第2章直线和圆的方程单元练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2章直线和圆的方程同步练习卷-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16] 2．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．经过两点和的直线l的倾斜角是（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（   ） A． B． C． D． 8．某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题 9．下列说法中，正确的有（   ） A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 10．已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 11．在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（    ） A．当时，的方程是 B．当时，以为直径的圆与的公共弦长为 C．当时，圆的圆心在线段的延长线上 D．以为直径的圆始终与相交 三、填空题 12．已知直线，，若，则实数 . 13．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 14．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 四、解答题 15．已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 16．已知圆上三点坐标分别为． (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 17．已知在中，，分别在线段上，且． (1)求边上的高所在直线的斜截式方程； (2)若的面积为面积的，求直线的一般式方程. 18．已知圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，求直线的方程． 19．已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B A B A A ABD ABC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据表示圆上点到原点距离的平方求范围. 【详解】将化为，即圆心为，半径为3， 由表示圆上点到原点距离的平方，而圆心到原点的距离为1， 又在圆内， 所以圆上点到原点距离范围为，故的取值范围是. 故选：C 2．B 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 3．C 【分析】将圆的方程与直线方程联立，设、 ，利用可得 ，利用韦达定理，即可求出. 【详解】由，得， 则，即， 联立，得， 设，，则，， 则， 因为，所以， 则，即，解得. 故选：C. 4．B 【分析】利用斜率公式求斜率，然后可得倾斜角. 【详解】由斜率公式得， 记直线l的倾斜角为，则，得. 故选：B 5．A 【分析】由圆的性质可知，圆心在直线与直线垂直平分线的交点处，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则与直线的垂直平分线的直线方程为即，则圆心在直线与垂直平分线的交点处，则联立方程组： ，解得，则圆心为，，所以圆的方程为： . 故选：A 6．B 【分析】根据直线，直线过定点，并可得出，得出的轨迹方程为，根据两圆圆心距离与半径的关系，求出的最大值，并且，然后即可得出的最小值． 【详解】依题意得，半径， 设点坐标，易知直线，恒过点， 直线恒过，且， 则，即，点轨迹为， 圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接,由易知， ，，故B正确． 故选：B． 7．A 【分析】利用排除法，根据对称性排除CD，令，解方程排除B. 【详解】显然图象关于y轴对称，即把x换成方程不变，可知CD错误； 对于B：令，可得，解得或，不合题意； 故选：A. 8．A 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线方程为，得到点关于直线的对称点，连接，与交于点，与圆交于点，所以即为机器人走过的最短路程，利用两点间距离公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设直线的方程为，将代入得，故直线方程为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故， 连接，与交于点，与圆交于点， 则， 所以即为机器人走过的最短路程， 其中， 故. 故选：A 9．ABD 【分析】运用截距概念判断A；根据斜率和截距可判断B；分情况求出直线方程即可判断C；求出直线方程判断D． 【详解】对于A，令，求得，则直线在y轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线 的斜率为，在y轴上的截距为， 易知直线经过第一、二、三象限，B正确； 对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为，故C错误； 对于D，倾斜角为的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 故选：ABD. 10．ABC 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与过圆心的直线垂直，从而判断选项D. 【详解】选项A中，直线方程整理得，由，解得， ∴直线过定点，A正确； 选项B中，在圆方程中令，得，， ∴轴上的弦长为，B正确； 选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且， ∴，则直线方程为，即，D错误. 故选：ABC. 11．ACD 【分析】根据题意设，由可得轨迹，当时，可得轨迹的方程，根据圆与圆的位置关系确定相交弦长从而可判断A，B；根据圆心的坐标确定与，坐标关系即可判断C；分别判断与时，圆的端点在圆内还是外即可判断圆与圆的位置，从而判断D. 【详解】设，因为，，则， 整理得点的轨迹为为， 对于A，B，当时，的方程是，故A正确； 此时圆心，半径，又以为直径的圆圆心为，半径为2，圆的方程为， 所以两圆方程作差可得公共弦长所在直线方程为：， 故公共弦长，故B不正确； 对于C，由于方程为，则此时圆心坐标为， 当时，，则圆的圆心在线段的延长线上，故C正确； 对于D，由于以为直径的圆方程为，圆的圆心为，半径为， 当时，，因为圆的圆心在线段的延长线上， 又， 则，， 故点在圆内，在圆外，即此时以为直径的圆始终与相交； 当时，，的圆心在线段的延长线上， 又，， 则，， 故点在圆外，在圆内，即此时以为直径的圆始终与相交； 综上，以为直径的圆始终与相交，故D正确. 故选：ACD. 12．或 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】直线，，由，得， 所以或. 故答案为：或 13． 【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可. 【详解】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 14． 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再由、，将问题化为先求最小值，进而求最小面积. 【详解】由，即，则，半径， 所以到的距离，即直线与圆相离，如下图示，    由题意，且，而， 所以，要使四边形的面积最小，只需最小， 又，即只需最小，显然， 所以，故最小. 故答案为：. 15．(1)圆心坐标为，半径长为 (2) 【分析】（1）先根据点在圆上求出参数，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径； （2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解. 【详解】（1）因为点在圆上， 所以，解得， 所以该圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径长为； （2）因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以. 16．(1) (2) (3)5 【分析】（1）设圆的一般方程为，将圆上三点坐标代入方程，得到一个三元一次方程组，解方程组即可求出、、的值. （2）先求出弦中点坐标，再根据两直线垂直斜率之积为求出垂直平分线的斜率，最后利用点斜式求出直线方程. （3）可先求出的长度，再求出点到直线的距离，根据三角形面积公式计算. 【详解】（1）设圆的一般方程为. 将，，分别代入方程可得： 解得，，. 所以圆的一般方程为. （2）先求中点坐标，，，中点坐标为.，则弦垂直平分线的斜率为. 根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为，即. （3）. 直线的方程为，即. 点到直线的距离. 所以的面积. 17．(1)； (2). 【分析】（1）由的斜率和垂直关系可得边上的高所在直线的斜率，接着由点斜式即可求出所求直线方程，再转化成斜截式即可. （2）先由题意得，即为的中点，接着由中点坐标公式、直线的斜率和平行关系即可由点斜式求出直线的方程，再转化成一般式即可. 【详解】（1）由题直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为， 化为斜截式为. （2）因为的面积为面积的分别在线段上，且， 所以为的中点，即， 又直线的斜率为， 所以直线的斜率也为， 所以直线的方程为，即， 所以直线的一般式方程为. 18．(1) (2) 【分析】（1）设出圆的标准方程，把点A、B和圆心的坐标代入圆的方程和圆心直线方程列出方程组求解即可 （2）由，要使最小，则需最小，此时与直线垂直，求出直线PM的方程，从而求出点P坐标，即可求出以为PM直径的圆，再两圆方程作差可得. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由已知得，解得 所以圆的方程为． （2）由(1)知圆的方程为，圆心为，半径． 因为， 所以要使最小，则需最小，此时与直线垂直， 由直线，可得直线的斜率为， 直线的方程为，即， 由解得即， 则以为直径的圆的方程为． 由两式相减可得直线的方程为． 19．(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，根据题意得到直线与圆相切，且唯一公共点为点，由勾股定理求出切线长； （2）设，且，表达出，而，故当时，取得最小值． 【详解】（1）由题意知，圆的圆心为，半径， 故， 由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点， 在中，由勾股定理可得． （2）设，且， 故 ， 而，当时，取得最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$