中职数学高教版公共基础数学基础模块（上）任意角

4.1 角的概念的推广 4.1 角的概念的推广 角是平面内由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．如图所示，射线的端点O称为角的 ， 旋转起始位置的射线OA称为角的 ，终止位置的射线OB称为角的 ． 顶点 始边 终边 4.1 角的概念的推广 这些角都可以用我们学习过的锐角、直角、钝角、平角 、周角等表示． 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°＜锐＜90° 直=90° 90°＜钝＜180° 平=180° 周=360° 4.1.1 任意角 任意角 4.1.1 4.1.1 任意角 如果时钟快了2h，应该如何校准？校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？如果时钟慢了2h呢？ 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 逆时针旋转720° 顺时针旋转720° 关于角，不仅要知道旋转的度数，还要考虑旋转的方向 问：角相同吗？ 4.1.1 任意角 规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为 ，如图（1）所示；按顺时针方向旋转形成的角称为 ，如图（2）所示． 如果一条射线没有做任何旋转，也认为形成了一个角，这个角称为 ． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 正角 负角 零角 笔记 4.1.1 任意角 分针按逆时针方向旋转2周形成的角，记作720°，如图（1）所示；分针按顺时针方向旋转2周形成的角，记作-720° ，如图（2）所示． (1) (2) 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 开始/结束 开始/结束 显然，这两个角是不一样的． 4.1.1 任意角 通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角.例如，下图中的角，可以记作“∠AOB”或“∠O”． 也经常使用小写的希腊字母 α，β， γ，…来表示角，记作“角α”“角β”“角γ”……．在不引起混淆的情况下，可以简记成“α” “β”“γ”……例如，α=420°，β= −135°． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.1.1 任意角 为了方便，通常在平面直角坐标系中讨论角．将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，此时角的终边在第几象限，就称这个角为第几象限角． A B 角∠AOB是 第一象限角 角∠AOB是 第二象限角 角∠AOB是 第三象限角 角∠AOB是 第四象限角 A A A B B B 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.1.1 任意角 角α是第一象限角 角β是第三象限角 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.1.1 任意角 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角．如，0°，90°，180°，360°，−90°角都是界限角． 0° 90° 180° 360° 0° -90° 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 GO GO GO GO GO 想一想 界限角的度数有什么特点？ 4.1.1 任意角 （1）490°角是射线绕着原点逆时针旋转490°形成的，终边落在第二象限，所以490°为第二象限角； 例1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角．（1）490°；（2）−650°． 解 将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 GO 4.1.1 任意角 （2）−650 °角是射线绕着原点顺时针旋转650 °形成的， 终边落在第一象限，所以−650°为第一象限角； 例1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角．（1）490°；（2）−650°． 解 将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 GO 4.1.1 任意角 例2 求时钟从8点到9点15分，如图所示，分针和时针旋转所成的角分别是多少？ 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.1.1 任意角 练习 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 1.判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)： （1）第四象限角一定是负角； （2）第二象限角一定是正角； （3）小于90°的角一定是锐角； （4）第一象限角一定是锐角； （5）钝角一定是第二象限角； （6）第二象限角一定是钝角． （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 4.1.1 任意角 练习 2．填空题： （1）−15°是第_________象限角； （2）795°是第_________象限角； （3）163°是第_________象限角； （4） −458°是第________象限角． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.1.1 任意角 练习 3．在平面直角坐标系中，分别作出下列各角，并指出它们是第几象限角： （1） 460° ； （2） 995°； （3）−200°； （4）−700° ． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 终边相同的角 4.1.2 4.1.2 终边相同的角 如图，30°，−330°， 390°角之间有什么关系呢？ 不难发现，在平面直角坐标系中，这三个角的终边相同，并且都可以表示成30°与k个(k ∈Z) 360°的和．如： 30° = 30°＋0×360° ； −330° = 30°＋ (−1)×360° ； 390° = 30°＋1× 360° ． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 β= 30° +k360°，k∈Z 4.1.2 终边相同的角 一般地，与角α终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β=α+ k360°，k∈Z}， 即，所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.1.2 终边相同的角 例3 写出与−950°角终边相同的所有角构成的集合，并找出0°~360°范围内与其终边相同的角． 解 与−950°角终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β＝−950°+ k 360°， k∈Z }． 当k=3时， β＝−950°+3 × 360° = 130°， 故在0°~360°范围内，与−950°角终边相同的角是130°角． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.1.2 终边相同的角 因为−950°与130°终边相同，集合 S={β|β＝−950°+k360°，k∈Z} 也可写成 S={β|β＝130°+k360°，kZ}． 情境导入 探索新知 巩固练习 归纳总结 布置作业 典型例题 4.1.2 终边相同的角 例4 写出终边在射线y=x(x≥0)上的角组成的集合． 解 在0°~360°范围，终边在射线y=x(x≥0)上的角为45°角， 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 因此终边在射线 y=x(x≥0)上的角组成的集合为 S={β|β=45°+k·360°， k∈Z} ． 4.1.2 终边相同的角 例5 写出终边在y 轴上的角组成的集合． 解 在0°~360°范围，终边在y轴上的角有90°角和270°角． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 所有与90°角270°角终边相同的角组成的集合分别为 S1={β|β=90°+ k·360°， k∈Z}， S2={β|β=270°+ k·360°， k∈Z}． 所以，终边在y轴上的角组成的集合为 S=S1∪S2 ={β|β= 90°+ k·360°， k∈Z}∪{β|β=270°+ k·360°， k∈Z} = {β|β= 90°+ 2k·180°， k ∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1) ·180°， k∈Z} = {β|β=90°+n·180°， n∈Z}． 4.1.2 终边相同的角 练习 1.已知角α是第一象限角，则角−α的终边在第_______象限． 2.与1560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是_____ ． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.1.2 终边相同的角 练习 3. 写出与下列角终边相同的所有角组成的集合，并在 0°～360°范围内找出与其终边相同的角． (1) 420°； (2) −510°； (3) −73°； (4) 855°. 4. 写出终边在x轴上的角组成的集合． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.1 角的概念的推广 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 $$