6.2 向心力& 6.3 向心加速度-【无畏物理】2024-2025学年高一物理同步学案（人教版2019必修二）

高中物理 必修二 第六章 圆周运动 6.2 向心力& 6.3 向心加速度 匀速圆周运动 知识点一 1．运动特点 (1)线速度大小不变、方向时刻改变． (2)角速度、周期、频率都恒定不变． (3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变． (4)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期，运动物体都要重新回到原来的位置，其运动状态(如v、a的大小、方向)也要重复原来的情况． 2．受力特点 (1)合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． (2)匀速圆周运动只存在向心加速度，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力．(F合＝F向) 3．向心力的来源：匀速圆周运动中，向心力等于物体的合外力，常等效为三种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力。 向心力来源 实例分析 重力提供向心力 如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供 弹力提供向心力 如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的O点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供 摩擦力提供向心力 如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外 合力提供向心力 如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供 分力提供向心力 如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供 4．分析匀速圆周运动的思路和方法 (1)指导思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力．而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础．解决方法就是解决动力学问题的一般方法． (2)一般步骤： ①明确研究对象并对其受力分析． ②明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置，进一步求出物体所受的合力或向心力． ③由牛顿第二定律和圆周运动的运动学公式列方程． ④求解或分析讨论． 向心力 知识点二 1．定义 做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。 2．方向 向心力的方向始终沿半径指向圆心。 注意：1向心力的方向时刻在变，向心力是变力。 2向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 3. 公式：Fn＝mω2r或者Fn＝m或。 4．作用效果 向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直，所以向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小． 向心加速度 知识点三 1．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。 2．向心加速度方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。 3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。 4．向心加速度的大小： (1)基本公式an＝＝ω2r。 (2)拓展公式an＝·r＝ωv。 变速圆周运动 知识点四 1．变速圆周运动合力的作用效果 (1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。 (2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。 2．匀速圆周运动和变速圆周运动的区别 (1)从曲线运动的条件可知，变速圆周运动所受的合外力与速度方向一定不垂直，当速率增大时，物体受的合外力与瞬时速度之间的夹角是锐角，当速率减小时，物体受到的合外力与速度之间的夹角是钝角． 例如：用一细线系一小球在竖直平面内做变速圆周运动，在向下加速运动过程的某一位置A和向上减速运动过程的某一位置B，小球的受力情况如图所示．比较可见，匀速圆周运动和变速圆周运动受力情况的不同是： 匀速圆周运动：合外力全部用来提供向心力，即F合＝F向． 变速圆周运动：合外力沿着半径方向的分量提供向心力，合外力不指向圆心，一般F合≠F向． 向心力和向心加速度 考点一 【例1.1】(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是(　 　) A．合力的大小不变，方向一定指向圆心 B．合力的大小不变，方向也不变 C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小 D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小 【例1.2】关于向心加速度，下列说法正确的是(　 　) A．向心加速度是描述线速度变化的物理量 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变 D．向心加速度的大小也可用a＝来计算 【例1.3】关于物体随地球自转的加速度大小，下列说法中正确的是(　 　) A．在赤道上最大　　 B．在两极上最大 C．地球上处处相同 D．随纬度的增加而增大 【练习1.1】下列关于向心力的说法中正确的是(　 　) A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用 B．向心力和重力、弹力一样，是性质力 C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力 D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力 【练习1.2】关于向心力的说法中正确的是(　 　) A．物体由于做圆周运动而产生向心力 B．向心力不改变圆周运动物体的速度的大小 C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒定不变的 D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力 【练习1.3】对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是(　 　) A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力 B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小 C．向心力是物体所受的合外力 D．向心力的方向总是不变的 【练习1.4】下列关于向心加速度的说法中正确的是(　 　) A．向心加速度的方向始终指向圆心 B．向心加速度的方向保持不变 C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化 【练习1.5】下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是(　 　) A．向心加速度越大，物体速率变化越快 B．向心加速度越大，物体速度变化越大 C．向心加速度越大，物体速度方向变化越快 D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量 【练习1.6】关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　 　) A．由＝知与r成反比 B．由＝ω2r知与r成正比 C．由ω＝知ω与r成反比 D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比　 【练习1.7】如图一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是(　 　) A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用 B．老鹰受重力和空气对它的作用力 C．老鹰受重力和向心力的作用 D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用 【例1.4】如图所示为在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，关于摆球A的受力情况(忽略空气阻力)，下列说法中正确的是(　 　) A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用 B．摆球A受拉力和向心力的作用 C．摆球A受拉力和重力的作用 D．摆球A受重力和向心力的作用 【练习1.8】如图玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(若忽略摩擦)，这时球受到的力是(　 　) A．重力和向心力 B．重力和支持力 C．重力、支持力和向心力 D．重力 分析向心力来源的思路 (1)明确研究对象。 (2)确定圆周运动所在平面，明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置。 (3)进行受力分析，指向圆心方向的合力即为向心力。 【练习1.9】如图质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g取10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力大小。 【练习1.10】滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s。求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)。 向心力与向心加速度的计算 考点二 【例2.1】如图O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则(　 　) A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度 B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度 C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度 D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度 【练习2.1】(传动装置中的向心加速度)如图为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比(　 　) A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1 C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8 【练习2.2】如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，（1）大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？（2）P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝计算向心加速度。 【例2.2】甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力之比为(　 　) A．1∶4　　 B．2∶3　　 C．4∶9　　 D．9∶16 【练习2.3】甲乙两球均在水平面上做匀速圆周运动，甲球的轨道半径是乙球轨道半径的2倍，甲球的转速是30 r/min，乙球的转速是15 r/min，则两小球的向心加速度之比为(　 　) A．1∶1 B．2∶1 C．8∶1 D．4∶1　 【练习2.4】A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们(　 　) A．线速度大小之比为4∶3 B．角速度大小之比为3∶4 C．圆周运动的半径之比为2∶1 D．向心加速度大小之比为1∶2 水平面内的匀速圆周运动 考点三 【例3.1】如图有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内，已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力． 【练习3.1】如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g。若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0。 【练习3.2】如图竖直固定的圆锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动。以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度大小(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、向心力大小(FA、FB)和对内壁的压力大小(FNA、FNB)的说法正确的是(　 　) A．vA＞vB B．ωA＞ωB C．FA＞FB D．FNA＞FNB 【例3.2】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系． 【练习3.3】如图所示，轻杆的一端拴一小球，另一端与竖直杆铰接。当竖直杆以角速度ω匀速转动时，轻杆与竖直杆张角为θ。下列图像中能正确表示角速度ω与张角θ关系的是(　 　) A B C D 【练习3.4】游乐园中的旋转飞椅可简化为如图所示的模型，乘坐在吊椅上的游客甲和乙的运动均可视为匀速圆周运动，不考虑空气阻力的影响，游客甲和乙的座椅吊绳长度不同，座椅与游客均可视为质点，则吊绳与竖直方向夹角θ较大的游客（ ） A.角速度较大 B.座椅离地面高度较小 C.向心加速度较小 D.所受的向心力较大 【练习3.5】如图“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　 　) A．A的线速度比B的大 B．A与B的向心力大小相等 C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小 【练习3.6】如图半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为(　 　) A．ω2R B．ω2r C．ω2Lsin θ D．ω2(r＋Lsin θ) 【练习3.7】质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω如图，则杆的上端受到的作用力大小为(　 　) A．mω2R B． C． D．不能确定 【例3.3】如图两根长度不同的细绳，一端固定于O点，另一端各系一个相同的小球，两小球恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，则(　 　) A．A球受细绳的拉力较大 B．它们做圆周运动的角速度不相等 C．它们所需的向心力跟轨道半径成反比 D．它们做圆周运动的线速度大小相等 【练习3.8】(多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(即圆锥摆)。现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是(　 　) A．小球P运动的周期变大 B．小球P运动的线速度变大 C．小球P运动的角速度变小 D．Q受到桌面的支持力不变 摩擦力提供向心力 考点四 【例4.1】如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动，关于小强的受力下列说法正确的是(　 　) A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用 B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力 C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力 D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力不变 (1)如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力是否仍指向圆心？ (2)如果小强在P点相对于圆盘竖直跳起，再次落在圆盘上后仍随圆盘转动(圆盘转速保持不变)，小强的受力情况是否发生变化？ 【练习4.1】如图所示，在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是(　 　) A　　　　 B　　　　　C　　　 D 【练习4.2】如图质量为m的物块与转台之间能产生的最大静摩擦力为物块重力的k倍，物块与转轴OO′相距R，随转台由静止开始转动．当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动．则此时转台的角速度为(　 　) A. B. C. D．0 【练习4.3】冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度应为(　 　) A．v＝k B．v≤ C．v≥ D．v≤ 　 【练习4.4】如图所示，圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则(　 　) A．物块A不受摩擦力作用 B．物块B受5个力作用 C．当转速增大时，A受摩擦力增大，B受摩擦力减小 D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴 【例4.2】（摩擦力和拉力如何提供向心力）如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳中张力为零)．物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍．求： (1)当转盘的角速度为ω1＝ 时，绳中的张力多大？ (2)当转盘的角速度为ω2＝ 时，绳中的张力又多大？ 【练习4.5】如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求： (1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度； (2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小。 【练习4.6】如图所示，三个可视为质点的、相同的木块A、B和C放在转盘上，质量均为m,C放在A的上面，A和B两者用长为L的细绳连接，木块与转盘、木块与木块的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O₁O₂转动.开始时，绳恰好伸直无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，下列说法正确的是( ) A.当时，绳子一定有弹力 B.当时，A、B相对于转盘会滑动 C.当时，C受到的摩擦力为kmg D.在范围内增大时，B所受摩擦力不变 【例4.3】如图所示，细绳一端系着质量为M＝0.6 kg的物体，静止在水平盘面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3 kg的物体，M的中心与小孔距离为0.2 m，并知M和水平盘面的最大静摩擦力为2 N．现使此水平盘绕中心轴转动，问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？(g取10 m/s2) 【练习4.7】如图所示，竖直杆连接一水平圆管，质量分别为m₁、m₂的甲、乙两个小球(可视为质点)用一不可伸长的细线相连，甲在管内，乙悬挂在管外，细线穿过管壁上的小孔，圆管在竖直杆的带动下在水平面内做匀速圆周运动，甲球绕着小孔(在杆的正下方)随着圆管一起做匀速圆周运动，乙球静止不动，甲、乙与小孔都不接触，重力加速度为g，不计一切摩擦。甲与小孔的间距为d，甲的动能为Ek，圆管转动的角速度为，乙到小孔的距离为s，则下列说法正确的是（ ） A. B. C.缓慢增大，s减小 D.缓慢增大，s不变 变速圆周运动与一般曲线运动 考点五 【例5】(圆周运动中速度大小与合力方向的关系)如图物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与圆盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是(　 　) A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向 B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向 C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向 D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向 【练习5.1】(多选)如图一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是(　 　) A．绳的拉力 B．重力和绳拉力的合力 C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力 【练习5.2】如图某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则(　 　) A．物体的合力为零 B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O C．物体的合力就是向心力 D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外) 【练习5.3】(多选)如图质量为m的木块，从位于竖直平面内的圆弧形曲面上下滑。由于摩擦力的作用，木块从a到b运动的速率增大，从b到c的速率恰好保持不变，从c到d的速率减小，则(　 　) A．木块在ab段和cd段加速度不为零，但在bc段加速度为零 B．木块在整个ad段加速度都不为零 C．木块所受合力在整个运动过程中大小一定，方向始终指向圆心 D．木块所受合力只在bc段大小不变，方向指向圆心 课后巩固 1.【难度1】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力。 ( ) (2)向心力和重力、弹力一样，是性质力。 ( ) (3)向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力。 ( ) (4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力。 ( ) (5)匀速圆周运动是匀变速运动。 ( ) (6)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变。 ( ) (7)根据an＝知加速度an与半径r成反比。 ( ) (8)根据an＝ω2r知加速度an与半径r成正比。 ( ) 2.【难度1】（多选）做匀速圆周运动的物体所受的向心力是(　 　) A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力 B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小 C．物体所受的合外力 D．向心力和向心加速度的方向都是不变的 3．【难度1】关于圆周运动的概念，以下说法中正确的是(　 　) A．匀速圆周运动是速度恒定的运动 B．做匀速圆周运动的物体，向心加速度越大，物体的速度增加得越快 C．做圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心 D．物体做半径一定的匀速圆周运动时，其线速度与角速度成正比 4．【难度2】如图所示为“感受向心力”的实验，用一根轻绳，一端拴着一个小球，在光滑桌面上抡动细绳，使小球做圆周运动，通过拉力来感受向心力。下列说法正确的是(　 　) A．只减小旋转角速度，拉力增大 B．只加快旋转速度，拉力减小 C．只更换一个质量较大的小球，拉力增大 D．突然放开绳子，小球仍做曲线运动 5．【难度2】如图质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　 　) A．加速度为零 B．加速度恒定 C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心 6．【难度2】一质量为m的小物块，由碗边滑向碗底，该碗的内表面是半径为R的圆弧且粗糙程度不同，由于摩擦力的作用，物块的运动速率恰好保持不变，则(　 　) A．物块的加速度为零 B．物块所受合力为零 C．物块所受合力大小一定，方向改变 D．物块所受合力大小、方向均一定 7．【难度2.5】荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图所示，某同学正在荡秋千，A和B分别为运动过程中的最低点和最高点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是(　 　) A．在A位置时，该同学处于失重状态 B．在B位置时，该同学受到的合力为零 C．在A位置时，该同学对秋千踏板的压力大于秋千踏板对该同学的支持力，处于超重状态 D．由A到B过程中，该同学的向心力逐渐减小 8．【难度3】用材料和粗细相同、长短不同的两段绳子，各拴一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么(　 　) A．两个球以相同的线速度运动时，长绳易断 B．两个球以相同的角速度运动时，长绳易断 C．两个球以相同的角速度运动时，短绳易断 D．不管怎样，都是短绳易断 9．【难度3】如图天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动．系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关系是(　 　) A．FA>FB>mg B．FA<FB<mg C．FA＝FB＝mg D．FA＝FB>mg 10．【难度3】如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是(　A　) A．A、B两点具有相同的角速度 B．A、B两点具有相同的线速度 C．A、B两点的向心加速度方向都指向球心 D．A、B两点的向心加速度数值相同 11．【难度3】 (多选)如图一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是(　 　) A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同 C．线速度vP＞vQ＞vR D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同 12．【难度3】如图O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)(　 　) A．1∶2∶3　　　　　　　　 B．2∶4∶3 C．8∶4∶3 D．3∶6∶2　 13．【难度2】一根长0.5 m的绳，当受到4.9 N的拉力时会被拉断．在绳的一端拴上质量为0.4 kg的小球，使它在光滑的水平面上做匀速圆周运动，求拉断绳子时的角速度． 14.【难度3】(多选)一个小球以大小为an＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径r＝1 m，则下列说法正确的是(　 ) A．小球运动的角速度为2 rad/s B．小球做圆周运动的周期为π s C．小球在t＝ s内通过的位移大小为 m D．小球在π s内通过的路程为零 15．【难度3】（多选）一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R，向心加速度为，则(　 　) A．小球相对于圆心的位移不变 B．小球的线速度为 C．小球在时间t内通过的路程x＝ D．小球做圆周运动的周期T＝2π 16．【难度3】甲、乙两名溜冰运动员，M甲＝80 kg，M乙＝40 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示．两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，下列判断中正确的是(　 　) A．两人的线速度相同，约为40 m/s B．两人的角速度相同，为6 rad/s C．两人的运动半径相同，都是0.45 m D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m 17.【难度3】如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为多少？ 18.【难度3】如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比． 19.【难度3】如图甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体匀速圆周运动的向心加速度． 20．【难度3】如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝2RB，当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上，若将小木块放在B轮上，欲使小木块相对B轮也静止，则小木块距B轮转轴的最大距离为(　 　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．RB 21．【难度3】（多选）如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，已知A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴距离均为R，C离轴距离为2R，则当圆台旋转时(　 　) A．C的向心加速度最大 B．B的摩擦力最小 C．当圆台转速增加时，C比A先滑动 D．当圆台转速增加时，B比A先滑动 22．【难度3.5】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。 (1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2； (2)求绳能承受的最大拉力； (3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？ 1．【难度3】如图在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是(　 　) A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C．物体所受弹力和摩擦力都减小了 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变 2．【难度3】如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线．表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线．由图线可知(　 　) A．质点P的线速度大小不变 B．质点P的角速度大小不变 C．质点Q的角速度随半径变化 D．质点Q的线速度大小不变 3．【难度3】（多选）如图长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的(　 　) A．线速度突然增大 B．角速度突然增大 C．向心加速度突然增大 D．悬线拉力突然增大 4.【难度3】图甲为游乐场中一种叫魔盘的娱乐设施，游客坐在转动的魔盘上，当魔盘转速增大到一定值时，游客就会滑向盘边缘，其装置可以简化为图乙。若魔盘转速缓慢增大，则游客在滑动之前（ ） A.受到魔盘的支持力缓慢增大 B.受到魔盘的摩擦力缓慢减小 C.受到的合外力大小不变 D.受到魔盘的作用力大小变大 1.【难度3】质量为m的飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力大小等于(　 　) A．m　　　　　　 B．m C．m D．mg 2．【难度3】如图长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆随转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ是(重力加速度为g)(　 　) A．sin θ＝ B．tan θ＝ C．sin θ＝ D．tan θ＝ 3．【难度3】如图所示，半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A，一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为R。将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运动到环的最低点时速率为v，这时小球向心加速度的大小为(　 　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 4．【难度3】如图长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为(　 　) A．mg B．mg C．3mg D．2mg 5．【难度3.5】如图一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是(　 　) A． rad/s B．rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s 6．【难度4】如图有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量均为m的小环(可视为质点)，同时从大环两侧的对称位置由静止滑下。当两小环同时滑到大圆环底部时，速度大小都为v，重力加速度为g，则此时大环对轻杆的拉力大小为(　 　) A．(2m＋2M)g B．Mg－ C．2m＋Mg D．2m＋Mg 7．【难度4】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(　 　) 甲　　　　　　　　　乙 A． B． C． D． 8．【难度5】如图甲所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上(细绳能承受足够大的拉力)，A、B、C在同一直线上。t＝0时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在0≤t≤10 s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图乙所示，则下列说法正确的有(　 　) 甲　　　　　　 乙 A．小球的速率越来越大 B．细绳第三次到第四次撞击钉子经历的时间是4 s C．在t＝13.5 s时，细绳的拉力为7.5 N D．细绳每撞击一次钉子，小球运动的半径减小绳长的 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中物理 必修二 第六章 圆周运动 6.2 向心力& 6.3 向心加速度 匀速圆周运动 知识点一 1．运动特点 (1)线速度大小不变、方向时刻改变． (2)角速度、周期、频率都恒定不变． (3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变． (4)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期，运动物体都要重新回到原来的位置，其运动状态(如v、a的大小、方向)也要重复原来的情况． 2．受力特点 (1)合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． (2)匀速圆周运动只存在向心加速度，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力．(F合＝F向) 3．向心力的来源：匀速圆周运动中，向心力等于物体的合外力，常等效为三种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力。 向心力来源 实例分析 重力提供向心力 如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供 弹力提供向心力 如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的O点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供 摩擦力提供向心力 如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外 合力提供向心力 如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供 分力提供向心力 如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供 4．分析匀速圆周运动的思路和方法 (1)指导思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力．而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础．解决方法就是解决动力学问题的一般方法． (2)一般步骤： ①明确研究对象并对其受力分析． ②明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置，进一步求出物体所受的合力或向心力． ③由牛顿第二定律和圆周运动的运动学公式列方程． ④求解或分析讨论． 向心力 知识点二 1．定义 做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。 2．方向 向心力的方向始终沿半径指向圆心。 注意：1向心力的方向时刻在变，向心力是变力。 2向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 3. 公式：Fn＝mω2r或者Fn＝m或。 4．作用效果 向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直，所以向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小． 向心加速度 知识点三 1．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。 2．向心加速度方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。 3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。 4．向心加速度的大小： (1)基本公式an＝＝ω2r。 (2)拓展公式an＝·r＝ωv。 变速圆周运动 知识点四 1．变速圆周运动合力的作用效果 (1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。 (2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。 2．匀速圆周运动和变速圆周运动的区别 (1)从曲线运动的条件可知，变速圆周运动所受的合外力与速度方向一定不垂直，当速率增大时，物体受的合外力与瞬时速度之间的夹角是锐角，当速率减小时，物体受到的合外力与速度之间的夹角是钝角． 例如：用一细线系一小球在竖直平面内做变速圆周运动，在向下加速运动过程的某一位置A和向上减速运动过程的某一位置B，小球的受力情况如图所示．比较可见，匀速圆周运动和变速圆周运动受力情况的不同是： 匀速圆周运动：合外力全部用来提供向心力，即F合＝F向． 变速圆周运动：合外力沿着半径方向的分量提供向心力，合外力不指向圆心，一般F合≠F向． 向心力和向心加速度 考点一 【例1.1】(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是(　AD　) A．合力的大小不变，方向一定指向圆心 B．合力的大小不变，方向也不变 C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小 D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小 [解析：匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A正确，B错误；由合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错误，D正确。] 【例1.2】关于向心加速度，下列说法正确的是(　B　) A．向心加速度是描述线速度变化的物理量 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变 D．向心加速度的大小也可用a＝来计算 [解析：加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，A错B对．只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，C错．公式a＝适用于匀变速运动，圆周运动是变加速运动，D错．] 【例1.3】关于物体随地球自转的加速度大小，下列说法中正确的是(　A　) A．在赤道上最大　　 B．在两极上最大 C．地球上处处相同 D．随纬度的增加而增大 [解析：物体随地球自转角速度相同，但自转的圆心在地轴上，自转的半径由赤道向两极逐渐减小，赤道处最大，由公式a＝ω2r知：自转的加速度由赤道向两极逐渐减小，因此，选项A正确，B、C、D错误。] 【练习1.1】下列关于向心力的说法中正确的是(　C　) A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用 B．向心力和重力、弹力一样，是性质力 C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力 D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力 [解析：向心力是一个效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或是某个力的分力，A、B错；匀速圆周运动所受合外力指向圆心，完全提供向心力，非匀速圆周运动中是合外力指向圆心的分力提供向心力，C对D错] 【练习1.2】关于向心力的说法中正确的是(　B　) A．物体由于做圆周运动而产生向心力 B．向心力不改变圆周运动物体的速度的大小 C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒定不变的 D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力 [解析：物体由于合外力提供向心力而做圆周运动，A错；向心力方向始终与线速度方向垂直，向心力不能改变线速度的大小，B对；向心力的方向时刻在改变，是变力，C错；做变速圆周运动时合力不再是向心力，D错] 【练习1.3】对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是(　B　) A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力 B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小 C．向心力是物体所受的合外力 D．向心力的方向总是不变的 [解析：做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错误；向心力只改变线速度方向不改变线速度大小，B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，C错误；向心力的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错误。] 【练习1.4】下列关于向心加速度的说法中正确的是(　A　) A．向心加速度的方向始终指向圆心 B．向心加速度的方向保持不变 C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化 [解析：向心加速度的方向时刻指向圆心，向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，A正确。] 【练习1.5】下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是(　C　) A．向心加速度越大，物体速率变化越快 B．向心加速度越大，物体速度变化越大 C．向心加速度越大，物体速度方向变化越快 D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量 [解析：向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，A、B错C对，做匀速圆周运动的物体要始终受到指向圆心的力的作用来作为向心力，力的大小不变，但方向时刻在变，所以向心加速度也在时刻变化，D错] 【练习1.6】关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　D　) A．由＝知与r成反比 B．由＝ω2r知与r成正比 C．由ω＝知ω与r成反比 D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比　 [解析：由关系式y＝kx知，y与x成正比的前提条件是k为定值．只有当v一定时，才有an与r成反比；只有当ω一定时，才有an与r成正比．] 【练习1.7】如图一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是(　B　) A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用 B．老鹰受重力和空气对它的作用力 C．老鹰受重力和向心力的作用 D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用 [解析：老鹰在空中做匀速圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力，不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。选项B正确。] 【例1.4】如图所示为在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，关于摆球A的受力情况(忽略空气阻力)，下列说法中正确的是(　C　) A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用 B．摆球A受拉力和向心力的作用 C．摆球A受拉力和重力的作用 D．摆球A受重力和向心力的作用 [解析：摆球A在水平面内做匀速圆周运动，对摆球A进行受力分析，如图所示。摆球受重力和绳子的拉力，由于它们的合力总是指向圆心并使得摆球A在水平面内做圆周运动，故在物理学上，将这个合力叫作向心力，即向心力是按照力的作用效果命名的，受力分析时不单独出现，故C正确。] 【练习1.8】如图玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(若忽略摩擦)，这时球受到的力是(　B　) A．重力和向心力 B．重力和支持力 C．重力、支持力和向心力 D．重力 [解析：玻璃球沿碗内壁做匀速圆周运动的向心力由重力和支持力的合力提供，向心力不是物体受的力，B正确。] 分析向心力来源的思路 (1)明确研究对象。 (2)确定圆周运动所在平面，明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置。 (3)进行受力分析，指向圆心方向的合力即为向心力。 【练习1.9】如图质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g取10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力大小。 [解析：小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图) 即FT－mg＝m；所以FT＝mg＋m＝14 N；由牛顿第三定律得，小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N。 【练习1.10】滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s。求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)。 [解析：运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a＝＝ m/s2＝50 m/s2， 方向在该位置指向圆心即竖直向上。运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0。] 向心力与向心加速度的计算 考点二 【例2.1】如图O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则(　A　) A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度 B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度 C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度 D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度 [解析：因为两轮的转动是通过皮带传动的，又因皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等，在O1轮边缘上任取一点Q，因为R>r，所以由an＝可知，aQ<aM，再比较Q、N两点的向心加速度大小，因为Q、N是在同一轮上的两点，所以角速度ω相等，又因为RQ>RN，则由an＝ω2r可知，aQ>aN，综上可见，aM>aN.A正确．] 【练习2.1】(传动装置中的向心加速度)如图为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比(　D　) A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1 C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8 [解析：由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错D对；＝，B错。] 【练习2.2】如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，（1）大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？（2）P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝计算向心加速度。 [解析：同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP，由向心加速度公式an＝ω2r，得＝，故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2，又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ，由向心加速度公式an＝得＝，故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2。] 【例2.2】甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力之比为(　C　) A．1∶4　　 B．2∶3　　 C．4∶9　　 D．9∶16 [解析：由题意知，，，，根据，它们的向心力之比为4∶9，C对] 【练习2.3】甲乙两球均在水平面上做匀速圆周运动，甲球的轨道半径是乙球轨道半径的2倍，甲球的转速是30 r/min，乙球的转速是15 r/min，则两小球的向心加速度之比为(　C　) A．1∶1 B．2∶1 C．8∶1 D．4∶1　 [解析：ω＝2πn，an＝ω2r，故＝()2＝8∶1，C项正确．] 【练习2.4】A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们(　A　) A．线速度大小之比为4∶3 B．角速度大小之比为3∶4 C．圆周运动的半径之比为2∶1 D．向心加速度大小之比为1∶2 [解析：因为相同时间内他们通过的路程之比是4∶3，根据v＝，则它们的线速度之比为4∶3，故A正确；运动方向改变的角度之比为3∶2，根据ω＝，则角速度之比为3∶2，故B错误；根据v＝ωr可得圆周运动的半径之比为＝×＝，故C错误；根据a＝vω得，向心加速度之比为＝＝×＝，故D错误，故A正确。] 水平面内的匀速圆周运动 考点三 【例3.1】如图有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内，已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力． [解析：（1）根据受力分析和向心力公式得，小球做匀速圆周运动轨道半径为，解得；（2）根据几何关系知] 【练习3.1】如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g。若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0。 [解析：对小物块受力分析如图所示，由牛顿第二定律知mgtan θ＝mω·Rsin θ，得ω0＝＝。] 【练习3.2】如图竖直固定的圆锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动。以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度大小(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、向心力大小(FA、FB)和对内壁的压力大小(FNA、FNB)的说法正确的是(　A　) A．vA＞vB B．ωA＞ωB C．FA＞FB D．FNA＞FNB [解析：小球受重力和支持力，二力的合力提供其做圆周运动的向心力，如图所示，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，所以两个小球的受力情况相同，它们的向心力大小相等，受到的支持力大小也相等，则根据牛顿第三定律可知，它们对内壁的压力大小也相等，即FA＝FB，FNA＝FNB，C、D错误；由于它们的向心力的大小相等，由向心力的公式Fn＝m可知，运动半径大的小球线速度大，所以vA＞vB，A正确；由向心力的公式Fn＝mω2r可知，运动半径大的小球角速度小，所以ωA＜ωB，B错误。] 【例3.2】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系． [解析：设座椅的质量为m，对座椅进行受力分析知，重力与钢绳的拉力的合力提供向心力， 由几何知识可得，解得。] 【练习3.3】如图所示，轻杆的一端拴一小球，另一端与竖直杆铰接。当竖直杆以角速度ω匀速转动时，轻杆与竖直杆张角为θ。下列图像中能正确表示角速度ω与张角θ关系的是(　D　) A B C D [解析：小球受到重力和轻杆的拉力的共同作用，将拉力进行分解，由圆周运动规律可知小球在水平方向上，有Tsin θ＝mω2lsin θ；在竖直方向上，有Tcos θ＝mg，联立解得ω＝。根据函数关系可知D正确] 【练习3.4】游乐园中的旋转飞椅可简化为如图所示的模型，乘坐在吊椅上的游客甲和乙的运动均可视为匀速圆周运动，不考虑空气阻力的影响，游客甲和乙的座椅吊绳长度不同，座椅与游客均可视为质点，则吊绳与竖直方向夹角θ较大的游客（ B ） A.角速度较大 B.座椅离地面高度较小 C.向心加速度较小 D.所受的向心力较大 【练习3.5】如图“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　D　) A．A的线速度比B的大 B．A与B的向心力大小相等 C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小 [解析：当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，A与B的角速度相等，A的运动半径比B的小，由v＝ωr得，A的线速度比B的小，A错误；由Fn＝mω2r得，A的向心力比B的小，B错误；设缆绳与竖直方向的夹角为θ，座椅受重力mg和拉力FT的作用，其合力提供向心力，有mgtan θ＝mω2r，得tan θ＝，由于ωA＝ωB，rA＜rB，故悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角比B的小，C错误；拉力FT＝，由于θA＜θB，故FTA＜FTB，由牛顿第三定律知悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，D正确。] 【练习3.6】如图半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为(　D　) A．ω2R B．ω2r C．ω2Lsin θ D．ω2(r＋Lsin θ) [解析：小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋Lsin θ，由an＝rω2，可知其加速度大小为ω2(r＋Lsin θ)，选项D正确。] 【练习3.7】质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω如图，则杆的上端受到的作用力大小为(　C　) A．mω2R B． C． D．不能确定 [解析：小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动。这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图，用力的合成法可得杆的作用力：F＝＝，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力F′＝F，C对] 【例3.3】如图两根长度不同的细绳，一端固定于O点，另一端各系一个相同的小球，两小球恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，则(　A　) A．A球受细绳的拉力较大 B．它们做圆周运动的角速度不相等 C．它们所需的向心力跟轨道半径成反比 D．它们做圆周运动的线速度大小相等 [解析：设细绳与竖直方向之间的夹角为θ，对小球进行受力分析，在竖直方向上的合力等于零，有mg＝Fcos θ，解得F＝，可知A球受细绳的拉力较大，A正确；在水平方向上的合力提供向心力，有mgtan θ＝mω2lsin θ，两球距O点的竖直高度相同，即lcos θ相同，则ω相等，B错误；线速度v＝ωlsin θ，角速度相等，运动半径lsin θ不同，则线速度不相等，D错误；小球做匀速圆周运动所需的向心力等于合力，即F向＝mgtan θ＝mg＝mg，则F向与r成正比，C错误。] 【练习3.8】(多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(即圆锥摆)。现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是(　BD　) A．小球P运动的周期变大 B．小球P运动的线速度变大 C．小球P运动的角速度变小 D．Q受到桌面的支持力不变 [解析：设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的长度为L。球P做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度ω＝，周期T＝＝2π，线速度v＝rω＝Lsin θ·＝，小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运运动时，θ增大，cos θ减小，角速度增大，周期T减小，线速度变大，B对，A、C错；金属块Q保持在桌面上静止，对金属块和小球研究，在竖直方向没有加速度，根据平衡条件可知，Q受到桌面的支持力等于Q与小球的总重力，保持不变，D对。] 摩擦力提供向心力 考点四 【例4.1】如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动，关于小强的受力下列说法正确的是(　C　) A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用 B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力 C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力 D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力不变 (1)如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力是否仍指向圆心？ (2)如果小强在P点相对于圆盘竖直跳起，再次落在圆盘上后仍随圆盘转动(圆盘转速保持不变)，小强的受力情况是否发生变化？ [解析：小强在圆盘上P点处随圆盘一起做水平方向的匀速圆周运动，所以由水平方向的摩擦力提供向心力，A、B错C对；圆盘以较小的转速转动时，所需的向心力较小，所以静摩擦力也较小，D错； 拓展探究：（1）小强随圆盘做变速圆周运动时，合力将不再指向圆心，则摩擦力也不再指向圆心； （2） 小强随圆盘做圆周运动时具有线速度，跳起时不再受到摩擦力，小强将沿着此时线速度方向做抛体运动，再次落在圆盘上将落在半径较大的位置，所以所需要的向心力变大，受到静摩擦力变大。] 【练习4.1】如图所示，在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是(　C　) A　　　　 B　　　　　C　　　 D [解析：由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合力一定指向圆心。由此可知C正确。] 【练习4.2】如图质量为m的物块与转台之间能产生的最大静摩擦力为物块重力的k倍，物块与转轴OO′相距R，随转台由静止开始转动．当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动．则此时转台的角速度为(　C　) A. B. C. D．0 [解析：物块刚要滑动时有kmg＝mRω2，所以ω＝ .] 【练习4.3】冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度应为(　B　) A．v＝k B．v≤ C．v≥ D．v≤ 　 [解析：当处于临界状态时，有kmg＝m，得临界速度v＝.故安全速度v≤.] 【练习4.4】如图所示，圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则(　B　) A．物块A不受摩擦力作用 B．物块B受5个力作用 C．当转速增大时，A受摩擦力增大，B受摩擦力减小 D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴 [解析：物块A受到的摩擦力充当其向心力；物块B受到重力、支持力、A对物块B的压力、A对物块B的沿半径向外的静摩擦力和圆盘对物块B的沿半径向里的静摩擦力，共5个力的作用；当转速增大时，A、B所受摩擦力都增大；A对B的摩擦力方向沿半径向外，故B正确。] 【例4.2】（摩擦力和拉力如何提供向心力）如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳中张力为零)．物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍．求： (1)当转盘的角速度为ω1＝ 时，绳中的张力多大？ (2)当转盘的角速度为ω2＝ 时，绳中的张力又多大？ [解析：（1）由题可知，物块与转盘间最大静摩擦力为，当角速度时，此时物体做圆周运动所需向心力为，物块与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力为零； （2） 当角速度时，此时物体做圆周运动所需向心力大小，此时物块与盘间已达到最大静摩擦力，所以细绳对物体施加拉力] 【练习4.5】如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求： (1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度； (2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小。 [解析：(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mωr，得ω0＝。 (2)当ω＝时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r 即F＋μmg＝m··r，得F＝μmg。] 【练习4.6】如图所示，三个可视为质点的、相同的木块A、B和C放在转盘上，质量均为m,C放在A的上面，A和B两者用长为L的细绳连接，木块与转盘、木块与木块的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O₁O₂转动.开始时，绳恰好伸直无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，下列说法正确的是( D ) A.当时，绳子一定有弹力 B.当时，A、B相对于转盘会滑动 C.当时，C受到的摩擦力为kmg D.w在范围内增大时，B所受摩擦力不变 [解析：B先达到最大静摩擦力，此时对B有，解得，故当，绳子一定有弹力，A错误：当A也达到最大静摩擦力时，对系统由牛顿第二定律可得，解得，故当时，A，B相对于转盘会滑动，B错误；当时，对C由牛顿第二定律有，C错误：在内增大时，B没有滑动，且B受到韓盘的摩擦力已经达到最大静摩擦力，故摩擦力不变，绳的拉力增大，D正确。] 【例4.3】如图所示，细绳一端系着质量为M＝0.6 kg的物体，静止在水平盘面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3 kg的物体，M的中心与小孔距离为0.2 m，并知M和水平盘面的最大静摩擦力为2 N．现使此水平盘绕中心轴转动，问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？(g取10 m/s2) [解析：（1）当角速度有最小值时，物体做圆周运动所需要的向心力小于拉力，所以物体M有 向圆心运动的趋势，静摩擦力方向沿半径向外，有，解得； （2）当角速度有最大值时，物体做圆周运动所需要的向心力大于拉力，所以物体M有 离开圆心运动的趋势，静摩擦力方向沿半径向内，有，解得] 【练习4.7】如图所示，竖直杆连接一水平圆管，质量分别为m₁、m₂的甲、乙两个小球(可视为质点)用一不可伸长的细线相连，甲在管内，乙悬挂在管外，细线穿过管壁上的小孔，圆管在竖直杆的带动下在水平面内做匀速圆周运动，甲球绕着小孔(在杆的正下方)随着圆管一起做匀速圆周运动，乙球静止不动，甲、乙与小孔都不接触，重力加速度为g，不计一切摩擦。甲与小孔的间距为d，甲的动能为Ek，圆管转动的角速度为，乙到小孔的距离为s，则下列说法正确的是（ B ） A. B. C.缓慢增大，s减小 D.缓慢增大，s不变 变速圆周运动与一般曲线运动 考点五 【例5】(圆周运动中速度大小与合力方向的关系)如图物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与圆盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是(　D　) A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向 B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向 C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向 D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向 [解析：物块转动时，其向心力由静摩擦力提供，当它匀速转动时其方向指向圆心， 当它加速运动时其方向斜向前方，当它减速转动时，其方向斜向后方。故D正确。] 【练习5.1】(多选)如图一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是(　CD　) A．绳的拉力 B．重力和绳拉力的合力 C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力 [解析：如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D正确。] 【练习5.2】如图某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则(　D　) A．物体的合力为零 B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O C．物体的合力就是向心力 D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外) [解析：物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。] 【练习5.3】(多选)如图质量为m的木块，从位于竖直平面内的圆弧形曲面上下滑。由于摩擦力的作用，木块从a到b运动的速率增大，从b到c的速率恰好保持不变，从c到d的速率减小，则(　BD　) A．木块在ab段和cd段加速度不为零，但在bc段加速度为零 B．木块在整个ad段加速度都不为零 C．木块所受合力在整个运动过程中大小一定，方向始终指向圆心 D．木块所受合力只在bc段大小不变，方向指向圆心 [解析：木块在ab段和cd段做变速圆周运动，所受合力方向不指向圆心，加速度不为零；木块在bc段做匀速圆周运动，所受合力大小不变，方向指向圆心，加速度不为零。B、D正确。] 课后巩固 1.【难度1】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力。 (×) (2)向心力和重力、弹力一样，是性质力。 (×) (3)向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力。 (√) (4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力。 (√) (5)匀速圆周运动是匀变速运动。 (×) (6)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变。 (√) (7)根据an＝知加速度an与半径r成反比。 (×) (8)根据an＝ω2r知加速度an与半径r成正比。 (×) 2.【难度1】（多选）做匀速圆周运动的物体所受的向心力是(　BC　) A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力 B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小 C．物体所受的合外力 D．向心力和向心加速度的方向都是不变的 [解析：向心力的方向时刻在改变，所以向心力是变力，A、D错；向心力方向始终与线速度方向垂直，所以向心力不能改变线速度的大小，B对；做圆周运动的物体由所受合外力提供向心力，C对] 3．【难度1】关于圆周运动的概念，以下说法中正确的是(　D　) A．匀速圆周运动是速度恒定的运动 B．做匀速圆周运动的物体，向心加速度越大，物体的速度增加得越快 C．做圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心 D．物体做半径一定的匀速圆周运动时，其线速度与角速度成正比 [解析：匀速圆周运动的速度方向是轨迹切线方向，时刻改变，A错；做匀速圆周运动的物体，速度大小不变，方向改变，向心加速度越大，速度方向改变的越快，B错；只有匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，变速圆周运动的加速度不指向圆心，C错；物体做半径一定的匀速圆周运动时，根据v＝rω，其线速度与角速度成正比，D正确。] 4．【难度2】如图所示为“感受向心力”的实验，用一根轻绳，一端拴着一个小球，在光滑桌面上抡动细绳，使小球做圆周运动，通过拉力来感受向心力。下列说法正确的是(　C　) A．只减小旋转角速度，拉力增大 B．只加快旋转速度，拉力减小 C．只更换一个质量较大的小球，拉力增大 D．突然放开绳子，小球仍做曲线运动 [解析：由题意，根据向心力公式F向＝mω2r，则有T拉＝mω2r，只减小旋转角速度，拉力减小，只加快旋转速度，拉力增大，只更换一个质量较大的小球，拉力增大，故A、B错误，C正确；突然放开绳子，小球受到的合力为零，将沿切线方向做匀速直线运动，故D错误。] 5．【难度2】如图质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　D　) A．加速度为零 B．加速度恒定 C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心 [解析：由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。] 6．【难度2】一质量为m的小物块，由碗边滑向碗底，该碗的内表面是半径为R的圆弧且粗糙程度不同，由于摩擦力的作用，物块的运动速率恰好保持不变，则(　C　) A．物块的加速度为零 B．物块所受合力为零 C．物块所受合力大小一定，方向改变 D．物块所受合力大小、方向均一定 [解析：木块做匀速圆周运动，合力提供向心力，合力大小不变方向改变，加速度不为零，C对；] 7．【难度2.5】荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图所示，某同学正在荡秋千，A和B分别为运动过程中的最低点和最高点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是(　D　) A．在A位置时，该同学处于失重状态 B．在B位置时，该同学受到的合力为零 C．在A位置时，该同学对秋千踏板的压力大于秋千踏板对该同学的支持力，处于超重状态 D．由A到B过程中，该同学的向心力逐渐减小 [解析：在A位置时，该同学的加速度向上，处于超重状态，故A项错误；在B位置时，该同学的速度为零，向心力为零，即沿绳子方向的合力为零，其合力等于重力沿圆弧切向分力，不为零，故B项错误；根据牛顿第三定律知，在A位置时，该同学对秋千踏板的压力等于秋千踏板对该同学的支持力，故C项错误；由A到B过程中，该同学的速度逐渐减小，由F＝m分析知，向心力逐渐减小，故D项正确。] 8．【难度3】用材料和粗细相同、长短不同的两段绳子，各拴一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么(　B　) A．两个球以相同的线速度运动时，长绳易断 B．两个球以相同的角速度运动时，长绳易断 C．两个球以相同的角速度运动时，短绳易断 D．不管怎样，都是短绳易断 [解析：根据可知，相同的线速度时半径越大所需向心力越小，短绳易断，A错；根据可知，角速度相同时半径越大所需向心力越大，所以长绳易断，B对C、D错] 9．【难度3】如图天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动．系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关系是(　A　) A．FA>FB>mg B．FA<FB<mg C．FA＝FB＝mg D．FA＝FB>mg [解析：天车突然停止，两物块由于惯性和拉力的作用下将做圆周运动，天车停止瞬间两物块速度不变，与原天车速度相同，有，所以半径越小所需向心力越大，所以有FA>FB>mg，A对] 10．【难度3】如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是(　A　) A．A、B两点具有相同的角速度 B．A、B两点具有相同的线速度 C．A、B两点的向心加速度方向都指向球心 D．A、B两点的向心加速度数值相同 [解析：A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如右图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的轨道半径rA＝Rsin 60°，B运动的轨道半径rB＝Rsin 30°，＝＝＝，B错；＝＝，D错．] 11．【难度3】 (多选)如图一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是(　BC　) A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同 C．线速度vP＞vQ＞vR D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同 [解析：R、Q、P三点的轨道圆心都在轴AB上，且它们的轨道平面互相平行，因此三点的角速度相同，由于向心加速度方向也相同且指向轴AB，由an＝rω2可知：aP＞aQ＞aR，又由v＝ωr可知vP＞vQ＞vR，选项A错误，B、C正确；三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同，选项D错误。] 12．【难度3】如图O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)(　C　) A．1∶2∶3　　　　　　　　 B．2∶4∶3 C．8∶4∶3 D．3∶6∶2　 [解析：因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率．根据向心加速度公式an＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同．根据向心加速度公式an＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C.] 13．【难度2】一根长0.5 m的绳，当受到4.9 N的拉力时会被拉断．在绳的一端拴上质量为0.4 kg的小球，使它在光滑的水平面上做匀速圆周运动，求拉断绳子时的角速度． [解析：根据题意可知，，解得] 14.【难度3】(多选)一个小球以大小为an＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径r＝1 m，则下列说法正确的是(　AB　) A．小球运动的角速度为2 rad/s B．小球做圆周运动的周期为π s C．小球在t＝ s内通过的位移大小为 m D．小球在π s内通过的路程为零 [解析：由a＝ω2r得角速度ω＝＝2 rad/s，A正确；周期T＝＝π s，B正确；小球在t＝ s内通过圆周，位移大小为r＝ m，C错误；小球在π s内通过的路程为一个圆周的长度2πr＝2π m，D错误。] 15．【难度3】（多选）一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R，向心加速度为，则(　BD　) A．小球相对于圆心的位移不变 B．小球的线速度为 C．小球在时间t内通过的路程x＝ D．小球做圆周运动的周期T＝2π [解析：位移方向时刻在变．由an＝得v＝，x＝vt＝t，T＝＝＝＝2π ] 16．【难度3】甲、乙两名溜冰运动员，M甲＝80 kg，M乙＝40 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示．两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，下列判断中正确的是(　D　) A．两人的线速度相同，约为40 m/s B．两人的角速度相同，为6 rad/s C．两人的运动半径相同，都是0.45 m D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m [解析：由题知两人运动的角速度相同，由弹簧的弹力为两人提供向心力；有，两人相距0.9m，所以有，解得，，，D对；] 17.【难度3】如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为多少？ [解析：两小球所受绳子的拉力提供向心力，所以两球向心力相同。又因为两球同轴转动， 角速度也相同，所以有，解得] 18.【难度3】如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比． [解析：A、B固定在同一根轻杆上，A与B角速度相同，由向心力公式可知： 对A有：；对B有，解得] 19.【难度3】如图甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体匀速圆周运动的向心加速度． [解析：设乙下落到A点所用时间为t，则对乙，满足R＝gt2，得t＝ 这段时间内甲运动了T，即T＝ ，又由于an＝rω2＝R，所以a＝π2g] 20．【难度3】如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝2RB，当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上，若将小木块放在B轮上，欲使小木块相对B轮也静止，则小木块距B轮转轴的最大距离为(　A　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．RB [解析：A和B两轮用相同材料制成且靠摩擦传动，边缘线速度相等，则ωARA＝ωBRB，而RA＝2RB，所以＝。对于在A轮边缘的小木块，最大静摩擦力恰好提供向心力，即mωRA＝fmax，当在B轮上恰要滑动时，设此时半径为R，则mωR＝fmax，解得R＝＝，选项A正确。] 21．【难度3】（多选）如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，已知A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴距离均为R，C离轴距离为2R，则当圆台旋转时(　ABC　) A．C的向心加速度最大 B．B的摩擦力最小 C．当圆台转速增加时，C比A先滑动 D．当圆台转速增加时，B比A先滑动 [解析：A、B、C三个物体角速度相同，根据可知C物体向心加速度最大，A对；向心力由静摩擦力提供，则有，可知B物体受到的静摩擦力最小，B对；当静摩擦力最大时，物体相对圆台刚好不滑动，则有，由于C物体运动半径最大，当转速增加时C先滑动，然后A、B同时滑动，C对D错] 22．【难度3.5】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。 (1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2； (2)求绳能承受的最大拉力； (3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？ [解析：(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律得竖直力向d＝gt2 ① 水平方向d＝v1t ② 联立①②解得v1＝ ③ 在竖直方向上有vy＝gt＝④ 则v2＝⑤ 联立③④⑤解得v2＝。 (2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小。 球做圆周运动的半径为R＝d，小球在最低点时，由牛顿第二定律得：FT－mg＝，解得FT＝mg； (3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变。由牛顿第二定律得：FT－mg＝， 解得v3＝，绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1， 则：竖直方向d－l＝gt，水平方向x＝v3t1，解得x＝4，当l＝时，x有最大值，xmax＝d。] 1．【难度3】如图在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是(　D　) A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C．物体所受弹力和摩擦力都减小了 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变 [解析：物体随圆筒一起匀速转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN和筒壁对它的摩擦力Ff(如图)。其中G和Ff是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起匀速转动而未滑动，则物体所受的摩擦力Ff大小等于其重力。而根据向心力公式FN＝mω2r可知，当角速度ω变大时，FN也变大，故D正确。] 2．【难度3】如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线．表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线．由图线可知(　A　) A．质点P的线速度大小不变 B．质点P的角速度大小不变 C．质点Q的角速度随半径变化 D．质点Q的线速度大小不变 [解析：由an＝知：v一定时，an∝，即an与r成反比，由an＝rω2知：ω一定时，an∝r.从图象可知，质点P的图线是双曲线，即a与r成反比，可得质点P的线速度大小是不变的．同理可知：质点Q的角速度是不变的．] 3．【难度3】（多选）如图长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的(　BCD　) A．线速度突然增大 B．角速度突然增大 C．向心加速度突然增大 D．悬线拉力突然增大 [解析：小球碰到钉子后瞬间，由于无外力对小球做功，所以小球线速度不变，而小球做圆周运动的半径突然变小，根据可知角速度突然变大，A错B对；根据向心加速度，，半径变小，a和F变大，C、D对；] 4.【难度3】图甲为游乐场中一种叫魔盘的娱乐设施，游客坐在转动的魔盘上，当魔盘转速增大到一定值时，游客就会滑向盘边缘，其装置可以简化为图乙。若魔盘转速缓慢增大，则游客在滑动之前（ D ） A.受到魔盘的支持力缓慢增大 B.受到魔盘的摩擦力缓慢减小 C.受到的合外力大小不变 D.受到魔盘的作用力大小变大 [解析：对人在魔盘上的受力分析，则在y方向上根据平衡条件有f Sinα +Ncosα=mg，在x方向上根据牛顿第二定律有f cosα-Nsinα=，根据上述两式解得N=mgcosα-sinα；f=mgsinα+cosα，人在魔盘上没有相对运动，m、r、α均不变，只有魔盘的角速度增大，所以人受到魔盘的支持力N减小，人受到魔盘的摩擦力f增大，故选项A、B均错误；人受到的竖直方向的合力为零，水平方向的合力提供向心力，随魔盘角速度的增大而增大，所以人受到的合力增大，故选项C错误；魔盘对人的作用力大小为，随魔盘角速度的增大而增大，故选项D正确。] 1.【难度3】质量为m的飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力大小等于(　A　) A．m　　　　　　 B．m C．m D．mg [解析：飞机所受的重力与空气对飞机作用力的合力为飞机提供向心力，所以飞机受到空气作用力方向斜向上，大小为m 。] 2．【难度3】如图长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆随转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ是(重力加速度为g)(　A　) A．sin θ＝ B．tan θ＝ C．sin θ＝ D．tan θ＝ [解析：小球所受重力和轻杆的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgsinθ＝mLω2，解得sinθ＝，故A正确，B、C、D错误。] 3．【难度3】如图所示，半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A，一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为R。将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运动到环的最低点时速率为v，这时小球向心加速度的大小为(　A　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [解析：小球沿圆环运动，其运动轨迹就是圆环所在的圆，轨迹的圆心就是圆环的圆心，运动轨迹的半径就是圆环的半径，小球运动到环的最低点时，其向心加速度的大小为，加速度方向竖直向上。A正确。] 4．【难度3】如图长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为(　A　) A．mg B．mg C．3mg D．2mg [解析：设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则有r＝Lcos θ＝L。根据题述小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝m；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcos θ＋mg＝m，联立解得F＝mg，A正确。] 5．【难度3.5】如图一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是(　C　) A． rad/s B．rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s [解析：物体随圆盘做圆周运动，分析可知当物体运动到最低点时最可能出现相对滑动，因此物体在圆盘最低点刚好要滑动时对应的圆盘角速度最大，对物体进行受力分析，由向心力公式有μmgcos 30°－mgsin 30°＝mωr，代入数据解得ωm＝1.0 rad/s，C正确。] 6．【难度4】如图有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量均为m的小环(可视为质点)，同时从大环两侧的对称位置由静止滑下。当两小环同时滑到大圆环底部时，速度大小都为v，重力加速度为g，则此时大环对轻杆的拉力大小为(　C　) A．(2m＋2M)g B．Mg－ C．2m＋Mg D．2m＋Mg [解析：当两小环滑到大圆环底部时，设小环受到的大圆环的支持力为FN，对小环，由向心力定义及公式有FN－mg＝m；对大圆环受力分析可知，其受重力Mg、小环的压力F′N和轻杆的拉力F，由平衡条件得F＝Mg＋2F′N，由牛顿第三定律得FN＝F′N，联立以上各式解得，轻杆对大环的拉力大小F＝2m＋Mg，由牛顿第三定律知，大环对轻杆的拉力大小为2m＋Mg，C正确。] 7．【难度4】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(　C　) 甲　　　　　　　　　乙 A． B． C． D． [解析：斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度vx＝v0cos α做匀速直线运动，竖直方向以初速度vy＝v0sin α做匀减速直线运动。到最高点时，竖直方向速度为零，其速度为vP＝v0cos α，且为水平方向。这时重力提供其做圆周运动的向心力，由mg＝m得ρ′＝，所以C正确，A、B、D错误。] 8．【难度5】如图甲所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上(细绳能承受足够大的拉力)，A、B、C在同一直线上。t＝0时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在0≤t≤10 s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图乙所示，则下列说法正确的有(　C　) 甲　　　　　　 乙 A．小球的速率越来越大 B．细绳第三次到第四次撞击钉子经历的时间是4 s C．在t＝13.5 s时，细绳的拉力为7.5 N D．细绳每撞击一次钉子，小球运动的半径减小绳长的 [解析：小球在水平方向只受垂直于速度方向的细绳的拉力作用，小球速度大小不变，故A错误；0～6 s内细绳的拉力不变，则有F1＝m，6～10 s内拉力大小不变，则有F2＝m，因为F2＝F1，则l′＝l，两钉子之间的间距Δl＝l－l＝l，第一个半圈经历的时间为6 s，则＝6 s，则第二个半圈的时间＝5 s，细绳每跟钉子碰撞一次，转动半圈的时间减少1 s，则细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔Δt＝6 s－3×1 s＝3 s，根据上述分析可知，11～15 s内，小球在转第三个半圈，则细绳的拉力为F3＝m＝·m＝F1＝7.5 N，C正确。] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$