专题10.6 离散型随机变量及其分布列（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题10.6 离散型随机变量及其分布列 【考纲要求】 1. 理解离散型随机变量的概念，掌握离散型随机变量分布列的求法. 2. 掌握离散型随机变量均值及其方差的求法. 【考向预测】 1.离散型随机变量的分布列 2.离散型随机变量的均值及其方差 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量． 表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，． 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列． … … … … 3.离散型随机变量的分布列的性质 ①， ② 注意：①.列出随机变量的所有可能取值；②.求出随机变量的每一个值发生的概率. 4.离散型随机变量的均值与方差 （1）离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望. （2）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为.称为随机变量的标准差. 5.均值与方差的性质 （1） （2） 考点一：离散型随机变量的分布列 【例1】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（       ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【变式探究】先后抛掷一个骰子两次，记随机变量ξ为两次掷出的点数之和，则ξ的取值集合是（       ） A．｛1，2，3，4，5，6｝ B．{2，3，4，5，6，7} C．{2，4，6，8，10，12} D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} 【例2】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（       ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局二次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【变式探究】下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（       ） X 3 4 5 6 P A． B． C． D． 【例3】已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1 则等于（       ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【变式探究】已知随机变量X的分布列为，，则等于（       ） A． B． C． D． 【例4】已知离散型随机变量的分布列如表： 0 1 2 3 则实数等于（       ） A． B． C． D． 【变式探究】有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（      ） A． B． C． D． 【例5】随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c 其中a，b，c满足，则___________. 【变式探究】10名同学中有名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为，则 ． 【例6】在箱子中有个小球，其中有个红球，个白球.从这个球中任取个，记表示白球的个数，则___________. 【变式探究】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示 . 考点二：常用的离散型随机变量的分布列 【例1】已知服从两点分布，且，则 ． 【变式探究】若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用描述一次试验的成功次数，则（       ） A．0 B． C． D． 【例2】已知随机变量X服从二项分布，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（       ） A． B． C． D． 【例3】在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（       ） A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 【变式探究】某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（       ） A． B． C． D． 【例4】有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 【变式探究】在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 【例5】某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则___________. 【变式探究】从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件,则取出产品中无次品的概率为(　　) A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.6 离散型随机变量及其分布列 【考纲要求】 1. 理解离散型随机变量的概念，掌握离散型随机变量分布列的求法. 2. 掌握离散型随机变量均值及其方差的求法. 【考向预测】 1.离散型随机变量的分布列 2.离散型随机变量的均值及其方差 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量． 表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，． 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列． … … … … 3.离散型随机变量的分布列的性质 ①， ② 注意：①.列出随机变量的所有可能取值；②.求出随机变量的每一个值发生的概率. 4.离散型随机变量的均值与方差 （1）离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望. （2）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为.称为随机变量的标准差. 5.均值与方差的性质 （1） （2） 考点一：离散型随机变量的分布列 【例1】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（       ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③， 故选：C. 【变式探究】先后抛掷一个骰子两次，记随机变量ξ为两次掷出的点数之和，则ξ的取值集合是（       ） A．｛1，2，3，4，5，6｝ B．{2，3，4，5，6，7} C．{2，4，6，8，10，12} D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} 【答案】D 【解析】因为随机变量ξ表示两次掷出的点数之和， 所以ξ的取值可能为：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12， 故ξ的取值集合是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}， 故选：D. 【例2】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（       ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局二次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次， 故选：D． 【变式探究】下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（       ） X 3 4 5 6 P A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得， 故选：C. 【例3】已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1 则等于（       ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 故选：C. 【变式探究】已知随机变量X的分布列为，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：， 故选：A. 【例4】已知离散型随机变量的分布列如表： 0 1 2 3 则实数等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，解得， 故选：A. 【变式探究】有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为， 故选：D. 【例5】随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c 其中a，b，c满足，则___________. 【答案】 【解析】因为，所以，，， 所以， 故答案为：． 【变式探究】10名同学中有名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为，则 ． 【答案】2或8 【解析】根据题意，得=，解得a=2或a=8， 故答案为：2或8. 【例6】在箱子中有个小球，其中有个红球，个白球.从这个球中任取个，记表示白球的个数，则___________. 【答案】 【解析】由已知得，表示个白球，个红球，故， 故答案为：. 【变式探究】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示 . 【答案】所选3人中至多有1名女生 【解析】包含两种情况：或，故表示所选3人中至多有1名女生， 故答案为：所选3人中至多有1名女生. 考点二：常用的离散型随机变量的分布列 【例1】已知服从两点分布，且，则 ． 【答案】0.7 【解析】因为服从两点分布，所以， 故答案为：0.7. 【变式探究】若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用描述一次试验的成功次数，则（       ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】据题意知，“”表示一次试验试验失败，“”表示一次试验试验成功，设一次试验失败率为，则成功率为，所以，所以，所以， 故选：C. 【例2】已知随机变量X服从二项分布，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 故选：C. 【变式探究】已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选：C. 【例3】在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（       ） A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 【答案】C 【解析】X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4， 故选：C. 【变式探究】某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，； 当时，， 则， 故选：C. 【例4】有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为． 从中取3次，为取得次品的次数，则,， 故选：D． 【变式探究】在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 【答案】 【解析】满足超几何分布，所以， 故答案为：. 【例5】某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则___________. 【答案】 【解析】表示前两次都没有击中，故， 故答案为：. 【变式探究】从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件,则取出产品中无次品的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可知，产品总数为件， 由超几何分布概率计算公式得取出产品中无次品的概率为， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$