第二讲 11.2与三角形有关的角2024-2025学年人教版数学八年级上册

第二讲 11.2与三角形有关的角 核心要点 1. 三角形的内角和定理 2. 直角三角形的定义与性质：（1）定义： （2）性质： 3. .三角形外角的定义 4. 三角形角平分线的性质： 5. 等腰三角形的性质： 3 考点梳理 【考点1】三角形的内角和定理的应用 例题1．在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和可知，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， 根据三角形内角和可知：， 即， 解得：， 【方法总结】已知三角形的两个内角或者内角之间的关系，可根据三角形的内角和定理求解 【针对训练】1.如图，缺了一个角，测得，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.在在中，已知，则度数是（    ） A． B． C． D． 3.中，已知，则度数是（    ） A． B． C． D． 4.如图，中，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 【考点2】利用三角形的外角求角度 例题1.如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 【方法总结】三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和 【针对训练】1.如图，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的外角，若，，则（    ） A． B． C． D． 【考点3】根据三角形内角和定理，外角性质求角度 例题1.如图，的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理，外角性质，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且， 故， 【针对训练】 1．如图， 度． 2如图分别是的外角，则 ． 【考点4】角平分线的性质 例题1．如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和、角平分线的定义及平行线性质，解题关键是熟记相关概念与性质．先根据三角形内角和求出， 再根据角平分线定义及平行线性质可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，且，， ， 平分， ， ， ． 【变式1】如图，在中，，平分，交于点．交于点．若，，则的长为 ． 【变式2】．如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到边的距离为 ． 【变式3】如图，中，平分，于点，，，则 ． 4.如图，中，平分平分，求的度数． 【考点5】等腰三角形的性质（等边对等角） 例题1.等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于 ． 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，等腰三角形两底角相等结合三角形内角和为180度即可求出答案． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角等于， ∴它的底角等于， 故答案为：． 【针对训练】 1.如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则 ． 2． 如图，中，，，则的度数为 ． 【考点6】利用直角三角形的性质求角度 例题1．在中，已知，则的度数是 ． 【分析】该题主要考查了三角形内角和，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 根据和即可求解； 【详解】解：把，代入， 得， ， ． 故答案为：． 【针对训练】 1．在中，，，则的度数为 ． 2.已知的三个内角满足： ，则此三角形是 ． 【考点7】折叠角问题 例题1.如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，补角的概念的运用，根据折叠可得，由三角形内角和定理可得，则，再根补角的性质可得，即可求解． 【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 2．如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，把的往内部折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 课后综合提升 1．如图，中，B、C、D三点共线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 3．已知在中，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．以上都有可能 4．如图，在中，，沿图中虚线截去，则（    ） A． B． C． D． 5．若一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 6．如图，在中，，是内一点，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7.适合条件的是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或锐角三角形 8．直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 9．在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 12．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 13．在直角三角形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14.下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 15．如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形 16．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17.如图，的边，，是三条角平分线的交点，若的面积为15，则的面积为（    ） A．11 B．17 C．18 D．20 18.．等腰三角形中，，则的度数（   ） A． B． C． D． 19.如图，在中，，，平分，， ． 20．如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 11.2与三角形有关的角 核心要点 1. 三角形的内角和定理 2. 直角三角形的定义与性质：（1）定义： （2）性质： 3. .三角形外角的定义 4. 三角形角平分线的性质： 5. 等腰三角形的性质： 3 考点梳理 【考点1】三角形的内角和定理的应用 例题1．在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和可知，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， 根据三角形内角和可知：， 即， 解得：， 【方法总结】已知三角形的两个内角或者内角之间的关系，可根据三角形的内角和定理求解 【针对训练】1.如图，缺了一个角，测得，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，由此即可求出答案． 【详解】， ， 2.在在中，已知，则度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理，利用三角形内角和得出关于的方程，是解题关键． 利用三角形的内角和180°，把和用∠表示，再列出方程求出即可． 【详解】∵中，已， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3.中，已知，则度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理，利用三角形内角和得出关于的方程，是解题关键． 利用三角形的内角和180°，把和用∠表示，再列出方程求出即可． 【详解】∵中，已， ∴， ∴， ∴． 4.如图，中，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高的定义，由设，则，，进而利用直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解． 【详解】解：由设，则， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 【考点2】利用三角形的外角求角度 例题1.如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 【方法总结】三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和 【针对训练】1.如图，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．如图，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两个内角和是解题关键． 据三角形外角等于不相邻的两个内角和列式计算即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴． 3．如图，是的外角，若，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记定理是解题的关键．根据三角形外角的性质解答． 【详解】∵是的外角，， ∴， 【考点3】根据三角形内角和定理，外角性质求角度 例题1.如图，的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理，外角性质，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且， 故， 【针对训练】 1．如图， 度． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角可得外围六个角的和等于三个三角形的内角和减去一个三角形的内角和，由此即可求解． 【详解】解：如图： 由三角形内角和定理可得： ， ， , ， 又∵，，， ∴， ∵， ， , ∴ 2如图分别是的外角，则 ． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，先根据三角形外角的性质得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 【考点4】角平分线的性质 例题1．如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和、角平分线的定义及平行线性质，解题关键是熟记相关概念与性质．先根据三角形内角和求出， 再根据角平分线定义及平行线性质可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，且，， ， 平分， ， ， ． 【变式1】如图，在中，，平分，交于点．交于点．若，，则的长为 ． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两端的距离相等，据此可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 【变式2】．如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到边的距离为 ． 【分析】本题考查角平分线的性质．熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 根据角平分线的性质即可知点到边的距离等于长，即可解答． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴，∵是的角平分线，， ∴，点到边的距离等于． 【变式3】如图，中，平分，于点，，，则 ． 【分析】延长交于点，利用角平分线的性质，垂直易得到，进而得到，，结合图形可知和是分别以和为底边，高相等的两个三角形，进而得到，然后利用来求解． 【详解】解：延长交于点，如图 平分，， ，． 在和中 ， ， ， ． 和是分别以和为底边，高相等的两个三角形， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 4.如图，中，平分平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了角平分线的定义．先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，经过变形后得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：如图 ∵、的平分线、相交于． ∴，， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴． 【考点5】等腰三角形的性质（等边对等角） 例题1.等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于 ． 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，等腰三角形两底角相等结合三角形内角和为180度即可求出答案． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角等于， ∴它的底角等于， 故答案为：． 【针对训练】 1.如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则 ． 【答案】/45度 【分析】根据题意，得，继而得到，结合等腰三角形的性质，计算即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 2．如图，中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点6】利用直角三角形的性质求角度 例题1．在中，已知，则的度数是 ． 【分析】该题主要考查了三角形内角和，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 根据和即可求解； 【详解】解：把，代入， 得， ， ． 故答案为：． 【针对训练】 1．在中，，，则的度数为 ． 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故答案为：． 2.已知的三个内角满足： ，则此三角形是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，理解并掌握直角三角形定理是解题关键．根据题意可得，，结合三角形内角和定理解得的值，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【考点7】折叠角问题 例题1.如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，补角的概念的运用，根据折叠可得，由三角形内角和定理可得，则，再根补角的性质可得，即可求解． 【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 2．如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，折叠的性质，得到，平角的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 3．如图，把的往内部折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形的内角和定理、折叠性质、平角定义，先根据三角形的内角和定理求得，再由由折叠性质得，，然后利用平角定义可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠性质得，， ∴，， ∴， ∴，课后综合提升 1．如图，中，B、C、D三点共线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 2．如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形内角和、邻补角的运用以及平行线的性质，先由三角形内角和算出，再结合，则同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 3．已知在中，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．以上都有可能 【分析】本题主要考查了三角形的分类和三角形内角和定理，三角形的分类有锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有两个角相等的是等腰三角形．结合三角形内角和定理利用假设法一一判断即可得出答案． 【详解】解：在中，，则可能是锐角三角形． 假如：时，则是等腰三角形， 假如：则，则是钝角三角形． 4．如图，在中，，沿图中虚线截去，则（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，结合，，计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 5．若一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理列出方程，求出解可得答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角为，根据题意，得 ， 解得， ∴， 所以这个三角形是直角三角形． 故选：B． 6．如图，在中，，是内一点，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，进而求出，由此即可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7.适合条件的是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或锐角三角形 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据题意，设，则，，由三角形内角和定理可知，列式求解得到，，，再由即可得到答案，熟记三角形内角和定理求角度是解决问题的关键． 【详解】解：由三角形内角和定理可知， ， 设，则，，则， 解得， ，， ， ， 适合条件的是钝角三角形， 8．直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是， 另一个锐角的度数是， 9．在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵在中，一个锐角等于， ∴另一个锐角的度数为， 10．在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了直角三角形角的性质．根据直角三角形两锐角互余可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 12．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形中两个锐角互余求解即可，也是解题关键． 【详解】解：． 13．在直角三角形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了直角三角形两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直角三角形中，，可得，代入，即可得到度数． 【详解】解：∵直角三角形中，， ∴， ∵， ∴． 14.下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 15．如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 16．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据三角形外角的性质即可直接得出答案． 【详解】解：， ， 17.如图，的边，，是三条角平分线的交点，若的面积为15，则的面积为（    ） A．11 B．17 C．18 D．20 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得，点到，，的距离相等，设点到，的距离为h，根据，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：点是三条角平分线的交点， 点到，的距离相等， 设点到，的距离为h， 则， 解得：， ∴， 的面积为18． 18.．等腰三角形中，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 19.如图，在中，，，平分，， ． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及直角三角形两锐角互余的性质，根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理及平角的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余列式进行计算即可得解． 【详解】解：，， ， 又平分， ， ， ， 又是边上的高， ． 故答案为：． 20．如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于 ． 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理等知识点，根据翻折变换的性质可得，再根据三角形的内角和等于，求出，进而即可得解，熟练掌握翻折变换的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵沿着折叠压平，A与重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$