6.1 圆周运动-【无畏物理】2024-2025学年高一物理同步学案（人教版2019必修二）

高中物理 必修二 第六章 圆周运动 6.1 圆周运动 圆周运动及线速度 知识点一 1．圆周运动的概念 运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，称为圆周运动。圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动。 2．线速度 (1)定义：做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大小。用v表示。 (2)表达式：v＝，单位为米/秒，符号是m/s。 (3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。 (4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当Δt很小时，其物理意义与瞬时速度相同。 (5)匀速圆周运动：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 [注意]　匀速圆周运动是线速度大小不变的曲线运动，它的线速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动不是匀速运动，严格地说，应该将其称为匀速率圆周运动。 角速度 知识点二 1． 定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。 半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。 2．表达式：ω＝。 3．国际单位：弧度每秒，符号rad/s。 在国际单位制中角的度量单位为“弧度”，在利用公式计算角速度时，的单位是“弧度”。360°＝2π弧度。 4．物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。 5．匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。 周期 知识点三 1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T表示，单位为秒(s)。 2．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。 3．物理意义：描述物体做圆周运动的快慢。 匀速圆周运动 知识点四 1.匀速的含义 (1)速度的大小不变，即速率不变． (2)转动快慢不变，即角速度不变．由ω＝＝＝2πf，故周期或频率都不变． 2.运动性质 (1)速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动． (2)速度的大小即速率不变，所以匀速圆周运动是匀速率运动． 考点一 描述圆周运动的各物理量之间的关系 【例1.1】关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是(　D　) A．线速度大的角速度一定大 B．线速度大的周期一定小 C．角速度大的半径一定小 D．角速度大的周期一定小 [解析：解决这类题目的方法是：确定哪个量不变，寻找各物理量之间的联系，灵活选取公式进行分析．由v＝ωr知，r一定时，v与ω成正比；v一定时，ω与r成反比，A、C错．由v＝知，r一定时，v越大，T越小，B错．而ω＝可知，ω越大，T越小，故D对．] 【例1.2】有一质点做匀速圆周运动，在t时间内转动n周，已知该质点的运动半径为r，则该质点线速度的大小为(　B　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [解析：由运动学公式可得v＝＝，故B正确。] 【练习1.1】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)做圆周运动的物体，其线速度的方向是不断变化的。 (√) (2)线速度越大，角速度一定越大。 (×) (3)转速越大，周期一定越大。 (×) (4)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。 (√) 【练习1.2】(多选)做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是(　BCD　) A．速度　　　B．速率　　　C．周期　　　D．转速 [解析：速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、周期、转速都是标量，B、C、D正确。] 【练习1.3】对于匀速圆周运动，下列说法中错误的是(　A　) A．线速度不变 B．角速度不变 C．周期不变 D．转速不变 [解析：匀速圆周运动是曲线运动，所以速度方向时刻在改变，A错；匀速代表速率不变，B、C、D对] 【练习1.4】关于匀速圆周运动的角速度和线速度，下列说法正确的是(　B　) A．半径一定，角速度与线速度成反比 B．半径一定，角速度与线速度成正比 C．线速度一定，角速度与半径成正比 D．角速度一定，线速度与半径成反比 [解析：由v＝ω·r可知，r一定时，ω∝v，A错，B正确．v一定时，ω∝，C错；ω一定时，v∝r，D错．] 【练习1.5】(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　BC　) A．根据T＝，线速度越大，则周期越小 B．根据T＝，角速度越大，则周期越小 C．角速度越大，速度的方向变化越快 D．线速度越大，速度的方向变化越快 [解析：根据T＝，当轨道半径一定时，才有线速度越大，周期越小，A错误；角速度越大，周期越小，B正确；单位时间内质点与圆心的连线(圆半径)转过的角度越大，速度的方向变化越快，C正确，D错误。] 【练习1.6】（多选）一般的转动机械上都标有“转速×××r/min”，该数值是转动机械正常工作时的转速，不同的转动机械上标有的转速一般是不同的，下列有关转速的说法正确的是(　BD　) A．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的线速度一定越大 B．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的角速度一定越大 C．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越大 D．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的频率一定越大　 [解析：转速大即每秒钟旋转的圈数多，所以频率大，角速度大所以周期小。线速度还与圆周运动的半径有关，在半径不能确定的情况下不能说线速度一定大，BD对] 【练习1.7】(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是(　AD　) A．它们的半径之比为2∶9　 B．它们的半径之比为1∶2 C．它们的周期之比为2∶3 D．它们的周期之比为1∶3 [解析：因为＝＝，且＝3，因此＝×＝，选项A正确，B错误；匀速圆周运动的周期T＝，则＝＝，选项C错误，D正确。] 常见的传动装置及其特点 考点二 1．三种传动装置 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2) 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝ 周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝＝ 周期与半径成正比：＝ 2.求解传动问题的思路 (1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。 (2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。 (3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。 【例2.1】如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑， （1）求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比。 （2）若C轮的转速为n r/s，则A轮边缘的线速度和角速度各为多大？ [解析：（1）A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑， 则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb或va∶vb＝1∶1 ① 由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 ② B、C两轮固定在一起同轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1 ③ 由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 ④ 由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2 由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2。 （2）由ω＝2πn，vb＝ωrB 得va＝vb＝2πn·rB，ωa＝＝＝πn。] 【例2.2】如图普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为(　D　) A．ω 　　　B．ω　　　 C．ω　　　D．9ω [解析：手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是r，则有v＝ω·9r＝ω′·r，小车轮的角速度为ω′＝9ω，选项D正确。] 【练习2.1】在某个传动装置中，A、B、C三个轮子的半径rA＝rC＝2rB.A、B两轮共轴，在皮带不打滑时，三个轮子转动的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝ 2∶2∶1 ；三个轮子边缘上各点的线速度之比vA∶vB∶vC＝ 2∶1∶1 ；三个轮子边缘上各点的周期之比TA∶TB∶TC＝ 1∶1∶2 . [解析：因同一轮子上各点的角速度都相等，皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的轮缘上各点的线速度大小都相等(因各点在相等的时间内转过的圆弧长度相等)，故ωA＝ωB，B、C轮缘上点的线速度相等，即vB＝vC.由于v＝ωr.所以ωB∶ωC＝∶＝rC∶rB＝2∶1，故ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1；vA∶vB∶vC＝ωArA∶ωBrB∶ωCrC＝2∶1∶1；由于T＝，故TA∶TB∶TC＝1∶1∶2.] 【练习2.2】如图是自行车传动机构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为(　C　) A．　　 　 B． C． D．　 [解析：前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一条线上的线速度相等可以得ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn，v＝ωr，所以v＝.] 【练习2.3】如图所示的齿轮传动装置中，主动轮和从动轮的齿大小相同，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω逆时针转动时，从动轮的转动情况是(　A　) A．顺时针转动，周期为 B．逆时针转动，周期为 C．顺时针转动，周期为 D．逆时针转动，周期为 [解析：齿轮不打滑，说明接触点线速度相等，主动轮逆时针转动，故从动轮顺时针转动。因为齿的大小相等，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，故主动轮与从动轮的角速度之比＝＝，解得从动轮的角速度ω2＝3ω1＝3ω。由ω＝得从动轮的周期T＝＝，故A正确。] 圆周运动的周期性和多解问题 考点三 1．问题特点 (1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。 (2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。 (3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。 2．分析技巧 (1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。 (2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。 【例3.1】如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是(　B　) A．dv＝L2g B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0，1，2，3…) C．v0＝ω D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0，1，2，3，…) [解析：依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝，平抛的时间t＝，则有＝(n＝0，1，2，3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，3，…)，dv＝L2g，A、D错误。] 【练习3.1】如图一位同学玩飞镖游戏.圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距离P点为L.当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点水平轴在竖直平面内匀速转动.忽略空气阻力，重力加速度g，若飞镖恰好击中P点，下列说法错误的是( D ) A.飞镖击中P点所需的时间为 B.圆盘转动角速度的最小值为 C.P点随圆盘转动的线速度可能为 D.圆盘的半径为 【练习3.2】如图半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω。 [解析：小球做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2，则运动时间t＝。 又因为水平位移为R，所以小球的初速度v＝＝R· 在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1，2，3…)，其中n为圆盘转动的圈数， 又因为θ＝ωt，则圆盘角速度ω＝＝2nπ(n＝1，2，3…)。] 【例3.2】如图直径为d的纸制圆筒以角速度ω绕垂直纸面的轴O匀速转动(截面)．从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上先后留下a、b两个弹孔，已知aOb夹角为θ，求子弹的速度． [解析：通过圆周运动转过的角度求出运动的时间，该运动时间也是直线运动的时间，再根据直线运动的位移，即可求出直线运动的速度．子弹射出后沿直线运动，从a点射入，从b点射出，该过程中圆筒转过的角度为π－θ.设子弹速度为v，则子弹穿过圆筒的时间t＝.此时间内圆筒转过的角度α＝π－θ，据α＝ωt得π－θ＝ω，则子弹速度v＝.] 【练习3.3】半径为R的大圆盘以角速度ω旋转，如图所示．有人站在盘边P点上随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标O.若子弹的速度为v0，则(　D　) A．枪应瞄准目标O射去 B．枪应向PO的右方偏过θ角射去，而cos θ＝ C．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而tan θ＝ D．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而sin θ＝　 [解析：若枪瞄准目标O射去，则子弹参与的两个分运动如图甲所示．显然，子弹的合运动方向(即实际运动方向)偏向PO右侧．因此枪应向PO左方射去，如图乙所示．当合速度方向沿PO方向时，sin θ＝.] 【练习3.4】为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°如图，则该子弹的速度可能是(　C　) A．360 m/s B．720 m/s C．1440 m/s D．108 m/s [解析：子弹从A盘到B盘，B盘转过的角度θ＝2πn＋(n＝0，1，2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πf＝2πn＝2π× rad/s＝120πrad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即＝，所以v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，n＝0时，v＝1440 m/s；n＝1时，v≈110.77 m/s；n＝2时，v＝57.6 m/s，C正确。] 课后巩固 1.【难度2】(多选)甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步。在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度分别为ω1、ω2，线速度大小分别为v1、v2，频率分别为f1、f2，则(　BC　) A．ω1＞ω2，f1＞f2 B．ω1＝ω2，f1＝f2 C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＜ω2，v1＞v2 [解析：由题意知，甲、乙两人跑步的周期T相同，由f＝知，甲、乙两人跑步的频率相同，即f1＝f2；由ω＝知，甲、乙两人的角速度相同，即ω1＝ω2；由v＝知，v1＜v2。B、C正确。] 2．【难度2】（多选）由“嫦娥奔月”到“万户飞天”，由“东方红”乐曲响彻寰宇到航天员杨利伟遨游太空，中华民族载人航天的梦想已变成现实．“神舟”五号飞船升空后，先运行在近地点高度200千米、远地点高度350千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道．假设“神舟”五号实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r.则计算其运行周期可用(　AC　) A．T＝ B．T＝ C．T＝ D．T＝　 [解析：由题意可知飞船做匀速圆周运动n周所需时间Δt＝t2－t1，故其周期T＝＝，故选项A正确．由周期公式有T＝，故选项C正确．] 3．【难度2】（多选）如图所示为一皮带传送装置，a、b分别是两轮边缘上的两点，c处在O1轮上，且有ra＝2rb＝2rc，下列关系正确的有(　AD　) A．va＝vb B．ωa＝ωb C．va＝vc D．ωa＝ωc　 [解析:由皮带传动特点可知va＝vb，所以A正确；再由v＝rω可知＝＝，B错误．由共轴传动特点可知，ωa＝ωc，D正确．再由v＝rω可知，＝＝，所以C错误．] 4．【难度2】如图当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则(　B　) A．ωP＜ωQ，vP＜vQ B．ωP＝ωQ，vP＜vQ C．ωP＜ωQ，vP＝vQ D．ωP＝ωQ，vP＞vQ [解析：由于P、Q两点属于同轴转动，所以P、Q两点的角速度是相等的，即ωP＝ωQ；同时由图可知，Q点到螺母的距离比较大，由v＝ωr可知，Q点的线速度大，即vP＜vQ。B正确。] 5．【难度3】(多选)如图B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来，a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　AD　) A．线速度大小之比为3∶3∶2 B．角速度大小之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．周期之比为2∶3∶3 [解析：A、B轮靠摩擦传动，边缘点的线速度大小相等，故va∶vb＝1∶1，根据公式v＝rω，有ωa∶ωb＝3∶2，根据ω＝2πn，有na∶nb＝3∶2，根据T＝，有Ta∶Tb＝2∶3；B轮、C轮是同轴传动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，根据v＝rω，有vb∶vc＝3∶2，根据ω＝2πn，有nb∶nc＝1∶1，根据T＝，有Tb∶Tc＝1∶1，联立可得va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，na∶nb∶nc＝3∶2∶2，Ta∶Tb∶Tc＝2∶3∶3。故A、D正确，B、C错误。] 6．【难度3】如图A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上．其中过O1的轴与电动机相连接，此轴每分钟转速为n1，求： (1)B齿轮的转速n2. (2)A、B两齿轮的半径之比． (3)在时间t内，A、B两齿轮转过的角度之比，以及B齿轮外缘上一点通过的路程． [解析：在齿轮传动装置中，各齿轮的“齿”是相同的，齿轮的齿数对应齿轮的周长，在齿轮传动进行转速变换时，单位时间内每个齿轮转过的齿数相等，相当于每个接合的齿轮边缘处线速度大小相等，因此齿轮传动满足的关系是齿轮转速与齿数成反比，即＝＝. (1)齿轮的转速与齿数成反比，所以B齿轮的转速n2＝n1 (2)齿轮A边缘的线速度v1＝ω1r1＝2πn1r1，齿轮B边缘的线速度v2＝ω2r2＝2πn2r2 因两齿轮边缘上点的线速度大小相等，即v1＝v2，所以2πn1r1＝2πn2r2 即两齿轮半径之比r1∶r2＝n2∶n1＝z1∶z2. (3)在时间t内，A、B转过的角度分别为φ1＝ω1t＝2πn1t，φ2＝ω2t＝2πn2t，转过的角度之比φ1∶φ2＝n1∶n2＝z2∶z1.B齿轮外缘一点在时间t内通过的路程为s2＝v2t＝ω2r2t＝2πn2r2t＝.] 7．【难度3】如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求： (1)B球抛出时的水平初速度． (2)A球运动的线速度最小值． [解析：(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t① 在竖直方向上做自由落体运动，则h＝gt2② 由①②得v0＝＝R . (2)A球的线速度vA＝＝＝2πRn 当n＝1时，其线速度最小，即vmin＝2πR .] 1．【难度2】对于做匀速圆周运动的质点，下列说法正确的(　D　) A．根据公式v＝ωr，可知其线速度v与半径r成反比 B．根据公式v＝ωr，可知其线速度v与半径r成正比 C．根据公式ω＝，可知其角速度ω与半径r成反比 D．根据公式ω＝2πn，可知其角速度ω与转速n成正比 [解析：由v＝ωr可知，只有在角速度不变的情况下，线速度v与半径r才成正比，A、B错；由ω＝可知，只有在线速度不变的情况下，角速度ω与半径r才成反比，C错；由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比，D正确。] 2．【难度3】正常走动的钟表，其时针和分针都在做匀速圆周运动，下列说法中正确的有(　B　) A．时针和分针角速度相同 B．分针的角速度是时针角速度的12倍 C．时针和分针的周期相同 D．分针的周期是时针周期的12倍　 [解析：由钟表特性可知时针走一格，分针走一圈。钟表一圈是12小时，所以分针的角速度是时针的12倍，分针的周期是时针的1/12，B对。] 3．【难度3】（多选）如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是(　BC　) A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n　 [解析：因为皮带不打滑，两轮缘上各点的线速度等大，各点做圆周运动的速度方向为切线方向，则皮带上的M、N点均沿MN方向运动，从动轮沿逆时针方向转动，A错B对．根据线速度与角速度的关系式：v＝rω，ω＝2πn ,所以n∶n2＝r2∶r1，n2＝n，C对D错．] 4．【难度2】如图一质点做半径为R的匀速圆周运动，经过时间t，质点从A点第一次运动到同一直径上的B点，求：(1)质点做匀速圆周运动的线速度． (2)质点在时间t内的平均速度． [解析：(1)由线速度的定义，得v＝＝. (2)质点在时间t内的平均速度由＝得＝] 1．【难度3】（多选）如图静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是(　AD　) A．a、b两点的运动周期都相同 B．它们的角速度是不同的 C．a、b两点的线速度大小相同 D．a、b两点线速度大小之比为2∶ [解析：如题图地球绕自转轴转动时，地球上各点的周期及角速度都是相同的．地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体圆周运动的半径是不同的，b点半径rb＝ra，由v＝ωr，可得va∶vb＝2∶.] 2．【难度3】嘉兴某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是(　B　) A．圆盘转动的转速约为2π r/min B．圆盘转动的角速度大小约为 rad/s C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为 m/s D．圆盘转动的频率约为 Hz [解析：由题意可知，圆盘转一周所需的时间为15×4 s＝60 s，因此周期为60 s，转速为1 r/min，A错误；由角速度与周期的关系可得ω＝＝rad/s＝ rad/s，B正确；蛋糕边缘的奶油的线速度大小为v＝ωr＝ m/s，C错误；根据周期和频率的关系可得圆盘转动的频率为f＝＝Hz，D错误。] 3．【难度3】如图一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮边缘上的两个点，则偏心轮转动过程中，a、b两点(　A　) A．角速度大小相同 B．线速度大小相同 C．周期大小不同 D．转速大小不同 [解析：同轴转动，角速度大小相等，周期、转速都相等，选项A正确，C、D错误；角速度大小相等，但转动半径不同，根据v＝ωr可知，线速度大小不同，选项B错误。] 4．【难度3.5】如图两个轮子的半径均为R，两轮的转轴O1、O2在同一水平面上，相互平行，相距为d，两轮均以角速度ω逆时针方向匀速转动。将一长木板置于两轮上，当木板的重心位于右轮正上方时，木板与两轮间已不再有相对滑动。若木板的长度L>2d，则木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方所需的时间是(　B　) A． B． C． D． [解析：当木板的重心位于右轮正上方时，木板与两轮间已不再有相对滑动，故此后木板做匀速直线运动，速度为v＝ωR，位移为d，故时间为：t＝＝；故A、C、D错误，B正确。] 5．【难度3.5】如图如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为(　C　) A． min B．1 min C． min D． min [解析：分针与秒针的角速度分别为ω分＝ rad/s，ω秒＝ rad/s。设两次重合的时间间隔为Δt，因φ分＝ω分Δt，φ秒＝ω秒Δt，由φ秒－φ分＝2π，得Δt＝＝s＝s＝min，故C正确。] 6．【难度3.5】转笔是一项深受广大学生喜爱的休闲活动，如图长为L的笔绕笔杆上的O点做圆周运动，当笔尖的速度为v1时，笔帽的速度为v2，则转轴O到笔帽的距离为(　D　) A． B． C． D． [解析：设笔尖的转动半径为r1，笔帽的转动半径为r2，则有r2＝L－r1，v1＝ωr1， v2＝ω(L－r1)，联立解得r2＝，故D正确。] 7．【难度3.5】如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑，其半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处亦开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动．要使小球从B口处飞出，小球进入A口的最小速率v0为(　B　) A．πR B．πR C．πR D．2πR 　 [解析：小球在竖直方向上做自由落体运动，则h＝gt2，又由于圆筒内壁光滑，故小球沿水平方向做匀速圆周运动．若小球恰能从B点飞出，则水平方向做圆周运动的最短路程s＝2πR，所以小球刚进入入口时的速度为 v＝＝2πR ＝πR ，故B正确．] 8．【难度3.5】如图半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上a、b两点与O的连线相互垂直，a、b两点均粘有一个小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上． (1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)． (2)求圆轮转动的角速度大小． [解析：(1)由题意知a物体做平抛运动，若与b点物体下落的时间相同， 则b物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针转动． (2)a平抛：R＝gt2①得t＝ ；b竖直下抛：2R＝v0t＋gt2②；由①②得v0＝ ；又因ω＝③ 所以ω＝ ] 9．【难度4】如图B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。 [解析：速度相同即大小、方向相同，B为水平向右，A一定要在最低点才能保证速度水平向右。由题意可知：当A从M点运动到最低点时t＝nT＋T(n＝0，1，2…)，线速度v＝ωr 对于B(初速度为0)： 解得：F＝(n＝0，1，2…)。] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中物理 必修二 第六章 圆周运动 6.1 圆周运动 圆周运动及线速度 知识点一 1．圆周运动的概念 运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，称为圆周运动。圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动。 2．线速度 (1)定义：做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大小。用v表示。 (2)表达式：v＝，单位为米/秒，符号是m/s。 (3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。 (4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当Δt很小时，其物理意义与瞬时速度相同。 (5)匀速圆周运动：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 [注意]　匀速圆周运动是线速度大小不变的曲线运动，它的线速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动不是匀速运动，严格地说，应该将其称为匀速率圆周运动。 角速度 知识点二 1． 定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。 半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。 2．表达式：ω＝。 3．国际单位：弧度每秒，符号rad/s。 在国际单位制中角的度量单位为“弧度”，在利用公式计算角速度时，的单位是“弧度”。360°＝2π弧度。 4．物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。 5．匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。 周期 知识点三 1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T表示，单位为秒(s)。 2．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。 3．物理意义：描述物体做圆周运动的快慢。 匀速圆周运动 知识点四 1.匀速的含义 (1)速度的大小不变，即速率不变． (2)转动快慢不变，即角速度不变．由ω＝＝＝2πf，故周期或频率都不变． 2.运动性质 (1)速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动． (2)速度的大小即速率不变，所以匀速圆周运动是匀速率运动． 考点一 描述圆周运动的各物理量之间的关系 【例1.1】关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是(　 　) A．线速度大的角速度一定大 B．线速度大的周期一定小 C．角速度大的半径一定小 D．角速度大的周期一定小 【例1.2】有一质点做匀速圆周运动，在t时间内转动n周，已知该质点的运动半径为r，则该质点线速度的大小为(　 　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 【练习1.1】思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)做圆周运动的物体，其线速度的方向是不断变化的。 ( ) (2)线速度越大，角速度一定越大。 ( ) (3)转速越大，周期一定越大。 ( ) (4)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。 ( ) 【练习1.2】(多选)做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是(　 　) A．速度　　　B．速率　　　C．周期　　　D．转速 【练习1.3】对于匀速圆周运动，下列说法中错误的是(　 　) A．线速度不变 B．角速度不变 C．周期不变 D．转速不变 【练习1.4】关于匀速圆周运动的角速度和线速度，下列说法正确的是(　 　) A．半径一定，角速度与线速度成反比 B．半径一定，角速度与线速度成正比 C．线速度一定，角速度与半径成正比 D．角速度一定，线速度与半径成反比 【练习1.5】(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　 　) A．根据T＝，线速度越大，则周期越小 B．根据T＝，角速度越大，则周期越小 C．角速度越大，速度的方向变化越快 D．线速度越大，速度的方向变化越快 【练习1.6】（多选）一般的转动机械上都标有“转速×××r/min”，该数值是转动机械正常工作时的转速，不同的转动机械上标有的转速一般是不同的，下列有关转速的说法正确的是(　 　) A．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的线速度一定越大 B．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的角速度一定越大 C．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越大 D．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的频率一定越大　 【练习1.7】(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是(　 　) A．它们的半径之比为2∶9　 B．它们的半径之比为1∶2 C．它们的周期之比为2∶3 D．它们的周期之比为1∶3 常见的传动装置及其特点 考点二 1．三种传动装置 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2) 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝ 周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝＝ 周期与半径成正比：＝ 2.求解传动问题的思路 (1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。 (2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。 (3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。 【例2.1】如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑， （1）求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比。 （2）若C轮的转速为n r/s，则A轮边缘的线速度和角速度各为多大？ 【例2.2】如图普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为(　 　) A．ω 　　　B．ω　　　 C．ω　　　D．9ω 【练习2.1】在某个传动装置中，A、B、C三个轮子的半径rA＝rC＝2rB.A、B两轮共轴，在皮带不打滑时，三个轮子转动的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝ ；三个轮子边缘上各点的线速度之比vA∶vB∶vC＝ ；三个轮子边缘上各点的周期之比TA∶TB∶TC＝ . 【练习2.2】如图是自行车传动机构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为(　 　) A．　　 　 B． C． D．　 【练习2.3】如图所示的齿轮传动装置中，主动轮和从动轮的齿大小相同，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω逆时针转动时，从动轮的转动情况是(　 　) A．顺时针转动，周期为 B．逆时针转动，周期为 C．顺时针转动，周期为 D．逆时针转动，周期为 圆周运动的周期性和多解问题 考点三 1．问题特点 (1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。 (2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。 (3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。 2．分析技巧 (1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。 (2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。 【例3.1】如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是(　 　) A．dv＝L2g B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0，1，2，3…) C．v0＝ω D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0，1，2，3，…) 【练习3.1】如图一位同学玩飞镖游戏.圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距离P点为L.当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点水平轴在竖直平面内匀速转动.忽略空气阻力，重力加速度g，若飞镖恰好击中P点，下列说法错误的是( ) A.飞镖击中P点所需的时间为 B.圆盘转动角速度的最小值为 C.P点随圆盘转动的线速度可能为 D.圆盘的半径为 【练习3.2】如图半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω。 【例3.2】如图直径为d的纸制圆筒以角速度ω绕垂直纸面的轴O匀速转动(截面)．从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上先后留下a、b两个弹孔，已知aOb夹角为θ，求子弹的速度． 【练习3.3】半径为R的大圆盘以角速度ω旋转，如图所示．有人站在盘边P点上随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标O.若子弹的速度为v0，则(　 　) A．枪应瞄准目标O射去 B．枪应向PO的右方偏过θ角射去，而cos θ＝ C．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而tan θ＝ D．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而sin θ＝　 【练习3.4】为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°如图，则该子弹的速度可能是(　 　) A．360 m/s B．720 m/s C．1440 m/s D．108 m/s 课后巩固 1.【难度2】(多选)甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步。在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度分别为ω1、ω2，线速度大小分别为v1、v2，频率分别为f1、f2，则(　 　) A．ω1＞ω2，f1＞f2 B．ω1＝ω2，f1＝f2 C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＜ω2，v1＞v2 2．【难度2】（多选）由“嫦娥奔月”到“万户飞天”，由“东方红”乐曲响彻寰宇到航天员杨利伟遨游太空，中华民族载人航天的梦想已变成现实．“神舟”五号飞船升空后，先运行在近地点高度200千米、远地点高度350千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道．假设“神舟”五号实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r.则计算其运行周期可用(　 　) A．T＝ B．T＝ C．T＝ D．T＝　 3．【难度2】（多选）如图所示为一皮带传送装置，a、b分别是两轮边缘上的两点，c处在O1轮上，且有ra＝2rb＝2rc，下列关系正确的有(　 　) A．va＝vb B．ωa＝ωb C．va＝vc D．ωa＝ωc　 4．【难度2】如图当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则(　 　) A．ωP＜ωQ，vP＜vQ B．ωP＝ωQ，vP＜vQ C．ωP＜ωQ，vP＝vQ D．ωP＝ωQ，vP＞vQ 5．【难度3】(多选)如图B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来，a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　 　) A．线速度大小之比为3∶3∶2 B．角速度大小之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．周期之比为2∶3∶3 6．【难度3】如图A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上．其中过O1的轴与电动机相连接，此轴每分钟转速为n1，求： (1)B齿轮的转速n2. (2)A、B两齿轮的半径之比． (3)在时间t内，A、B两齿轮转过的角度之比，以及B齿轮外缘上一点通过的路程． 7．【难度3】如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求： (1)B球抛出时的水平初速度． (2)A球运动的线速度最小值． 1．【难度2】对于做匀速圆周运动的质点，下列说法正确的(　 　) A．根据公式v＝ωr，可知其线速度v与半径r成反比 B．根据公式v＝ωr，可知其线速度v与半径r成正比 C．根据公式ω＝，可知其角速度ω与半径r成反比 D．根据公式ω＝2πn，可知其角速度ω与转速n成正比 2．【难度3】正常走动的钟表，其时针和分针都在做匀速圆周运动，下列说法中正确的有(　 　) A．时针和分针角速度相同 B．分针的角速度是时针角速度的12倍 C．时针和分针的周期相同 D．分针的周期是时针周期的12倍　 3．【难度3】（多选）如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是(　 　) A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n　 4．【难度2】如图一质点做半径为R的匀速圆周运动，经过时间t，质点从A点第一次运动到同一直径上的B点，求：(1)质点做匀速圆周运动的线速度． (2)质点在时间t内的平均速度． 1．【难度3】（多选）如图静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是(　 　) A．a、b两点的运动周期都相同 B．它们的角速度是不同的 C．a、b两点的线速度大小相同 D．a、b两点线速度大小之比为2∶ 2．【难度3】嘉兴某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是(　 　) A．圆盘转动的转速约为2π r/min B．圆盘转动的角速度大小约为 rad/s C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为 m/s D．圆盘转动的频率约为 Hz 3．【难度3】如图一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮边缘上的两个点，则偏心轮转动过程中，a、b两点(　 　) A．角速度大小相同 B．线速度大小相同 C．周期大小不同 D．转速大小不同 4．【难度3.5】如图两个轮子的半径均为R，两轮的转轴O1、O2在同一水平面上，相互平行，相距为d，两轮均以角速度ω逆时针方向匀速转动。将一长木板置于两轮上，当木板的重心位于右轮正上方时，木板与两轮间已不再有相对滑动。若木板的长度L>2d，则木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方所需的时间是(　 　) A． B． C． D． 5．【难度3.5】如图如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为(　 　) A． min B．1 min C． min D． min 6．【难度3.5】转笔是一项深受广大学生喜爱的休闲活动，如图长为L的笔绕笔杆上的O点做圆周运动，当笔尖的速度为v1时，笔帽的速度为v2，则转轴O到笔帽的距离为(　 　) A． B． C． D． 7．【难度3.5】如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑，其半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处亦开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动．要使小球从B口处飞出，小球进入A口的最小速率v0为(　 　) A．πR B．πR C．πR D．2πR 　 8．【难度3.5】如图半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上a、b两点与O的连线相互垂直，a、b两点均粘有一个小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上． (1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)． (2)求圆轮转动的角速度大小． 9．【难度4】如图B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$