第五单元《平行四边形和梯形》（应用题篇十二大题型）单元复习讲义（知识梳理+易错集锦+典例精讲+专项精练）-2024-2025学年四年级数学上册(人教版)

第五单元 《平行四边形和梯形》 单元复习讲义 四年级数学上册专项精练（结构导图+素养目标+知识梳理+易错集锦+典例精讲+专项精练） （高清导图，放大更清晰。） 一、核心素养目标： 1、数学运算：学生能够准确掌握平行四边形和梯形的面积计算方法，并能灵活运用到实际问题中。 2、空间观念：学生能够理解并描述平行四边形和梯形的特征，发展空间几何直观。 3、问题解决：学生能够运用所学知识解决与平行四边形和梯形相关的实际问题，培养逻辑推理和问题解决能力。 4、数学表达：学生能够用准确的数学语言描述平行四边形和梯形的性质，并能进行有效的数学交流。 二、学习目标： 1、学生能够识别平行四边形和梯形，并掌握它们的基本性质。 2、学生能够通过操作、观察和推理，探究平行四边形和梯形的面积计算方法。 3、学生能够体会数学在生活中的应用，培养对数学学习的兴趣和积极态度。 4、学生能够将所学知识应用于解决实际问题，如计算生活中的相关图形面积等。 1、在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2、平行 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）如图：直线a平行于直线b， 可记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。 3、垂直 （1）两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 （2）这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 （3）如图：直线a与b互相垂直 记作a⊥b，读作a垂直于b。 4、画垂线 （1）边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； （2）平移找点：平移三角尺找到直线上的点； （3）画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 （4）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 5、画长方形和正方形 先画出一条线段，然后过这条线段的两个端点画与这条线段垂直的线段，最后连接这两条垂直线段的另外的端点。 1、平行四边形 （1）两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 （2）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 （3）平行四边形的两组对边分别平行并且相等。两组对角分别相等。 （4）平行四边形有无数条高；对边之间的高长度相等；对边之间的高互相平行。 （5）平行四边形有不稳定性，容易变形。 2、梯形 （1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 （2）平行的一组对边分别叫梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫腰 。 梯形上底和下底之间的垂直线段叫梯形的高。 （3）特殊的梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 1、长方形和正方形是特殊的平行四边形。 2、正方形是特殊的长方形。 3、正方形、长方形、平行四边形有两组对边分别平行。 4、梯形只有一组对边互相平行。 1、无论是平行还是垂直，都是指在同一个平面内两条直线的位置关系。 2、只有两条直线相交成直角时，才能说这两条直线互相垂直。 3、把直线外一点与直线上任意一点的连线误认为是点到直线的距离。 4、用三角尺画垂线时，要沿直角边画线。 5、画长方形时，先画出长方形的长（或宽），再用画垂线的方法画出长方形。 6、平行四边形的高通常是从平行四边形一个顶点向它的对边画垂线，即底和高是一一对应的。 7、平行四边形有无数条高，但过一个顶点只能画2条高。 8、梯形的高有无数条，但过一个顶点向对边只能画1条高。 9、平行四边形的两组对边分别互相平行，梯形只有一组对边互相平行。 题型1：画平行线 【典例精讲1】过直线外一点，分别作已知直线的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】用三角尺的一条直角边与已知直线重合，用直尺顶住三角尺的另一条直角边，移动三角尺，让与已知直线重合的直角边过直线外的点，沿着这条直角边画线，即可画已知直线的平行线； 用三角尺的一条直角边与已知直线重合，移动三角尺，让三角尺的另一条直角边过直线外的点，沿着过点的这条直角边画线到已知直线，即可画出已知直线的垂线。 【详解】 题型2：画垂线 【典例精讲2】要从双河村层基坪组修一条通往主干公路的水泥路。怎样修路最近呢？先写出来，再在图中画出来。 【答案】由层基坪组向公路画垂直线段即可；图见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短，由层基坪组向公路画垂直线段即可。 【详解】答：由层基坪组向公路画垂直线段即可。 最短路线如图所示： 题型3：垂直的特征 【典例精讲3】从张庄挖一条水渠与小河相通，要使水渠最短，应该怎样挖？请你在图中画出来并说明理由。 理由：_________________________。 【答案】画图见详解；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下： 理由：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 题型4：平行的特征及性质 【典例精讲4】小明在装饰屋子，画框挂歪了吗？你能帮小明检查出问题吗？请你在图中画出来，并写出验证方法。 【答案】见详解 【分析】两条直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。平行线之间的距离处处相等，根据画框底边两个端点到地面的距离是否相等来判断画框是否挂歪了，据此解答即可。 【详解】画框挂歪了，画框底边两个端点到地面的距离不相等（如下图），因为平行线间垂直线段的长度都相等，所以画框底边的任意一点到地面的距离相等时，这个画框的底边就是和地面平行，也就是画框挂正了，否则画框就挂歪了。 题型5：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲5】在方格纸上先画一个边长3厘米的正方形，再画一个长4厘米、宽2厘米的长方形。请算出这个长方形的周长。 （每个小正方形格子的边长为1厘米） 【答案】图见详解；12厘米 【分析】对边相等，有两条长，两条宽，四个角都是直角四边形的叫长方形；四条边都相等，四个角都是直角四边形的叫正方形，据此画出长方形和正方形即可；长方形周长＝（长＋宽）×2，代入数据，即可求出长方形的周长，据此解答。 【详解】如图所示： 长方形周长： （厘米） 【点睛】本题考查画指定长度的长方形和正方形以及长方形的周长，熟记公式是解答本题的关键。 题型6：平行四边形的概念及特点 平行四边形的概念及特点 【典例精讲6】按要求填空并画图。 （1）量一量，如图中∠1＝（    ）°。 （2）在图中确定另外三点A、C、D，使四边形ABCD是平行四边形，把这个平行四边形画出来，并画出它的一条高。 【答案】（1）135 （2）见详解 【分析】（1）量角器的使用方法，两合一看，两合是指中心点与角的顶点重合；0刻度线与角的一边重合。一看就是要看角的另一边所对的量角器的刻度。看角的度数时要注意是看外刻度还是内刻度。角的开口向左看外刻度线，角的开口向右看内刻度线。 （2）两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形。过点C作线段AB的平行线段CD，使CD＝AB，连接DA即可得到平行四边形ABCD； 从点D作AB的垂线段即可得到AB边上的一条高。 【详解】（1）量一量，如图中∠1＝135°。 （2）作图如下： （高的画法不唯一） 题型7：梯形的周长 【典例精讲7】如图，爸爸用铁丝网围成的一块菜地（其中一面靠墙）。围成这块菜地需要多少米的铁丝网？ 【答案】277米 【分析】给靠墙的菜地围铁丝只有三面围铁丝，所以把三条边相加即可求出铁丝的长度，据此解答。 【详解】 （米） 答：围成这块菜地需要277米的铁丝网。 题型8：梯形的高及画法 【典例精讲8】在梯形ABCD中。 （1）过A点画出梯形的高。 （2）过B点画一条线段BE，把梯形ABCD分成一个平行四边形和一个三角形，用符号表示AD和BE的位置关系是（    ）。 【答案】（1）图见详解过程 （2）图见详解过程；AD∥BE 【分析】（1）在梯形中，从上底的A点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离是梯形的高，高一般用虚线来表示，要标出垂足； （2）根据题意，过B点作腰AD的平行线BE，即可把梯形ABCD分成一个平行四边形和一个三角形；在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，AD和BE是平行关系，用符号表示AD和BE的位置关系是AD∥BE；据此解答即可。 【详解】（1）过A点画出梯形的高。作图如下： （2）过B点画一条线段BE，把梯形ABCD分成一个平行四边形和一个三角形。作图如下： 用符号表示AD和BE的位置关系是AD∥BE。 题型9： 平行四边形的高及画法 【典例精讲9】如图，每个小正方形的边长都是1cm。 （1）在图中找一点D，使四边形ABDC是平行四边形，并把它画出来。 （2）过点B画平行四边形AC边上的高BE，并标上垂足E。 （3）高BE把平行四边形分成了一个（    ）形和（    ）形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）三角形；直角梯形 【分析】（1）根据平行四边形“对边互相平行且相等”的特点找到D点，并画出完整的平行四边形。 （2）平行四边形的高的画法：过平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，两条直线相交的点为垂足，这点和垂足之间的线段为平行四边形的高。 （3）结合三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形的特点，判断分割出来的图形属于哪种。 【详解】（1）AB长3厘米，要使四边形ABDC是平行四边形，则要求CD长3厘米，并且与AB平行，同时保证BD也要与AC平行；D点位置如下图： （2）平行四边形AC边上的高BE与垂足E如下图所示： （3）BE把平行四边形ABDC分割成了图形ABE和图形BDCE； 图形ABE有三条边，因此是个三角形； 图形BDCE有四条边，是个四边形，并且BD与EC互相平行，只有一组对边平行的四边形是梯形；又因为这个梯形有一个角是90°，所以图形BDCE还是个直角梯形。 因此，高BE把平行四边形ABDC分成了一个三角形和直角梯形（答案不唯一）。 题型10：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲10】用四根小棒摆一个平行四边形，能摆出不同的平行四边形吗？ 平行四边形的四条边确定了，它的形状能确定吗？ 【答案】能；不能； 【分析】平行四边形的对边互相平行且相等，平行四边形具有不稳定性，容易变形，依此即可解答。 【详解】用四根小棒摆一个平行四边形，能摆出不同的平行四边形；因为平行四边形具有不稳定的特点，因此平行四边形的四条边确定了，它的形状不能确定。 【点睛】解答此题的关键是应熟练掌握平行四边形不稳定的特性。 题型10：画平行四边形 【典例精讲11】如图所示，点a、b、c是一个平行四边形的三个顶点，符合条件的平行四边形共有（    ）个，画出其中一个，并标出另外一个顶点d。 【答案】3；图见详解 【分析】根据平行四边形对边平行且相等，据此作图即可。 【详解】 如图： 符合条件的平行四边形共有3个。 题型12：平行四边形的周长 【典例精讲12】如图，两个完全相同的等腰梯形的周长都是23厘米，将它们拼成一个平行四边形后周长是38厘米。等腰梯形的腰长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】根据题意可知：两个完全一样的等腰梯形的周长都是23厘米，拼成一个平行四边形后，平行四边形的周长比两个等腰梯形的周长和减少了等腰梯形两条腰的长度，已知拼成平行四边形的周长是38厘米，用两个等腰梯形的周长和减去38厘米，就是等腰梯形两条腰的长度和，然后除以2即可求出等腰梯形的腰长；据此解答。 【详解】（23×2－38）÷2 ＝（46－38）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 答：等腰梯形的腰长是4厘米。 学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 1、 应用题 1．（22-23四年级上·甘肃平凉·期末）如图，图中的角是（    ）度，如果右图是一个平行四边形的一部分，你能把它画完整吗？ 【答案】150；图见详解 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；根据平行四边形对面平行且相等，补全平行四边形即可。 【详解】图中的角是150°。 平行四边形如图： 2．（22-23四年级上·湖南怀化·单元测试）要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，应该怎样挖？请你在图上画出来。 【答案】从幸福小区到小河作垂线段；画图见详解 【分析】根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，就要从幸福小区到小河作垂线段。 【详解】要使管道最短，就要从幸福小区到小河作垂线段；画图如下： 【点睛】本题考查了学生对垂线段最短的掌握情况，同时检查了学生的作图能力，及利用数学知识解决实际问题的能力。注意垂线段最短。 3．（23-24四年级上·全国·单元测试）木工师傅常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行。你能说出其中的道理吗？ 【答案】平行线间的距离处处相等 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；两条平行线间的所有垂线段都相等；依此解答。 【详解】木工师傅常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行。那是因为平行线间的距离处处相等。 4．（22-23四年级上·河南郑州·期末）（1）量一量，∠ABC＝（    ）。 （2）蚂蚁从点D出发爬到BC上，怎样爬最短？在图中画出来。 【答案】（1）65° （2）沿着垂直BC的方向爬最短；图见详解。 【分析】（1）把量角器的中心与点B重合，0刻度线与AB重合，与BC重合的刻度就是∠ABC的度数； （2）根据点到直线的距离，垂线段最短，把三角板一直角边与BC重合，平移三角板，当另一直角边经过点D时，沿三角板这一边从D点向BC划线即可。 【详解】（1）经测量，∠ABC＝65°； （2）蚂蚁从点D出发爬到BC上，要沿着垂直BC的方向爬最短。 如图所示： 5．（23-24四年级上·江西九江·期中）公园里有一个平行四边形的花坛，相邻两边的长度分别是9米和10米。现在要在花坛的四周围上栅栏，栅栏每米11元，一共需要多少元？ 【答案】418元 【分析】根据题意可知，平行四边形花坛相邻两边的长度和乘2等于花坛的周长，即栅栏的长度，再乘栅栏每米的价钱即等于一共需要的钱，据此即可解答。 【详解】（9＋10）×2×11 ＝19×2×11 ＝38×11 ＝418（元） 答：一共需要418元。 6．（22-23四年级上·山东济宁·期末）一个形状是等腰梯形的菜园，上底长17米，下底长33米，腰长20米，要给它围上一圈篱笆，篱笆长多少米？ 【答案】90米 【分析】等腰梯形的两腰相等，而需要篱笆的长度就是等腰梯形菜园的周长，封闭图形一周的长度是这个图形的周长，依此计算即可。 【详解】17＋33＋20＋20＝90（米） 答：要给它围上一圈篱笆，篱笆长90米。 7．（22-23四年级上·甘肃平凉·期末）如图，过A点画直线的平行线，再想办法量出A点到直线的距离是（    ）厘米。 【答案】见详解；2.2 【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线，这条直线就是已知直线的平行线；再进A点向已知直线画垂线段；用直尺的“0”刻度线和线段的A端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度；据此解答即可。 【详解】 量出A点到直线的距离是2.2厘米。 8．（19-20四年级上·北京朝阳·期中）小明在游泳池里游泳，现在A处，他想尽快游上岸，你能帮他设计一条最近的游上岸的路线吗？把最短的路线画出来。 理由是：______________________________。 【答案】 作图见详解； 连接直线外一点到已知直线上任意一点的线段，垂直线段最短。 【分析】因为连接直线外一点到已知直线上任意一点的线段，垂直线段最短；所以要设计一条最近的游上岸的路线，只需从A点向最邻近的一边作垂直线段，这条垂直线段就是最短的路线。据此解答。 【详解】 理由是：连接直线外一点到已知直线上任意一点的线段，垂直线段最短。 9．（22-23四年级上·湖南长沙·期末）把一个平行四边形分成一个三角形和一个等腰梯形，等腰梯形的周长是25厘米，上底长4厘米、下底长9厘米。平行四边形的周长是多少厘米？ 【答案】30厘米 【分析】根据题意，梯形的下底就是平行四边形的一条边，等腰梯形的腰就是平行四边形的另一条边；等腰梯形的周长＝上底＋下底＋腰×2，代入数据，可计算腰长。平行四边形的周长＝邻边和乘2，据此计算即可。 【详解】25－4－9＝12（厘米） 12÷2＝6（厘米） （9＋6）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 答：平行四边形的周长是30厘米。 10．（22-23四年级上·湖南张家界·期末）一个平行四边形的花池，它的一条边长12米，周长是42米，与它相邻的另一条边长多少米？ 【答案】9米 【分析】平行四边形的对边平行且相等，所以平行四边形的周长＝四条边的长度之和＝相邻两条边的长度和×2；因此，周长÷2＝相邻两边的和，周长÷2－已知的一条边＝相邻的另一条边；据此解答。 【详解】42÷2－12 ＝21－12 ＝9（米） 答：与它相邻的另一条边长9米。 11．（22-23四年级上·云南红河·期末）一个等腰梯形的教具，上底长20厘米，下底长30厘米，一条腰长15厘米，围成这个梯形至少需要多长的铁丝？（接头处不算） 【答案】80厘米 【分析】根据等腰梯形的特征可知，它的两条腰相等，所以围成这个梯形至少需要（20＋30＋15×2）厘米的铁丝。 【详解】20＋30＋15×2 ＝20＋30＋30 ＝80（厘米） 答：围成这个梯形至少需要80厘米的铁丝。 【点睛】熟记等腰梯形的特征，是解答此题的关键。 12．（22-23四年级上·广东珠海·期末）一块平行四边形的菜地，相邻两边的长分别是30米和25米，这块菜地的周长是多少米？ 【答案】110米 【分析】根据“对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知，平行四边形的周长等于相邻两边的长度和乘2，据此求出这块菜地的周长即可。 【详解】（30＋25）×2 ＝55×2 ＝110（米） 答：这块菜地的周长是110米。 【点睛】正确理解周长的意义，是解答此题的关键。 13．（22-23四年级上·陕西延安·期末）一个等腰梯形的上底长4厘米，下底长10厘米，高是4厘米，其中一条腰比下底短5厘米，这个等腰梯形的周长是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰的长度之和，据此列式解答。 【详解】4＋10＋（10－5）×2 ＝4＋10＋5×2 ＝4＋10＋10 ＝24（厘米） 答：这个等腰梯形的周长是24厘米。 【点睛】掌握梯形周长的求法是解题的关键。 14．（22-23四年级上·山东济宁·期末）爷爷用篱笆靠墙边围成一个梯形菜园，上底长4米，下底比上底长1米，爷爷用了多长的篱笆？ 【答案】28米 【分析】先用梯形菜园上底的长度加1米，从而计算出梯形菜园下底的长度，然后用梯形菜园下底的长度加10米后，再加13米即可，依此计算并解答。 【详解】4＋1＝5（米） 5＋10＋13＝28（米） 答：爷爷用了28米的篱笆。 【点睛】此题考查的是梯形的周长的计算，先计算出下底的长度是解答此题的关键。 15．（22-23四年级上·湖南怀化·期末）公园里有一个花坛的形状是平行四边形，它的周长是38米，其中一条边长是8米，其余三条边的长分别是多少米？ 【答案】11米；11米；8米 【分析】平行四边形的周长是相邻两条边的长度和的2倍，则这个花坛的相邻两条边的长度和是（38÷2）米。一条边长是8米，与之相邻的边的长是（38÷2－8）米。平行四边形的两组对边平行，据此求出另外两条边的长度。 【详解】38÷2－8 ＝19－8 ＝11（米） 答：其余三条边的长分别是11米、11米、8米。 【点睛】本题考查平行四边形的特征以及周长，关键是熟记周长公式，求出另一组对边的长度。 16．（22-23四年级上·浙江绍兴·期末）一块平行四边形的草地，已知相邻两条边分别是25米、19米，要在它的外面围篱笆（接头处不算），篱笆长多少米？ 【答案】88米 【分析】篱笆长度就是平行四边形的周长，平行四边形的周长＝一组邻边的和×2，把数据代入公式计算即可。 【详解】（25＋19）×2 ＝44×2 ＝88（米） 答：篱笆长88米。 【点睛】此题主要考查平行四边形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 17．（22-23四年级上·江西抚州·期末）一个等腰梯形的下底长12厘米，比上底长5厘米，腰长13厘米，这个梯形的周长是多少厘米？ 【答案】45厘米 【分析】等腰梯形的两腰相等，等腰梯形的下底长－5厘米＝上底长，等腰梯形的周长＝上底长＋下底长＋腰长＋腰长，依此计算即可。 【详解】12－5＝7（厘米） 12＋7＋13＋13＝45（厘米） 答：这个梯形的周长是45厘米。 【点睛】此题考查的是梯形的周长的计算，应熟练掌握等腰梯形的特点。 18．（22-23四年级上·湖南张家界·期末）一块钢板是一个等腰梯形，它的上底是36厘米，下底是70厘米，周长是2米。这个等腰梯形的一条腰长是多少厘米？ 【答案】47厘米 【分析】1米＝100厘米，根据进率统计单位；等腰梯形的两腰相等；再计算一条腰长＝（周长－上底－下底）÷2；据此解答。 【详解】2×100＝200（厘米） （200－36－70）÷2 ＝94÷2 ＝47（厘米） 答：这个等腰梯形的一条腰长是47厘米。 【点睛】掌握等腰梯形的概念，以及等腰梯形周长的计算方法是解答本题的关键。 19．（22-23四年级上·福建福州·期末）一根48厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长15厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？ 【答案】15厘米；9厘米；9厘米 【分析】48厘米即围成平行四边形的周长，根据平行四边形特征：两组对边分别相等，所以平行四边形的周长等于两条相邻边的和乘2；其中一条边长15厘米，那么这条边的对边的长也是15厘米；用48除以2，求出两条相邻边的和，再减去15厘米，求出第三条边的长度，据此可知最后一条边的长度。 【详解】48÷2－15 ＝24－15 ＝9（厘米） 答：其他三条边分别是15厘米、9厘米、9厘米。 【点睛】此题应结合题意，并根据平行四边形的特点进行分析、解答。 20．（22-23四年级上·吉林·期末）一面平行四边形镜子的一条边是15厘米，它的一条邻边比它长5厘米。如果用木条给这面镜子的边缘镶上镜框，至少需要多长的木条？ 【答案】70厘米 【分析】因为平行四边形的对边相等，所以周长＝邻边之和×2，先用加法求出已知的一条边的邻边的长度，再代入数据计算即可。 【详解】（15＋15＋5）×2 ＝（30＋5）×2 ＝35×2 ＝70（厘米） 答：至少需要70厘米的木条。 【点睛】此题主要考查平行四边形的周长计算。平行四边形周长＝邻边之和×2。 21．（22-23四年级上·海南省直辖县级单位·期末）一块菜地是一个等腰梯形，它的腰长7米，上底长12米，下底比上底长4米，如果在菜地四周围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ 【答案】42米 【分析】等腰梯形的两腰相等，根据题意可知，上底长＋4米＝下底长，上底长＋下底长＋腰长×2＝等腰梯形的周长，依此计算并解答。 【详解】12＋4＝16（米） 12＋16＋7×2 ＝12＋16＋14 ＝28＋14 ＝42（米） 答：如果在菜地四周围上篱笆，至少需要篱笆42米。 【点睛】此题考查的是等腰梯形的周长的计算，应熟练掌握等腰梯形的特点。 22．（22-23四年级上·吉林通化·期末）一个等腰梯形，它的下底比上底长9厘米，上底和一条腰的长都是6厘米，这个梯形的周长是多少厘米？ 【答案】33厘米 【分析】等腰梯形的两条腰相等，则上底和每条腰都长6厘米。用上底的长度加上9厘米，求出下底的长度。根据梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰，据此解答。 【详解】6＋（6＋9）＋2×6 ＝6＋15＋12 ＝33（厘米） 答：这个梯形的周长是33厘米。 【点睛】本题考查梯形周长公式的应用，关键是熟记公式。 23．（22-23四年级上·福建莆田·期末）平行四边形相邻的两条边分别是2厘米和3厘米，用4个这样的平行四边形拼成更大的平行四边形，周长最长是多少？最短是多少？ 【答案】28厘米；20厘米 【分析】要想拼成的平行四边形的周长最长，应将4个平行四边形的短边拼接起来，拼成一排，此时大平行四边形的一条边是（4×3）厘米，邻边是2厘米，周长是（4×3＋2）×2厘米。 要想拼成的平行四边形的周长最短，应将4个平行四边形拼成2行2列，每行的2个平行四边形的短边相接，每列的2个平行四边形的长边相接，此时大平行四边形的一条边是（3×2）厘米，邻边是（2×2）厘米，周长是（3×2＋2×2）×2厘米。 【详解】（4×3＋2）×2 ＝（12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） （3×2＋2×2）×2 ＝（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 答：周长最长是28厘米，最短是20厘米。 24．（22-23四年级上·福建莆田·期末）育才小学有一个梯形的花坛，花坛的上底长4米，下底长6米，两腰各长5米。如果在花坛的四周围上护栏，护栏长多少米？ 【答案】20米 【分析】由题意可知，梯形花坛的上底长4米，下底长6米，两腰各长5米，四周围上护栏，要求护栏的长度。根据等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰，代入数据计算即可。 【详解】由题意得： 4＋6＋2×5 ＝4＋6＋10 ＝10＋10 ＝20（米） 答：护栏长20米。 25．（23-24四年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一个梯形的上底是3厘米，如果将上底延长2厘米，则该梯形就变成一个正方形，这个梯形的下底和高各是多少厘米？请画出变化前后的图形。 【答案】图见详解；下底5厘米；高5厘米 【分析】一个梯形的上底是3厘米，如果将上底延长2厘米，则该梯形就变成一个正方形，说明延长后，上底、下底、两条腰就变得一样长了，变成了正方形；上底和下底之间的距离叫作梯形的高，延长后，上底和下底之间的距离不变，变成一个正方形，则正方形的边长就是上底和下底之间的距离，就是梯形的高；再根据数据画出图形即可。 【详解】 这个梯形的下底是5厘米，高是5厘米。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五单元 《平行四边形和梯形》 单元复习讲义 四年级数学上册专项精练（结构导图+素养目标+知识梳理+易错集锦+典例精讲+专项精练） （高清导图，放大更清晰。） 一、核心素养目标： 1、数学运算：学生能够准确掌握平行四边形和梯形的面积计算方法，并能灵活运用到实际问题中。 2、空间观念：学生能够理解并描述平行四边形和梯形的特征，发展空间几何直观。 3、问题解决：学生能够运用所学知识解决与平行四边形和梯形相关的实际问题，培养逻辑推理和问题解决能力。 4、数学表达：学生能够用准确的数学语言描述平行四边形和梯形的性质，并能进行有效的数学交流。 二、学习目标： 1、学生能够识别平行四边形和梯形，并掌握它们的基本性质。 2、学生能够通过操作、观察和推理，探究平行四边形和梯形的面积计算方法。 3、学生能够体会数学在生活中的应用，培养对数学学习的兴趣和积极态度。 4、学生能够将所学知识应用于解决实际问题，如计算生活中的相关图形面积等。 1、在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2、平行 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）如图：直线a平行于直线b， 可记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。 3、垂直 （1）两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 （2）这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 （3）如图：直线a与b互相垂直 记作a⊥b，读作a垂直于b。 4、画垂线 （1）边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； （2）平移找点：平移三角尺找到直线上的点； （3）画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 （4）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 5、画长方形和正方形 先画出一条线段，然后过这条线段的两个端点画与这条线段垂直的线段，最后连接这两条垂直线段的另外的端点。 1、平行四边形 （1）两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 （2）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 （3）平行四边形的两组对边分别平行并且相等。两组对角分别相等。 （4）平行四边形有无数条高；对边之间的高长度相等；对边之间的高互相平行。 （5）平行四边形有不稳定性，容易变形。 2、梯形 （1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 （2）平行的一组对边分别叫梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫腰 。 梯形上底和下底之间的垂直线段叫梯形的高。 （3）特殊的梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 1、长方形和正方形是特殊的平行四边形。 2、正方形是特殊的长方形。 3、正方形、长方形、平行四边形有两组对边分别平行。 4、梯形只有一组对边互相平行。 1、无论是平行还是垂直，都是指在同一个平面内两条直线的位置关系。 2、只有两条直线相交成直角时，才能说这两条直线互相垂直。 3、把直线外一点与直线上任意一点的连线误认为是点到直线的距离。 4、用三角尺画垂线时，要沿直角边画线。 5、画长方形时，先画出长方形的长（或宽），再用画垂线的方法画出长方形。 6、平行四边形的高通常是从平行四边形一个顶点向它的对边画垂线，即底和高是一一对应的。 7、平行四边形有无数条高，但过一个顶点只能画2条高。 8、梯形的高有无数条，但过一个顶点向对边只能画1条高。 9、平行四边形的两组对边分别互相平行，梯形只有一组对边互相平行。 题型1：画平行线 【典例精讲1】过直线外一点，分别作已知直线的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】用三角尺的一条直角边与已知直线重合，用直尺顶住三角尺的另一条直角边，移动三角尺，让与已知直线重合的直角边过直线外的点，沿着这条直角边画线，即可画已知直线的平行线； 用三角尺的一条直角边与已知直线重合，移动三角尺，让三角尺的另一条直角边过直线外的点，沿着过点的这条直角边画线到已知直线，即可画出已知直线的垂线。 【详解】 题型2：画垂线 【典例精讲2】要从双河村层基坪组修一条通往主干公路的水泥路。怎样修路最近呢？先写出来，再在图中画出来。 【答案】由层基坪组向公路画垂直线段即可；图见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短，由层基坪组向公路画垂直线段即可。 【详解】答：由层基坪组向公路画垂直线段即可。 最短路线如图所示： 题型3：垂直的特征 【典例精讲3】从张庄挖一条水渠与小河相通，要使水渠最短，应该怎样挖？请你在图中画出来并说明理由。 理由：_________________________。 【答案】画图见详解；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下： 理由：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 题型4：平行的特征及性质 【典例精讲4】小明在装饰屋子，画框挂歪了吗？你能帮小明检查出问题吗？请你在图中画出来，并写出验证方法。 【答案】见详解 【分析】两条直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。平行线之间的距离处处相等，根据画框底边两个端点到地面的距离是否相等来判断画框是否挂歪了，据此解答即可。 【详解】画框挂歪了，画框底边两个端点到地面的距离不相等（如下图），因为平行线间垂直线段的长度都相等，所以画框底边的任意一点到地面的距离相等时，这个画框的底边就是和地面平行，也就是画框挂正了，否则画框就挂歪了。 题型5：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲5】在方格纸上先画一个边长3厘米的正方形，再画一个长4厘米、宽2厘米的长方形。请算出这个长方形的周长。 （每个小正方形格子的边长为1厘米） 【答案】图见详解；12厘米 【分析】对边相等，有两条长，两条宽，四个角都是直角四边形的叫长方形；四条边都相等，四个角都是直角四边形的叫正方形，据此画出长方形和正方形即可；长方形周长＝（长＋宽）×2，代入数据，即可求出长方形的周长，据此解答。 【详解】如图所示： 长方形周长： （厘米） 【点睛】本题考查画指定长度的长方形和正方形以及长方形的周长，熟记公式是解答本题的关键。 题型6：平行四边形的概念及特点 平行四边形的概念及特点 【典例精讲6】按要求填空并画图。 （1）量一量，如图中∠1＝（    ）°。 （2）在图中确定另外三点A、C、D，使四边形ABCD是平行四边形，把这个平行四边形画出来，并画出它的一条高。 【答案】（1）135 （2）见详解 【分析】（1）量角器的使用方法，两合一看，两合是指中心点与角的顶点重合；0刻度线与角的一边重合。一看就是要看角的另一边所对的量角器的刻度。看角的度数时要注意是看外刻度还是内刻度。角的开口向左看外刻度线，角的开口向右看内刻度线。 （2）两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形。过点C作线段AB的平行线段CD，使CD＝AB，连接DA即可得到平行四边形ABCD； 从点D作AB的垂线段即可得到AB边上的一条高。 【详解】（1）量一量，如图中∠1＝135°。 （2）作图如下： （高的画法不唯一） 题型7：梯形的周长 【典例精讲7】如图，爸爸用铁丝网围成的一块菜地（其中一面靠墙）。围成这块菜地需要多少米的铁丝网？ 【答案】277米 【分析】给靠墙的菜地围铁丝只有三面围铁丝，所以把三条边相加即可求出铁丝的长度，据此解答。 【详解】 （米） 答：围成这块菜地需要277米的铁丝网。 题型8：梯形的高及画法 【典例精讲8】在梯形ABCD中。 （1）过A点画出梯形的高。 （2）过B点画一条线段BE，把梯形ABCD分成一个平行四边形和一个三角形，用符号表示AD和BE的位置关系是（    ）。 【答案】（1）图见详解过程 （2）图见详解过程；AD∥BE 【分析】（1）在梯形中，从上底的A点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离是梯形的高，高一般用虚线来表示，要标出垂足； （2）根据题意，过B点作腰AD的平行线BE，即可把梯形ABCD分成一个平行四边形和一个三角形；在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，AD和BE是平行关系，用符号表示AD和BE的位置关系是AD∥BE；据此解答即可。 【详解】（1）过A点画出梯形的高。作图如下： （2）过B点画一条线段BE，把梯形ABCD分成一个平行四边形和一个三角形。作图如下： 用符号表示AD和BE的位置关系是AD∥BE。 题型9： 平行四边形的高及画法 【典例精讲9】如图，每个小正方形的边长都是1cm。 （1）在图中找一点D，使四边形ABDC是平行四边形，并把它画出来。 （2）过点B画平行四边形AC边上的高BE，并标上垂足E。 （3）高BE把平行四边形分成了一个（    ）形和（    ）形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）三角形；直角梯形 【分析】（1）根据平行四边形“对边互相平行且相等”的特点找到D点，并画出完整的平行四边形。 （2）平行四边形的高的画法：过平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，两条直线相交的点为垂足，这点和垂足之间的线段为平行四边形的高。 （3）结合三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形的特点，判断分割出来的图形属于哪种。 【详解】（1）AB长3厘米，要使四边形ABDC是平行四边形，则要求CD长3厘米，并且与AB平行，同时保证BD也要与AC平行；D点位置如下图： （2）平行四边形AC边上的高BE与垂足E如下图所示： （3）BE把平行四边形ABDC分割成了图形ABE和图形BDCE； 图形ABE有三条边，因此是个三角形； 图形BDCE有四条边，是个四边形，并且BD与EC互相平行，只有一组对边平行的四边形是梯形；又因为这个梯形有一个角是90°，所以图形BDCE还是个直角梯形。 因此，高BE把平行四边形ABDC分成了一个三角形和直角梯形（答案不唯一）。 题型10：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲10】用四根小棒摆一个平行四边形，能摆出不同的平行四边形吗？ 平行四边形的四条边确定了，它的形状能确定吗？ 【答案】能；不能； 【分析】平行四边形的对边互相平行且相等，平行四边形具有不稳定性，容易变形，依此即可解答。 【详解】用四根小棒摆一个平行四边形，能摆出不同的平行四边形；因为平行四边形具有不稳定的特点，因此平行四边形的四条边确定了，它的形状不能确定。 【点睛】解答此题的关键是应熟练掌握平行四边形不稳定的特性。 题型10：画平行四边形 【典例精讲11】如图所示，点a、b、c是一个平行四边形的三个顶点，符合条件的平行四边形共有（    ）个，画出其中一个，并标出另外一个顶点d。 【答案】3；图见详解 【分析】根据平行四边形对边平行且相等，据此作图即可。 【详解】 如图： 符合条件的平行四边形共有3个。 题型12：平行四边形的周长 【典例精讲12】如图，两个完全相同的等腰梯形的周长都是23厘米，将它们拼成一个平行四边形后周长是38厘米。等腰梯形的腰长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】根据题意可知：两个完全一样的等腰梯形的周长都是23厘米，拼成一个平行四边形后，平行四边形的周长比两个等腰梯形的周长和减少了等腰梯形两条腰的长度，已知拼成平行四边形的周长是38厘米，用两个等腰梯形的周长和减去38厘米，就是等腰梯形两条腰的长度和，然后除以2即可求出等腰梯形的腰长；据此解答。 【详解】（23×2－38）÷2 ＝（46－38）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 答：等腰梯形的腰长是4厘米。 学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 1、 应用题 1．（22-23四年级上·甘肃平凉·期末）如图，图中的角是（    ）度，如果右图是一个平行四边形的一部分，你能把它画完整吗？ 2．（22-23四年级上·湖南怀化·单元测试）要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，应该怎样挖？请你在图上画出来。 3．（23-24四年级上·全国·单元测试）木工师傅常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行。你能说出其中的道理吗？ 4．（22-23四年级上·河南郑州·期末）（1）量一量，∠ABC＝（    ）。 （2）蚂蚁从点D出发爬到BC上，怎样爬最短？在图中画出来。 5．（23-24四年级上·江西九江·期中）公园里有一个平行四边形的花坛，相邻两边的长度分别是9米和10米。现在要在花坛的四周围上栅栏，栅栏每米11元，一共需要多少元？ 6．（22-23四年级上·山东济宁·期末）一个形状是等腰梯形的菜园，上底长17米，下底长33米，腰长20米，要给它围上一圈篱笆，篱笆长多少米？ 7．（22-23四年级上·甘肃平凉·期末）如图，过A点画直线的平行线，再想办法量出A点到直线的距离是（    ）厘米。 8．（19-20四年级上·北京朝阳·期中）小明在游泳池里游泳，现在A处，他想尽快游上岸，你能帮他设计一条最近的游上岸的路线吗？把最短的路线画出来。 理由是：______________________________。 9．（22-23四年级上·湖南长沙·期末）把一个平行四边形分成一个三角形和一个等腰梯形，等腰梯形的周长是25厘米，上底长4厘米、下底长9厘米。平行四边形的周长是多少厘米？ 10．（22-23四年级上·湖南张家界·期末）一个平行四边形的花池，它的一条边长12米，周长是42米，与它相邻的另一条边长多少米？ 11．（22-23四年级上·云南红河·期末）一个等腰梯形的教具，上底长20厘米，下底长30厘米，一条腰长15厘米，围成这个梯形至少需要多长的铁丝？（接头处不算） 12．（22-23四年级上·广东珠海·期末）一块平行四边形的菜地，相邻两边的长分别是30米和25米，这块菜地的周长是多少米？ 13．（22-23四年级上·陕西延安·期末）一个等腰梯形的上底长4厘米，下底长10厘米，高是4厘米，其中一条腰比下底短5厘米，这个等腰梯形的周长是多少厘米？ 14．（22-23四年级上·山东济宁·期末）爷爷用篱笆靠墙边围成一个梯形菜园，上底长4米，下底比上底长1米，爷爷用了多长的篱笆？ 15．（22-23四年级上·湖南怀化·期末）公园里有一个花坛的形状是平行四边形，它的周长是38米，其中一条边长是8米，其余三条边的长分别是多少米？ 16．（22-23四年级上·浙江绍兴·期末）一块平行四边形的草地，已知相邻两条边分别是25米、19米，要在它的外面围篱笆（接头处不算），篱笆长多少米？ 17．（22-23四年级上·江西抚州·期末）一个等腰梯形的下底长12厘米，比上底长5厘米，腰长13厘米，这个梯形的周长是多少厘米？ 18．（22-23四年级上·湖南张家界·期末）一块钢板是一个等腰梯形，它的上底是36厘米，下底是70厘米，周长是2米。这个等腰梯形的一条腰长是多少厘米？ 19．（22-23四年级上·福建福州·期末）一根48厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长15厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？ 20．（22-23四年级上·吉林·期末）一面平行四边形镜子的一条边是15厘米，它的一条邻边比它长5厘米。如果用木条给这面镜子的边缘镶上镜框，至少需要多长的木条？ 21．（22-23四年级上·海南省直辖县级单位·期末）一块菜地是一个等腰梯形，它的腰长7米，上底长12米，下底比上底长4米，如果在菜地四周围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ 22．（22-23四年级上·吉林通化·期末）一个等腰梯形，它的下底比上底长9厘米，上底和一条腰的长都是6厘米，这个梯形的周长是多少厘米？ 23．（22-23四年级上·福建莆田·期末）平行四边形相邻的两条边分别是2厘米和3厘米，用4个这样的平行四边形拼成更大的平行四边形，周长最长是多少？最短是多少？ 24．（22-23四年级上·福建莆田·期末）育才小学有一个梯形的花坛，花坛的上底长4米，下底长6米，两腰各长5米。如果在花坛的四周围上护栏，护栏长多少米？ 25．（23-24四年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一个梯形的上底是3厘米，如果将上底延长2厘米，则该梯形就变成一个正方形，这个梯形的下底和高各是多少厘米？请画出变化前后的图形。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$