7.1 行星的运动-【无畏物理】2024-2025学年高一物理同步学案（人教版2019必修二）

高中物理 必修二 第七章 万有引力与宇宙航行 7.1行星的运动 开普勒运动定律 知识点一 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量 [注意]：不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的。 要点一 ：开普勒行星运动定律适用于各种天体系统 1．来源：开普勒行星运动定律是在研究行星绕太阳转动，在前人大量地准确观测数据的基础上，利用高超的数学技巧总结出的定律． 2．适用对象：虽然定律来自于行星的规律探究，但实践证明该定律同样适用于其他天体系统，如绕某一行星运动的卫星。 要点二 ：对开普勒行星运动定律的理解 1．由开普勒第一定律可知，不同行星绕太阳运行时的轨道是不同的，它们的半长轴也各不相同． 2．由开普勒第二定律可知：行星从近日点向远日点运动时，其速率减小，由远日点向近日点运动时其速率增大． 3．由开普勒第三定律可知：太阳系中任何两个行星均满足：＝＝k，k值的大小与行星无关，而仅与太阳有关．本定律也适用于圆形轨道，只要把半径看成半长轴，即可知道公转周期与半径的关系＝k.在应用开普勒第三定律解题时，要注意不同的天体系统中k值不同．k值的大小只与被环绕的中心天体有关，也就是说中心天体不同的系统，k值是不同的，在中心天体相同的系统里k值是相同的． 4．开普勒三定律是根据行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，其每一条都是经验定律. 行星运动的近似处理 知识点二 1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。 2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动。 3．所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k。 4. 很短一段时间内，可认为行星在近日点和远日点都做圆周运动， 根据弧长公式l＝Rθ和扇形面积公式S＝lR知，S＝R2θ. 开普勒三定律的理解 考点一 【例1.1】(多选)关于行星绕太阳运动的说法正确的是( 　) A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点 B．太阳系中的八大行星的轨道有的是圆形，并不都是椭圆 C．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向 D．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 【例1.2】关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是(　 　) A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C．离太阳越近的行星的运动周期越长 D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 【练习1.1】关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　 　) A．开普勒在牛顿运动定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 【练习1.2】关于开普勒行星运动定律的描述，下列说法中正确的是(　 　) A．所有行星的轨道的半长轴的二次方跟它的公转周期的三次方的比值都相等 B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 D．行星绕太阳运动的速度大小不变 【练习1.3】（多选）月球沿近似于圆的椭圆轨道绕地球运动，其公转周期是27天，关于月球的下列说法正确的是(　 　) A．绕地球运动的角速度不变 B．近地点处线速度大于远地点处的线速度 C．近地点处加速度大于远地点处加速度 D．其椭圆轨道半长轴的立方与公转周期的平方之比是一个与月球质量有关的常数　 开普勒第二定律 考点二 【例2.1】(多选)如图所示是行星m绕恒星M运动的示意图，下列说法正确的是(　 　) A．行星m的速度最大点是A点 B．行星m的速度最大点是C点 C．行星m从A点运动到B点做减速运动 D．行星m从B点运动到A点做减速运动 【例2.2】如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点距太阳距离为a，近日点距太阳距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时速率vb为(　 　) A．vb＝va B．vb＝ va C．vb＝va D．vb＝ va　 【练习2.1】(多选)如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，A为远日点，离太阳的距离为a，B为近日点，离太阳的距离为b，行星过远日点时的速率为va，过近日点时的速率为vb。已知图中的两个阴影部分的面积相等，则(　 　) A．vb＝va B．vb＝va C．行星从A到A′的时间小于从B到B′的时间 D．太阳一定在该椭圆的一个焦点上 【练习2.2】某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于(　 　) A．B　　 B．F1　　 C．A　　 D．F2 【练习2.3】我国发射的第一颗人造卫星，其近地点高度是h1 ，远地点高度h2，求在近地点与远地点的卫星运动速率之比v1∶v2.(已知R地，结果用h1、h2、R地表示)． 开普勒第三定律 考点三 【例3.1】行星的运动可看作匀速圆周运动，则行星绕太阳运动的轨道半径R的三次方与周期T的平方的比值为常量，即＝k，下列说法正确的是(　 　) A．公式＝k只适用于围绕太阳运行的行星 B．围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等 C．k值与被环绕星球的质量和行星或卫星的质量都有关系 D．k值仅由被环绕星球的质量决定 【例3.2】如图所示，2006年8月24日晚，国际天文学联合会大会投票，通过了新的行星定义，冥王星被排除在行星行列之外，太阳系行星数量将由九颗减为八颗．若将八大行星绕太阳运行的轨迹粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如下表所示从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近(　 　) 行星名称 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 星球半径(×106 m) 2.44 6.05 6.37 3.39 69.8 58.2 23.7 22.4 轨道半径(×1011 m) 0.579 1.08 1.50 2.28 7.78 14.3 28.7 45.0 A．80年 B．120年 C．165年 D．200年　 【练习3.1】（多选）关于开普勒行星运动的公式＝k，下列理解正确的是(　 　) A．k是一个与行星无关的量 B．若地球绕太阳轨道的半长轴为a地，周期为T地；月球绕地球轨道的半长轴为a月，周期为T月，则＝ C．T表示行星运动的自转周期 D．T表示行星运动的公转周期　 【练习3.2】某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的1/3，则此卫星运行的周期大约是(　 　) A．1～4天之间 B．4～8天之间 C．8～16天之间 D．16～20天之间　 【练习3.3】如图某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是(　 　) A．天　　　 B．天　　　 C．1天　　　 D．9天 【练习3.4】已知海王星绕太阳运转的平均轨道半径为4.50×1012 m，地球绕太阳公转的平均轨道半径为1.49×1011 m，试估算海王星绕太阳运转的周期． 【例4】月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，其运行周期约为27天．现应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多高时，人造地球卫星可随地球一起转动，就像其停留在天空中不动一样．若两颗人造卫星绕地球做圆周运动，周期之比为1∶8，则它们轨道半径之比是多少？(已知R地＝6.4×103 km) 【练习4.1】木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍，那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道的半长轴的多少倍？ 【练习4.2】阋神星是一个已知最大的属于柯伊伯带及海王星外天体的矮行星，因观测估算比冥王星大，在公布发现时曾被其发现者和NASA等组织称为“第十大行星”。若将地球和阋神星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知阋神星绕太阳运行一周的时间约为557年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则阋神星绕太阳运行的轨道半径约为(　 　) A．R　 B．R C．R D．557R 【练习4.3】太阳系八大行星公转轨道可近似看做圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比．地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为(　 　) 水星 金星 地球 火星 木星 土星 公转周期(年) 0.241 0.615 1.0 1.88 11.86 29.5 A．1.2亿千米 B．2.3亿千米 C．4.6亿千米 D．6.9亿千米　 课后巩固 1．【难度2】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动。 ( ) (2)所有行星绕太阳运转的周期都是相等的。 ( ) (3)在中学阶段可认为地球围绕太阳做圆周运动。 ( ) (4)公式＝k中的a可认为是行星的轨道半径。 ( ) 2．【难度2】下述说法中正确的有(　 　) A．一天24 h，太阳以地球为中心转动一周是公认的事实 B．由开普勒定律可知，各行星都分别在以太阳为圆心的各圆周上做匀速圆周运动 C．太阳系的八颗行星中，水星离太阳最近，由开普勒第三定律可知其运动周期最小 D．月球也是行星，它绕太阳一周需一个月的时间 3．【难度2】哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆，下列说法中不正确的是(　 　) A．彗星在近日点的速率大于在远日点的速率 B．彗星在近日点的角速度大于在远日点的角速度 C．彗星在近日点的向心加速度大于在远日点的向心加速度 D．若彗星周期为75年，则它的半长轴是地球公转半径的75倍　 4．【难度2】(多选)如图所示，“嫦娥三号”绕月球沿椭圆轨道运行，绕行方向为逆时针方向，A、B分别为近月点和远月点，C是轨道上到A、B距离相等的点，则下列说法正确的是(　 　) A．“嫦娥三号”从A点到B点运行速率逐渐增大 B．“嫦娥三号”从A点到B点运行速率逐渐减小 C．“嫦娥三号”从A点到C点的运行时间等于四分之一周期 D．“嫦娥三号”从A点到C点的运行时间小于四分之一周期 5．【难度2.5】一恒星系统中，行星a绕恒星做圆周运动的公转周期是0.6年，行星b绕恒星做圆周运动的公转周期是1.9年，根据所学知识比较两行星到恒星的距离关系(　 　) A．行星a距离恒星近 B．行星b距离恒星近 C．行星a和行星b到恒星的距离一样 D．条件不足，无法比较 6．【难度2.5】太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图像中正确的是(　 　) A　　　　 B　　　　 C　　 D　 7．【难度3】两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半径和运动速率之比分别为(　 　) A．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2 B．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝2∶1 C．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝1∶2 D．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝2∶1　 8．【难度3】假设行星绕太阳运动的轨道是圆形，火星与太阳的距离比地球与太阳的距离大53%，试确定火星上一年是多少地球年？ 9．【难度3】地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律(即＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴)估算。它下次飞近地球是哪一年？ 1．【难度3】已知两个行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 1．【难度3】(多选)太阳系中的第二大行星——土星的卫星众多，目前已发现达数十颗。下表是有关土卫五和土卫六两颗卫星的一些参数。则两卫星相比较，下列判断正确的是(　 　) 卫星 距土星的距离/km 半径/km 质量/kg 发现者 发现年代 土卫五 527 000 765 2.49×1021 卡西尼 1672 土卫六 1 222 000 2 575 1.35×1023 惠更斯 1655 A．土卫五的公转周期较小 B．土卫六的转动角速度较大 C．土卫六的向心加速度较小 D．土卫五的公转速度较大 2．【难度3】飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求： （1）飞船由A点运动到B点所需要的时间。 （2）飞船在半径为R的圆周轨道与椭圆轨道上运行时的周期之比为多少？ 3．【难度4】2019年11月11日出现了难得一见的“水星凌日”现象.水星轨道在地球轨道内侧，某些特殊时刻，地球、水星、太阳会在一条直线上，这时从地球上可以看到水星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动，天文学称之为“水星凌日”.在地球上每经过N年就会看到“水星凌日”现象.通过位于贵州的“中国天眼”FAST(目前世界上口径最大的单天线射电望镜)观测水星与太阳的视角(观察者分别与水星、太阳连线所夹的角)为θ，则sinθ的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中物理 必修二 第七章 万有引力与宇宙航行 7.1行星的运动 开普勒运动定律 知识点一 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量 [注意]：不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的。 要点一 ：开普勒行星运动定律适用于各种天体系统 1．来源：开普勒行星运动定律是在研究行星绕太阳转动，在前人大量地准确观测数据的基础上，利用高超的数学技巧总结出的定律． 2．适用对象：虽然定律来自于行星的规律探究，但实践证明该定律同样适用于其他天体系统，如绕某一行星运动的卫星。 要点二 ：对开普勒行星运动定律的理解 1．由开普勒第一定律可知，不同行星绕太阳运行时的轨道是不同的，它们的半长轴也各不相同． 2．由开普勒第二定律可知：行星从近日点向远日点运动时，其速率减小，由远日点向近日点运动时其速率增大． 3．由开普勒第三定律可知：太阳系中任何两个行星均满足：＝＝k，k值的大小与行星无关，而仅与太阳有关．本定律也适用于圆形轨道，只要把半径看成半长轴，即可知道公转周期与半径的关系＝k.在应用开普勒第三定律解题时，要注意不同的天体系统中k值不同．k值的大小只与被环绕的中心天体有关，也就是说中心天体不同的系统，k值是不同的，在中心天体相同的系统里k值是相同的． 4．开普勒三定律是根据行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，其每一条都是经验定律. 行星运动的近似处理 知识点二 1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。 2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动。 3．所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k。 4. 很短一段时间内，可认为行星在近日点和远日点都做圆周运动， 根据弧长公式l＝Rθ和扇形面积公式S＝lR知，S＝R2θ. 开普勒三定律的理解 考点一 【例1.1】(多选)关于行星绕太阳运动的说法正确的是( AC　) A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点 B．太阳系中的八大行星的轨道有的是圆形，并不都是椭圆 C．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向 D．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 [解析：太阳系中的八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个公共焦点上，选项A正确，B错误；行星的运动是曲线运动，运动方向总是沿着轨道的切线方向，选项C正确；行星从近日点向远日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角大于90°，行星从远日点向近日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角小于90°，选项D错误。] 【例1.2】关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是(　D　) A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C．离太阳越近的行星的运动周期越长 D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 [解析：不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道不同，但有一个共同的焦点，即太阳位置，A、B错误；由开普勒第二定律知，行星离太阳距离小时速度大，距离大时速度小，C错误；运动的周期T与半长轴a满足＝k，D正确。] 【练习1.1】关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　B　) A．开普勒在牛顿运动定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 [解析：开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并没有找出其中的原因，A、C错误，B正确；万有引力定律是牛顿发现的，D错误。] 【练习1.2】关于开普勒行星运动定律的描述，下列说法中正确的是(　C　) A．所有行星的轨道的半长轴的二次方跟它的公转周期的三次方的比值都相等 B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 D．行星绕太阳运动的速度大小不变 [解析：由开普勒第三定律知，绕同一中心天体运动的所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，A错误；开普勒第一定律的内容为所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，B错误，C正确；由开普勒行星运动定律知所有行星分别沿不同的椭圆轨道绕太阳运动，对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，可知行星绕太阳运动的速度大小是变化的，D错误。] 【练习1.3】（多选）月球沿近似于圆的椭圆轨道绕地球运动，其公转周期是27天，关于月球的下列说法正确的是(　BC　) A．绕地球运动的角速度不变 B．近地点处线速度大于远地点处的线速度 C．近地点处加速度大于远地点处加速度 D．其椭圆轨道半长轴的立方与公转周期的平方之比是一个与月球质量有关的常数　 [解析：由开普勒第二定律知，A错误，B正确；加速度由万有引力提供，根据＝ma知，C正确；由开普勒第三定律知，＝k，而k与月球的质量无关，故D错误．] 开普勒第二定律 考点二 【例2.1】(多选)如图所示是行星m绕恒星M运动的示意图，下列说法正确的是(　AC　) A．行星m的速度最大点是A点 B．行星m的速度最大点是C点 C．行星m从A点运动到B点做减速运动 D．行星m从B点运动到A点做减速运动 [解析：由开普勒第二定律可推知，近恒星处行星速度大而远恒星处速度小，故行星在A点速度最大，B点最小，行星m由A点运动到B点做减速运动，由B点运动到A点做加速运动，故A、C正确。] 【例2.2】如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点距太阳距离为a，近日点距太阳距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时速率vb为(　C　) A．vb＝va B．vb＝ va C．vb＝va D．vb＝ va　 [解析：若行星从轨道的A点经足够短的时间t移动到A′点，与太阳的连线扫过的面积可表示为SA＝；若行星从轨道的B点也经时间t而到B′点，与太阳的连线扫过的面积可表示为SB＝，由开普勒第二定律得＝，即vb＝va，C正确．故选C.] 【练习2.1】(多选)如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，A为远日点，离太阳的距离为a，B为近日点，离太阳的距离为b，行星过远日点时的速率为va，过近日点时的速率为vb。已知图中的两个阴影部分的面积相等，则(　BD　) A．vb＝va B．vb＝va C．行星从A到A′的时间小于从B到B′的时间 D．太阳一定在该椭圆的一个焦点上 [解析：取极短时间Δt，根据开普勒第二定律得a·va·Δt＝b·vb·Δt，得到vb＝va，故A错误，B正确；已知图中的两个阴影部分的面积相等，那么它们的运动时间相等，故C错误；由开普勒第一定律可知太阳一定在该椭圆的一个焦点上，故D正确。] 【练习2.2】某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于(　B　) A．B　　 B．F1　　 C．A　　 D．F2 [解析：根据开普勒第二定律，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。行星在近日点速率大于在远日点速率，即A为近日点，B为远日点，太阳位于F1，故B正确。] 【练习2.3】我国发射的第一颗人造卫星，其近地点高度是h1 ，远地点高度h2，求在近地点与远地点的卫星运动速率之比v1∶v2.(已知R地，结果用h1、h2、R地表示)． [解析：根据开普勒第二定律：地球和卫星的连线在相等时间内扫过相同的面积． 卫星近地点和远地点在Δt内扫过的面积分别为Rθ1和Rθ2， 则Rθ1＝Rθ2 即Rω1Δt＝Rω2Δt又v＝Rω 故v1R1＝v2R2 所以＝＝] 开普勒第三定律 考点三 【例3.1】行星的运动可看作匀速圆周运动，则行星绕太阳运动的轨道半径R的三次方与周期T的平方的比值为常量，即＝k，下列说法正确的是(　D　) A．公式＝k只适用于围绕太阳运行的行星 B．围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等 C．k值与被环绕星球的质量和行星或卫星的质量都有关系 D．k值仅由被环绕星球的质量决定 [解析：公式＝k适用于所有环绕天体围绕中心天体的运动，故A错误；围绕同一星球运行的行星或卫星，k值相等；围绕不同星球运行的行星或卫星，k值不相等，故B错误；常数k是由中心天体质量决定的，即仅由被环绕星球的质量决定，故C错误，D正确。] 【例3.2】如图所示，2006年8月24日晚，国际天文学联合会大会投票，通过了新的行星定义，冥王星被排除在行星行列之外，太阳系行星数量将由九颗减为八颗．若将八大行星绕太阳运行的轨迹粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如下表所示从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近(　C　) 行星名称 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 星球半径(×106 m) 2.44 6.05 6.37 3.39 69.8 58.2 23.7 22.4 轨道半径(×1011 m) 0.579 1.08 1.50 2.28 7.78 14.3 28.7 45.0 A．80年 B．120年 C．165年 D．200年　 [解析：设海王星绕太阳运行的平均轨道半径为R1，周期为T1，地球绕太阳公转的轨道半径为R2，周期为T2(T2＝1年)，由开普勒第三定律有＝，故T1＝ ·T2＝164年．] 【练习3.1】（多选）关于开普勒行星运动的公式＝k，下列理解正确的是(　AD　) A．k是一个与行星无关的量 B．若地球绕太阳轨道的半长轴为a地，周期为T地；月球绕地球轨道的半长轴为a月，周期为T月，则＝ C．T表示行星运动的自转周期 D．T表示行星运动的公转周期　 [解析：＝k是指围绕太阳的行星或者指围绕某一行星的卫星半长轴与周期的的关系，T是公转周期，k是一个与环绕星体无关的量，只与被环绕的中心天体有关，中心天体不同，其值不同，只有围绕同一天体运动的行星或卫星，它们半长轴的三次方与公转周期的二次方之比才是同一常数．故≠.] 【练习3.2】某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的1/3，则此卫星运行的周期大约是(　B　) A．1～4天之间 B．4～8天之间 C．8～16天之间 D．16～20天之间　 [解析：由开普勒第三定律可得＝，即T卫＝，又因为T月≈27天，所以T卫＝天≈5.2天，B对] 【练习3.3】如图某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是(　C　) A．天　　　 B．天　　　 C．1天　　　 D．9天 [解析：由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律＝，可得T卫＝1天，故C正确。] 【练习3.4】已知海王星绕太阳运转的平均轨道半径为4.50×1012 m，地球绕太阳公转的平均轨道半径为1.49×1011 m，试估算海王星绕太阳运转的周期． [解析：设海王星绕太阳运转的平均轨道半径为R1，周期为T1，地球绕太阳公转的轨道半径为R2，周期为T2，由开普勒第三定律有＝ 故T1＝ ·T2＝ ×1年＝166年．] 【例4】月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，其运行周期约为27天．现应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多高时，人造地球卫星可随地球一起转动，就像其停留在天空中不动一样．若两颗人造卫星绕地球做圆周运动，周期之比为1∶8，则它们轨道半径之比是多少？(已知R地＝6.4×103 km) [解析：设人造地球卫星运动的半径为R，周期为T＝1天，根据开普勒第三定律有＝k，同理设月球轨道半径为R′，周期为T′，也有＝k 由以上两式可得＝ R＝ ＝ ＝6.67R地 在赤道平面内离地面高度H＝R－R地＝6.67R地－R地＝5.67R地＝5.67×6.4×103 km＝3.63×104 km. 由开普勒第三定律＝ 又因为T1∶T2＝1∶8，解得R1∶R2＝1∶4] 【练习4.1】木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍，那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道的半长轴的多少倍？ [解析：木星、地球绕着太阳沿不同的椭圆轨道运动，太阳在它们的椭圆轨道的一个焦点上．设木星、地球运动的周期分别为T1、T2，它们轨道的半长轴分别为a1、a2，根据开普勒第三定律得：＝则＝ ＝≈5.24] 【练习4.2】阋神星是一个已知最大的属于柯伊伯带及海王星外天体的矮行星，因观测估算比冥王星大，在公布发现时曾被其发现者和NASA等组织称为“第十大行星”。若将地球和阋神星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知阋神星绕太阳运行一周的时间约为557年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则阋神星绕太阳运行的轨道半径约为(　C　) A．R　 B．R C．R D．557R [解析：由开普勒第三定律＝，得r阋＝R，C正确。] 【练习4.3】太阳系八大行星公转轨道可近似看做圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比．地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为(　B　) 水星 金星 地球 火星 木星 土星 公转周期(年) 0.241 0.615 1.0 1.88 11.86 29.5 A．1.2亿千米 B．2.3亿千米 C．4.6亿千米 D．6.9亿千米　 [解析：由开普勒第三定律＝k知＝，故r火＝r地 ＝2.3亿千米．] 课后巩固 1．【难度2】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动。 (×) (2)所有行星绕太阳运转的周期都是相等的。 (×) (3)在中学阶段可认为地球围绕太阳做圆周运动。 (√) (4)公式＝k中的a可认为是行星的轨道半径。 (√) 2．【难度2】下述说法中正确的有(　C　) A．一天24 h，太阳以地球为中心转动一周是公认的事实 B．由开普勒定律可知，各行星都分别在以太阳为圆心的各圆周上做匀速圆周运动 C．太阳系的八颗行星中，水星离太阳最近，由开普勒第三定律可知其运动周期最小 D．月球也是行星，它绕太阳一周需一个月的时间 [解析：地球以太阳为中心转动是公认的事实，故A错误；各行星都分别在以太阳为焦点，做椭圆运动，故B错误；由开普勒第三定律＝k可知：水星离太阳最近，则运动的周期最小，故C正确；月球是地球的卫星，它绕地球一周需一个月的时间，故D错误。] 3．【难度2】哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆，下列说法中不正确的是(　D　) A．彗星在近日点的速率大于在远日点的速率 B．彗星在近日点的角速度大于在远日点的角速度 C．彗星在近日点的向心加速度大于在远日点的向心加速度 D．若彗星周期为75年，则它的半长轴是地球公转半径的75倍　 [解析：根据开普勒第二定律，为使相等时间内扫过的面积相等，则应保证在近日点与远日点相比在相同时间内走过的弧长要大．因此在近日点慧星的线速度(即速率)、角速度都较大，故A、B正确．而向心加速度a＝，在近日点，v大、R小，因此a大，故C正确．根据开普勒第三定律＝k，则＝＝752，即a1＝a2，D错误] 4．【难度2】(多选)如图所示，“嫦娥三号”绕月球沿椭圆轨道运行，绕行方向为逆时针方向，A、B分别为近月点和远月点，C是轨道上到A、B距离相等的点，则下列说法正确的是(　BD　) A．“嫦娥三号”从A点到B点运行速率逐渐增大 B．“嫦娥三号”从A点到B点运行速率逐渐减小 C．“嫦娥三号”从A点到C点的运行时间等于四分之一周期 D．“嫦娥三号”从A点到C点的运行时间小于四分之一周期 [解析：根据开普勒第二定律可知，“嫦娥三号”从A点到B点运行速率逐渐减小，选项A错误，B正确；“嫦娥三号”从A点到C点运行的平均速率大于从C点到B点运行的平均速率，可知从A点到C点运行时间小于四分之一周期，选项C错误，D正确。] 5．【难度2.5】一恒星系统中，行星a绕恒星做圆周运动的公转周期是0.6年，行星b绕恒星做圆周运动的公转周期是1.9年，根据所学知识比较两行星到恒星的距离关系(　A　) A．行星a距离恒星近 B．行星b距离恒星近 C．行星a和行星b到恒星的距离一样 D．条件不足，无法比较 [解析：根据开普勒第三定律＝可知ra＜rb，故A正确。] 6．【难度2.5】太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图像中正确的是(　D　) A　　　　 B　　　　 C　　 D　 [解析：由开普勒第三定律知＝k，所以R3＝kT2，D正确。] 7．【难度3】两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半径和运动速率之比分别为(　D　) A．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2 B．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝2∶1 C．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝1∶2 D．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝2∶1　 [解析：因＝k所以R∝，由TA∶TB＝1∶8，得RA∶RB＝1∶4 又v＝所以vA∶vB＝·＝2∶1 故选D] 8．【难度3】假设行星绕太阳运动的轨道是圆形，火星与太阳的距离比地球与太阳的距离大53%，试确定火星上一年是多少地球年？ [解析：设地球距太阳距离为R，则火星距太阳为R火＝R＋0.53 R＝1.53 R 由开普勒第三定律＝k，得＝，代入已知量得T火＝1.9T地.] 9．【难度3】地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律(即＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴)估算。它下次飞近地球是哪一年？ [解析：由＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴，k是对太阳系中的任何行星都适用的常量。可以根据已知条件列方程求解。将地球的公转轨道近似成圆形轨道，其周期为T1，半径为r1；哈雷彗星的周期为T2，轨道半长轴为r2，则根据开普勒第三定律有：＝因为r2＝18r1，地球公转周期为1年，所以可知哈雷彗星的周期为T2＝×T1＝76.4年，所以它下次飞近地球是在2062年。] 1．【难度3】已知两个行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为(　C　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ [解析：由开普勒第三定律＝k，分析得C项正确．] 1．【难度3】(多选)太阳系中的第二大行星——土星的卫星众多，目前已发现达数十颗。下表是有关土卫五和土卫六两颗卫星的一些参数。则两卫星相比较，下列判断正确的是(　ACD　) 卫星 距土星的距离/km 半径/km 质量/kg 发现者 发现年代 土卫五 527 000 765 2.49×1021 卡西尼 1672 土卫六 1 222 000 2 575 1.35×1023 惠更斯 1655 A．土卫五的公转周期较小 B．土卫六的转动角速度较大 C．土卫六的向心加速度较小 D．土卫五的公转速度较大 [解析：比较同一个行星的两卫星的运动情况，其方法和比较太阳的任意两颗行星的运动情况的方法一样。卫星本身的大小、形状与其运动快慢无关。筛选所给的信息，其重要信息是卫星离土星的距离。设卫星运动轨道是圆形的，且是匀速圆周运动，根据开普勒第三定律：轨道半径的三次方与公转周期的二次方的比值相等，故A正确；土卫六的周期较大，则由匀速圆周运动的知识得土卫六的角速度较小，故B错误；根据匀速圆周运动向心加速度公式a＝ω2r＝r及开普勒第三定律＝k，得a＝r＝4π2·k·，可知半径大的向心加速度小，故C正确；由于v＝＝2π＝2π，由推理可知，轨道半径小的卫星，其运动速度大，故D正确。] 2．【难度3】飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求： （1）飞船由A点运动到B点所需要的时间。 （2）飞船在半径为R的圆周轨道与椭圆轨道上运行时的周期之比为多少？ 思路点拨：分析该题的关键是：①开普勒第三定律对圆轨道和椭圆轨道都适用。 ②椭圆轨道的半长轴大小为。 ③飞船由A点运动到B点的时间为其椭圆轨道周期的一半。 [解析：（1）飞船沿椭圆轨道返回地面，由题图可知，飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′ 根据开普勒第三定律有，解得 所以飞船由A点到B点所需要的时间为t＝＝。 （2）由＝k知，T∝。则周期之比为＝。] 3．【难度4】2019年11月11日出现了难得一见的“水星凌日”现象.水星轨道在地球轨道内侧，某些特殊时刻，地球、水星、太阳会在一条直线上，这时从地球上可以看到水星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动，天文学称之为“水星凌日”.在地球上每经过N年就会看到“水星凌日”现象.通过位于贵州的“中国天眼”FAST(目前世界上口径最大的单天线射电望镜)观测水星与太阳的视角(观察者分别与水星、太阳连线所夹的角)为θ，则sinθ的最大值为（ A ） A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$