29.4 切线长定理（教学课件）数学冀教版九年级下册

29.4 切线长定理 主讲： 冀教版九年级下册 第29章 直线与圆的位置关系 学习目标 1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算 与证明. 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. 情境引入 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2 过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示）！ 探究新知 问题3 你认为PA,PB就是⊙O的切线吗？ 问题4 猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？ PA和PB是⊙O的切线 PA=PB A P O 。 B 证明：连接OA.OB,OP ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB 我们把PA、PB叫做切线长 探究新知 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长. 切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等. PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO PA = PB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等提供了新的方法. 典例精析 已知：如图，过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A，B，Q为劣弧AB上异于点A，B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA，PB相交于点C，D. 求证：△PCD的周长等于2PA. 例1 ∵PA，PB，CD都是⊙O的切线， ∴PA=PB ， CQ=CA，DQ= DB. △PCD的周长 = PC+PD+CD = PC+PD+CQ+DQ = PC+PD+CA+DB = PA+PB =2PA. 证明： 探究新知 问题5从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？ 分析： 与三角形各边相切，就是圆心到 的距离 ，所以是三角形 的交点，半径是______________. 三角形各边 相等 角平分线 圆心到边的距离 探究新知 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. 5.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 随堂练习 1.如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F. (1)图中有几对相等的线段？ (2) 若 AD=2，BE=3，CF=1，求△ABC的周长. (1)因为⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D， E，F， 所以AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF， 所以图中有3对相等的线段． (2)因为AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF， 所以△ABC的周长＝AB＋BC＋AC ＝2(AD＋BE＋CF) ＝2×(2＋3＋1)＝12. 解： 随堂练习 2.如图，在△ABC中，∠A=50°，它的内心为I.求∠BIC的度数. 因为I是△ABC的内心， 所以⊙I是△ABC的内切圆， 所以BI，CI分别是∠ABC， ∠ACB的平分线． 又因为∠A＝50°，所以∠ABC＋∠ACB＝130°，所以∠IBC＋∠ICB＝65°， 所以∠BIC＝180°－65°＝115°. 解： 能力提升 1.如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D和BC交于点E.求证：DI＝DB. 如图，连接BI. ∵点I是△ABC的内心， ∴BI平分∠ABC.∴∠ABI＝∠CBI. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC. ∵∠DAC与∠DBC均为DC所对的圆周角， ∴∠DAC＝∠DBC. ∴∠ABI＋∠BAD＝∠CBI＋∠DBC， ∴∠BID＝∠IBD. ∴DI＝DB. 证明： 课堂小结 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 有关概念 内心概念及性质 应用 课后作业 1.如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别相交于点E，F，则(　　) A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF C 课后作业 证明：(1)∵E 是△ABC 的内心， ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC. ∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋ ∠DBC，∠DBC＝∠CAE， ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DB＝DE. 2.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，点E 为 △ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于D 点，连接BD 并延 长至F，使得DF＝BD，连接CF，BE. (1)求证：DB＝DE； (2)求证：直线CF 为⊙O 的切线． 主讲： 感谢聆听 冀教版九年级下册 $$