精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校2024-2025学年上学期期中联考九年级数学试卷

初三教学质量监测数学试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列各图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选C． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．将二次函数化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故选：B． 3. 已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点． 故选：A． 4. 已知如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质； 先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选：D． 5. 下列说法中正确的说法有（ ）个 ①同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，逐项分析判断即可求解．本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 【详解】解：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确； ②同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故②错误， ③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故④正确； 故正确的是①④，只有两个， 故选：B． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角．根据旋转得到，进而得到，再利用三角形外角的性质，求解即可．掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7. 要得到抛物线，可以将抛物线（　　） A. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则求得新的抛物线解析式． 【详解】解：将抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数的系数与图像的关系，先分析一次函数，得到、的取值范围后，再根据二次函数的相关性质推出二次函数的图像是否与选项中的一致，据此方法对各选项逐一分析即可得出答案．掌握一次函数及二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】A．由一次函数可得，，则二次函数的图像开口应向上，与图不符，故此选项不符合题意； B．由一次函数可得，，则二次函数的图像开口应向上，与图不符，故此选项不符合题意； C．由一次函数可得，，则二次函数的图像开口应向上，与轴的正半轴相交，对称轴在轴的左侧，与图相符，故此选项符合题意； D．由一次函数可得，，则二次函数的图像开口应向上，与轴的正半轴相交，对称轴在轴的左侧，与图不符，故此选项不符合题意． 故选：C． 9. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 10. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分．） 11. 已知点A（a,1）与点B（-3,b）关于原点对称，则a-b的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x,y），关于原点的对称点是（-x,-y），根据这一结论求得a，b的值，再进一步计算． 【详解】解：∵点A（a,1）与点B（-3,b）关于原点对称， ∴， ∴a-b=3-(-1)=4； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 12. 唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】解：设半径为，则， ， ， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子半径为， 故答案为：． 13. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵分别切于点A、B，切于点E，， ∴， ∴的周长 ， 故答案为：16． 14. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可． 【详解】抛物线与直线相交于点，， 关于的不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不等式的解集是解此题的关键． 15. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______ 【答案】 【解析】 【分析】作轴于H，由题可得，即可求出和，由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可 【详解】解：如图，作轴于H． 由题意：， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 16. 如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系；过点作的垂线，在垂线上截取，连接，从而可证，进而得到，将求线段的最大值转化为求的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可． 【详解】如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， 在和中， ， ， ， 连接，并延长交圆于点，即为最大值， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可． 【详解】解：设，，， ∵抛物线沿直线：向上平移，抛物线的顶点，，…，都在直线：上， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 三、解答题（共69分） 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 【答案】(1) m≥﹣9;(2)3 【解析】 【分析】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m，结合x1+x2﹣2x1x2=0，得到关于m的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）根据题意得：△=36+4m≥0，解得：m≥﹣9，即m的取值范围为：m≥﹣9； （2）根据题意得：x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m． ∵x1+x2﹣2x1x2=0，∴﹣6﹣2×（﹣m）=0，解得：m=3（符合题意），即m的值为3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 【答案】（1） 如图，即为所求作三角形； ， （2） 如图，即为所求作三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可；（3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 21. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 23. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点B在线段上，点C在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在的延长线上，连接．若，，则________；线段________； （3）若P为中点，连接，，，当绕点A逆时针旋转时，最大值为m，最小值为n，则的值为________； （4）在绕点A逆时针旋转过程中，连接、，当、时，点E到的距离是________． 【答案】（1） 依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转， ∴， ∴， ∴； （2）， （3）8 （4）6或 【解析】 【分析】（1）利用证明，得； （2）由证明，可得，则，再利用勾股定理可得答案； （3）由等腰直角三角形的性质可得，则点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，即当点P在的延长线上时，有最大值与最小值，即可求解； （4）分两种情况，根据勾股定理和角所对直角边等于斜边一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 故答案为： ， 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点P在的延长线上时，有最大值， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：8． 【小问4详解】 解：①如图，连接，交于点P， ∵是等腰直角三角形， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴； ②如图，延长交于点P， 同理可得 ， ∴， 综上，点E到的距离是6或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当时，则点的坐标为________； （3）点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标； （4）在（2）的条件下，若点为坐标平面内任一点，以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或或 （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求得该抛物线解析式，再令，即可求得点的坐标； （2）过点作轴，交于点，设直线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式，进而确定点坐标，结合三角形面积公式可求得的值；设，过点作轴，交于点，则，然后分点在直线上方和点在直线下方两种情况，分别求解即可； （3）设，过点作轴，交于点，则，结合三角形面积公式可得，结合二次函数的性质可知当时，取最大值，并求得此时坐标； （4）设，可分三种情况讨论：该平行四边形以为对角线线，以为对角线线，以为对角线线，结合平行四边形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 令，可得， 解得，， ∴； 【小问2详解】 过点作轴，交于点，如下图， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， 设，过点作轴，交于点，如下图， 则， 当点在直线上方时，， ∴， 整理可得，解得（舍去），， ∴； 当点在直线下方时，， ∴， 整理可得，解得，， ∴，． 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或； 【小问3详解】 根据题意，点是抛物线（第一象限内）上的一个动点， 可设，过点作轴，交于点，如下图， 则， ∴， ∴， 即当时，取最大值，最大值为8， 此时； 【小问4详解】 根据题意，若点为坐标平面内任一点，以为顶点的四边形是平行四边形，如下图， 设，可分三种情况讨论， 当该平行四边形以为对角线线时， 则线段的中点， ∴，解得，即； 当该平行四边形以为对角线线时， 则线段的中点， ∴，解得，即； 当该平行四边形以为对角线线时， 则线段的中点， ∴，解得，即． 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、二次函数图像与坐标轴交点、二次函数综合应用、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三教学质量监测数学试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列各图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 以上都不对 4. 已知如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的说法有（ ）个 ①同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 要得到抛物线，可以将抛物线（　　） A. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分．） 11. 已知点A（a,1）与点B（-3,b）关于原点对称，则a-b的值为_______． 12. 唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为________． 13. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为_______． 14. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为 __________． 15. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______ 16. 如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为___________． 17. 如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为_______________． 三、解答题（共69分） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 21. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点B在线段上，点C在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在的延长线上，连接．若，，则________；线段________； （3）若P为中点，连接，，，当绕点A逆时针旋转时，最大值为m，最小值为n，则的值为________； （4）在绕点A逆时针旋转过程中，连接、，当、时，点E到的距离是________． 24. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当时，则点的坐标为________； （3）点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标； （4）在（2）的条件下，若点为坐标平面内任一点，以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $