专题04 函数与导数（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题04函数与导数 曲线的切线 1．（21-22高三上·北京房山·期末）已知函数，函数，其中． (1)如果曲线与在处具有公共的切线，求的值及切线方程； (2)如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）和在处的切线相同，则在该点出的导数相等，从而求解a的值，以及切线l的方程； （2）设函数，则将原问题转化为有有唯一解，然后对a进行分类讨论即可. 【详解】（1）， 由题意，公共切线的斜率，即    又因为，所以切线方程为． （2）设函数．    曲线与有且仅有一个公共点等价于“函数有且仅有一个零点”．    ①当时， 当时，，所以在单调递增． 又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．. ②当时，令，解得 与的变化情况如下： 0 ↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 故有且仅有一个零点，符合题意． ③当时，令，解得． 与的变化情况如下： 0 ↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时， ， 因为，，且在上单调递增， 所以 又因为存在， 使得 所以存在使得， 所以函数存在两个零点，与题意不符， 综上，曲线与有且仅有一个公共点时， 的范围是或. 【点睛】方程的根，函数的零点，图象与x轴的交点属于一类问题，常用的方法有三个：构造函数法，这种方法往往需要讨论参数，进而研究函数的零点个数，上述解法就属于这一种，还有一种比较简单的就是参变分离法，等价于，这种方法需要注意，讨论时的情况，问题就转成立研究的图像，优点就是研究的函数没有参数；最后一种，有时零点问题也可以转成两个函数图象的交点问题，小题用此法比较多. 2．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上存在极值，求实数的取值范围： (3)写出的零点个数．（直接写出结论即可） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分类讨论即可结合极值的定义求解， （3）构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解交点个数求解. 【详解】（1）当时，，则， 故，， 在点处的切线方程为，即 （2）， 当时，在单调递增，此时无极值点， 当时，令或， 要使得在上存在极值，则需要，解得， （3）令， 令，则， 记，则， 当时，单调递减，时，单调递增， 且，时，， 而当时，， 作出的大致图象如下： 故当时，无零点， 当或时，一个零点， 当时，两个零点， . 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 函数的单调性 3．（21-22高三上·北京门头沟·期末）在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可转化为函数与函数有两个焦点，进而可得参数范围. 【详解】解：由指对函数性质可知，可转化为函数与函数有二个不同交点， 当时，不合题意； 当时，，有两个解， 设函数，， ，令，解得， 所以函数在单调递增，则单调递减， 所以， 又， 且当时，， 所以， 故选：C. 4．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【详解】（1）由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． （2）因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 5．（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2)增区间，减区间 (3)，理由详见解析 【分析】（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程. （2）利用导数求得的单调区间. （3）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系. 【详解】（1）时，，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，， 所以在区间和上单调递减， 在区间上单调递增， 所以的增区间，减区间； （3）当且时，，证明如下： 令，则， 设， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以，即， 所以的单调递增区间为. 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当且时，. 【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间. 6．（23-24高三上·北京房山·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)、 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，，则，所以，，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：当时，，该函数的定义域为， ， 由，即，解得或， 因此，当时，函数的单调递增区间为、. （3）解：因为，则， 令，因为函数在上有且只有一个极值点， 则函数在上有一个异号零点， 当时，对任意的，，不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 因为，只需，合乎题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需，不合乎题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 7．（21-22高三上·北京东城·期末）曲线在点处的切线交轴于点. (1)当时，求切线的方程； (2)为坐标原点，记的面积为，求面积以为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间. 【答案】(1) (2)，定义域，增区间为和和 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线方程. （2）利用导数的几何意义求出切线方程，求得坐标，利用面积公式，写成分段函数，进而求得函数的定义域，再利用导数结合换元法研究函数的单增区间. 【详解】（1）由，求导，当时，切点为， 切线的斜率，则切线方程为：，即 所以切线的方程为： （2）由，求导，切点 切线斜率，则切线方程为 令，则，所以切线与轴的交点 ， 所以的面积为 当时，； 当或时， 所以面积以为自变量的函数解析式为 由表示面积，， 即或或 解得：或或 所以函数的定义域为 令，令，则 则，求导 令，即，解得 所以在区间上单调递增，其余部分单调递减； 所以在区间上单调递增，其余部分单调递减， 又，且，，由翻折变换可知， 的单调递增区间为和和 函数的极值与最值 8．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知函数，则（    ） A． B．不是周期函数 C．在区间上存在极值 D．在区间内有且只有一个零点 【答案】D 【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得，由此即可判断；对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令，解方程即可得解. 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误； 对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减， 所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误； 对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确. 故选：D. 9．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求a的值． 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）得，求得，进而构造函数，研究其零点即可得答案. 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． （2）解：函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3）解：由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 10．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)判断极值点的个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）求出导数，然后求出，从而求解. （2）由（1）知，然后求出导数，从而可求解. （3）根据（2）中分类讨论的情况，然后求出相应的解，从而求出单调区间，从而求解. 【详解】（1）由题意知，定义域为，所以， 所以直线的斜率，， 所以切线方程为，即. （2）由（1）知，所以， 令，即，解得或， 当，， 当，， 当，， 所以在，单调递增，在单调递减. （3）个极值点，理由如下： 由（2）知当时，在区间上单调递增， ，， 所以存在唯一，使； 当时，在区间上单调递减， ，， 所以存在唯一，使； 当时，，，所以 所以在区间无零点； 综上，当，， 当，， 当，， 所以当时，取到极小值；当时，取到极大值； 故有个极值点. 11．（22-23高三上·北京通州·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)当函数存在极小值时，求证：函数的极小值一定小于0. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义确定切点坐标和斜率，即可得切线方程； （2）根据函数单调性与导数的关系，确定单调性，即可得单调区间； （3）在（2）的基础上，确定函数极小值点，求极小值即可证明. 【详解】（1）解：当，，则， 因为，所以. 所以曲线在的切线方程为. （2）解：函数定义域为. ， 令，解得：. ①当即时，， 所以函数的单调递减区间为和，无单调递增区间. ②当即时，当和，；当，， 函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. ③当即时，当和，；当，， 函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. 综上所述： 时，函数的单调递减区间为和，无单调递增区间. 时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. 时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. （3）证明：函数定义域为. 由题意，函数存在极小值， 则在极小值点有定义，且在该点左侧函数单调递减，在该点右侧函数单调递增. 由（2）可知，当时，函数在处取得极小值， 即； 当时，又，函数无极小值， 所以函数的极小值一定小于0. 函数的零点问题 12．（23-24高三上·北京海淀·期末）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（    ） A．10 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数与直线相交即可. 【详解】对比选项可知我们只需要讨论时，关于的方程的解的情况， 若关于的方程（且）有实数解， 即与的图像有交点， 因为与互为反函数， 所以与的图像关于直线对称， 如图所示： 设函数与直线相切，切点为， ，则有，解得：， 由图像可知，当时，曲线与直线有交点， 即与的图像有交点，即方程有解. 故选：D. 13．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论： ①函数有零点；      ②a的取值范围是； ③；              ④． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明①正确；由已知，有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断②；根据求根公式，解出，结合②中解出的的范围，可得到，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合③的解析，可得，即④正确. 【详解】由已知可得，定义域为，. 对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确； 对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解， 则应满足，解得，故②错误； 对于③，解方程可得，，因为，所以，由②知，所以，所以，故③错误； 对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减. 由③知，所以，故④正确. 故答案为：①④. 14．（21-22高三上·北京通州·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有一个零点；            ②若，则有三个零点； ③，在R上是增函数；        ④，使得在R上是增函数． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】根据题意，按照、、及写出函数的解析式，分段讨论得出函数在R上的单调性，结合零点存在性定理逐个判断即可求解. 【详解】解：因为函数，所以函数， 对于①，当时，则， 当时，单调递增， 当时，，所以单调递增，所以函数在R上单调递增，且，，所以函数有一个零点，故①正确； 对于②，当时，则， 当时，单调递增，且，，所以在，函数有且只有一个零点， 当时，令，解得， 所以当时，所以，单调递减；当时，所以，单调递增， 所以当时，，所以在，函数有且只有一个零点， 所以当，函数只有两个零点，故②不正确； 对于③，当，即时，则， 当时，单调递增， 当时，，所以单调递增，所以函数在R上单调递增， 综上得，，在R上是增函数，故③正确； 对于④，当，即时，则， 当时，单调递增， 当时，令，解得， 所以当时，所以，单调递减； 当时，所以，单调递增， 所以当时，函数在和上单调递增，在 上单调递减，所以不存在，使得在R上是增函数，故④正确； 综上得，正确结论的序号是①③， 故答案为：①③. 【点睛】关键点睛：本题考查函数的零点个数，关键在于利用导函数分段讨论函数的单调性，极值，最值. 15．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)讨论在区间内极值点的个数； (3)若在区间内有零点，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求函数的导函数，若在点处的切线为轴，只需，求解即可； （2）针对导函数，分和两种情况讨论求解即可； （3）当时显然在区间内无零点；当时，构造函数并研究其单调性即可. 【详解】（1）由得：， 依题意，，得. 经验证，在点处的切线为，所以. （2）由题得. （i）若，当时，恒成立， 所以在区间上单调递增，所以无极值点. （ii）若， 当时，，故在区间上单调递减， 当时，，故在区间上单调递增. 所以为的极小值点，且无极大值点. 综上，当时，在区间内的极值点个数为0； 当时，在区间内的极值点个数为1. （3）由（2）知当时，在区间上单调递增， 所以，在区间内无零点. 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 所以. 若在区间内有零点，则. 而，设， 则. 设，则， 所以在区间上单调递增. 所以，即. 所以在区间上单调递增. 所以，即. 又， 所以. 16．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值； (2)当时，求的零点个数； (3)证明：是为单调函数的充分而不必要条件. 【答案】(1) (2)3个 (3)证明见解析 【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得； （2）结合函数的单调性与零点的存在性定理去研究函数零点个数问题即可得； （3）当时去推导为单调函数可证明充分性，找出不在该范围内的亦能使为单调函数即可证明不必要条件. 【详解】（1）， 则，即； （2）当时，，则，即， 又， 故为奇函数， ，， 令，即，解得， 令，即或， 故在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 由，则，又， 故在上必有一零点， 由为奇函数，则在上亦有一零点， 故当时，的零点个数为3个； （3），， 由，故， ，即 当时，，即， 故，即此时在上单调递减， 故是为单调函数的充分条件； 当时， ，即， 故，即此时在上单调递增， 故不是为单调函数的必要条件； 综上所述，是为单调函数的充分而不必要条件. 【点睛】关键点睛：本题（2）问中讨论函数零点问题，需要注意结合函数的单调性与零点的存在性定理去研究. 17．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)证明函数只有一个零点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）对求导，求出，由点斜式方程即可求出答案； （2）令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案. （3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明. 【详解】（1）的定义域为， 故，， 所以曲线在点处的切线方程为：， 化简得： （2）令，， 当时，， 所以在上单调递减，且， ， 所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使 又当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为 所以函数在区间上的最小值为. （3），， 若，， 所以在区间上单调递增，又，， 结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点， 若，则，则， 若，因为，所以， 综上，函数在有且仅有一个零点. 【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断. 18．（22-23高三上·北京房山·期末）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数恰有一个零点，则的取值范围为______.（只需写出结论） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义求在点处的切线方程； （2）由题设，讨论参数a，结合不同区间上符号确定的单调区间； （3）根据（2）所得的单调性，讨论参数a，结合零点存在性定理判断零点的个数，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 所以，，故曲线在点处的切线方程为. （2）由， 当时，，则时，时， 所以在上递减，上递增； 当时，令，可得或， 若，即时，、上，上， 所以在、上递增，上递减； 若，即时，在R上恒成立，即在R上递增； 若，即时，、上，上， 所以在、上递增，上递减； 综上，，在上递减，上递增； ，在、上递增，上递减； ，在R上递增； ，在、上递增，上递减； （3）由（2），当时，，而趋向、时趋向于， 所以，在、各有一个零点，共两个零点，不合题设； 当时，， 在上，趋向时趋向于， 所以，此时在有一个零点，满足题设； 当时，极大值，极小值，趋向时趋向于， 所以，在有一个零点，满足题设； 当时，，趋向时趋向于， 所以，在R上有一个零点，满足题设； 当时，极大值，极小值，趋向时趋向于， 所以，在上有一个零点，满足题设； 综上，函数恰有一个零点，. 函数与不等式 19．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)若函数在内存在极值，求的取值范围； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，根据在点处的切线与轴平行，得出导函数为0，即可求出的值. （2）对函数求导，由函数在内存在极值，得出导函数为0，转换成，构造新函数，求其取值范围，即可得到的取值范围. （3）由对任意的实数恒成立，代入，求得，构造新函数并求其取值范围，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）由题意 在中， ∵曲线在点即处的切线与轴平行， ∴ 解得： （2）由题意及（1）得 在中， 函数在内存在极值 ∴当时，解得： 在中 ， ∴函数单调递减， ∴ ∴的取值范围为： （3）由题意及（1）（2）得 在中，， 对任意的实数恒成立， ∴即恒成立 在中， 在中，， ∴函数单调递增， ∴ ∴单调递增， ∵恒成立 ∴ ∴实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：构造新函数并求导，分离参数解决函数的恒成立问题 20．（21-22高三上·北京顺义·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，求导可得，，再结合切线的几何意义，即可求解． （2）设，则，，，再利用导数研究函数的单调性，分和两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：当时，函数，定义域为， 又，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）解：若在上恒成立， 即在上恒成立， 可令，， 则，，， 令，可解得， 当时，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，， 又，所以恒成立， 即时，在上恒成立， 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时，，又，，即， 不满足恒成立，故舍去， 综上可知：实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数分类讨论求函数的单调区间，考查了不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想. 21．（21-22高三上·北京海淀·期末）函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数在上的最小值； (3)直接写出的一个值，使恒成立，并证明. 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求得最小值； （3）取，构造函数，即证恒成立，利用导数研究函数的单调性及最值即可证得结论. 【详解】（1）由，知，切点为 求导，则切线斜率 所以切线方程为：，即 （2）求导， ，，，所以函数在上单调递增， ，即函数在上的最小值为. （3）取，下面证明恒成立，即证恒成立， 令，即证恒成立 求导， （i）当时，，，此时 所以函数在上单调递减，，即成立 （ii）当时，令，， 因为，，所以，所以函数在上单调递增， ，所以函数在上单调递增，， 综上可知，恒成立，即恒成立 22．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数. (1)判断0是否为的极小值点，并说明理由； (2)证明：. 【答案】(1)0是的极小值点，理由见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）求的定义域，求导，得到，且时，，时，，故0是的极小值点； （2）对不等式变形得到，令，求导，得到其单调性，从而得到g(x)正负，故恒成立，结论得证. 【详解】（1）0是的极小值点，理由如下： 定义域为， ，其中， 当时，，故， 当时，，故， 故在上单调递减，在上单调递增， 故0是的极小值点； （2）等价于， 即， 令， 则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 则恒成立， 故. 23．（23-24高三上·北京石景山·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，求导研究单调性即可得； （3）分类讨论，当时，由（2）可得此时符合要求，当时，构造函数，结合导数研究单调性可得不符，当时，结合导数单调性可得亦不符. 【详解】（1），故， 又，故有， 即，故切线方程为； （2）令， 则， 由，故，故在上单调递减， 所以， 即当时，； （3）当时，， 由（2）知，当时，， 所以当时，对恒成立； 当时，令， ， 当时，因为，所以，在上单调递增， ，不合题意， 当时，得， 当时，，时，， 所以在上单调递增，则时，，不合题意， 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题最后一问关键点在于根据的范围分类讨论，从而结合单调性研究函数最值得到结果. 24．（21-22高三上·北京门头沟·期末）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)证明：在区间存在唯一极大值点； (3)证明：当，． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）对函数进行求导，求出在处的导函数值和函数值，即可求出答案. （2）对函数进行求导，由零点存在性定理即可得以证明. （3）由（2）知函数单调性，求出，即可得以证明 【详解】（1） ，，得切线方程为 （2）由（1）得，时， 时，单调递减，，， 由零点存在定理可得，在存在唯一一个零点， 且当，， 所以，在区间存在唯一极大值点． （3）由（2）可知，在区间上单调递增，在单调递减， ，，所以，当时， 当时，． 25．（21-22高三上·北京西城区·期末）已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)若在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率及方程； （2）求导，可得函数单调区间与极值点，再根据极值点范围可得参数范围； （3）由不等式恒成立可知恒成立，，即，求函数的最值即可. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 所以切线方程为. （2）由，得. 令，得，. ①若，则，在上恒成立， 因此，在上单调递增，无极值，不符合题意. ②若，则，与的情况如下： 极大值 极小值 因此，在，上单调递增，在上单调递减. 若在上有且只有一个极小值点，则需， 所以. 综上，的取值范围是. （3）因为， 所以，即. 又因为， 所以，即. 令，所以. 因为，所以， 又，所以， 所以为上减函数，所以，所以 综上，实数的取值范围为. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 26．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：对任意的恒成立. 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3)证明详见解析 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程. （2）求得，对分类讨论，由此来求得的单调区间. （3）结合（2）求得在区间上的最小值，由此证得结论成立. 【详解】（1）当时，， ， 所以切线方程为. （2）依题意，， ， 当时，，解得, 则在区间递减；在区间递增. 当时，解得或, 当时， 在区间递增； 在区间递减. 当时，在上递增. 当时，在区间递增； 在区间递减. （3）当时，， 由（2）可知，在递减，在递增， 所以 ， 所以对任意的恒成立. 【点睛】利用导数研究含参数的复杂函数的单调性，要注意两点，一个是尽量进行因式分解，将复杂的问题转化为较为简单的问题来进行求解；第二个是对参数进行分类讨论，要做到不重不漏，分类标准要根据导函数的结构来制定. 双变量问题 27．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明：． 【答案】(1) 时单调递增， 时，单调递减； (2) ； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导，根据导数的符号确定单调区间； （2）运用参数分离的方法，构造函数求导，计算函数最大值即可； （3）作图，根据函数图像确定 的范围，再构造函数，利用函数的单调性证明. 【详解】（1） ，显然有 ，当 时， ，单调递增， 当 时， ，单调递减； （2）由 得： ， ， 令 ，则有 ，令 ， 显然 是减函数， ， 当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减； ，a的取值范围是 ； （3）当 时， ，由（1）的结论作函数图像如下： ， 对于 ，得 ，不妨设 ，则有 ， 由图可知当 时，对应的自变量有2个值 ，其中 ， 要证明 ，只需 取 中较小的数 即可， ， ， ， ， 要证明 ，只需证明 ，在 时， 单调递增， 只需证明 ， ， 只需证明 ， 即 ，构造函数 ， ， ， ， 是增函数，又 当 时， ， 即，命题得证； 综上，（1）当 时，单调递增，当 时，单调递减；（2） . 【点睛】本题的难点是第三问，根据函数的图像确定和 的范围，再将原问题转化为函数的单调性问题. 28．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值； (2)判断函数单调性并说明理由； (3)证明：对，都有成立. 【答案】(1)1 (2)函数在区间上单调递增，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义即可； （2）判断导函数的正负，可得单调性； （3）利用（2）确定的单调性，作差比较即可. 【详解】（1）， 所以， 由，得， 所以. （2）函数在单调递增. 因为，所以函数定义域为. ， 因为 所以. 因此函数在区间上单调递增. （3）证明：当时，显然有，不等式成立； 当时，不妨设， 由于函数在区间上单调递增， 所以， 则 . 因为，所以， 所以， 所以. 综上，对任意的，成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 隐零点问题 29．（23-24高三上·北京东城区·期末）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案. 【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”， 则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得. 故选：B. 30．（21-22高三上·北京密云·期末）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有两个不同的零点，记较大的零点为，证明：当时，． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出、，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可得，将所证不等式等价变形为对任意的恒成立，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为，则，所以，，， 因此，曲线在点处的切线方程， 即. （2）解：函数的定义域为，且. 当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为，无递减区间； 当时，由，可得. 当时，；当时，. 此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）证明：由可得， 因为函数有两个不同的零点，且较大的零点为，则， 要证对任意的恒成立， 即证对任意的恒成立， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递减，所以，， 因为，则，即，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 31．（22-23高三上·北京西城·期末）已知函数,其中． (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)当时,判断的零点个数,并加以证明; (3)当时,证明:存在实数m,使恒成立． 【答案】(1) (2)1个 (3)证明见解析 【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可; (2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可; (3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立. 【详解】（1）解:由题知, , , , 故在点处的切线方程为, 即; （2）由题,, , , , 故在上单调递增, , 故有1个零点; （3）由题,, , 令 , , 即在上单调递增, , 且 , 故,使得, 即 在上单调递增, 即,单调递减, 即,单调递增, 故, 若恒成立, 只需, 即即可, 故存在实数m,使恒成立. 【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有: (1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积; (2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数; (3)对新的函数进行求导求单调性; (4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止; (5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为,判断左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值. 1．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，①对； 对于②，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，所以，， 则， 由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则，即在上单调递减， ，则，解得，②对； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， ，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③错； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 2．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函数. (1)当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； (2)若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①当时，得，故只需证明当时，即可，利用导数即可求解. ②求导得，由此可得当时，，结合即可得证. （2）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则.再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. 【详解】（1）①当时，. 记，则. 所以在上是增函数. 所以当时，. 所以当时，. ②由得，且. 当时，. 因为，， 所以. 因为对任意恒成立， 所以当时，. 所以0是的唯一极值点. （2）设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则. 因为， 所以. 所以. 不妨设，则. 因为， 由“优切线”的定义可知. 所以. 由“优切线”的定义可知， 所以. 当，，时，取，， 则，，，，符合题意. 所以. 【点睛】关键点睛：第一问②的关键是，求导得，然后以为分界点讨论即可；第二问的关键是结合“优切线的定义”以及导数即可顺利得解，综合性比较强. 3．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数. ①若在处取得极大值，求的单调区间； ②若恰有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①单调递减区间为，单调递增区间为和；② 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可得； （2）①对求导后，令，结合在处取得极大值可得的范围，即可得的单调区间； ②由，可得是的一个零点，故有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根，构造函数，利用导数讨论函数的单调性后计算即可得. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）①因为函数， 所以， 所以， 令，得，或， （i）当时，即时， 令，得；令，得，或， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增， 所以在处取得极小值，此时不符合题意， （ii）当时，即时，， 所以在区间上单调递增， 所以在处不取极值，此时不符合题意， （iii）当时，即时， 令，得；令，得，或， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增， 所以在处取得极大值，此时符合题意， 综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为和； ②因为， 所以， 所以是的一个零点， 因为恰有三个零点， 所以方程有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根， 令，所以， 令，得，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，的值域为；当时，的值域为， 所以，且， 所以，且， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本体最后一问关键在于对函数因式分解，可得一零点，再研究另一因式，结合方程与函数的关系参变分离构造新函数，结合导数研究新函数的单调性即可得. 4．（22-23高三上·北京东城·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)证明：当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值； (3)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到，并得到，从而写出曲线的切线方程； （2）求导后得到时，，当时，，从而得到函数单调性，求出的极小值为，无极大值； （3）令，求出定义域和导数，对导函数变形得到，令，得到其单调性，结合零点存在性定理得到，即，此时取得极小值，从而得到当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点. 【详解】（1）， ，则， 故曲线在点处的切线方程为：，即； （2），当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，， 故的极小值为，无极大值； （3）令，定义域为， ，其中， 令，则在上恒成立， 在上单调递增， 因为，， 由零点存在性定理可知：， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 当时，，即，此时取得极小值， ， 因为，所以， 故， 当时，，此时在上，， 则曲线：与曲线：无交点， 当时，，此时，有且仅有一个，使得， 当且时，都有，即， 故当时，曲线：与曲线：存在一个交点， 故当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点. 【点睛】隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 5．（23-24高三上·北京东城·期末）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求证：函数在上有极大值，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）先对求导，然后构造函数，再对求导，根据导数判断函数的单调性，进而判断的单调性，最后根据对勾函数的单调性求出极大值的取值范围. 【详解】（1）当时，，，即切点为， ，，即在处切线的斜率为， 故曲线在处的切线方程为； （2）， 令，，， 在单调递增，且， 在单调递增，且， 在单调递减， ，， 即，， 存在唯一的，使，即， 当时，，即，在单调递增， 当时，，即，在单调递减， 在处取得极大值，设极大值， 即， 令，， ， 对勾函数在单调递增， ， ， ， ， 即，. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数的极值.解题的关键是掌握导数与单调性的关系，当导数的符号不容易确定时，构造新的函数，利用导数研究新函数的单调性.确定极值点时，需要满足极值点的导数为，极值点左右两侧附近的导数值异号. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数与导数 曲线的切线 1．（21-22高三上·北京房山·期末）已知函数，函数，其中． (1)如果曲线与在处具有公共的切线，求的值及切线方程； (2)如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围． 2．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上存在极值，求实数的取值范围： (3)写出的零点个数．（直接写出结论即可） 函数的单调性 3．（21-22高三上·北京门头沟·期末）在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 5．（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 6．（23-24高三上·北京房山·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围. 7．（21-22高三上·北京东城·期末）曲线在点处的切线交轴于点. (1)当时，求切线的方程； (2)为坐标原点，记的面积为，求面积以为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间. 函数的极值与最值 8．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知函数，则（    ） A． B．不是周期函数 C．在区间上存在极值 D．在区间内有且只有一个零点 9．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求a的值． 10．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)判断极值点的个数，并说明理由． 11．（22-23高三上·北京通州·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)当函数存在极小值时，求证：函数的极小值一定小于0. 函数的零点问题 12．（23-24高三上·北京海淀·期末）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（    ） A．10 B． C．2 D． 13．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论： ①函数有零点；      ②a的取值范围是； ③；              ④． 其中所有正确结论的序号是 ． 14．（21-22高三上·北京通州·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有一个零点；            ②若，则有三个零点； ③，在R上是增函数；        ④，使得在R上是增函数． 其中所有正确结论的序号是 ． 15．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)讨论在区间内极值点的个数； (3)若在区间内有零点，求证：. 16．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值； (2)当时，求的零点个数； (3)证明：是为单调函数的充分而不必要条件. 17．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)证明函数只有一个零点． 18．（22-23高三上·北京房山·期末）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数恰有一个零点，则的取值范围为______.（只需写出结论） 函数与不等式 19．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)若函数在内存在极值，求的取值范围； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围. 20．（21-22高三上·北京顺义·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 21．（21-22高三上·北京海淀·期末）函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数在上的最小值； (3)直接写出的一个值，使恒成立，并证明. 22．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数. (1)判断0是否为的极小值点，并说明理由； (2)证明：. 23．（23-24高三上·北京石景山·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设实数使得对恒成立，求的取值范围． 24．（21-22高三上·北京门头沟·期末）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)证明：在区间存在唯一极大值点； (3)证明：当，． 25．（21-22高三上·北京西城区·期末）已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)若在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 26．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：对任意的恒成立. 双变量问题 27．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明：． 28．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值； (2)判断函数单调性并说明理由； (3)证明：对，都有成立. 隐零点问题 29．（23-24高三上·北京东城区·期末）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．（21-22高三上·北京密云·期末）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有两个不同的零点，记较大的零点为，证明：当时，． 31．（22-23高三上·北京西城·期末）已知函数,其中． (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)当时,判断的零点个数,并加以证明; (3)当时,证明:存在实数m,使恒成立． 1．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是 . 2．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函数. (1)当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； (2)若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 3．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数. ①若在处取得极大值，求的单调区间； ②若恰有三个零点，求的取值范围. 4．（22-23高三上·北京东城·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)证明：当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点. 5．（23-24高三上·北京东城·期末）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求证：函数在上有极大值，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$