空间向量在立体几何中的应用-求角学案-2025届高三数学一轮复习

空间向量在立体几何中的应用-求角 2．空间角和距离的计算 条件 向量法 线线角 直线的方向向量分别是，直线的夹角是． 线面角 是斜线的方向向量，是平面的法向量，斜线与平面所成的角为． 面面角 设向量与分别是二面角中的两个半平面的法向量，二面角的平面角为． ． （通过观察选择“”号） 点到面 的距离 向量是平面的法向量，点是平面外一定点，点是内任意一点，点到平面的距离为． 1．已知正四棱柱中，,则与平面所成角的正弦值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，点到平面的距离为， 利用易求出． ∴与平面所成角的正弦值等． 2．直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为原点建立空间直角坐标系，如图， 设，则， ∴， ∴． 考点一 异面直线所成的角 【例1】如图，在直二面角中，四边形是矩形，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，． ∵，， ∴，， ，． ∴，∴． ∴，∴． ∴，，且， ∴平面． （2）∵，， 记与夹角为，则 ． ∴异面直线与所成角的余弦值为。 【方法技巧】利用向量求线线角的解题策略 (1)向量法求异面直线所成的角的方法有两种 ①基向量法：利用线性运算． ②坐标法：利用坐标运算． (2)注意向量的夹角与异面直线所成角的区别 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角； 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角． 考点二 直线与平面所成的角 【例2】如图，四棱锥中，平面，∥，，，为线段上一点，，为的中点． （1）证明∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：由已知得， 取的中点，连接， ∵为中点，∴∥，. ∵，∴，∥， ∴四边形为平行四边形，∴∥. ∵平面，平面， ∴∥平面. （2）取的中点，连结.由，得，. ∴.以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则, , 设为平面的法向量， 则，即， 取，得，于是． ∴直线与平面所成角的正弦值． 【方法技巧】利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 考点三 二面角的平面角 【例3】如图，在以为顶点的五面体中，平面为 正方形，，且二面角与二面角都是． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：∵为正方形， ∴． ∵，∴， ∵，∴平面． ∵平面， ∴平面平面． （2）由（1）知． ∵∥， 平面，平面， ∴∥平面． ∵平面， 平面平面， ∴∥，∴∥． ∴四边形为等腰梯形 以为原点，如图建立坐标系，设， 则，，，． ，，． 设为平面法向量， 则，即，取，得． 设面法向量为 ，即，取，得． 设二面角的大小为. ， 二面角的余弦值为． 【方法技巧】利用法向量求二面角时应注意 (1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着的， 不用单独求． (2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角， 可结合图形进行，以防结论失误． 1． 如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形， ，平面平面，平面． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：取的中点,连接,． ∵是等边三角形，∴． ∵是等腰直角三角形，，∴． ∵ 平面平面， 平面平面，平面， ∴平面． ∵平面,∴∥． ∴,,,四点共面． ∵,∴平面． ∵平面,∴ ． （2）作,垂足为,则． ∵是等边三角形，,∴,． 在中， ． ∵是等腰直角三角形， ，∴． ∴． 如图,以点为坐标原点, 建立空间直角坐标系, 则,,,． ∴ ,,． 设平面的法向量为， 由，即，令，得． 设直线与平面所成角为, 则， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 2．如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【解析】（1）取中点，连接、、， ∵四边形是边长为的菱形，∴． ∵，∴是等边三角形． ∴，． ∵，∴． ∵，∴．∴． ∵，∴平面． ∵平面，∴平面平面． （2）∵， ∴． 由（1）知，平面平面， ∴平面， ∴直线两两垂直． ∴以为原点建立空间直角坐标系,如图， 则． ∴． 设平面的法向量为， 由，得，取，得， 设平面的法向量为， 由，得，取，得， ∴， 由图可知二面角为锐二面角， ∴二面角的的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量在立体几何中的应用-求角 2．空间角和距离的计算 条件 向量法 线线角 直线的方向向量分别是，直线的夹角是． 线面角 是斜线的方向向量，是平面的法向量，斜线与平面所成的角为． 面面角 设向量与分别是二面角中的两个半平面的法向量，二面角的平面角为． ． （通过观察选择“”号） 点到面 的距离 向量是平面的法向量，点是平面外一定点，点是内任意一点，点到平面的距离为． 1．已知正四棱柱中，,则与平面所成角的正弦值等于（　　） 2．直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． ． 考点一 异面直线所成的角 【例1】如图，在直二面角中，四边形是矩形，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【方法技巧】利用向量求线线角的解题策略 (1)向量法求异面直线所成的角的方法有两种 ①基向量法：利用线性运算． ②坐标法：利用坐标运算． (2)注意向量的夹角与异面直线所成角的区别 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角； 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角． 考点二 直线与平面所成的角 【例2】如图，四棱锥中，平面，∥，，，为线段上一点，，为的中点． （1）证明∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【方法技巧】利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 考点三 二面角的平面角 【例3】如图，在以为顶点的五面体中，平面为 正方形，，且二面角与二面角都是． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【方法技巧】利用法向量求二面角时应注意 (1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着的， 不用单独求． (2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角， 可结合图形进行，以防结论失误． 1． 如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形， ，平面平面，平面． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 2．如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$