4.3.3 对数函数的图象和性质（3知识点+11题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

4.3.3 对数函数的图象和性质 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例, 了解对数函数的概念。能用描点法或借助认算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点; （2）知道对数函数 与指数函数 互为反函数 ,且 。 （1）掌握对数函数的概念; （2）掌握对数函数的图像与性质； （3）知道对数函数与指数函数 互为反函数,且 ； （4）能利用对数函数的性质处理一些对数型函数问题.（难点) 知识点01 对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 解释 函数中系数为，底数是不为正实数的常数，真数为变量. 【即学即练1】 给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 对数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 可与指数函数就函数的定义域、值域、单调性等函数性质进行比较学习. 【即学即练2】 已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 反函数 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 比如 与互为反函数. 【即学即练3】 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A．－1 B．1 C．12 D．2 【题型一：对数函数的概念与求值】 例1．已知函数是对数函数，且，则 ． 变式1-1．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式1-3．写出一个满足且不是常数函数的函数： ． 【方法技巧与总结】 1 对数函数中系数为，底数是不为正实数的常数，真数为变量. 2 求对数函数解析式可用待定系数法. 【题型二：求对数型复合函数的定义域】 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【方法技巧与总结】 对数函数中的真数。 【题型三：对数型函数的图象的判断或应用】 例3．已知函数，若且，则的取值范围为 . 变式3-1．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B．C． D． 变式3-2．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．若，则下列命题正确的是（    ） A．是偶函数 B．在区间上是减函数，在上是增函数 C．没有最大值 D．有最小值 【方法技巧与总结】 1 函数图象的变换 （1）平移变换，口诀：左加右减，上加下减 （2）对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. （3） 翻折变换 2 解题的过程中多数形结合. 【题型四：对数型复合函数的单调性】 例4．已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．设函数在区间单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数，其中，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求函数的单调性，先优先考虑定义域； 2 复合函数的单调性是“同增异减”; 3 在判断数值大小多考虑函数的单调性和奇偶性，多数形结合. 【题型五：比较对数值的大小】 例5．已知，则（　　） A． B． C． D． 变式5-1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 对数比较大小的方法有： （1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较； （2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系； （3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系． 【题型六：比较数值的大小】 例6．已知实数，且，则（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知正实数 满足 则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知实数满足，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 变式6-4．已知正实数满足：，，则的值是（    ） A． B．2 C． D．3 【方法技巧与总结】 某些变量满足一些等式或不等式的关系而比较它们的大小，往往要根据题意构造函数再利用函数单调性比较.而构造函数，需要变形，使得等式或不等式“分离”出两个具有“形式结构”的式子，有时要“指对同构”，技巧有，，等. 【题型七：由对数型函数的单调性解不等式】 例7．已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 变式7-2．设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式7-3．（多选）若不等式在区间上恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 变式7-4．函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求解对数型不等式，主要利用函数的单调性进行求解； 2 若不等式是函数不等式形式，如，往往先对不等式进行变形，再利用函数单调性消去“”，得到变量的不等式求解； 3 恒成立问题转化为最值问题或分离参数处理或数形结合处理. 【题型八：对数型函数的值域问题】 例8．已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是 变式8-1．函数的值域为 . 变式8-2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式8-3．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求对数型函数的值域，先优先考虑定义域； 2 对数型函数形式若存在类似式子，可采取换元法求值域； 3 求对数型复合函数的值域，主要分析好函数的结构，分清楚内部函数与外部函数，可采取换元法等价转化问题. 【题型九：对数型函数的最值问题】 例9．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 变式9-1．已知函数，则有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 变式9-2．若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 变式9-3．已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型十：反函数】 例10．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 变式10-1．若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 变式10-2．已知函数与函数的图像关于对称，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式10-3．设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 【题型十一：利用对数函数的性质综合解题】 例11．（多选）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 变式11-1．（多选）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 变式11-2．已知函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式11-3．已知函数，当时，，若在上的最大值为2，则 （    ） A．9 B．4 C．3 D．2 变式11-4．（多选）若函数在区间上满足，则称为上的“变函数”，对于变函数，若有解，则称满足条件的值为“变函数的衍生解”，已知为上的“变函数”，且当时，，，当时，则下列哪些是变函数的衍生解（    ） A． B． C． D． 变式11-5．已知函数． (1)求方程的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）； (2)求函数在区间上的最大值； (3)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围． 一、单选题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3.设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上选项均有可能 5.已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6.若，，则（    ） A． B． C． D． 7.若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.已知是定义域为的单调函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 10.某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（    ） A．函数的定义域为，且是奇函数 B．对于任意的，都有 C．对于任意的，都有 D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 11.如图，对于任意正数，．记曲线与直线，，所围成的曲边梯形面积为，并约定和．已知，则以下命题正确的有（    ） A． B． C．对任意正数k和，有 D．对任意正数k和，有 三、填空题 12．设（且），若图象经过和，则 ． 13.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 14.如图，矩形的三个顶点分别在矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为 ． 四、解答题 15．已知函数，． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)讨论函数的值域． 16.已知函数（，且）． (1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值； (2)若，求函数，的值域． 17.已知函数为偶函数. (1)解关于x的不等式； (2)若在区间上恒成立，求a的取值范围. 18.已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设. (1)求实数的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 19．定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性． （1）判断下列函数是否具有有界性：①；②；③； （2）已知函数定义域为，若为函数的上界，求的取值范围； （3）若函数定义域为，是函数的下界，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.3 对数函数的图象和性质 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例, 了解对数函数的概念。能用描点法或借助认算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点; （2）知道对数函数 与指数函数 互为反函数 ,且 。 （1）掌握对数函数的概念; （2）掌握对数函数的图像与性质； （3）知道对数函数与指数函数 互为反函数,且 ； （4）能利用对数函数的性质处理一些对数型函数问题.（难点) 知识点01 对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 解释 函数中系数为，底数是不为正实数的常数，真数为变量. 【即学即练1】 给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 知识点02 对数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 可与指数函数就函数的定义域、值域、单调性等函数性质进行比较学习. 【即学即练2】 已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质，结合函数平移，即可根据单调性以及对称性求解. 【详解】由于为偶函数，图象关于轴对称，且在单调递增，在单调递减， 将的图象向右平移一个单位可得， 故图象关于对称，且在单调递增，在单调递减， 由于,故， 又得，由于， 综上可得 故选：D 知识点03 反函数 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 比如 与互为反函数. 【即学即练3】 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A．－1 B．1 C．12 D．2 【答案】A 【分析】法一，解出反函数，代值即可；法二，应用互为反函数的两函数的对应关系求解. 【详解】解法1：由，得，所以函数的反函数为，则 解法2：设，则函数过点，由于函数的反函数为，因此有，故. 故选：A. 【题型一：对数函数的概念与求值】 例1．已知函数是对数函数，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 变式1-1．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 变式1-2．若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据点求得对数函数为，再代入点运算即可. 【详解】设对数函数为（且）， 代入点可得，则，解得， 所以， 代入点可得，则， 可得，所以. 故选：C. 变式1-3．写出一个满足且不是常数函数的函数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意结合对数的按性质即可得解. 【详解】解：若， 则， 故符合题意的函数可以为. 故答案为：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他满足条件的函数亦可）. 【方法技巧与总结】 1 对数函数中系数为，底数是不为正实数的常数，真数为变量. 2 求对数函数解析式可用待定系数法. 【题型二：求对数型复合函数的定义域】 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求解即可． 【详解】由题意知，解得且， 即的定义域为． 故选：D． 变式2-1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求定义域为. 故选：B 变式2-2．（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）定义域为，说明真数恒大于0，列式求解； （2）值域为，说明真数能取遍，列式求解. 【详解】定义域为即真数恒大于0，则或，得 所以的取值范围是． （2）值域为即真数能取遍 当时，成立， 当，解得， 所以的取值范围是 故答案为：； 【方法技巧与总结】 对数函数中的真数。 【题型三：对数型函数的图象的判断或应用】 例3．已知函数，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】画出的图象如图： ∵，且， ∴且，， ∴，即，∴，， 由图象得在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 变式3-1．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 变式3-2．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立， 只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 变式3-3．若，则下列命题正确的是（    ） A．是偶函数 B．在区间上是减函数，在上是增函数 C．没有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、最值等知识确定正确答案. 【详解】，所以， 令，所以的定义域为，， 则为偶函数，故正确． 画出函数的图象，如图所示： 所以函数在上为减函数，在上为增函数，且存在最大值，没有最小值，故B，C，D不正确． 故选:A 【方法技巧与总结】 1 函数图象的变换 （1）平移变换，口诀：左加右减，上加下减 （2）对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. （3） 翻折变换 2 解题的过程中多数形结合. 【题型四：对数型复合函数的单调性】 例4．已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用二次函数，指数函数与对数函数的单调性，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，函数单调递减， 因为在上单调递减，分情况讨论： 当时，，此时，符合题意； 当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 变式4-1．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性法则即可得解． 【详解】解：由，可得， 则函数的定义域为， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为． 故选：A． 变式4-2．设函数在区间单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用复合函数单调性知识，结合对数函数和二次函数单调性可解. 【详解】设，则其对称轴为，抛物线开口向下， 是减函数，要使在区间单调递减， 则在区间单调递增，即且，即， 故实数的取值范围是. 故选：D. 变式4-3．已知函数，其中，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性可得的大小，再判断出的单调性可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 因为是上的单调递减函数， 是上的单调递增函数， 所以是上的单调递减函数， 所以. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 求函数的单调性，先优先考虑定义域； 2 复合函数的单调性是“同增异减”; 3 在判断数值大小多考虑函数的单调性和奇偶性，多数形结合. 【题型五：比较对数值的大小】 例5．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性得到，再利用换底公式和作差法得到，比较出大小关系. 【详解】， 其中，，所以， 故，所以. 故选：A. 变式5-1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性分别判断范围即可比较. 【详解】根据对数函数的单调性可知，即， ，且，所以， 而，即. 综上可得． 故选：A． 变式5-2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算和对数函数的性质即可求解. 【详解】因为 , 且； 所以. 故选：B. 变式5-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小. 【详解】，即. ,即. 综上知道. 故选：D. 【方法技巧与总结】 对数比较大小的方法有： （1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较； （2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系； （3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系． 【题型六：比较数值的大小】 例6．已知实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对，利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性， ，继而得解. 【详解】由，变形可知， 利用换底公式等价变形，得， 由函数在上单调递增知，，即，排除C，D； 其次，因为，得，即， 同样利用的单调性知，， 又因为，得，即，所以. 故选：B. 变式6-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数，的单调性，判断的大小关系. 【详解】设，易知在上单调递增. 且，，所以； 设，易知在上单调递增. 且，，所以. 综上：. 故选：B 变式6-2．已知正实数 满足 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题设条件等价变形为进行放缩移项得到构造函数，利用其单调性即可得到. 【详解】由可得 因，则有即（*） 设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于发现条件中指对数的结构特征，通过凑项、放缩，使之出现相同的数学结构，进行构造函数，利用函数的单调性得到大小关系. 变式6-3．已知实数满足，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，将原不等式变形为，构造函数，根据单调性可判断在单调递增，进而得到，然后分别判断四个选项即可. 【详解】依题意，变形为， 设，定义域为，其中，在单调递增， 所以在单调递增， 又因为，所以， 当时，，，，成立， 当时，，无法判断与0的关系， 故选：D. 变式6-4．已知正实数满足：，，则的值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】将两边取对数化为，将两边加1化为，构造函数，可知，研究的单调性即可得到答案. 【详解】由两边取对数可得：，即， 由可得：，即， 构造函数，由和等价于和，即， 由于在上单调递增，在上单调递增， 则在上单调递增，所以等价于，故. 故选：C 【方法技巧与总结】 某些变量满足一些等式或不等式的关系而比较它们的大小，往往要根据题意构造函数再利用函数单调性比较.而构造函数，需要变形，使得等式或不等式“分离”出两个具有“形式结构”的式子，有时要“指对同构”，技巧有，，等. 【题型七：由对数型函数的单调性解不等式】 例7．已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围. 【详解】设，由， 得， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在R上的偶函数，所以， 所以对任意的， ， 所以，函数为上的偶函数，且， 由，可得，即， 即，所以，解得， 故选：D 【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 变式7-1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，可求. 【详解】， 又，故， 故选：B． 变式7-2．设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为，化简求解可得. 【详解】，，则， 作出函数的图象，可知是上的增函数. 又，是奇函数. 不等式可化为， 所以，则，即，解得， 不等式的解集是. 故选：B. 变式7-3．（多选）若不等式在区间上恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先由与的性质得到，再由函数单调性的加减性质得到的单调性，从而求得，由此得到的取值范围，从而得解. 【详解】因为在区间上恒成立，而， 所以在上恒成立，故，即，则在上单调递减， 令，又因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，则，即，解得， 所以， 由此易得AD错误，BC正确. 故选：BC. 变式7-4．函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式变形为，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】当时，，因为在上单调递增，此时单调递增， 当时，易知单调递增，且当时，， 则在上单调递增， 因为，则， 所以由得， 所以，解得. 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 求解对数型不等式，主要利用函数的单调性进行求解； 2 若不等式是函数不等式形式，如，往往先对不等式进行变形，再利用函数单调性消去“”，得到变量的不等式求解； 3 恒成立问题转化为最值问题或分离参数处理或数形结合处理. 【题型八：对数型函数的值域问题】 例8．已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】求出当时，函数的值域是，再讨论当时，函数的值域，对分两种情况讨论分析即可. 【详解】当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即； 若函数的值域是，则时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得， 又，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 变式8-1．函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于， 所以， 所以原函数的值域为 故答案为： 变式8-2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，设，，计算得到答案. 【详解】， 设，则， 故函数的值域为. 故选：C 变式8-3．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 【方法技巧与总结】 1 求对数型函数的值域，先优先考虑定义域； 2 对数型函数形式若存在类似式子，可采取换元法求值域； 3 求对数型复合函数的值域，主要分析好函数的结构，分清楚内部函数与外部函数，可采取换元法等价转化问题. 【题型九：对数型函数的最值问题】 例9．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可. 【详解】由，得， 所以函数定义域为， 因为由外层函数和内层函数复合而成， 当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减， 当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：C 变式9-1．已知函数，则有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【分析】利用双勾函数的单调性求出的最小值，再利用对数函数的单调性可求得函数的最大值，即可得出结论. 【详解】解：，令，，， 任取、且，则，， 所以， 则，所以函数在上单调递增， 故当时，， 所以， 又因为函数为减函数，故. 故选：B. 变式9-2．若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【答案】A 【分析】先分析函数的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出在上的最小值，由此可知结果. 【详解】设， 因为，所以恒成立， 所以的定义域为且关于原点对称， 又 ， 所以是奇函数， 因为在上有最大值，所以在上有最大值为， 所以在上有最小值，所以在上有最小值． 故选：A． 变式9-3．已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案. 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 【题型十：反函数】 例10．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果. 【详解】由已知条件可知，，， 令，，， 如图所示， 曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称， 设曲线分别与曲线，交于点， ， 则点，关于直线对称， 而点关于直线对称的点为，即为点， 则，即. 故选：C. 变式10-1．若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数,则. 故. 故选：B. 变式10-2．已知函数与函数的图像关于对称，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据反函数的性质求出的解析式，依题意可得且，再根据对勾函数的性质计算可得； 【详解】解：因为函数与函数的图像关于对称， 故与互为反函数，所以， 若，则，且，所以 所以， 又对勾函数在上单调递减，所以 即 故选：D 【点睛】本题考查反函数的性质，对数的运算及对勾函数的性质的应用，属于中档题. 变式10-3．设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出的图象，由反函数的性质得，结合二次函数性质即可得解. 【详解】由得，由得， 所以令，这3个函数图象情况如下图所示： 设交于点，交于点， 由于的图象关于直线对称， 而的交点为，所以， 注意到函数的对称轴为直线，即， 且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程， 从而. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出的图象，利用数形结合再由反函数的对称性得到方程的根或交点. 【方法技巧与总结】 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 【题型十一：利用对数函数的性质综合解题】 例11．（多选）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数图象找出实数a，b，c的范围，求出，对不成立的结论可举反例,对恒成立的结论结合对勾函数的性质进行论证. 【详解】画出函数图象，如图，    因为，且，. 所以.且即. 对A，因为，所以，故A正确； 对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B正确；     对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，, 因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不正确； 对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则. 因为函数在上单调递减，所以，故D正确. 故选：ABD 变式11-1．（多选）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】BC 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断AB，由复合函数的单调性即可判断C，由函数的单调性结合函数图像即可求解函数值域，从而判断D. 【详解】    函数，由，解得， 因此的定义域为， 显然，函数是奇函数，错误，B正确； 函数，显然在单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 于是在上单调递增，正确； 当或时，， 函数在上单调递减， 于是在上单调递减，图像如图所示， 所以值域为，故D错误. 故选:BC． 变式11-2．已知函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，设，设，可得出直线与函数图象的三个交点的横坐标分别为、、，利用对称性得出的值，并结合图象得出实数的取值范围，从而可得出的取值范围，由此得出的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，设， 由图象可知，当时，直线与函数图象的三个交点的横坐标分别为、、， 二次函数的图象关于直线对称，则， 由于，即，得，解得， . 因此，的取值范围是. 故选C. 【点睛】本题考查函数零点和的取值范围，解题时要充分利用函数的对称性来求解，也可以转化为以参数为自变量的函数，转化为函数的值域问题求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 变式11-3．已知函数，当时，，若在上的最大值为2，则 （    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】根据的图像判断，结合对数运算求得 的关系式，根据在上的最大值求得 的另一个关系式，由此求得，进而求得的值. 【详解】画出图像如下， 由于时,，所以 ， 且由得 ，所以 由于，所以 ，所以， 所以在上的最大值为 ，，，所以 ，所以. 故选：A 变式11-4．（多选）若函数在区间上满足，则称为上的“变函数”，对于变函数，若有解，则称满足条件的值为“变函数的衍生解”，已知为上的“变函数”，且当时，，，当时，则下列哪些是变函数的衍生解（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用为上的“4变函数”，得到，然后求出的解析式，分，，，两段来研究函数的单调性以及最值，把问题转化为，从而得到关于的不等式，求出的范围，再根据选项中给出的范围进行判断即可． 【详解】解：因为为上的“4变函数”，所以， 故， 当，时，，， 所以， ①当，时，， 因为和都是单调递增，故函数单调递增， 所以，， ②当，时，是单调递减函数， 此时，， 若有解，则，即，整理得， 所以有或，解得或， 故的取值范围为． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可． 变式11-5．已知函数． (1)求方程的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）； (2)求函数在区间上的最大值； (3)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)3个 (2) (3) 【分析】（1）由翻折变换作图可得交点个数； （2）换元法转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解，由函数图象开口向上，按轴与区间端点距离的远近分类讨论求最大值； （3）两函数图象交点的个数转化为复合方程的根的问题，再结合图象，转化为二次方程的根的情况分类讨论. 【详解】（1） 如图，由翻折变换分别作出函数与函数的图象， 因为两函数图象有个不同的交点， 所以方程的解的个数为； （2） ， 令， 化为 则函数的图象开口向上，且对称轴为， 当即时，； 当即时，， ； （3）， 令， ， ， 令， 即①， 函数的图象如图， 因为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点， 所以①式有2个不等的实根，且一根在内，另一根为0或在内； 当一根为时，即是方程①的根，代入①式可得， 验证：此时方程①为，解得或， 故不合题意，舍去； 所以方程①的两根一根在内，另一根在内. 设， 当一根在内，另一根在内时， 由，即，解得； 当一根为时，由解得， 验证：此时方程①为，解得或， 故不合题意，舍去； 综上所述，的取值范围是. 【点睛】求解复合函数零点问题的技巧： （1）数形结合法.分别作出的图象； （2）若已知零点个数求参数的范围，则先分析关于的方程的解的个数，再根据个数与的图象特点，分配每个函数值被几个对应，从而确定每个函数值的取值范围，即方程的根的情况，进而求解参数的范围. 一、单选题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设可得，故， 故函数的定义域为 故选：C. 2.已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式可得集合A，根据对数函数性质可求得集合B，根据集合的交集运算即得答案. 【详解】由题意， 由于，故， 故， 所以， 故选：A 3.设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分段函数分段结合指数不等式及对数不等式解题即可. 【详解】当时，由，得，得，得， 当时，由，得，得，所以， 综上，. 故选：C 4.已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上选项均有可能 【答案】C 【分析】作出函数的图象结合可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即可判断出答案. 【详解】作出函数的图象，如图： 由题意可知，，且由图象可知，， 所以即， 所以，即，， 即， 故选：C 5.已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性和奇偶性即可求解. 【详解】由题意，易知的定义域为， 而 所以 即， 所以为上的奇函数； 又因为均为奇函数， 且在均为增函数， 所以为上的奇函数，且为增函数； 又因为， 所以， ， ， 故选：A． 6.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，得到函数的单调性和的解为a＝5，并求出，所以，根据对数函数单调性比较出大小. 【详解】设函数，则为增函数， 因为，所以的解为a＝5， ，所以，． 因为，所以． 故选：B 7.若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用分段函数的性质，结合对数的运算法则，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数（其中，且）的最小值是3， 当时，函数为单调递减函数，所以， 则当时，函数为单调递增函数，则 且满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 8.已知是定义域为的单调函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知与函数单调，可得存在唯一，使，则，由求解，再由，根据指对函数的对称性作出图象比较大小，然后根据单调递增，比较大小即可. 【详解】由已知，令， 又因为是定义域为的单调函数． 所以存在唯一，使，即， 所以，解得， 所以. 如图所示作出与的图象， 因为它们互为反函数，则图象关于直线对称， 由， 在图中作直线，则与的交点的横坐标依次为， 可得， 又因为是单调递增的， 所以， 故选：C. 二、多选题 9．氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 10.某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（    ） A．函数的定义域为，且是奇函数 B．对于任意的，都有 C．对于任意的，都有 D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 【答案】ABC 【分析】根据真数大于0求定义域，利用奇偶性定义判断奇偶性可判断A，根据对数运算化简即可判断BC，取特殊值判断D. 【详解】由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数，故A正确； 任意的，，故B正确； 因为，， 所以，故C正确； 取，则，，故D错误. 故选：ABC 11.如图，对于任意正数，．记曲线与直线，，所围成的曲边梯形面积为，并约定和．已知，则以下命题正确的有（    ） A． B． C．对任意正数k和，有 D．对任意正数k和，有 【答案】ACD 【分析】根据新定义中的运算律和及逐项计算分析即可得解. 【详解】，故A正确； ， ， ，故B错误； 对任意正数k和，因为， ，所以，故C正确； 对任意正数k和，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．设（且），若图象经过和，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 13.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次不等式恒成立问题，列不等式组求解即可. 【详解】由复合而成. 而单调递增，只需要单调递减. 且在上恒成立.则即可，解得. 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 14.如图，矩形的三个顶点分别在矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据点在函数的图象上求出、、，由可得答案. 【详解】由题中图象可知，点在函数的图象上， 所以，即． 因为点在函数的图象上， 所以． 因为点在函数的图象上，所以． 又因为，所以点的坐标为． 故答案为：． 四、解答题 15．已知函数，． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)讨论函数的值域． 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由对数的真数大于零可求得函数的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义判断. （3）换元后分和两种情况分析判断. 【详解】（1）且，得，即定义域为. （2）因为定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数. （3）， 令，由，得， 则，， 当时，，所以原函数的值域为； 当时，，所以原函数的值域为. 16.已知函数（，且）． (1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值； (2)若，求函数，的值域． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）由题意得，然后将坐标代入函数中可求出实数的值； （2）将函数化简得，令，则，然后利用二次函数的性质可求出其值域. 【详解】（1）由题意可知， 代入点，有，注意到，解得， 故实数的值为4； （2） ． 令． 由，有， 二次函数的对称轴为， ，， 故的值域为． 17.已知函数为偶函数. (1)解关于x的不等式； (2)若在区间上恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇偶性求m，然后解不等式可得； （2）参变分离，将问题转化为函数最值问题，然后利用单调性求函数最值即可. 【详解】（1），由于函数为偶函数， 所以， 即，即， 即恒成立，∴. 所以不等式为，解得：，所以原不等式的解集是. （2）由题得恒成立，即恒成立， 因为，所以，所以恒成立， 令，令， 则， 因为在单调递增， 所以函数在上单调递减，故. ∴. ∵对任意的恒成立，且，∴. ∴实数a的取值范围是. 18.已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设. (1)求实数的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数性质及其最值即可求得， （2）利用换元法可得满足不等式即可，再利用二次函数单调性即可求得实数的取值范围为； （3）根据题意由方程有四个不同的实数解可转化为方程有两个不相等的正实数根，利用韦达定理即可求得实数的取值范围为. 【详解】（1）由可知，函数关于对称， 又，所以函数在单调递增， 可得，即， 解得 （2）由（1）可知， 则不等式可化为， 所以，即， 令，又，可得， 即，显然函数在上单调递增， 由题意可得即可，所以， 所以实数的取值范围为； （3）易知， 所以即为， 可化为, 令，即； 则关于的方程有四个不同的实数解等价为于 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根； 需满足，解得； 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解不等式恒（能）成立问题时，一般通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数取值范围. 19．定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性． （1）判断下列函数是否具有有界性：①；②；③； （2）已知函数定义域为，若为函数的上界，求的取值范围； （3）若函数定义域为，是函数的下界，求的最大值． 【答案】（1）①、②具有有界性，③不具有有界性；（2） （3）. 【解析】（1）分别求①，②，③的值域，根据函数具有有界性的定义即可判断； （2）根据复合函数的单调性求在的最大值，大于等于其最大值即可求解； （3）令，则，，所以，根据对勾函数的单调性可知在单调递减，单调递增，分别讨论、、求的最小值即为的最大值. 【详解】（1）对于①：是开口向下的抛物线，当时取得最大值，所以，所以①有上界， 对于②：；所以为有下界函数； 对于③值域为，所以没有上界也没有下界，不具有有届性. 综上所述：①、②具有有界性，③不具有有界性. （2）是由和复合而成， 在单调递减，为单调递增函数， 所以在单调递减， 所以时最大为，所以， 若为函数的上界，则 （3），令，因为，所以， ， 设， 当时，，， 当时，，， 所以在单调递减，单调递增， 若即时，在单调递减，此时最小值为 ，是函数的下界，所以， 若即时，在单调递减，在单调递增，此时最小值为，是函数的下界， 若即时，在单调递增，此时最小值为 ，是函数的下界，， 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是读懂题意，理解上下界的含义，对于对数型复合函数要按照复合函数单调性同增异减的原则判断单调性再求最值，对于指数复合型的要换元转化为，，再根据对勾函数的单调性判断其单调区间，注意需要讨论区间和函数单调区间的关系. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$