18.2.1 矩形 解答题常考题型 分类训练 2023--2024学年人教版八年级数学下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第18章 18.2.1 矩形 解答题常考题型分类训练（11大题型76题）（原卷版） 题型1：利用矩形的性质求角度（6题） 题型2：根据矩形的性质求线段长（6题） 题型3：根据矩形的性质求面积（7题） 题型4：利用矩形的性质证明（7题） 题型5：求矩形在坐标系中的坐标（5题） 题型6：矩形与折叠问题（7题） 题型7：斜边的中线等于斜边的一半（7题） 题型8：证明四边形是矩形（8题） 题型9：根据矩形的性质与判定求角度（7题） 题型10：根据矩形的性质与判定求线段长（6题） 题型11：根据矩形的性质与判定求面积（10题） 题型1：利用矩形的性质求角度（6题） 1．已知：如图，平行四边形形的对角线与相交于点O，．  (1)求证：平行四边形为矩形．(2)若．求：的度数． 2．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且．(1)求证：；(2)若，长方形面积为4，请直接写出的周长______． 3．如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数． 4．如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °；(2)求证：． 5．四边形是矩形，E是延长线上一点，连接，，．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若F是的中点，连接，，求证． 6．如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求度数． 题型2：根据矩形的性质求线段长（6题） 7．如图，为矩形的边的中点，于点．若，，求的长． 8．如图，在矩形中，，若点P在边上，连接是以为腰的等腰三角形，求的长． 9．如图，长方形中，，，为对角线，是中点，于，分别交和于，求的长． 10．如图，在平行四边形中，连接，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，． (1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长． 11．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，连接，若，，求的长． 12．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为______；②线段、之间的数量关系为______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，求的值． 题型3：根据矩形的性质求面积（7题） 13．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    14．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（阴影部分）”这一推论．请根据下图完成这个推论的证明过程． 证明：因为 （____________+____________） 由已知条件可得： _____________=______________ _____________=______________ 所以 15．如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米． 16．如图，平行四边形的对角线相交于点，是等边三角形，．(1)求证：平行四边形是矩形；(2)求四边形的面积． 17．如图，在长方形中，，，点E是边上一点，将四边形沿折叠，折叠后点C，D的对应点分别为，，若恰好经过点A．  求：(1)的长；(2)的面积． 18．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题．点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）． (1)【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和。(2)【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______． (3)【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______． 19．（1）探究规律：如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题：如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 题型4：利用矩形的性质证明（7题） 20．矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形． (2)当平分时，求证：． 21．如图，在矩形中，E，F分别是、上的点，，连接、，与对角线交于，且，．(1)求证：；(2)若，求的长． 22．如图，在矩形中，点M在上，，垂足为N．若，． (1)证明：；(2)求的长． 23．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，交于点F，且已知．   (1)求证：；(2)若点P为线段上一动点，求最小值． 24．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：．(2)若，，求的长． 25．【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结，． (1)【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 26．如图，在矩形中，E、F分别是边上的点，，连接与对角线交于点O，且，．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求矩形的面积． 题型5：求矩形在坐标系中的坐标（5题） 27．如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．(1)请直接写出点C的坐标．(2)求线段CF的长度． 28．如图，已知为坐标原点，四边形为长方形，，点是的中点，点在线段上运动． （1）写出点的坐标；（2）当是腰长为5的等腰三角形时，求点的坐标． 29．如图，长方形中，O为平而直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．(1)长方形的周长为　 　．(2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标；(3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 30．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒．（1）B点的坐标为___________，_________，___________（用含t的代数式表示线段与线段的长度） （2）当t为怎样的值时，的面积不小于的面积？（3）的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由． 31．如图，已知长方形ABCO中，边AB=12，BC=8．以点O为原点，OA、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系．（1）点A的坐标为（0，8），写出B、C两点的坐标；（2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，t秒后，写出△BCP的面积S与t之间的函数关系式；（3）在P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围． 题型6：矩形与折叠问题（7题） 32．如图，将一张长方形纸片沿对角线翻折，点的对应点，与交于点． (1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的长． 33．将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处，若，求的长． 34．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使 C，A两点重合，点D落在点G处．已知． (1)求证：是等腰三角形；(2)求线段的长． 35．如图，长方形纸片，，．把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上．(1)求的长度；(2)求重合部分的面积． 36．数学活动课上，同学们开展了以“折纸与证明”为主题的探究活动． (1)问题：在中，，怎么证明？ 小华把沿的平分线翻折，使点C落在上的点处，如图（1）得到证明思路．请根据这个思路，结合图（1）写出证明过程． (2)如图（2），小华将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次沿过点A的直线折叠，使点D落在折痕上的点N处，展平后得到折痕，连接、，得到．请判断的形状，并说明你的理由． 37．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 38．在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处．​ (1)如图1，若点落在对角线上，且，求的度数．(2)如图2，若点落在边上，且，，求的长．(3)如图3，若点是的中点，的延长线交于点，且，，求的长． 题型7：斜边的中线等于斜边的一半（7题） 39．已知：如图，，分别是的中点． (1)求证：；(2)若，则的长为_______． 40．如图，中，是高，是中线，，且F是的中点．(1)求证：； (2)若，求的面积． 41．如图，在中，分别是边上的高线，取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点(1)求证：；(2)如果，求． 42．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 43．如图，在中，，，高与角平分线相交于点． (1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长度． 44．已知在直角三角形中，，D为斜边中点，C为边上一点．(1)　　　． (2)如图1，连结交于点E．当时：①求证：；②求的面积． (3)如图2，连结，将沿着折叠得到．当与的一边平行时，求的长度． 45．如图，已知，，为的中点(1)如图，求证：是等腰三角形． (2)如图，与交于点F，若，若，，求的长． 题型8：证明四边形是矩形（8题） 46．如图，在中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，．求证：四边形是矩形． 47．如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，判断四边形的形状，井证明你的结论． 48．如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接．(1)求证：是的中点；(2)求证：四边形为矩形． 49．如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形．(2)小明连接，交于点，作射线，他说“就是的平分线”，你能说明理由吗？ 50．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，F是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，求的长． 51．如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形．(2)若，，，求的长． 52．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接． (1)请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程； ①；②；③． (2)若四边形是矩形，且，，求四边形的面积． 53．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 题型9：根据矩形的性质与判定求角度（7题） 54．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求证：DA＝DO＝DE；②直接写出∠DOE的度数． 55．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，．(1)求证：是矩形；(2)若点E为的中点，求的度数． 56．如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 57．如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别在边上，且，连接． (1)求证：；(2)若，求的度数． 58．定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积． 59．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103-104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，恰好是的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】（1）小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】（2）如图②，在中，，垂足为点，是边的中线，垂直平分，则，则为________度． 【拓展提高】（3）如图③，在中，，，恰好是中线，则的度数为________度． 60．如图，四边形的对角线、相交于点O，其中，，，E为上一点，连接、．平分，且，求的度数．    题型10：根据矩形的性质与判定求线段长（6题） 61．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形；(2)若，，，求的长． 62．在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积． 63．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．  (1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，，求的长． 64．如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形；(2)若，求的长． 65．已知：如图，四边形是长方形，，，是的中点，点在线段上运动． (1)求的面积．(2)当时，求的周长．(3)当是腰长为的等腰三角形时，求的长． 66．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边相等两邻边的夹角称为邻等角． (1)如图1，在四边形中，，，对角线平分求证：四边形为邻等四边形． (2)如图2，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1，若四边形是邻等四边形，请写出所有符合条件的格点D的坐标______． (3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长． 题型11：根据矩形的性质与判定求面积（10题） 67．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，(1)求证：； (2)若点E、F分别为线段的中点，连接，，，求的长及四边形的面积． 68．如图，在四边形中，相交于点O，O是的中点，．(1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 69．如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形．(2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 70．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：；(2)若，求四边形的面积． 71．如图，，，且，．(1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 72．如图1，四边形中，点E，点F在对角线上，，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接交于点O，连接，若平分，，，求的面积． 73．如图，在中，，点D是的中点，点F是的中点，，连结并延长交于点E，连结．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形；(3)若，求四边形的面积． 74．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求四边形的面积． 75．【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．如图，在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，与相交于点．(1)求证：是等腰三角形； (2)求证：；(3)如图，与相交于点，若，，，求的面积； (4)如果，，当是直角三角形时，请直接写出的长． 76．【操作与思考】已知：矩形． 【动手操作】以下是小华完成的尺规作图的过程．第1步：分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F；第2步：作直线；第3步：在的右侧，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接． 【解决问题】根据小华的尺规作图步骤，完成以下问题： （1）填空： ．（2）过点D作，交直线于点H．求证：四边形是平行四边形； 【数学思考】（3）在（2）的条件下，设平行四边形的面积为，矩形的面积为，请问与存在有何种数量关系？请写出来，并说明理由． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第18章 18.2.1 矩形 解答题常考题型分类训练（11大题型76题）（解析版） 题型1：利用矩形的性质求角度（6题） 题型2：根据矩形的性质求线段长（6题） 题型3：根据矩形的性质求面积（7题） 题型4：利用矩形的性质证明（7题） 题型5：求矩形在坐标系中的坐标（5题） 题型6：矩形与折叠问题（7题） 题型7：斜边的中线等于斜边的一半（7题） 题型8：证明四边形是矩形（8题） 题型9：根据矩形的性质与判定求角度（7题） 题型10：根据矩形的性质与判定求线段长（6题） 题型11：根据矩形的性质与判定求面积（10题） 1．已知：如图，平行四边形形的对角线与相交于点O，．    (1)求证：平行四边形为矩形． (2)若．求：的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可； （2）根据矩形性质求出，证明是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）∵平行四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，题目是一道综合性比较强的题目，比较好．灵活运用这些知识点是解题的关键． 2．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且． (1)求证：； (2)若，长方形面积为4，请直接写出的周长______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）根据题意得，结合即可求解； （2）根据题意可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 的周长 ， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ； ∴的度数为． 4．如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 【答案】(1)50 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，即可求出的度数； （2）根据旋转和矩形的性质，易证四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）解：矩形和矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：50； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 5．四边形是矩形，E是延长线上一点，连接，，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若F是的中点，连接，，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是根据矩形的四个角都相等解答． （1）连接，与交于点，根据矩形的性质解答即可； （2）延长交延长线于点，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图①，连接，与交于点， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图②，延长交延长线于点， 四边形是矩形， ∴， 即， ，， 是的中点， ， ， ，． ，即， ， ， 又， ． 6．如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质： （1）证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）矩形，得到，平行四边形的性质，推出，，再利用角的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵，     ∴ ∵四边形是矩形     ∴ ∵在△AOF和△COE中 ∴     ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是矩形     ∴ ∵在中，     又∵     ∴ ∵，     ∴ ∵在中， ∴． 7．如图，为矩形的边的中点，于点．若，，求的长． 【答案】． 【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理．连接，求得的面积为，再利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式得出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴矩形的面积为， ∵为矩形的边的中点， ∴的面积为，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 8．如图，在矩形中，，若点P在边上，连接是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】或 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论得出是解题关键．先依题意，作图，证明四边形是矩形，再进行分类讨论，第一种情况：当时，再结合勾股定理列式计算，第二种情况：当，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵四边形是矩形 ∴ 过点P作 ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴, ∴第一种情况：当时，是等腰三角形， ∴， ∴第二种情况：当 时，是等腰三角形， 综上：满足条件的的长为或 9．如图，长方形中，，，为对角线，是中点，于，分别交和于，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理列出方程是解决问题的关键． 设为，则，利用勾股定理得到有关的方程，求得即可． 【详解】解：∵是中点，， ∴垂直平分， ∴， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 10．如图，在平行四边形中，连接，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再由勾股定理得，然后由平行四边形的性质得，则，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2）解：由（1）得：四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 11．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，连接，若，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】由四边形是矩形得，，，又平分，则，，故有，然后证明是等边三角形，通过性质可以得出，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等角对等边，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 12．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，求的值． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3） 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 13．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴ 四边形是矩形． 矩形的面积． 故答案为：． 14．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（阴影部分）”这一推论． 请根据下图完成这个推论的证明过程． 证明：因为 （____________+____________） 由已知条件可得： _____________=______________ _____________=______________ 所以 【答案】，；，；， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据三角形的面积减去两个三角形的面积解答，再根据三角形的面积相等解答． 【详解】解：因为， 由已知条件可得：，，， 所以． 故答案为：，，． 15．如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米． 【答案】阴影部分的面积是15平方厘米 【分析】本题考查了三角形的面积，长方形的性质，熟练掌握三角形面积的求法是解题的关键． 先证，再证得，根据长方形的面积即可求出的面积，从而求出阴影部分的面积． 【详解】解：因为与同底等高，所以， 则，即， 所以． 又， 所以（平方厘米）． 答：阴影部分的面积是15平方厘米． 16．如图，平行四边形的对角线相交于点，是等边三角形，． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）根据等边三角形的三条边都相等得出，根据平行四边形的对角线互相平分得出，，推得，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； （2）根据等边三角形的三条边都相等得出，根据矩形的对角线互相平分和四个角都是直角得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵平行四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， 故四边形的面积为． 17．如图，在长方形中，，，点E是边上一点，将四边形沿折叠，折叠后点C，D的对应点分别为，，若恰好经过点A．    求： (1)的长； (2)的面积． 【答案】(1)5 (2)25 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等； （1）由矩形的性质得，，，由翻折得，，，，；由勾股定理得，求出， 设，由勾股定理得，即可求解； （2）由即可求解； 掌握折叠的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， ， ， 由翻折得： ， ， ， ， ； 在中： ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ； （2）解：由题意得 ． 18．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题． 点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）． (1)【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和 (2)【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______． (3)【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式等知识点，勾股定理等知识点，灵活运用三角形的面积公式列出式子是解题的关键． （1）利用勾股定理运算出的长，再利用矩形的性质可得到，再利用，列式运算即可； （2）根据：列式运算即可； （3）根据：列式运算即可． 【详解】（1）解：如图①： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）如图②，连接OP， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3），理由如下： 如图③，连接， ∵， ∴， ∴， 解得：． 19．（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 【答案】探究规律：，理由见详解；解决问题：； 【分析】本题考查平行四边形性质，矩形的性质： （1）过作并延长交于F，根据平行四边形得到，，结合平行线间距离处处相等得到即可得到答案； （2）过作并延长交于T，过作并延长交于N， 结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案； 【详解】解：探究规律：过作并延长交于F， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 解决问题：过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接：，，，， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，，，，， ， ∵，， ∴，， ∴ ． 20．矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当平分时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）证明得出，即可得出结论； （2）证出是等腰三角形，得出，得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）证明：平分， ． ∵四边形是矩形， ∴，， ， ， ∴ 是的中点， ， ∴． 21．如图，在矩形中，E，F分别是、上的点，，连接、，与对角线交于，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明，即可证明； （2）如图：连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由全等三角形的性质可得，再结合矩形的性质可得，然后根据等边对等角的性质可得；在中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到，再由三角形外角的性质证明，则，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图：连接． ，， ， 在中，． ， ． 四边形是矩形， ， ． ，即，， ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 22．如图，在矩形中，点M在上，，垂足为N．若，． (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，，再证明，则可由三角形全等的判定定理“”可证； （2）由全等三角形的性质得到，结合已知，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，由勾股定理可得， 又，，， ∴， ， 23．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，交于点F，且已知．    (1)求证：； (2)若点P为线段上一动点，求最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为 【分析】（1）根据折叠的性质可得：，再由矩形的性质，可得，从而得到，即可求解； （2）设，则，再由勾股定理，可得，从而得到，连接，根据折叠的性质可得，从而得到，进而得到当点三点共线时，最小，最小值为的长，再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，    由折叠可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵四边形是矩形且， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得  ，即， ∴， 如图，连接，    根据折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点F、P、B三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 即最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠问题、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的判定，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 24．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．直角三角形30度角的性质，熟记掌握矩形的性质是解答本题的关键． （1）可证四边形是平行四边形以此求证； （2）由矩形的性质可得，，再由，可得．求得，再利用直角三角形30度角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ． ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：四边形是矩形， ，， ， ． ， ， ， ． 25．【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连结，． (1)【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等： （1）证明四边形是矩形，推出，可得． （2）先根据已知条件证明，再根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质得出，再根据三角形内角和定理、等边对等角，即可求解． 【详解】（1）解：补全后的证明过程如下： 证明：延长至点，使，连接，， 是斜边上的中线， ， 又 ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， ． （2）解：如图，连接， ，，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 26．如图，在矩形中，E、F分别是边上的点，，连接与对角线交于点O，且，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后利用“”证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，即，进而求得，得出是等边三角形，从而得出； （3）可求，而，则，故在中，由勾股定理可得，可求，则，在中，由勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴在中，， 由可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， 在中，， 解得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵， ∴，而， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∵, ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理求得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 27．如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．    (1)请直接写出点C的坐标． (2)求线段CF的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，即可求解； （2）设把沿着折叠，设点刚好与线段上一点重合，由折叠的性质的可得，，，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，，， 点的坐标； （2），， ， 把沿着折叠，设点刚好与线段上一点重合，   ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理得出方程是解题的关键． 28．如图，已知为坐标原点，四边形为长方形，，点是的中点，点在线段上运动． （1）写出点的坐标； （2）当是腰长为5的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）A（10，0），B（10，4），C（0，4）；（2）（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【分析】（1）根据矩形的性质可得BC=OA=10，AB=OC=4，从而求出各点坐标； （2）先求出OD，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别利用三线合一、勾股定理等知识即可分别求出结论． 【详解】解：（1）∵四边形为长方形， ∴BC=OA=10，AB=OC=4 ∴A（10，0），B（10，4），C（0，4）； （2）∵点是的中点， ∴OD= ①当时，过点P作PE⊥OA于E，PE垂直平分 此时OE=，PE=OC=4 ，不符合题意，舍去； ②当OP==5时，点就是以点为圆心，以5为半径画弧与的交点， 在中，， 则的坐标是（3，4）； ③当DP==5时，点就是以点为圆心，以5为半径的弧与的交点，此时点P有两种情况，过作于点， 在中，， 当在的左边时，， 则的坐标是（2，4）； 当在的右侧时，， 则的坐标是（8，4）， 故的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理是解题关键． 29．如图，长方形中，O为平而直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）已知长度，即可求出周长； （2）由题意得：，根据此式可求出的长度，即可得出答案； （3）画出图形，根据即可求出． 【详解】（1）解：长方形的周长为：； （2）解：由题意得：， 设，则， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，    由题意得：，， ∴，，， ∴； 【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练使用面积转化的方法表示三角形的面积是解题关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒． （1）B点的坐标为___________，_________，___________（用含t的代数式表示线段与线段的长度） （2）当t为怎样的值时，的面积不小于的面积？ （3）的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由． 【答案】（1）B点的坐标为，；（2）当时，的面积不小于的面积；（3）的面积不可以等于36，理由见解析 【分析】根据矩形的长和宽表示点B的坐标，根据速度和时间表示：，，可得结论； 根据的面积不小于的面积，列不等式，代入面积公式可得t的值，并根据已知确定t的取值范围； 先根据的面积为36，列方程解出t=8， 根据内即可得出结论． 【详解】解：（1）长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上， ∴AB=OC=6，OA=9， ∴B点的坐标为， ∵P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动， Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴OP=1.5t，CQ=t， ∴， 故答案为（9，6）；；； （2）∵， ， 若， 即 ， 解得， ∵点P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止， ∴， ∴， ∴当时，的面积不小于的面积； （3）的面积不可以等于36，理由如下：   ∵， 若， 则， ∵， ∴的面积不可以等于36． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形的面积求解，矩形的性质，点的坐标特点，图形动点运动问题，难度适中，准确利用动点表示出线段的长度是解题的关键． 31．如图，已知长方形ABCO中，边AB=12，BC=8．以点O为原点，OA、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系． （1）点A的坐标为（0，8），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，t秒后，写出△BCP的面积S与t之间的函数关系式； （3）在P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】（1）；（2）；（3）不变，48 【分析】（1）根据矩形的性质和点A 的坐标即可得解； （2）根据题意可得PC的长，利用三角形的面积公式即可求得S与t之间的函数关系式； （3）设P，Q运动时间为t，利用t表示出△ABQ和△BCP的面积，根据S四边形OPBQ=S四边形ABCO- S△ABQ- S△BCP即可求解，根据结果进行判断即可． 【详解】（1）∵四边形ABCO是长方形， ∴OC=AB=12， ∵BC=8， ∴ （2）P运动t秒时，CP=3t S=×3t×8=12t(0≤t≤4)， （3）四边形OPBQ的面积不会发生变化，理由如下：                        设P，Q运动时间为t，则OQ=2t，PC=3t， ∴AQ=AO-OQ=8-2t， ∴S△ABQ=AQAB=×(8-2t)×12=48-12t， S△BCP=PCBC=×3t×8=12t， ∴S四边形OPBQ=S四边形ABCO- S△ABQ- S△BCP=12×8-(48-12t)-12t=48， ∴四边形OPBQ的面积不会发生变化，其值始终为48． 【点睛】本题考查了点的坐标，矩形的性质，三角形的面积等知识．正确表示四边形OPBQ的面积是解题的关键． 32．如图，将一张长方形纸片沿对角线翻折，点的对应点，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】对于（1），根据折叠的性质得，再根据平行线的性质得，即可得，然后根据“等角对等边”得出答案； 对于（2），先根据直角三角形的性质得，即，再代入数值可得答案． 【详解】（1）根据折叠可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，理解折叠的性质是解题的关键． 33．将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处，若，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解本题的关键．先根据题意求出求出，由勾股定理可得出，设，根据勾股定理得出，求出x的值，得出答案即可． 【详解】解：矩形， ， 由折叠可得， ， ， 在Rt中，根据勾股定理得：， 设，则有， 在Rt中，根据勾股定理得：， 解得：， ． 34．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使 C，A两点重合，点D落在点G处．已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质和勾股定理， （1）结合矩形和折叠的性质证明即可； （2）设，折叠可得，从而得到，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠性质可知，， 由题意可得， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：由折叠可得，设， 则． ∵， ∴在中，有， 即，解得. ∴． 35．如图，长方形纸片，，．把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)求的长度； (2)求重合部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设为，则，在中，，则即：，可得出答案； （2）由平行线的性质可得，由折叠可知：，从而得出，得出，再根据可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠可知， 设为，则， 在中，， 即：， 解得：， ； （2）解：由（1）可知：， 矩形， ， ， 由折叠可知：， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，，等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 36．数学活动课上，同学们开展了以“折纸与证明”为主题的探究活动． (1)问题：在中，，怎么证明？ 小华把沿的平分线翻折，使点C落在上的点处，如图（1）得到证明思路．请根据这个思路，结合图（1）写出证明过程． (2)如图（2），小华将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次沿过点A的直线折叠，使点D落在折痕上的点N处，展平后得到折痕，连接、，得到．请判断的形状，并说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析. 【分析】本题考查三角形的折叠问题，矩形的折叠，等边三角形的判定： （1）根据翻折的性质得：，根据，得出，进而可得出答案； （2）根据矩形的折叠得出垂直平分，再得出，根据折叠得出，推出，进而可得出结论． 【详解】（1）证明： 由翻折的性质得：， ∵， ∴， ∴； （2）是等边三角形， 理由：∵矩形纸片对折后再展开，折痕为， ∴垂直平分， ∴， ∵将点D翻折到上的点N处， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 37．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）由折叠的性质可得，再证明，易得，即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，设，易得，在中，由勾股定理解得的值，易知，同理可证明，然后计算的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 同理可证明， ∴． 38．在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处． ​​ (1)如图1，若点落在对角线上，且，求的度数． (2)如图2，若点落在边上，且，，求的长． (3)如图3，若点是的中点，的延长线交于点，且，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据折叠的性质的； （2）根据矩形的性质得，，，由折叠的性质得：，，根据勾股定理得，则，设，则，根据勾股定理可得，解得，即的长为； （3）连接，由题意可得，由折叠的性质得：，，，则，通过证明，则，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， 沿所在的直线折叠，使点落在点处， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为； （3）解：连接，如图所示： 点是的中点， ， 由折叠的性质得：，，， ， 在和中， ， ， ， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 39．已知：如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)若，则的长为_______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算． （1）连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，再证明出，最后由勾股定理求值即可． 【详解】（1）连接， ∵，E是的中点， ∴， ∵，F是的中点， ∴； （2） ， 由（1）可知，， ， ， ， 40．如图，中，是高，是中线，，且F是的中点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)44 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质、勾股定理等知识，解题关键是正确作出辅助线． （1）连接，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质得到，即可求证； （2）利用勾股定理求出再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，且F是的中点， ∴， ∵中，是高，是中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴中，， ∴的面积． 41．如图，在中，分别是边上的高线，取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点． (1)求证：； (2)如果，求． 【答案】(1)见解析； (2)48． 【分析】对于（1），根据直角三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出结论； 对于（2），先根据已知条件及直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的性质及证明是等边三角形，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：在中，、分别是边、上的高线， . 是的中点， ， 是等腰三角形. 是的中点， ； （2）解：、分别是边、上的高线， ， 是的中点，， ， ，. ， ， ， ， 是等边三角形. 是的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形内角和定理等，掌握直角三角形的性质是解题的关键．即直角三角形的斜边中线等于斜边的一半． 42．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，是的中点．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， 是边上的中线， ∴点E为的中点， ∴ ， ， 为中点， ； （2）解：， ， ∴ ， ，点是的中点， ∴， ∴， ∵． 43．如图，在中，，，高与角平分线相交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，对顶角相等，等边三角形的判定和性质． （1）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出，根据直角三角形两个锐角互余可得，结合对顶角相等得出，即可证明； （2）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据等角对等边可得，根据等边三角形的三条边相等可得，根据根据直角三角形中所对的边是斜边的一半求得，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形 （2）解：，， ， ， ， 由（1）知是等边三角形， ， 在中，， ， 故 44．已知在直角三角形中，，D为斜边中点，C为边上一点． (1)　　　． (2)如图1，连结交于点E．当时： ①求证：； ②求的面积． (3)如图2，连结，将沿着折叠得到．当与的一边平行时，求的长度． 【答案】(1)5 (2)①见解析；② (3)的长度为5或 【分析】（1）由勾股定理求出斜边的长，由直角三角形斜边上中线的性质即可求解； （2）①由斜边中线的性质得；由得，即，则，从而，结论即证明； ②设，则，利用勾股定理建立方程求得x的值，再求得，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况：当时；当时；利用折叠的性质、勾股定理即可完成． 【详解】（1）解：∵在直角三角形中，， ∴； ∵D为斜边中点， ∴ 故答案为：5． （2）①证明：∵D为斜边中点， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 即； ②解：由（1）知，； 设，则； 由①知，， 由勾股定理得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：当时，如图， 则， 由折叠知，， ∴， ∴； 当时，连接，如图， 则； ∵， ∴， 由勾股定理得：； 由折叠知，，， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 由于点D在上，不可能与平行； 综上，的长度为5或． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意分类讨论． 45．如图，已知，，为的中点． (1)如图，求证：是等腰三角形． (2)如图，与交于点F，若，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半找到相等的线段． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，所以可证是等腰三角形； （2）过点作，在中利用勾股定理求出，利用三角形的面积公式可以求出，在中，利用勾股定理求出，从而可得． 【详解】（1）证明：如下图所示， ，， ， 点为的中点， ， 是等腰三角形； （2）解：如下图所示，过点作， ， ， ，，为的中点， ，， ， ， 在中， ， ， 解得：， 在中，， 故答案为． 46．如图，在中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等角对等边等等，先证四边形是平行四边形，得，，再证，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 47．如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，判断四边形的形状，井证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟记相关内容即可求解； （1）由题意得是的中位线，推出且；是的中位线，推出且；可得且；即可求证； （2）由点F，G分别是，的中点，推出；由四边形是平行四边形，推出，可得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是的中线， ∴是的中位线， ∴且； ∵点F，G分别是，的中点． ∴是的中位线， ∴且； ∴且； ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵点F，G分别是，的中点． ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形 48．如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接． (1)求证：是的中点； (2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）可证，得出，进而根据，得出是中点的结论； （2）若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ∵， ， ， 又， ，即是的中点； （2）证明：，， 四边形是平行四边形 ，， 即 四边形是矩形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键． 49．如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)小明连接，交于点，作射线，他说“就是的平分线”，你能说明理由吗？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、中位线定理以及等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据题意可得，证四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）根据题意可得是等腰三角形，结合即可求证； 【详解】（1）证明：，，分别是，，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． （2）解：理由：，， ． 又是的中点， ． ∴是等腰三角形 四边形是矩形， 平分． 50．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，F是边上一点，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质和勾股定理． （1）根据平行四边形的性质可得，结合，可知 ，即，再根据即可求证； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得和， 因此，即，从而可得，在中，由勾股定理得的值，进而利用即可求出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 四边形是矩形， ， ． 51．如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据线段的和差关系可得，根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，可证明四边形为平行四边形，根据即可得结论； （）根据矩形的性质可得，可得为直角三角形，利用“面积法”可求出的长，即可得答案； 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：由（）得：四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接． (1)请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程； ①；②；③． (2)若四边形是矩形，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)①，证明见解析； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，则四边形是平行四边形，由，得，则四边形是矩形； (2)由得，根据勾股定理求得则 【详解】（1）证明：选①，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 53．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）由得出，再证明得出，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，结合平行四边形的性质得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 54．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠OAE＝15°， ①求证：DA＝DO＝DE； ②直接写出∠DOE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②75° 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证AC=BD，即可得出结论； （2）①先证明△ADE是等腰直角三角形，再证得，即可得出结论； ②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC ∴四边形ABCD是平行四边形      ∴BD＝2OB     ∵AC＝2OB ∴AC＝BD ∴四边形ABCD是矩形 （2）①证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO       ∵AE平分∠BAD ∴∠DAE＝45°      ∴∠DEA＝45 ∴DA＝DE      又∵∠OAE＝15° ∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°      ∴DA＝DO＝AO ∴DA＝DO＝DE      ②解： ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 55．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 56．如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 57．如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明四边形是矩形． （1）由平行四边形的性质得到，得到，由即可证明； （2）由，，得到，推出四边形是平行四边形，又，得到四边形是矩形，因此，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）知， 同理：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 58．定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积． 【答案】(1)60 (2)， 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据沙漏四边形即平行四边形的特征得出，，，，在根据矩形的性质得出，得出为等边三角形，即可得出夹角的度数； （2）根据四边形ABCD是沙漏四边形，得，在证，根据，，得，利用四边形BEDF是沙漏四边形，得，利用勾股定理得出，根据三角形面积计算公式即可得出结论． 【详解】（1）四边形ABCD是沙漏四边形， ，，， 四边形ABCD是矩形， ， ， 为等边三角形， 故答案为：60． （2） ， ， 四边形ABCD是沙漏四边形， ，，， ， ，， ，， ，，， ∵四边形BEDF是沙漏四边形， ， ， ， 在中， ， 59．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103-104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，恰好是的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】（1）小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】（2）如图②，在中，，垂足为点，是边的中线，垂直平分，则，则为________度． 【拓展提高】（3）如图③，在中，，，恰好是中线，则的度数为________度． 【答案】（1）见解析（2）26（3） 【分析】（1）通过证明四边形是矩形，可得结论； （2）由直角三角形的性质可得，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可得结论； （3）过点作于，连接，证明为等边三角形，得到，证明，得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：（1）证明：延长到，使，连接，，则， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是矩形， ∴， ∴； （2）连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）过点作于，连接， 在中，， ∴， ∵，点是的中点， ∴，, ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是直角三角形的性质，矩形的判定和性质．三角形的外角性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键． 60．如图，四边形的对角线、相交于点O，其中，，，E为上一点，连接、．平分，且，求的度数．    【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而证明是等边三角形，得到，进而得到，最后利用等边对等角的性质和三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ． ， ， 平行四边形是矩形， ，，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 61．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，，然后由面积法求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ，即， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形，， ， ，即，解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 62．在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，再证明，则四边形是平行四边形，由，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，   ， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，四边形是矩形； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 63．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形和等腰三角形的判定是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）先证明，由平行四边形的性质，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 64．如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 65．已知：如图，四边形是长方形，，，是的中点，点在线段上运动． (1)求的面积． (2)当时，求的周长． (3)当是腰长为的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)的长为或或． 【分析】（）由是的中点得出，再利用面积公式即可求解； （）过作于点，证明四边形是矩形，再根据勾股定理即可求解； （）分三种情况当时，当（为锐角三角形）时，当（为钝角三角形）时，分析即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴的面积为； （2）解：过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得：，， ∴的周长为； （3）解：如图，当时， ∵四边形是长方形， ∴， ∴由勾股定理得：； 如图，当时，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 综上可知：的长为或或． 66．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边相等两邻边的夹角称为邻等角． (1)如图1，在四边形中，，，对角线平分求证：四边形为邻等四边形． (2)如图2，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1，若四边形是邻等四边形，请写出所有符合条件的格点D的坐标______． (3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论； （2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足的格点D；②，结合图形再确定满足或的格点D； （3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设， ，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为邻等四边形． （2）解：如图，，，； （3）如图，过作于，      ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∴， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 67．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，    (1)求证：； (2)若点E、F分别为线段的中点，连接，，，求的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6，48 【分析】（1）证明四边形是矩形，即可； （2）根据三角形中位线定理可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （2）解：∵点E、F分别为线段的中点，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键． 68．如图，在四边形中，相交于点O，O是的中点，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）先利用证，由全等三角形的性质得，即可解决问题； （2）先证明四边形是矩形，利用勾股定理得出，再利用矩形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在和中， （）， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形． ． 在直角中，，由勾股定理知： ． 则． 即四边形的面积是48． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 69．如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可； （2）根据中点的性质得出四边形的面积等于两个三角形的面积和，求出三角形面积即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴ ∵点E是的中点，点H为的中点， ∴，， 四边形的面积等于． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用矩形的判定定理进行推理证明，利用矩形和中点的性质求出面积． 70．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，从而得到，利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得出，从而证明出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，推出四边形是矩形，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， 根据勾股定理得， ∴矩形的面积为． 71．如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证得，再根据可得四边形为平行四边形，然后由得，进而得，再由得，据此可得出结论； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，证明四边形为矩形得，然后表示，，可得，，的等量关系． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，如下图所示： 证明四边形为矩形得， ∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形 ∴， ∵，，， ∴， 即． 72．如图1，四边形中，点E，点F在对角线上，，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接交于点O，连接，若平分，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明，然后得到，，即可得到结论； （2）证明四边形是矩形，然后可以得到是等边三角形，利用勾股定理求出和长即可解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 73．如图，在中，，点D是的中点，点F是的中点，，连结并延长交于点E，连结． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （3）证明，再由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （3）解：由（2）知，四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 74．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质和中位线定理可得，．利用勾股定理可知，从而得到，最后利用矩形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，即，， ∴， ∴四边形是矩形． （2）∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴． 在中，，， ∴， ∴ ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 75．【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．如图，在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图，与相交于点，若，，，求的面积； (4)如果，，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)； (4)或或． 【分析】（）由折叠性质可知：则，由平行四边形的性质可得，通过平行线的性质和等腰三角形的判定即可求证； （）由折叠性质可知：则，由平行四边形的性质可得，通过等腰三角形的性质得，从而求证； （）先证明四边形是矩形，得，，，设，则，再由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解； （）分当时，当时，当三种情况分析即可； 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由折叠性质可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）由折叠性质可知：， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由（）得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，即， ∴， （4）如图，当时， 由折叠性质可知：， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 同（）理可证， ∴； 如图，当， 同理可证四边形是正方形， ∴； 综上可知：或或． 76．【操作与思考】 已知：矩形． 【动手操作】以下是小华完成的尺规作图的过程． 第1步：分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F； 第2步：作直线； 第3步：在的右侧，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接． 【解决问题】根据小华的尺规作图步骤，完成以下问题： （1）填空： ． （2）过点D作，交直线于点H． 求证：四边形是平行四边形； 【数学思考】（3）在（2）的条件下，设平行四边形的面积为，矩形的面积为，请问与存在有何种数量关系？请写出来，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查尺规作垂线，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由作图知，是线段的垂直平分线，，得到，推出是等边三角形，于是得到结论； （2）根据矩形的性质得到，推出，得到四边形是平行四边形； （3）设与交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：，理由如下： 如图，设与交于O， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$