远处也为零，但其间不为零，因此，物体m受到的万有引力变化情况是先增大后减小，故D正确．] 万有引力与重力的关系 考点三 1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝G。 2．万有引力有两个分力：除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果。 3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2。 (2)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。 (3)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。 4．重力、重力加速度与高度的关系 (1)地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝。 (2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度的重力加速度g＝。 5．在天体问题的处理过程中，经常利用地面处的重力数值确定其他位置或其他天体的有关物理量 因此，关系式mg＝尤为重要，由此可确定地球的其他位置或其他天体上物体的重力或重力加速度与地面上的关系．该关系式称为“黄金代换”． 【例3.1】1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g：（1)求这个小行星表面的重力加速度； (2)在距小行星表面20m处，让质量为m＝60 kg 的物体自由下落，求物体下落到该行星表面所用的时间； (3)物体在小行星上的质量和“重力”与地球上的是否相同？ (已知地球表面重力加速度g地＝10 m/s2) [解析：（1）质量分布均匀的球体的密度ρ＝3M/4πR3 地球表面的重力加速度g＝GM/R2＝ 吴健雄星表面的重力加速度g′＝GM/r2＝ g/g′＝R/r＝400，g′＝g，故选项B正确． (2)由h＝g′t2，得t＝ ＝＝40 s (3)物体在小行星上的质量与地球上相同，但重力不同．] 【练习3.1】设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为(　D　) A．1　　　　 B．1/9　　　　 C．1/4　　　　 D．1/16 [解析：本题考查万有引力定律的简单应用，地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有地面上G＝mg0① 离地心4R处G＝mg② 由①②两式得＝＝　 【练习3.2】假设有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，忽略地球与星球的自转，则该星球的质量是地球质量的(　D　) A． B．4倍 C．16倍 D．64倍 [解析：由＝mg，得M＝， 所以ρ＝＝＝，ρ＝ρ地，即＝，得R＝4R地， 故＝·＝64，故D正确。] 【例3.2】如图火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度) [解析：火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h时，重力加速度为g′由牛顿第二定律得mg－mg′＝m×g′＝g；由万有引力定律知G＝mg；G＝mg′解得h＝] 【练习3.3】月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的1/6，一根绳子在地球表面能拉着3 kg的重物产生最大为10 m/s2的竖直向上的加速度，g地＝10 m/s2，将重物和绳子均带到月球表面，用该绳子能使重物产生竖直向上的最大加速度为(　C　) A．60 m/s2 B．20 m/s2 C．18.3 m/s2 D．10 m/s2　 [解析：根据牛顿第二定律得，F－mg地＝ma1，F－mg月＝ma2，解得a2＝18.3 m/s2，C正确．] 【练习3.4】一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(　B　) A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．一半 [解析：设此时火箭离地球表面高度为h 由牛顿第二定律得FN－mg′＝ma① 在地球表面mg＝G＝16② 由此得m＝1.6 kg，代入① 得g′＝③ 又因h处mg′＝G④ 由②④，得＝得h＝3R.] 【练习3.5】已知月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8.求： (1)在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直向上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？ (2)在距月球和地球表面相同高度处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？ [解析：(1)在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：h月＝，h地＝，式中g月和g地是月球表面和地球表面附近的重力加速度，根据万有引力定律得 g月＝，g地＝. 于是得出上升的最大高度之比为＝＝＝81×＝5.6 (2)设抛出点的高度为H，初速度为v0，在月球和地球表面附近做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动，从抛出到落地所用时间分别为t月＝ ，t地＝ . 在水平方向做匀速直线运动，其水平射程之比为 ＝＝＝ ＝ ＝＝2.37.] 【例3.3】某星球“一天”的时间是T=6h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%，假设该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来.这时星球的“一天”是多少小时? 【练习3.6】(考虑地球自转)如图所示，P、Q为质量相同的两质点，分别置于地球表面的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　B　) A．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 B．P、Q所受地球引力大小相等 C．P、Q做圆周运动的线速度大小相等 D．P所受地球引力大于Q所受地球引力 [解析：P、Q两点的角速度相同，做圆周运动的半径不同，根据F向＝mrω2可知向心力大小不相等，A错误；P、Q两质点距离地心的距离相等，根据F＝G知，两质点受到的地球引力大小相等，故B正确，D错误；P、Q两质点角速度大小相等，做圆周运动的半径不同，根据v＝rω可知线速度大小不同，故C错误。] 【练习3.7】假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为(　B　) A．2π B．2π C．2π D．2π 　[解析：质量为m的物体在两极，所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝G，在赤道，引力为重力和向心力的合力，有mg＋mR＝G，联立解得T＝2π，B正确。] 万有引力定律与天体的运动 考点四 天体的运动一般看作匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供．即F引＝＝ma向，而a向＝＝ω2r＝ωv＝r＝4π2f2r，因此应用万有引力定律解决天体的有关问题，主要有以下几个度量关系： F引＝＝mg＝ma向＝m＝mω2r＝mωv＝m·r＝m·4π2f2r. 称为“黄金代换”． 【例4.1】某人造地球卫星质量为m，绕地球运动的轨迹为椭圆．已知它在近地点距地面高度为h1，速度为v1，加速度为a1；在远地点距地面高度为h2，速度为v2.已知地球半径为R，求该卫星在远地点的加速度a2. [解析：设地球的质量为M，则由牛二可知，近地点＝ma1 远地点＝ma2 解得a2＝] 【练习4.1】两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为(　D　) A．1　　　 B.　　　 C.　　　 D.　 [解析：设行星m1、m2的向心力分别是F1、F2，由太阳与行星之间的作用规律可得F1∝，F2∝，而a1＝，a2＝，故＝，D项正确．] 【练习4.2】(多选)如图三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是(　BC　) A．地球对一颗卫星的引力大小为 B．一颗卫星对地球的引力大小为 C．两颗卫星之间的引力大小为 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 [解析：由万有引力定律知A错误，B正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d＝2rcos 30°＝r，由万有引力定律知C正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，D错误。] 【例4.2】地球以T的周期进行自转，若使地球不因自转而瓦解，地球的密度至少应该为多少？ [解析：地球以T的周期自转，不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力，即，根据质量与密度的关系，有，所以地球的密度应为] 【练习4.3】（多选）组成星球的物质是靠万有引力吸引在一起的，星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为r，密度为ρ，质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，下列表达式中正确的是( AD ) A. B. C. D. [解析：由可得周期越小，物体需要的向心力越大，物体对星球表面的压力最小。当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即，解得，A对；因,代入上式可得:，故D正确] 万有引力定律与填补法 考点五 仔细观察挖去部分及完整体的形状特点，可知，完整部分与质点以及挖去部分与质点间万有引力均可用公式计算，由此联想到利用等割补的方式先将剩余部分还原为完整体，计算出万有引力，然后计算出割去部分与质点间的万有引力，两者之差即为所求． 【注意】：均匀球壳对内部的所有质点的万有引力的合力为零 【例5.1】（填补法）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大？ [解析：设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的引力为F1，可以看作是剩余部分对质点的引力F与被挖小球对质点的引力F2的合力，即F1＝F＋F2.设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′. 由题意，知M′＝，r′＝R由万有引力定律，得F1＝G＝ F2＝G＝G＝所以剩下部分对m的万有引力为F＝F1－F2＝.] 【例5.2】如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零) ( B ) A. B. C. D. 0 [解析：先将空腔填满，填入的球的球心与质点重合，填入部分对质点的引力的矢量和为零；均匀球壳对内部质点的万有引力的合力为零，质点受力为补上部分的引力和剩余部分的引力的合力，补上部分对质点的引力为零，圆外部对质点的引力为零，圆内部分对质点的引力即为质点的受力。则，解得]　　 【练习5.1】如果【例5.1】中的球穴挖在大球的正中央如图所示，且挖去小球的半径是大球半径的，试求剩余部分对球外质量为m的质点的引力大小. [解析：由题意，知M′＝，球穴挖在大球正中央，间距相等 则] 【练习5.2】如图所示，O为地球的球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的点，AB=d，将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R。设想挖掉以B为球心、以为半径的球。若忽略地球的自转，则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为( B ) A. B. C. D. [解析：没有挖去球之前，根据万有引力定律有。挖掉球的质量， 地球质量，地球引力是挖掉球的引力和剩余部分引力的矢量和，所以， 联立解得，根据牛顿第二定律，所以重力加速度之比也为] 【练习5.2】某地区的地下发现天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(其中k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是( C ) A. B. C. D. [解析：如果将空腔填满，地面质量为m的物体受到重力为mg，没有填满时是kmg，所以空腔填满后引起的引力为（1-k）mg，根据万有引力定律，有，解得] 课后巩固 1．【难度2】（多选）对于万有引力公式F＝G，下列说法中正确的是(　CD　) A．当两个物体之间的距离趋近于零时，F趋于无穷大 B．只要两个物体是球体，就可用上式求解万有引力 C．只有两个物体看成质点时，才可用上式求两个物体间的万有引力 D．任何两个物体都存在万有引力　 [解析：任何两个物体间都存在万有引力，当两个物体之间的距离趋近于零时不能看成质点，因此不能用万有引力定律计算，只有两个物体可看作质点时可以应用公式计算两个物体间的万有引力。C、D对] 2．【难度2.5】如图两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为(　D　) A．G　　　　 B．G C．G D．G [解析：两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，两球间的万有引力应为G，D对] 3．【难度2.5】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的(　C　) A．0.25倍 B．0.5倍 C．2.0倍 D．4.0倍　 [解析：F引′＝＝＝2＝2F引．] 4．【难度2.5】一个物体在地球表面所受的重力为G，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为(　C　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [解析：在地球表面附近，物体所受的重力近似等于万有引力，即重力G地＝F万＝G；在距地面高度为地球半径的位置，F′万＝G＝，C正确。] 5．【难度2.5】苹果自由落向地面时加速度的大小为g，在离地面高度等于地球半径处做匀速圆周运动的人造卫星的向心加速度为(　C　) A．g B．g C．g D．无法确定　 [解析：地面处：mg＝G，所以g＝ 高R处：mg′＝G，所以g′＝ 所以＝，即g′＝g] 6．【难度3】地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g，则该处距地球表面的高度为(　A　) A．(－1)R B．R C．R D．2R [解析：设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面上重力mg＝G，在高度为h处的重力mg＝G，解以上两式得h＝(－1)R，A正确。] 7．【难度3】火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为50 kg。求：(地球表面的重力加速度g取10 m/s2) (1)在火星上宇航员所受的重力为多少？ (2)宇航员在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？ [解析：(1)由mg＝G，得g＝，在地球上有g＝，在火星上有g′＝，所以g′＝ m/s2 那么宇航员在火星上所受的重力mg′＝50× N≈222.2 N。 (2)在地球宇航员跳起的高度为h＝，即1.5＝在火星上，宇航员跳起的高度为h′＝，联立得h′＝3.375 m。] 8．【难度3】某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h处平抛一物体，射程为60 m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度v0平抛同一物体，射程应为( A ) A.10 m B.15 m C.90 m D.360 m [解析：根据可知，该星球表面重力加速度为地球的36倍。再根据平抛运动时间可知，同样的高度，在该星球上运动时间为地球上的1/6，即射程为地球上的1/6。A对] 9.【难度3】某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压的力为90 N 时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103 km，g表示重力加速度，g取10 m/s2) [解析：卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，这时受到地球的万有引力为F＝G，在地球表面G＝mg ① 在上升至离地面h时，FN－G＝ma ② 由①②式得＝，则h＝R地 ③ 将m＝16 kg，FN＝90 N，a＝g＝5 m/s2，R地＝6.4×103 km，g＝10 m/s2代入③式得h＝1.92×104 km。] 10.【难度3】如图所示有一半径为2R、密度为ρ的均匀球体A，现在从A中挖去一半径为R的球体B，放置在距离球心O为5R的地方，剩下部分A对B的万有引力为F₁.若将挖空的地方注满密度为的某种液体，被注液体的球体A对B的万有引力为F₂，则（ C ） [解析： ] A. B. C. D. 1．【难度2】设地球是半径为R的均匀球体，质量为M，若把质量为m的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为(　A　) A．零　　　　 B．无穷大 C．G D．无法确定 [解析：把物体放到地球的中心，此时F＝G已不适用，地球的各部分对物体的吸引力是对称的，故物体受到的地球的万有引力是零，A对] 2．【难度3】若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证(　B　) A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 　 [解析：若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满足 G＝ma，即加速度a与距离r的平方成反比，由题中数据知，B正确。] 3．【难度3】2019年1月，我国“嫦娥四号”探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　D　) A　　　　 B　　　　 C　　　 D [解析：在“嫦娥四号”探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D，D正确。] 1．【难度3】英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在某双星系统中发现的最小黑洞XTE J1650­500位列其中。若某黑洞的半径R约45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为(　C　) A．108 m/s2 B．1010m/s2 C．1012m/s2 D．1014m/s2 [解析：黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m的物体有G＝mg，又有＝，联立解得g＝，代入数据得重力加速度的数量级为1012 m/s2，C正确。] 2.【难度3.5】设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为(　A　) A．　　 B． C． D． 　 [解析：在赤道上：G－FN＝mR，可得FN＝G－mR；在南极：G＝F′N，联立可得：＝，故选项A正确，B、C、D错误。] 3.【难度4】理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是(　A　) A　　　　 B　　　　　 C　　　 D [解析：在地球表面的物体所受重力和地球的万有引力大小相等，有mg＝G。设地球的密度为ρ，由于地球的质量为M＝ρ·πR3，所以g＝。根据题意有质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，x＜R时物体受到地球的万有引力即为半径等于x的球体在其表面产生的万有引力，g′＝x，当x＜R时，g与x成正比；当x＞R时，g与x的平方成反比。即质量一定的物体受到的引力大小F在地球内部与x成正比，在外部与x的平方成反比，故A正确。] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中物理 必修二 第七章 万有引力与宇宙航行 7.2 万有引力定律 万有引力定律的推导 知识点一 一、行星与太阳间的引力 1．两个理想化模型 行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。 (1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。 (2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。 理想模型的建立 1行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动。太阳：中心天体；行星：环绕天体 2太阳与行星间的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力。 2．太阳对行星的引力： 3．行星对太阳的引力： 4．式中G为比例系数，与太阳、行星都没有关系．太阳与行星间的引力方向沿着二者的连线。 5．结论：太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线． 经过类似的分析过程，即可得出公式F＝G． 6．结论：地面物体受地球的引力，月球所受地球的引力，太阳与行星的引力，遵从相同的规律。 二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2．表达式：F＝G。 3. 引力常量：1．测量者：卡文迪什。 2．数值：G＝6.67408(31)×10－11N·m2/kg2 ；通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。 注：卡文迪什扭秤实验利用了“等效法”和“放大法”。 难点剖析 1．不同星球表面的重力加速度大小一样吗？在同一星球重力加速度随高度如何变化？ 不一样．在某星球表面，由G＝mg，得星球表面的重力加速度g＝，由此知g取决于该星球的质量M和半径R. 在同一星球G＝mg，得g＝。由此知随着高度h的增大，g减小. 万有引力定律的推导 考点一 【例1】(多选)下列叙述正确的是 (　 　) A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝m，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的 B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的 C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的 D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用以上三个公式，都是可以在实验室中得到验证的 【练习1.1】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公式F＝G中G是比例系数，与太阳、行星都没关系。 ( ) (2)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。 ( ) (3)月球绕地球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。 ( ) (4)由于太阳质量大于行星质量，故太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。 ( ) 【练习1.2】(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是(　 　) A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大 B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小 C．由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比 D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力 【练习1.3】太阳对行星的引力提供了行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，这个向心力大小(　 　) A．与行星距太阳的距离成正比 B．与行星距太阳的距离成反比 C．与行星运动的速率的平方成正比 D．与行星距太阳的距离的平方成反比　 万有引力定律的理解 考点二 1．F＝G的适用条件 (1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 2．引力常量G (1)对G值的理解 ①目前引力常量推荐的标准值G＝6.674 08(31)×10－11N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。 ②引力常量有单位，单位符号为N·m2/kg2。 ③因为引力常量G很小，我们日常生活中接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难察觉到物体之间的引力。 (2)引力常量的测定 卡文迪什扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生力矩，如图所示，此力矩与石英丝N力矩平衡。万有引力力矩使T形架转动，T形架转动时带动平面镜M也发生转动，进而使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的距离，进而计算偏转角度。利用石英丝N扭转力矩和扭转角度的关系，求出扭转力矩，从而求出大球和小球间的万有引力。利用F＝G，即G＝，比较准确地得出了G的数值。 (3)引力常量测定的意义 ①卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。 ②引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值。 ③卡文迪什扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法，合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代。 【例2.1】(多选)下列关于万有引力定律的说法中正确的有(　 　) A．万有引力定律是开普勒发现的 B．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用 C．F＝G中的G是由卡文迪什测定的一个比例常数，没有单位 D．F＝G中的r可以是两个质量分布均匀的球体球心间的距离 【例2.2】两个质量均匀的球体，相距r，它们之间的万有引力为1×10－8 N，若它们的质量、距离都增加为原来的两倍，则它们之间的万有引力为(　 　) A．4×10－8 N　　 B．1×10－8 N C．2×10－8 N D．8×10－8 N 【练习2.1】对于万有引力定律的数学表达式F＝G，下列说法中正确的是(　 　) A．公式中G为引力常量，是人为规定的 B．r趋近零时，万有引力趋于无穷大 C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关 D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 【练习2.2】(多选)关于引力常量，下列说法正确的是(　 　) A．引力常量是两个质量为1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力 B．牛顿发现了万有引力定律，测出了引力常量的值 C．引力常量的确定，证明了万有引力的存在 D．引力常量的确定，使人们可以测出天体的质量 【练习2.3】要使两物体间的引力减小到原来的，下列方法可行的是(　 　) A．两物体的距离不变，质量各减小为原来的一半 B．两物体的距离变为原来的2倍，质量各减为原来的一半 C．两物体的质量变为原来的一半，距离也减为原来的一半 D．两物体的质量都变为原来的2倍，距离不变　 【练习2.4】如图M、N为两个完全相同的质量分布均匀的小球，AB为MN连线的中垂线，有一质量为m的小球从MN连线的中点O沿OA方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是(　 　) A． 一直增大 B．一直减小 C．先减小、后增大 D．先增大、后减小　 万有引力与重力的关系 考点三 1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝G。 2．万有引力有两个分力：除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果。 3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2。 (2)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。 (3)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。 4．重力、重力加速度与高度的关系 (1)地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝。 (2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度的重力加速度g＝。 5．在天体问题的处理过程中，经常利用地面处的重力数值确定其他位置或其他天体的有关物理量 因此，关系式mg＝尤为重要，由此可确定地球的其他位置或其他天体上物体的重力或重力加速度与地面上的关系．该关系式称为“黄金代换”． 【例3.1】1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g： (1)求这个小行星表面的重力加速度； (2)在距小行星表面20m处，让质量为m＝60 kg 的物体自由下落，求物体下落到该行星表面所用的时间； (3)物体在小行星上的质量和“重力”与地球上的是否相同？ (已知地球表面重力加速度g地＝10 m/s2) 【练习3.1】设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为(　 　) A．1　　　　 B．1/9　　　　 C．1/4　　　　 D．1/16 【练习3.2】假设有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，忽略地球与星球的自转，则该星球的质量是地球质量的(　 　) A． B．4倍 C．16倍 D．64倍 【例3.2】如图火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度) 【练习3.3】月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的1/6，一根绳子在地球表面能拉着3 kg的重物产生最大为10 m/s2的竖直向上的加速度，g地＝10 m/s2，将重物和绳子均带到月球表面，用该绳子能使重物产生竖直向上的最大加速度为(　 　) A．60 m/s2 B．20 m/s2 C．18.3 m/s2 D．10 m/s2　 【练习3.4】一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(　 　) A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．一半 【练习3.5】已知月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8.求： (1)在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直向上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？ (2)在距月球和地球表面相同高度处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？ 【例3.3】某星球“一天”的时间是T=6h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%，假设该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来.这时星球的“一天”是多少小时? 【练习3.6】(考虑地球自转)如图所示，P、Q为质量相同的两质点，分别置于地球表面的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　 　) A．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 B．P、Q所受地球引力大小相等 C．P、Q做圆周运动的线速度大小相等 D．P所受地球引力大于Q所受地球引力 【练习3.7】假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为(　 　) A．2π B．2π C．2π D．2π 万有引力定律与天体的运动 考点四 天体的运动一般看作匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供．即F引＝＝ma向，而a向＝＝ω2r＝ωv＝r＝4π2f2r，因此应用万有引力定律解决天体的有关问题，主要有以下几个度量关系： F引＝＝mg＝ma向＝m＝mω2r＝mωv＝m·r＝m·4π2f2r. 称为“黄金代换”． 【例4.1】某人造地球卫星质量为m，绕地球运动的轨迹为椭圆．已知它在近地点距地面高度为h1，速度为v1，加速度为a1；在远地点距地面高度为h2，速度为v2.已知地球半径为R，求该卫星在远地点的加速度a2. 【练习4.1】两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为(　 　) A．1　　　 B．　　　 C．　　　 D．　 【练习4.2】(多选)如图三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是(　 　) A．地球对一颗卫星的引力大小为 B．一颗卫星对地球的引力大小为 C．两颗卫星之间的引力大小为 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 【例4.2】地球以T的周期进行自转，若使地球不因自转而瓦解，地球的密度至少应该为多少？ 【练习4.3】（多选）组成星球的物质是靠万有引力吸引在一起的，星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为r，密度为ρ，质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，下列表达式中正确的是( ) A． B． C． D． 万有引力定律与填补法 考点五 仔细观察挖去部分及完整体的形状特点，可知，完整部分与质点以及挖去部分与质点间万有引力均可用公式计算，由此联想到利用等割补的方式先将剩余部分还原为完整体，计算出万有引力，然后计算出割去部分与质点间的万有引力，两者之差即为所求． 【注意】：均匀球壳对内部的所有质点的万有引力的合力为零 【例5.1】（填补法）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大？ 【例5.2】如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零) ( ) A． B． C． D．0 【练习5.1】如果【例5.1】中的球穴挖在大球的正中央如图所示，且挖去小球的半径是大球半径的，试求剩余部分对球外质量为m的质点的引力大小. 【练习5.2】如图所示，O为地球的球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的点，AB=d，将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R。设想挖掉以B为球心、以为半径的球。若忽略地球的自转，则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为( ) A． B． C． D． 【练习5.2】某地区的地下发现天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(其中k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是( ) A． B． C． D． 课后巩固 1．【难度2】（多选）对于万有引力公式F＝G，下列说法中正确的是(　 　) A．当两个物体之间的距离趋近于零时，F趋于无穷大 B．只要两个物体是球体，就可用上式求解万有引力 C．只有两个物体看成质点时，才可用上式求两个物体间的万有引力 D．任何两个物体都存在万有引力　 2．【难度2.5】如图两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为(　 　) A．G　　　　 B．G C．G D．G 3．【难度2.5】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的(　 　) A．0.25倍 B．0.5倍 C．2.0倍 D．4.0倍　 4．【难度2.5】一个物体在地球表面所受的重力为G，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为(　 　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 5．【难度2.5】苹果自由落向地面时加速度的大小为g，在离地面高度等于地球半径处做匀速圆周运动的人造卫星的向心加速度为(　 　) A．g B．g C．g D．无法确定　 6．【难度3】地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g，则该处距地球表面的高度为(　 　) A．(－1)R B．R C．R D．2R 7．【难度3】火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为50 kg。求：(地球表面的重力加速度g取10 m/s2) (1)在火星上宇航员所受的重力为多少？ (2)宇航员在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？ 8．【难度3】某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h处平抛一物体，射程为60 m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度v0平抛同一物体，射程应为( ) A.10 m B.15 m C.90 m D.360 m 9.【难度3】某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压的力为90 N 时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103 km，g表示重力加速度，g取10 m/s2) 10.【难度3】如图所示有一半径为2R、密度为ρ的均匀球体A，现在从A中挖去一半径为R的球体B，放置在距离球心O为5R的地方，剩下部分A对B的万有引力为F₁.若将挖空的地方注满密度为的某种液体，被注液体的球体A对B的万有引力为F₂，则（ ） A. B. C. D. 1．【难度2】设地球是半径为R的均匀球体，质量为M，若把质量为m的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为(　 　) A．零　　　　 B．无穷大 C．G D．无法确定 2．【难度3】若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证(　 　) A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 　 3．【难度3】2019年1月，我国“嫦娥四号”探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　 　) A　　　　 B　　　　 C　　　 D 1．【难度3】英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在某双星系统中发现的最小黑洞XTE J1650­500位列其中。若某黑洞的半径R约45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为(　 　) A．108 m/s2 B．1010m/s2 C．1012m/s2 D．1014m/s2 2.【难度3.5】设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为(　 　) A．　　 B． C． D． 3.【难度4】理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是(　 　) A　　　　 B　　　　　 C　　　 D 1 学科网（北京）股份有限公司 $$