第3单元长方形和正方形讲义（知识梳理、例题精讲、跟踪训练）-2024-2025学年数学三年级上册苏教版

第3单元长方形和正方形 （知识梳理、例题精讲、跟踪训练） 知识梳理 1. 认识长方形和正方形： ①长方形有四条边，对边相等；有四个角，都是直角。 ②正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 ③通常把长方形长边的长叫作长，短边的长叫作宽；正方形每条边的长叫作边长。 ④正方形是长宽相等的长方形；正方形是一种特殊的长方形。 2. 认识周长： 围成图形的每条边的总长就是这个图形的周长 3. 长方形和正方形的周长计算： 长方形的周长=长+宽+长+宽=（长+宽）×2 =长×2+宽×2 长方形的长=周长÷2-宽 ；长方形的宽=周长÷2-长正方形的周长=边长×4 ；正方形的边长=周长÷4 篱笆最长=长×2+宽 ；篱笆最短=宽×2+长 4. 解决问题 ①剪（折）一个最大的正方形，正方形的边长是原来长方形的宽。 ②画图题：画一个周长是多少的长方形，先让周长÷2，得到长加宽的和， 然后再将和分成，确定长和宽。 ③两个长方形的周长相等，说明它们长与宽的和相等，但长和宽不一定分别相等。 ④正方形的边长扩大几倍，周长也扩大几倍。 ⑤把一个图形剪成两个图形之后，这两个图形的周长之和肯定大于原来图形的周长。 ⑥把两个相同的长方形拼成一个大的图形，这个图形的周长小于原来两个长方形周长的和。 例题精讲 例题精讲一：长方形与正方形的特征 1．按记号折后能围成一个长方形的铁丝是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】长方形是一个特殊的四边形，它的两组对边分别相等，长的一组对边叫长，短的一组对边叫宽，且长与宽是相邻的两条边。一条铁丝要想组成一个长方形，需要是一条长边，一条短边的拼接起来；据此解答。 【详解】A．观察图形可知，图中两条宽相邻，不能围成长方形，故本选项不正确； B．观察图形可知，图中两条长、两条宽分别相邻，不能围成长方形，故本选项不正确； C．观察图形可知，图中长与宽相邻，能够围成长方形，故本选项正确。 故答案为：C 2．请你从下面三组三角尺中选出能拼成正方形的一组是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】正方形的4条边相等，有4个直角，据此逐项分析解答。 【详解】A．每个三角尺的两条直角边相等，斜边相接时，可以拼成一个正方形，4条边相等。 B．每个三角尺的两条直角边不相等，斜边相接时，可以拼成一个长方形，但不能拼成一个正方形； C．这两个三角尺大小不相同，不能拼成正方形； 故答案为：A 3．下面三个信封中分别装有一张四边形纸，从（    ）信封中抽出的四边形纸一定是长方形？ A． B． C． 【答案】B 【分析】正方形的四条边都相等，四个角都是直角；长方形对边相等，四个角都是直角；依此即可选择。 【详解】 A．此信封中抽出的四边形纸可能是正方形。 B． 此信封中抽出的四边形纸一定是长方形。 C． 此信封中抽出的四边形纸可能是正方形。 故答案为：B 例题精讲二：周长的认识与大小比较 1．下面图形的边线不能表示周长的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】封闭图形一周的长度是这个图形的周长，因此只有封闭图形的边线才能表示其周长；据此解答。 【详解】 A．此图形是封闭图形，因此该图形的边线可以表示其周长，不符合题意； B．此图形是封闭图形，因此该图形的边线可以表示其周长，不符合题意； C．此图形是封闭图形，因此该图形的边线可以表示其周长，不符合题意； D．此图形是不封闭图形，因此该图形的边线不可以表示其周长，符合题意； 故答案为：D 2．如图，①②两个图形的周长相比（    ）。 A．相等 B．图①长 C．图②长 【答案】A 【分析】根据周长的定义来判断，封闭图形一周的长度是它的周长，①与②有一条公共边，①的剩下三条边与②的剩下的三条边长度相等，因此①周长等于②周长 【详解】由分析可知，①②两个图形的周长相等； 故答案为：A 3．下面所有小正方形的边长都相等，图①与图②的周长相比，（    ）。 A．图①的周长长 B．图②的周长长 C．一样长 D．无法比较 【答案】A 【分析】正方形的周长＝4×边长，分别计算出①和②图形的周长，再比较即可。 ①号是由12条正方形的边长组成； ②号是由10条正方形的边长组成。 【详解】设小正方形的周长是a ①4×a×3＝12a ②10×a＝10a 12a＞10a 图①的周长长 故答案为：A 例题精讲三：根据周长画长方形与正方形 1．在方格纸上画一个长是7厘米，宽是4厘米的长方形，再画一个周长是20厘米的正方形。（每个小方格的边长表示1厘米）。 【答案】见详解 【分析】方格边长为1厘米，画一个长7个方格边长、宽4个方格边长的长方形；20÷4＝5（厘米），画一个边长为5个方格边长的正方形即可解答。 【详解】 2．如图中每个小正方形的边长都表示1厘米，请你在方格纸上画一个长6厘米、宽4厘米的长方形，再画出一个正方形，使这个正方形的周长与长方形的周长相等。 【答案】见详解 【分析】根据长方形的概念对边相等，四个角为直角，画出长6厘米，宽4厘米的长方形；长方形周长＝（长＋宽）÷2，求出长方形的周长，周长一样，正方形边长＝周长÷4，据此求出正方形边长，画出正方形即可。 【详解】（6＋4）×2÷4 ＝10×2÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 正方形边长为5厘米。 如图： 3．学校要建一座周长为26米的长方形水池，请你按要求在方格纸上设计出两个不同形状的长方形水池。（每个小方格边长表示1米） 【答案】图见详解 【分析】第一步，根据题目，我们知道长方形水池的周长为26米，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，可得出长和宽的和是26÷2＝ 13米。 第二步，我们可以设计一个长为9米，宽为4米的长方形水池，这样周长就是（9 ＋4）×2＝ 26米，符合题目要求。 第三步，我们也可以设计一个长为7米，宽为6米的长方形水池，这样周长就是 （7 ＋6）×2＝ 26米，也符合题目要求。 【详解】 例题精讲四：已知长、宽，求周长 1．一个长方形的宽是4分米，长是宽的2倍。它的周长是多少分米？ 【答案】24分米 【分析】一个长方形的宽是4分米，长是宽的2倍，先求长＝宽×2，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2代入数据计算。 【详解】长：4×2＝8（分米） 周长：（8＋4）×2 ＝12×2 ＝24（分米） 答：它的周长是24分米。 2．在中国国家博物馆的“复兴之路”基本陈列中展出的清朝传位玉玺大清受命之宝，印面为正方形，边长是14厘米，这个玉玺的印面周长是多少厘米？ 【答案】56厘米 【分析】根据正方形的周长公式：正方形的周长＝边长×4，将边长是14厘米代入公式计算即可。 【详解】（厘米） 答：这个玉玺的印面周长是56厘米。 3．用一段长80米的绳子，将一块边长是18米的正方形苗圃地围一周，还剩多少米？ 【答案】8米 【分析】根据正方形周长＝边长×4，先求出正方形苗圃地一周的长度，再用80减去一周的长度即为还剩多少米。 【详解】18×4＝72（米） 80－72＝8（米） 答：还剩8米。 【点睛】本题主要考查正方形的周长计算，需熟记公式。 例题精讲五：篱笆问题 1．刘大叔用篱笆围了一块长方形菜地（如下图有一面靠墙），长是10米，宽是8米，篱笆至少长多少米？ 【答案】26米 【分析】根据题图可知，菜地的长边靠墙，篱笆长度为长＋2×宽，代入数据计算即可。 【详解】10＋2×8 ＝10＋16 ＝26（米） 答：篱笆至少长26米。 2．如图，王奶奶用木条靠墙围起了一个长方形的养鸡圈，鸡圈长6米，宽3米，围成这个鸡圈一共需要多长的木条？ 【答案】12米 【分析】根据题意可知，长方形养鸡圈的长靠墙，即需要的木条长度为长方形的一条长加上两条宽，据此解答即可。 【详解】6＋3×2 ＝6＋6 ＝12（米） 答：围成这个鸡圈一共需要12米长的木条。 3．如图，新华小学三年级老师们用篱笆靠墙给同学们围了一块菜地作为劳动基地。 （1）篱笆长多少米？ （2）三年级“小小数学家”社团的同学们想出一个办法：让这个长方形菜地的形状不变，大小也不变，还是一面靠墙，但能少用篱笆。你能把这个办法在图上画一画，并算一算，这样要用篱笆多少米？ 【答案】（1）42米 （2）图见详解过程；36米 【分析】（1）篱笆的长度等于两条长加上一条宽，据此代入数据计算即可解答； （2）因为一面靠墙，可以是长边靠墙，也可以是宽边靠墙，问题是能少用篱笆，也就是长边靠墙需要的篱笆最少，这样篱笆的长度就是一条长边和两条宽边的长度和，由此求解。 【详解】（1）16×2＋10 ＝32＋10 ＝42（米） 答：篱笆长42米。 （2）如图所示： 16＋10×2 ＝16＋20 ＝36（米） 答：这样要用篱笆36米。 例题精讲六：周长的复杂运用 1．刘大叔用篱笆围了一块长方形菜地（如下图有一面靠墙），长是10米，宽是8米，篱笆至少长多少米？ 【答案】26米 【分析】根据题图可知，菜地的长边靠墙，篱笆长度为长＋2×宽，代入数据计算即可。 【详解】10＋2×8 ＝10＋16 ＝26（米） 答：篱笆至少长26米。 2．如图，王奶奶用木条靠墙围起了一个长方形的养鸡圈，鸡圈长6米，宽3米，围成这个鸡圈一共需要多长的木条？ 【答案】12米 【分析】根据题意可知，长方形养鸡圈的长靠墙，即需要的木条长度为长方形的一条长加上两条宽，据此解答即可。 【详解】6＋3×2 ＝6＋6 ＝12（米） 答：围成这个鸡圈一共需要12米长的木条。 3．如图，新华小学三年级老师们用篱笆靠墙给同学们围了一块菜地作为劳动基地。 （1）篱笆长多少米？ （2）三年级“小小数学家”社团的同学们想出一个办法：让这个长方形菜地的形状不变，大小也不变，还是一面靠墙，但能少用篱笆。你能把这个办法在图上画一画，并算一算，这样要用篱笆多少米？ 【答案】（1）42米 （2）图见详解过程；36米 【分析】（1）篱笆的长度等于两条长加上一条宽，据此代入数据计算即可解答； （2）因为一面靠墙，可以是长边靠墙，也可以是宽边靠墙，问题是能少用篱笆，也就是长边靠墙需要的篱笆最少，这样篱笆的长度就是一条长边和两条宽边的长度和，由此求解。 【详解】（1）16×2＋10 ＝32＋10 ＝42（米） 答：篱笆长42米。 （2）如图所示： 16＋10×2 ＝16＋20 ＝36（米） 答：这样要用篱笆36米。 跟踪训练 一、选择题 1．一个长方形的长是15米，宽是10米，它的周长是（　　） A．150平方米 B．50米 C．60米 2．一个长方形周长24分米，长8分米，宽是（     ）． A．3分米 B．4分米 C．8分米 3．下面说法错误的是（   ）。 A．正方形的周长总是它边长的4倍。 B．1千克铁比1千克棉花重。 C．乘数末尾有0，积的末尾也一定有0。 4．如下图．一块地被分成了甲、乙两块（如图），甲、乙的周长（     ）． A．甲长 B．乙长 C．一样长 5．用两张长4厘米、宽2厘米的长方形纸拼成一个大的长方形或正方形，拼成的图形的周长最长是多少厘米？（    ） A．16 B．24 C．20 6．一个长方形操场，长90米，宽50米。明明沿着操场跑了两圈，一共跑了（    ）米。 A．140 B．280 C．560 二、填空题 7．用同样长的小棒围成正方形，至少需要( )根；如果围成长方形，至少需要( )根。 8．一块长方形菜地，长8米，宽5米。王大叔要给菜地四周围上篱笆，篱笆长( )米。如果菜地的一面靠墙，至少要用篱笆( )米，最多用( )米。 9．一个边长是6厘米的正方形，它的周长是( )厘米。用这样的5个正方形围成如下图所示的图形，它的周长是( )厘米。    10．下图中阴影部分的周长是( )厘米。（每个小方格都是边长为1厘米的正方形） 11．一个长方形的长6米，长是宽的2倍，宽是( )米，周长是( )米。 12．王老师把两个边长为9厘米的正方形纸板拼成一个长方形，长方形的长是（  ）厘米，宽是（  ）厘米，周长是（  ）厘米。 三、判断题 13．长方形菜地的长是6米，宽是4米，则菜地周长是20厘米。( ) 14．一张正方形纸不能剪成2个相同的小正方形。( ) 15．一块正方形手帕的周长是8分米，则这块手帕的边长是4分米。( ) 16．长方形一条边的长是4米，那么它的周长至少是16米。( ) 17．一个长方形的长增加5厘米，宽不变，它的周长增加5厘米。( ) 四、计算题 18．计算下面图形的周长。 五、解答题 19．一个长方形花圃长18米，宽是6米，小亮沿着花圃外围走了两圈，一共走了多少米？ 20．用一根绳子正好可以围成一个长为26厘米，宽为18厘米的长方形。如果用它围成一个边长20厘米的正方形，还剩多少厘米？ 21．如图，小明用4个一样的小正方形拼成一个边长4厘米的大正方形。 （1）大正方形的周长是多少？ （2）一个小正方形的周长是多少？ （3）如果将这4个小正方形拼成右边的图形，这个图形的周长是多少？ 22．一张长方形纸，长9分米，宽7分米，如果把它裁成一张最大的正方形纸（如下图），这张正方形纸的周长是多少分米，剩下的部分的周长又是多少分米？ 23．学校里有两个花圃（如图），正方形花圃的周长比三角形花圃多9米。如果三角形花圃的周长是55米，那么正方形花圃每边栅栏长多少米？ 24．李大伯家靠墙有一块长12米，宽8米的长方形土地。（如下图） （1）他打算从这块地的一端划一个最大的正方形区域来种青菜，请你帮他在图中分一分。 （2）剩下的部分用篱笆围起来做鸡舍，他至少需要准备多长的篱笆？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B C C C 1．B 【详解】试题分析：长方形的周长公式：C=（a+b）×2，代入数据可求出它的周长． 解：C=（a+b）×2， =（15+10）×2， =25×2， =50（米）． 答：它的周长是50米． 故选B． 点评：本题主要考查了学生对长方形周长公式的掌握情况． 2．B 【详解】略 3．B 【详解】略 4．C 【解析】略 5．C 【分析】将这两个长方形拼成一个大长方形，应宽边相接，大长方形的长为（4＋4）厘米，宽为2厘米。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2解答。将这两个长方形拼成一个正方形，应长边相接，正方形的边长为4厘米。根据正方形的周长＝边长×4解答。再比较大长方形和正方形的周长大小解答。 【详解】（4＋4＋2）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 4×4＝16（厘米） 20＞16 则拼成的图形的周长最长是20厘米。 故答案为：C 【点睛】本题考查长方形和正方形周长公式的应用，关键是求出大长方形的长与宽以及正方形的边长。 6．C 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2计算出1圈的米数，再乘2即可解答。 【详解】（90＋50）×2 ＝140×2 ＝280（米） 280×2＝560（米） 故答案为：C 【点睛】掌握长方形的周长计算公式是解题的关键。 7． 4 6 【分析】正方形四条边都相等，四个角都是直角；长方形对边相等，四个角都是直角；由此可知，正方形有几条边，则围成正方形就至少需要多少根小棒；围成长方形至少需要的小棒数＝围成正方形至少需要的小棒数＋2根，依此解答。 【详解】根据正方形的特点可知，用同样长的小棒围成正方形，至少需要4根； 4＋2＝6（根），如果围成长方形，至少需要6根。 8． 26 18 21 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出菜地的周长，也就是篱笆的长度。菜地的一面靠墙，要使篱笆最短，则长边靠墙，篱笆长度为长＋2×宽。要使篱笆最长，则宽边靠墙，篱笆长度为2×长＋宽。 【详解】（8＋5）×2 ＝13×2 ＝26（米） 则篱笆长26厘米。 8＋2×5 ＝8＋10 ＝18（米） 8×2＋5 ＝16＋5 ＝21（米） 则如果菜地的一面靠墙，至少要用篱笆18米，最多用21米。 【点睛】熟练掌握长方形的周长公式，灵活运用公式解决问题。 9． 24 72 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，我们可以直接求出边长为6厘米的正方形的周长是多少厘米；由图我们可以看出，如图所示的图形的周长为4个边长为6厘米的正方形的三条边长之和，运用乘法求解即可。 【详解】6×4＝24（厘米） 6×3×4＝72（厘米） 所以一个边长是6厘米的正方形，它的周长是24厘米。用这样的5个正方形围成如图所示的图形，它的周长是72厘米。 【点睛】熟练掌握正方形的周长的计算方法是解答本题的关键。 10．18 【分析】经平移后得到下图： 可知阴影部分周长与长6厘米、宽3厘米的长方形周长相等，根据长方形周长公式计算即可。 【详解】（6＋3）×2 ＝9×2 ＝18（厘米） 【点睛】本题主要考查应用转化思想解决阴影部分周长的问题。 11． 3 18 【分析】用长除以2，求出宽。再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2解答。 【详解】6÷2＝3（米） （6＋3）×2 ＝9×2 ＝18（米） 则宽是3米，周长是18米。 【点睛】熟练掌握长方形的周长公式，灵活运用公式解决问题。 12．18；9；54 【详解】略 13．× 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据即可解答。 【详解】（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（米） 故答案为：× 【点睛】此题考查长方形周长公式的计算应用，注意基础知识的熟练掌握。 14．√ 【分析】根据正方形的特点，一张正方形纸上下对折，再左右对折，就能剪成4个相同的小正方形，据此解答即可。 【详解】根据分析：一张正方形纸不能剪成2个相同的小正方形，所以题干的说法是正确的， 故答案为：√。 【点睛】本题考查了正方形的特点，注意仔细阅读题干的说法。 15．× 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，即可求出正方形的边长，然后进行判断即可。 【详解】8÷4＝2（分米） 2分米≠4分米 因此，一块正方形手帕的周长是8分米，则这块手帕的边长是4分米。这种说法是错误的。 故答案为：×。 【点睛】本题考查学生运用正方形的周长公式解决实际问题的能力。 16．× 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，假设一个长方形的长是4米，宽是1米，那么它的周长是（4＋1）×2＝10米，据此解答。 【详解】假设一个长方形的长是4米，宽是1米， 那么它的周长是（4＋1）×2 ＝5×2 ＝10（米） 因此，长方形一条边的长是4米，那么它的周长至少是16米，这种说法是错误的。 故答案为：× 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方形的周长公式及应用。 17．× 【分析】个长方形的长增加3厘米，宽不变，那么周长增加2个5厘米，据此求解即可。 【详解】5×2＝10（厘米） 所以，一个长方形的长增加5厘米，宽不变，它的周长增加10厘米。 故答案为：× 【点睛】本题考查长方形周长的理解，此题可以利用画图，更直观且容易解答。 18．22分米；32厘米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入公式计算即可。正方形的周长＝边长×4，把数据代入计算即可。 【详解】（7＋4）×2 ＝11×2 ＝22（分米） 8×4＝32（厘米） 19．96米 【分析】小亮沿着花圃外围走了两圈，实际上就是求长方形周长的两倍是多少，根据长方形周长＝（长＋宽）×2计算出周长后再乘2即可得出。 【详解】（18＋6）×2 ＝24×2 ＝48（米） 48×2＝96（米） 答：小亮沿着花圃外围走了两圈，一共走了96米。 【点睛】本题考查学生利用长方形周长计算方法来解决问题的能力。 20．8厘米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出长方形的周长，也就是这根绳子的长度。根据正方形的周长＝边长×4，求出围成正方形用去绳子的长度。再用这根绳子长度减去用去绳子的长度，求出还剩绳子的长度。 【详解】（26＋18）×2 ＝44×2 ＝88（厘米） 20×4＝80（厘米） 88－80＝8（厘米） 答：还剩8厘米。 【点睛】本题考查长方形和正方形周长公式的应用，关键是熟记公式。 21．（1）16厘米 （2）8厘米 （3）20厘米 【分析】（1）正方形的周长＝边长×4，把数据代入计算即可。 （2）拼成的大正方形的边长是4厘米，则一个小正方形的边长是（4÷2）厘米，正方形的周长＝边长×4，把数据代入计算即可。 （3）数出的边线有几个小正方形的边长，就用小正方形的边长乘几即是这个图形的周长。 【详解】（1）4×4＝16（厘米） 答：大正方形的周长是16厘米。 （2）4÷2＝2（厘米） 2×4＝8（厘米） 答：一个小正方形的周长是8厘米。 （3）4÷2＝2（厘米） 2×10＝20（厘米） 答：这个图形的周长是20厘米。 【点睛】熟练掌握正方形周长公式是解题关键。 22．28分米；18分米 【分析】已知一张长方形纸，长9分米，宽7分米，如果把它裁成一张最大的正方形纸，那么这张正方形纸的边长是7分米，7乘4即可求出正方形周长。剩下的部分为长方形，这个长方形的长为7分米，宽是9与7的差，再根据长方形周长公式（长＋宽）×2，求长方形周长。 【详解】7×4＝28（分米） 9－7＝2（分米） ＝9×2 ＝18（分米） 答：这张正方形纸的周长是28分米，剩下的部分的周长是18分米。 【点睛】在长方形纸上裁下最大的正方形的边长与长方形的宽相等。 23．16米 【分析】三角形花圃的周长加55米等于正方形花圃的周长，再除以4即等于正方形花圃的边长，据此即可解答。 【详解】（55＋9）÷4 ＝64÷4 ＝16（米） 答：正方形花圃每边栅栏长16米。 【点睛】先求出正方形的周长是解答本题的关键。 24．（1）见详解；（2）20米 【分析】（1）在长方形的右端画出一个边长为8米正方形即可。 （2）划出一个最大正方形区域后，剩下部分是一个长8米，宽12－8＝4米的长方形，由于一面靠墙，篱笆的长度为剩下长方形的两个长加一个宽的长度和，据此即可解答。 【详解】（1） （2）12－8＋8×2 ＝4＋16 ＝20（米） 答：他至少需要准备20米的篱笆。 【点睛】长方形地中划出最大的正方形，正方形的边长等于这块长方形地的宽，这是解答本题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$