4.1 数列的概念 课件-2024-2025学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 数列的概念(第1课时) 第四章 数列 1 展示学习目标 1、通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法),培养学生数学抽象的核心素养 2、了解数列是一种特殊的函数; 3、通过数列的项归纳出数列的通项公式,培养学生逻辑推理的核心素养 环节一 章节引言,了解全貌 像以上这些按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时,喜欢把数描绘成沙滩上的小石子,小石子能够摆成不同的几何图形,于是就产生一系列的形数. 如图,当小石子的数目是1,3,6,10等数时,小石子都能摆成正三角形,他把这些数叫作三角形数; 当小石子的数目是1,4,9,16等数时,小石子都能摆成正方形,他把这些数叫作正方形数; 当小石子的数目是1,5,12,22等数时,小石子都能摆成正五边形,等等. 环节二 创设情境,提出问题 在现实生活和数学学习中, 我们经常需要根据问题的意义, 通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象. 例如: 实例1 王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数: 75, 87, 96, 103,110,116,120,128,138, 145,153,158,160,162,163,165,168. ① 追问1 此列中的第1、第6个数的实际意义是什么? 追问2 这列数中的数据能否交换位置?具有确定顺序吗? 追问3 能否用与顺序相关的符号来表示这列数? 不能交换位置!具有确定顺序! 记王芳第i岁时的身高为hi,则h175,h287,h396,…,h17168. 所以, ①是具有确定顺序的一列数. hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置. 实例2 在两河流域发掘的一块泥版(编号K90,约产生于公元前7世纪)上,有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数: 追问 你能仿照上面对①的分析过程,说明②③也是确定顺序的一列数吗? 确定顺序的一列数. 5,10, 20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208, ② 实例3 将 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数. ③ 环节二 创设情境,提出问题 环节三 抽象概念,内涵辨析 上面三个例子的共同特征是什么? 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. 5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240. ① ② ③ 一列数 确定顺序 ①是按年龄从小到大的顺序排列的 ②是按每月的日期从小到大的顺序排列的 ③是按幂指数从小到大的顺序排列的 ④它们都是从第1项开始的. 问题: 数列的概念 数列:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 具有确定顺序的一列数 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,也称首项, 常用符号a1表示, 第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示…… 第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示. 项数:组成数列的数的个数称为数列的项数. 项数有限的数列叫做有穷数列, 项数无限的数列叫做无穷数列. 环节三 抽象概念,内涵辨析 问题:数列中的各项ai与各项序号i(i=1,2,3,...,n,...)间的对应关系是什么关系? 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号 项 数列本质上是特殊的函数. ①数列是以序号为自变量,以对应的项为函数值的函数,即 ②定义域为正整数集或它的有限子集 an=f(n) 数列是自变量为离散的数的函数. 环节三 抽象概念,内涵辨析 问题 既然数列是特殊的函数,那么数列的表达方式和函数的一样吗? 例如,实例1的王芳身高可以表示为 列表法: 图象法: 以序号为横坐标,相应的项为纵坐标,数列的图象是由一些孤立的点构成的. 解析法: 追问1 数列的图象有什么特点? 追问2 从实例1的表和图中,你能发现数列随序号的变化呈现出什么特点吗? 环节三 抽象概念,内涵辨析 数列的分类 从相邻项的大小 递减数列: 递增数列: 常数列: 对任意n∈N*,总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*,总有an+1<an (或an+1-an<0). 对任意n∈N*,总有an+1=an (或an+1-an=0). 按项的个数 进行分类 有穷数列:个数有限的的数列 无穷数列:个数无限的的数列 摆动数列: 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项 小于它的前一项的数列. 环节三 抽象概念,内涵辨析 问题4 数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示? 数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的通项公式,简称通项 。 an=()n 追问2 数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有通项公式吗? 追问1 数列通项公式的作用是什么? 通项公式就是数列的函数解析式,根据通项公式可以写出数列的各项. 并不是每个数列都能写出通项公式. 环节三 抽象概念,内涵辨析 {an}表示一个数列:a1,a2,a3,…,an,…. ; an表示数列{an}中的第n项. 数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它是一个函数值,即 ; 而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是函数值 对应的自变量的值,即n. 思考1:{an} 与an的意思一样吗? 思考2:数列的项与项数有什么不同? 环节三 抽象概念,内涵辨析 环节四 例题练习,巩固理解 环节四 例题练习,巩固理解 例3:如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n,那么120是不是这个数列的项?如果是,是第几项? 分析:要判断120是不是数列{an}中的项,就是要回答是否存在正整数n,使得n +2n=120.也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解. 解: 令n +2n = 120, 解这个关于n的方程,得n = -12(舍去),或n = 10. 所以,120是数列{an}的项,是第10项. 环节四 例题练习,巩固理解 环节五 课堂小结,形成结构 数列的概念 环节六 目标检测,检验效果 1. 写出下列数列的前10项,并作出它们的图象: (1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列; (2) 当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时,函数f(x) =2x +1的值构成的数列; 环节七 作业布置,迁移应用 必做题:课本第8页习题4.1第1题,第2(1)(2)题 选做题:课本第9页习题4.1第1题,第6,7题 数列的一般形式是,,…,,…,简记为. (2) 当通项公式中的时,数列的 前项依次为. 图象如图4.1-2(2)所示. 例1:根据下列数列的通项公式,写出数列的前5项,并画出它们的图象. (1);(2). 解:(1)当通项公式中的时,数列 的前5项依次为 图象如图4.1-2(1)所示. (2) 这个数列前4项的奇数项是2,偶数项是0,所以它的一个通项 公式为: . 解:(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正, 偶数项为负,所以它的一个通项公式为: ① ①或常常用来表示正负相间的变化规律. 例2:根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式: (1); (2). $$