28.1　锐角三角函数 课时作业 2024-2025学年数学人教版九年级下册

第2课时　锐角的余弦和正切 余弦 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则cos B的值为(　　) A. B. C. D. 2.如图,在正方形网格中,△AOC的顶点均在格点(网格线交点)上,则cos∠AOC的值为　　　　.  3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,cos B=,则AC的长为　　　　.  4.在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长. 正切 5.(2024石家庄期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3AC,则tan B的值为 (　　) A. B.3 C. D. 6.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则AC的长为 (　　) A.6 B.16 C.12 D.4 7.如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tan B的值为　　　　　.  8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,求sin A,cos A,tan A的值. 锐角三角函数 9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则下列三角函数表示正确的是 (　　) A.sin A= B.cos A= C.tan A= D.tan B= 10.(2024合肥庐阳区期末)在△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则cos A的值为 (　　) A. B. C. D.2 11.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A=,则sin A的值为　　　　　　.  12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tan A=.求AB的长和sin B的值. 1.如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tan A的值为 (　　) A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中,若2AB=AC,则cos C的值为 (　　) A.或 B.或 C.或 D.或 3.如图,点D在钝角三角形ABC的边BC上,连接AD,∠B=45°,∠CAD=∠CDA,CA∶CB=5∶7.则cos∠CAD的值为　　　　.  4.(2024石家庄裕华区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于点E,AE=6,cos A=. (1)CD=　　　.  (2)tan∠DBC=　　　　.  5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O是AB的中点,CO=6.5,BC=5. (1)求AC的长. (2)求cos∠OCA与tan B的值. 6.(2024怀化期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,点D在BC上,且BD=AD. (1)求AB的长. (2)求cos∠ADC的值. 7.(几何直观)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以直角边AB的长为直径的☉O交AC于点D,在AC上截取AE=AB,连接BE交☉O于点F. (1)求证:∠EBC=∠BAC. (2)若☉O的半径r=5,tan∠CBE=,求CE的长. 【详解答案】 课堂达标 1.A　解析:∵∠C=90°,AB=10,AC=8, ∴BC==6. ∴cos B=. 故选A. 2.　解析:∵在正方形网格中,△AOC的顶点均在格点上, ∴∠ACO=90°,OC=2,AC=4. ∴AO==2. ∴cos∠AOC=. 3.12　解析:在Rt△ABC中,∠C=90°, cos B=,AB=15, ∴.解得BC=9. 由勾股定理,得 AC==12. 4.解:∵cos A=, ∴设AC=5x cm,AB=13x cm. 则BC=12x cm. 由12x=24,得x=2. ∴AB=26 cm,AC=10 cm. ∴△ABC的周长为10+24+26=60(cm). 5.A　解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3AC, ∴tan B=.故选A. 6.B　解析:如图, ∵tan A=,BC=8, ∴AC=16.故选B. 7.　解析:如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中,BD=3,AD=2.∴tan B=. 8.解:∵∠C=90°,AC=3,BC=4, ∴AB==5. ∴sin A=,cos A=, tan A=. 9.A　解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2, ∴AC=. ∴sin A=,cos A=,tan A=,tan B=. 故选A. 10.A　解析:在△ABC中,∠C=90°,令∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. ∵tan A==2,∴设b=k,则a=2k.由勾股定理,得c=k. ∴cos A=. 故选A. 11.　解析:在Rt△ABC中,令∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. ∵∠C=90°,cos A=, ∴设b=5k,c=13k. ∴a==12k. ∴sin A=. 12.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tan A=, ∴AC==12. ∴AB==6. ∴sin B=. 课后提升 1.A　解析:如图,连接CD.由图可知,CD=,AD=2,AC=. ∵AC2=CD2+AD2, ∴△ACD是直角三角形. ∵AE=DE=CD, ∴CD=AD. ∴tan A=.故选A. 2.C　解析:①当AC为直角边,∠A=90°时. ∵2AB=AC, ∴BC=AB. ∴cos C=. ②当AC为斜边时. ∵2AB=AC, ∴BC=AB. ∴cos C=. 综上所述,cos C的值为或. 故选C. 3.　解析:如图,过点A作AH⊥BC于点H.设AC=CD=5k,BC=7k. ∵∠B=45°,∠AHB=90°, ∴AH=BH. 设AH=BH=x. 在Rt△ACH中, ∵AH2+HC2=AC2, ∴x2+(7k-x)2=(5k)2. 解得x=3k或x=4k(舍弃,与钝角三角形矛盾). 当x=3k时,BD=BC-CD=7k-5k=2k, ∴BH=AH=3k,DH=BH-BD=k. ∴AD=k. ∴cos∠CAD=cos∠ADH=. 4.(1)8　(2)　解析:(1)在Rt△ADE中, ∵AE=6,cos A=, ∴AD=10. ∴DE==8. ∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥CB, ∴DE=CD=8. (2)由(1)知,AE=6,AD=10,CD=8, ∴AC=AD+CD=18. 在Rt△ABC中,∵cos A=, ∴AB=30. ∴BC==24. 在Rt△DBC中,tan∠DBC=. 5.解:(1)∵∠ACB=90°,O是AB的中点,CO=6.5, ∴AB=2CO=13. ∵BC=5, ∴AC==12. (2)∵∠ACB=90°,O是AB的中点, ∴OC=AB,OA=AB. ∴OA=OC. ∴∠OAC=∠OCA. ∴cos∠OCA=cos∠OAC=,tan B=. 6.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=, ∴tan B=. 解得AC=4. 在Rt△ABC中, AB==4. (2)设CD=x,则AD=BD=8-x. 在Rt△ACD中,根据勾股定理,得 AD2=CD2+AC2,即(8-x)2=x2+42. 解得x=3. ∴CD=3,AD=5. ∴cos∠ADC=. 7.解:(1)证明:如图,连接AF. ∵AB为☉O的直径, ∴∠AFB=90°. ∴∠BAF+∠ABF=90°. ∵∠ABC=90°, ∴∠ABF+∠EBC=90°. ∴∠BAF=∠EBC. ∵AB=AE,∠AFB=90°, ∴∠BAF=∠BAC. ∴∠EBC=∠BAC. (2)如图,过点E作EG⊥BC于点G. ∴∠AFB=∠BGE=90°. ∵∠BAF=∠EBG, ∴△BAF∽△EBG. ∴. ∵tan∠BAF=tan∠CBE=, ∴.∴AF=2BF. ∵AB=2OA=10, ∴BF=2,AF=4. ∵AF⊥BE,AB=AE, ∴BE=2BF=4. ∴. 解得EG=4,BG=8. ∵∠ABC=∠EGC=90°,∠C=∠C, ∴△ABC∽△EGC. ∴. ∴. 解得CG=. ∴CE=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　特殊角的三角函数值和用计算器计算 特殊角的锐角三角函数值 1.sin 60°的值为 (　　) A. B. C.1 D. 2.计算:4cos 30°-2tan 45°=　　　　　　.  3.计算:cos245°-sin230°=　　　　　.  4.计算: (1)3tan 30°-tan 45°+2sin 60°. (2)(cos230°+sin230°)×tan 60°. 由三角函数值求特殊角 5.若∠A是锐角,sin A=,则∠A的度数为 (　　) A.60° B.45° C.30° D.75° 6.(2024桂林期末)若∠A为锐角,且tan A=1,则∠A的度数为　　　　　.  用计算器计算锐角三角函数值 7.用计算器求sin 24°37'18″的值,以下按键顺序正确的是 (　　) 1.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,则△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 2.(2024西安雁塔区一模)在△ABC中,若=0,则∠C的度数是　　　　　.  3.规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y. (1)判断下列等式成立的是　　　　　　(填序号).  ①cos(-60°)=-;②sin 2x=2sin x·cos x; ③sin(x-y)=sin x·cos y-cos x·sin y. (2)利用上面的规定求①sin 75°;②sin 15°. 4.(运算能力)对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sin α=sin(180°-α),cos α=-cos(180°-α) (1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值. (2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的大小. 【详解答案】 课堂达标 1.A　解析:sin 60°=.故选A. 2.2-2　解析:原式=4×-2×1=2-2. 3.　解析:原式= - . 4.解:(1)原式=3×-1+2×-1+=2-1. (2)原式=×. 5.C　解析:∵∠A是锐角,sin A=,∴∠A=30°.故选C. 6.45°　解析:∵∠A为锐角,且tan A=1,tan 45°=1,∴∠A=45°. 7.A　解析:先按键sin,再输入角的度数24°37'18″,按键=即可得到结果. 故选A. 课后提升 1.C　解析:∵∠A,∠B都是锐角,且sin A=,cos B=, ∴∠A=45°,∠B=60°. ∴∠C=180°-∠A-∠B=75°. ∴△ABC的形状是锐角三角形.故选C. 2.105°　解析:∵sin A-+-cos B2=0, ∴sin A-=0,-cos B=0. ∴sin A=,cos B=. ∴∠A=30°,∠B=45°. ∴∠C=180°-∠A-∠B=105°. 3.解:(1)②③ (2)①sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°·cos 45°+cos 30°·sin 45°=. ②sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°·cos 30°-cos 45°·sin 30°=. 4.解:(1)由题意,得 sin 120°=sin(180°-120°)=sin 60°=, cos 120°=-cos(180°-120°)=-cos 60°=-, sin 150°=sin(180°-150°)=sin 30°=. (2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4, ∴三个内角分别为30°,30°,120°. ①当∠A=30°,∠B=120°时,则sin A=sin 30°=,cos B=cos 120°=-,则方程的两根分别为,-. 将x=代入方程,得4×-m×-1=0.解得m=0. 经检验,x=-是方程4x2-1=0的实数根. ∴m=0符合题意. ②当∠A=120°,∠B=30°时,则sin A=sin 120°=,cos B=cos 30°=,则方程的两根分别为,,两个根相等,不符合题意. ③当∠A=30°,∠B=30°时,则sin A=sin 30°=,cos B=cos 30°=,则方程的两根分别为,. 将x=代入方程,得4×-m×-1=0. 解得m=0. 经检验,x=不是方程4x2-1=0的实数根,不符合题意. 综上所述,m=0,∠A=30°,∠B=120°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 28.1　锐角三角函数 第1课时　锐角的正弦 已知直角三角形的边长求正弦 1.(2024迁安期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,则sin A的值为(　　) A. B. C. D. 2.(2024六安期末)正方形网格中,∠AOB如图放置,则sin∠AOB的值为 (　　) A. B. C.1 D. 已知锐角的正弦值,求直角三角形的边长　　　　　　 　　　　　 3.如图,在△ACB中,∠C=90°,sin B=.若AC=6,则BC的长为 (　　) A.8 B.12 C.6 D.12 4.如图,l1∥l2,A,B分别是直线l1,l2上的点,AB=3,sin α=,则直线l1与l2之间的距离为　　　.  1.在△ABC中,已知∠C=90°,AC=4,sin A=,那么BC边的长是 (　　) A.2 B.8 C.4 D.12 2.如图,在4×4的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点.若△ABC的顶点都在格点上,则sin∠ABC的值是 (　　) A. B. C. D. 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=α,∠ADC=β,用含α和β的代数式表示的值为　　　　　　. 4.(推理能力)如图,AC是☉O的直径,PA⊥AC,连接OP,弦CB∥OP,直线PB交直线AC于点D,　BD=2PA. (1)求证:直线PB是☉O的切线. (2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明. (3)求sin∠OPA的值. 【详解答案】 课堂达标 1.B　解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,则sin A=.故选B. 2.B　解析:如图,连接AD,CD,设正方形的网格边长是1,则根据勾股定理可以得到: OD=AD=,OC=AC=,在△ODA中,由等腰三角形三线合一,得∠OCD=90°,则CD=.∴sin∠AOB=.故选B. 3.C　解析:在Rt△ACB中,sin B=,∴AB=12. ∴BC==6.故选C. 4.2　解析:如图,过点A作AC⊥l2于点C. ∵sin α=, ∴AC=AB·sin α. ∵AB=3,sin α=, ∴AC=3×=2. ∴直线l1与l2之间的距离为2. 课后提升 1.B　解析:∵sin A=,∴设BC=2k,则AB=3k. 由勾股定理,得AC2+BC2=AB2, 即(4)2+(2k)2=(3k)2. 解得k=4(负值已舍去). ∴BC=2k=8. 故选B. 2.B　解析:由题意可知,AB==5,AC==2,BC=. ∵AB2=25,AC2=20,BC2=5, ∴AB2=AC2+BC2. ∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°. ∴sin∠ABC=. 故选B. 3.　解析:在Rt△ABC中,sin α=, ∴AB=. 在Rt△ADC中,sin β=, ∴AD=. ∴·. 4.解:(1)证明:如图,连接OB. ∵PA⊥AC,∴∠PAO=90°. ∵BC∥OP, ∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠POB. ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB. ∴∠POB=∠POA. 又∵PO=PO,OB=OA, ∴△POB≌△POA(SAS). ∴∠PBO=∠PAO=90°. ∵OB是☉O的半径, ∴直线PB是☉O的切线. (2)2PO=3BC. 证明:∵△POB≌△POA,∴PB=PA. ∵BD=2PA,∴BD=2PB. ∴. ∵BC∥PO,∴△DBC∽△DPO. ∴.∴2PO=3BC. (3)∵CB∥OP, ∴△DBC∽△DPO. ∴,即DC=OD. ∵OC+CD=OD,∴OC=OD. ∴DC=2OC. 设OA=x,PA=y.则OD=3x,OB=x,BD=2y. 在Rt△OBD中,由勾股定理,得OD2=OB2+BD2,(3x)2=x2+(2y)2,即2x2=y2. ∵x>0,y>0, ∴y=x,OP=x. ∴sin∠OPA=. 学科网（北京）股份有限公司 $$