第五单元平行四边形和梯形 （讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

平行四边形和梯形 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了期末高频易错专项培优的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为期末拓展培优而设计，对期末高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【垂直与平行的特征及性质知识点归纳】 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 【过直线上或直线外一点作直线的垂线知识点归纳】 1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点． 2、分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点． 3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线． 【平行四边形的特征及性质知识点归纳】 平行四边形的概念： 1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形用符号“▱ABCD”，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”． （1）平行四边形属于平面图形． （2）平行四边形属于四边形． （3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等． （4）平行四边形属于中心对称图形． 2．平行四边形的性质： 主要性质 （矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．） （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． （简述为“平行四边形的两组对边分别相等”） （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． （简述为“平行四边形的两组对角分别相等”） （3）夹在两条平行线间的平行线段相等． （4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形） （5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形． （6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点． （7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形． 注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质． 【作平行四边形的高知识点归纳】 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高． 垂线段分别是垂足所在边上的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线．作图时平行四边形的高指的是垂线段本身，而计算时用的是垂线段的长度． 【梯形的特征及分类知识点归纳】 1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形． 2．分类： （1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形 （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 （3）一般梯形． 第三部分 高频真题 一、选择题 1．关于平行四边形、长方形、正方形之间的关系，下面说法正确的是（    ）。 A．长方形、正方形是特殊的平行四边形 B．平行四边形、长方形是特殊的正方形 C．正方形、平行四边形是特殊的长方形 2．如图，平行四边形的周长（    ）厘米。 A．小于12 B．等于12 C．大于12 3．下面说法错误的是（    ）。 A．70007007只读一个零。 B．两个平角等于一个周角 C．梯形只有一条高 4．梯形的底和腰（    ）。 A．可能垂直 B．不可能垂直 C．一定垂直 5．两个完全一样的三角形一定可以拼成一个（    ）。 A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 6．长方形相对的两条边互相（    ），相邻的两条边互相（    ）。 A．平行；垂直 B．垂直；平行 C．平行；不平行也不垂直 7．把一个长方形拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长和长方形的周长比较（    ）。 A．长方形的周长长 B．平行四边形的周长长 C．一样长 二、填空题 8．两条直线相交成( )，就说这两条直线互相垂直．如果直线a与直线b互相垂直，读作a垂直于b，记作( )． 9．平行四边形相邻的两条边分别是8cm和6cm，这个平行四边形的周长是( )cm。 10．数一数，下图中有( )个梯形。 11．如图： (1)直线a和直线b互相( )，直线c和直线b互相( )。 (2)∠1＝43°，∠2＝( )°。 12．一块正方形花坛，边长8米，它的面积是( )平方米。如果在花坛四周围上篱笆，篱笆长( )米。 13． 上图中直线a和直线b是同一平面内永不( )的两条直线，叫做( )线．也可以说这两条直线( )，记作：( )，读作( )． 14．用四根小棒围成一个长方形，再拉成一个平行四边形，它们的周长( )（填相等或平行四边形大或长方形大） 15．只有一组对边平行的四边形叫做( )，两组对边分别平行的四边形叫做( )。 16．一个平行四边形可以剪成两个相同的( )，也可以剪成两个相同的( )，还可以剪成两个相同的( )。 三、判断题 17．长方形相对的两条边是一组平行线。( ) 18．已知a∥b，b∥c，那么a和c也互相平行。( ) 19．平行四边形可以看作特殊的梯形。( ) 20．如果两个梯形能拼成平行四边形，那么它们一定完全一样。( ) 21．在一个平行四边形里，只可以画出一条高．( ) 22．把一张正方形的纸折两次，可以得到互相垂直的两条折痕。( ) 23．过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。( ) 四、作图题 24．分别以给出的线段为平行四边形的一条边，在点子图上画出两个不同的平行四边形，并分别画出它们的高． 五、解答题 25．汉城公园有一个长方形花圃，长60米，宽15米，它四周的栅栏一共长多少米？如果每平方米可以种植8棵月季花，这个花圃一共可以种植多少棵月季花？ 26．一块菜地是等腰梯形，这块菜地的周长是58米，它的上底是12米，下底是26米，这块菜地的腰长是多少米？ 27．在下面的梯形中剪去一个面积最大的平行四边形，剩下的面积是多少？ 28．甲村和乙村都想引用两村附近的河水，怎样修渠最近？请在图中画出来，并说一说理由。 29．一个长方形广场占地面积是8公顷，它的宽是100米。 （1）这个广场的长是多少米？ （2）这个广场的周长是多少米？ 30．一根铁丝正好可以围成一个面积为100平方厘米的正方形，现改围成一个等腰梯形，上底是8厘米，下底是18厘米，它的一条腰长多少厘米？ 31．下图中，，量一量与的度数，你能发现什么？ 32．一个平行四边形的一条边长25厘米，它的邻边比它少9厘米。这个平行四边形的周长是多少厘米？ 33．下面四个小朋友玩“抢足球”的游戏，他们的位置如下图所示，你认为谁最有可能抢到足球？这样站公平吗？为什么？ 参考答案： 1．A 【分析】根据平行四边形、长方形、正方形的特征可知：正方形是特殊的长方形，长方形和正方形又是特殊的平行四边形；据此进行选择据此解答即可。 【详解】正方形是特殊的长方形，长方形和正方形又是特殊的平行四边形。 故答案为：A 2．C 【分析】由题干可知，这个平行四边形的底是4厘米，高是2厘米，根据直角三角形特征可知，直角三角形的两条直角边都比斜边短，所以平行四边形的另一条边长度大于2厘米。先将平行四边形的另一条边看成2厘米，计算出周长是多少，再进行判断即可。据此解答。 【详解】4＋4＋2＋2 ＝8＋2＋2 ＝10＋2 ＝12（厘米） 由于平行四边形的另一条边长度大于2厘米，所以平行四边形的周长大于12厘米。选项C符合题意。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查平行四边形的周长，属于基础知识，要熟练掌握。 3．C 【分析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论。 【详解】A．70007007读作：七千万七千零七，读出一个零，说法正确； B．1个平角＝180°，两个平角是180°×2＝360°，1周角＝360°，两个平角等于一个周角，说法正确； C．因为从梯形的上下底任意一个顶点向对边作垂线，垂线的长度即梯形的高，所以梯形有无数条高，故本选项说法错误。 故选：C 【点睛】此题涉及的知识点较多，但都比较简单，只要认真，容易完成。 4．A 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；依此选择。 【详解】梯形的底和腰可能垂直，如图所示：            （腰和底垂直）      （腰和底不垂直） 故答案为：A 【点睛】熟练掌握直角梯形的特点是解答此题的关键。 5．A 【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线可以把平行四边形分成两个一样的三角形；据此解答即可。画图如下所示。 【详解】根据分析可知，两个完全一样的三角形一定可以拼成一个平行四边形。 故答案为：A 【点睛】本题考查学生对平行四边形的性质的理解和掌握，动手画图能更好理解题意。 6．A 【分析】根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角，可知，长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两边互相平行。 【详解】由分析知：长方形相对的两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查长方形的特征。 7．C 【分析】封闭图形一周的长度叫周长，把一个长方形框架拉成一个平行四边形框架，改变的只是形状，框架本身长度不变，据此解答。 【详解】把一个长方形拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长和长方形的周长比较（一样长），故答案选：C。 【点睛】本题考查周长的定义应用，掌握框架长度不变，只变形状是解题的关键。 8． 直角 a⊥b 9．28 【分析】根据平行四边形的特征，对边平行且相等，平行四边形相邻的两条边分别是8cm和6cm，周长是由两组对边组成，据此解答。 【详解】（8＋6）×2 ＝14×2 ＝28（cm） 【点睛】本题考查平行四边形的特征和周长，掌握对边平行且相等是解题的关键。 10．9 【分析】单个的小梯形有4个，由相邻的两个小梯形组成的梯形有4个，由四个小梯形组成的梯形有1个，共有梯形4＋4＋1＝9（个）。 【详解】根据分析可知，图中有9个梯形。 【点睛】本题主要考查学生对梯形的认识，注意不要漏数。 11．(1) 平行 垂直 (2)137 【分析】（1）平行：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。 （2）由图可知，∠2＝180°－∠1。 【详解】（1）直线a和直线b互相平行，直线c和直线b互相垂直。 （2）180°－43°＝137° ∠2＝137° 12． 64 32 【分析】正方形的边长是8米，8乘8即可求出其面积。在花坛四周围上篱笆，求篱笆的长度，即求正方形的周长，8乘4即可求出周长，即为篱笆的长度。 【详解】8×8＝64（平方米） 8×4＝32（米） 【点睛】此题重点考查学生对正方形周长公式“（长＋宽）×2”，面积公式“长×宽”的应用情况。 13． 相交 平行 互相平行 a∥b a平行于b 14．相等 【详解】试题分析：把一个长方形木条框拉成一个平行四边形，由于四条边的长度没有发生变化，所以它们的周长相等；据此进行解答． 解：把一个长方形木条框拉成一个平行四边形， 由于四条边的长度没有发生变化，所以它们的周长相等； 故答案为相等． 点评：此题考查把一个长方形拉成一个平行四边形，它的周长不变，但是面积变小了． 15． 梯形 平行四边形 【详解】只有一组对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 16． 平行四边形 三角形 梯形 【分析】作出图形即可解答： 【详解】一个平行四边形可以剪成两个相同的平行四边形，也可以剪成两个相同的三角形，还可以剪成两个相同的梯形。 【点睛】本题考查了平行四边形的切拼，重在考查学生动手操作的能力，通过作图，使学生加深了对图形的理解。 17．√ 【分析】根据长方形的特征：长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两条边互相平行且相等，据此解答即可。 【详解】由分析可知：长方形相对的两条边是一组平行线； 故答案为：√。 【点睛】此题主要考查平行的特征，掌握长方形的特点是解题关键。 18．√ 【分析】平行于同一直线的两条直线互相平行，据此即可解答。 【详解】如下图，a∥b，b∥c，那么a和c也互相平行，原说法正确。 故答案为：√ 19．× 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此判断即可。 【详解】根据分析可知，平行四边形不可以看作特殊的梯形。 故答案为：× 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握梯形和平行四边形的特点。 20．× 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。 【详解】如图，两个不一样的梯形也可以拼成平行四边形，所以原题说法错误。 【点睛】关键是熟悉梯形和平行四边形的特征。 21．× 22．√ 【分析】把一张正方形的纸沿着一个方向对折两次，能得到互相平行的折痕，若沿着不同的方向对折，则可以得到互相垂直的折痕。 【详解】根据分析这句话是对的。 故答案为：√ 【点睛】两条直线相交所成的4个角是直角，那么这两条直线互相垂直。 23．√ 【分析】根据垂线的性质：过直线外一点作已知直线的垂线，能作且只能作1条；据此判断即可。 【详解】如图所示： 过直线外一点只能画一条已知直线的垂线，此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查了垂线的性质。 24． 25．150米；7200棵 【分析】要求它四周的栅栏一共长多少米，也就是求花圃的周长，用60加上15的和，再乘2，即可解答；要求这个花圃一共可以种植多少棵月季花，先用60乘15，求出花圃的面积，再乘8，即可解答。 【详解】（60＋15）×2 ＝75×2 ＝150（米） 60×15×8 ＝900×8 ＝7200（棵） 答：它四周的栅栏一共长150米，这个花圃一共可以种植7200棵月季花。 【点睛】本题考查了长方形的周长公式、面积公式，学生应熟练掌握并灵活运用。 26．10米 【分析】根据题意可知，菜地是等腰梯形，等腰梯形的两腰相等；又因为梯形的周长＝两腰长度＋上底＋下底，所以腰的长度＝（周长－上底－下底）÷2，代入计算即可解答。 【详解】（58－12－26）÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 答：这块菜地的腰长是10米。 【点睛】本题考查了等腰梯形的特点以及周长，熟练掌握梯形的周长公式，列式计算即可。 27．1.35平方厘米 【分析】如下图，在梯形中剪去一个面积最大的平行四边形，剩下的图形是一个底为（3.5－2）厘米、高为1.8厘米的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。    【详解】（3.5－2）×1.8÷2 ＝1.5×1.8÷2 ＝2.7÷2 ＝1.35（平方厘米） 答：剩下的面积是1.35平方厘米。 【点睛】本题考查三角形面积公式的运用，关键是理解剩下的是什么图形，再根据图形的面积公式列式计算。也可以用梯形的面积减去平行四边形的面积求解。 28． 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，这样修渠最近。 【解析】略 29．（1）800米 （2）1800米 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入公式解答。 【详解】（1）8×10000÷100＝800（米） 答：这个广场的长是800米。 （2）（800＋100）×2 ＝900×2 ＝1800（米） 答：这个广场的周长是1800米。 【点睛】本题的关键是考察长方形的面积以及周长公式的运用。 30．7厘米 【分析】正方形的面积＝边长×边长，据此求出正方形的边长；再用正方形的边长乘4计算出正方形的周长，也就是等腰梯形的周长；等腰梯形两腰相等，周长指围绕物体一周的长度，那么用等腰梯形的周长依次减去上底和下底，计算出两条腰的长度，最后再除以2计算出一条腰的长度即可，据此解答。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 10×4＝40（厘米） （40－8－18）÷2 ＝14÷2 ＝7（厘米） 答：它的一条腰长7厘米。 31．∠1＝135°，∠2＝45°；我发现：∠1＋∠2＝180°。 【分析】量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度（同一圈），就是这个角的度数。据此量出∠1和∠2的度数，再进一步解答。 【详解】∠1＝135° ∠2＝45° 135°＋45°＝180° 我发现：∠1＋∠2＝180°。 【点睛】用量角器量角的度数时，注意把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。 32．82厘米 【分析】平行四边形的周长就是围成它的四条边的和，要求这个平行四边形的周长是多少厘米，先求出邻边的长度即25－9＝16厘米，再用这条边的长度加上邻边的和乘2即可。 【详解】（25－9＋25）×2 ＝（16＋25）×2 ＝41×2 ＝82（厘米） 答：这个平行四边形的周长是82厘米。 【点睛】此题主要考查平行四边形的周长的意义和求法。 33．欢欢最有可能抢到足球．这样站不公平．根据从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短可知，欢欢离足球最近． 【详解】操作提示：如图所示 学科网（北京）股份有限公司 $$