24.1 旋转（第3课时 在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 第3课时在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换 24.1 旋转 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1. 理解并掌握旋转变化的特点，能够解决坐标平面内的旋转变换问题.(重点、难点) 2. 能够运用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计.(难点) 学习目标 旋转的定义： 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，得到另一个图形的变换，这样的图形变换称为旋转。 中心对称的定义： 在平面内，将一个图形绕着某一定点旋转180度，得到另一个图形，那么，我们就说这两个图形关于这个点成中心对称。 情景导入 旋转的性质： 1. 旋转不改变图形的大小和形状． 2. 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角． 3. 对应点到旋转中心的距离相等. 4. 旋转中心是唯一不动的点. 情景导入 中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分，具有旋转的所有性质. 旋转对称图形： 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后，能够与原图_______，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是_________. 重合 旋转中心 情景导入 中心对称图形定义： 如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心. 情景导入 A B 1 2 2 －1 －2 －2 x y O 1 －1 C 如图，△ABC 的顶点坐标分别是 A (2，1)，B (0，0). (1) 分别画出△ABC 以原点为旋转中心，逆时针旋转90°、180°、270°、360°而得到的△A′B′C′，（按逆时针方向旋转） 新知探究 （2）给出点A′，B′，C′的坐标（填在下表中）： A B 1 2 2 －1 －2 －2 x y O 1 －1 C 原图形上点的坐标 A (2，1) B (0，0) C(2，0) 按逆时针方向旋转后对应点的坐标 旋转90° 旋转180° 旋转270° 旋转360° (－1，2) (－2，－1) (1，－2) (2，1) (0，0) (0，2) (0，0) (0，0) (0，0) (－2，0) (0，－2) (2，0) (3) 分别比较点 A′ 与点 A、点 B′ 与点 B、点 C 与点 C′的坐标，能得到怎样的结论？ 通过作图、分析能看到，把一个图形以坐标原点为旋转中心作几个特殊角度的旋转，可得如下结果： 原图形上任一点的坐标 以点O为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点坐标 (x，y) (－y，x) (－x，－y) (y，－x) (x，y) 旋转90° 旋转180° 旋转270° 旋转360° 这里，把（x,y）变换成（x,y）的变换叫做恒等变换，即在平面直角坐标系中，一个图形绕点O作360°旋转是一个恒等变换. x y O 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 A B C A′ C′ B′ 例1 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(1，0)，若点 A 的坐标为(a，b)，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是 ． (b＋1，－a＋1) 典例剖析 解析：过点 A 作 AC⊥x 轴，过点 A′ 作 A′D ⊥ x 轴，垂足分别为 C、D，显然 Rt △ABC ≌ Rt △BA′D. ∵点 A 的坐标为 (a，b)，点 B 的坐标是 (1，0)，∴OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1. ∵点 A′ 在第四象限，∴点A′的坐标是(b＋1，－a＋1)．故答案为(b＋1，－a＋1)． 试说出构成下列图形的基本图形． （1） （2） （3） （4） 新知探究 基本图案 图案的形成过程 分析图案的形成过程 基本图案 图案的形成过程 分析图案的形成过程 归纳：图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案. 例2 用四块如图(1)所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)． 解：如图所示.（答案不唯一） 典例剖析 例3 如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、轴对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4. 分析：所给左上角的三角形的面积为 1×1÷2＝0.5，故设计图案总共需要三角形 4÷0.5＝8 (个). 典例剖析 解：答案不唯一，以下图案供参考. A 分层练习-基础 21 2. 如图，点A的坐标是(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是(　　) A．(4，6) B．(6，4) C．(－6，－4) D．(－4，－6) B 22 D 24 4．[2024·德州德城区期末]如图，在正方形网格中，线段AB绕一点旋转一定的角度后与线段CD重合(C，D均为格点，点A的对应点是点C)，若点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(3，3)，则旋转中心的坐标为________． (1，1) 【点拨】如图，建立平面直角坐标系，连接AC，BD，作AC，BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心，E(1，1). 26 5．[2024·盐城一模]如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，4)，连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，求线段OC的长度． 【解】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝∠BOA＝90°. ∵将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC， ∴∠BAC＝90°，AC＝AB.∴∠BAO＋∠CAD＝90°. 27 6. 如图，直线y＝2x＋2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为________． (－3，1) 分层练习-巩固 【点拨】当x＝0时，y＝2×0＋2＝2，∴点B的坐标为(0，2).∴OB＝2. 当y＝0时，2x＋2＝0，解得x＝－1，∴点A的坐标为(－1，0).∴OA＝1. 根据旋转的性质，可得CD＝OB＝2，AC＝AO＝1，AC⊥x轴，CD∥x轴， ∴点D的坐标为(－1－2，1)，即(－3，1). 28 29 (3，2) 【点拨】如图，连接OA，OA′，过点A作AE⊥x轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，由旋转的性质可知OA＝OA′，∠AOA′＝90°，∴∠A′OF＋∠AOE＝90°. ∵AE⊥x轴，A′F⊥x轴，∴∠AEO＝∠OFA′＝90°. ∴∠OAE＋∠AOE＝90°.∴∠OAE＝∠A′OF. 30 31 9．[2024·淮南田家庵区期中]如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上． (1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1； 【解】如图，△A1B1C1即为所求. 32 (2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2，C2的坐标； 【解】如图，△AB2C2即为所求， B2(1，4)，C2(－1，5). 33 (3)若点P为x轴上一点，则PA＋PC的最小值为________． 34 10．在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动为线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角称为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值称为“旋似比”．如图，在平面直 角坐标系xOy中有一点A(－2，6)， 把线段OA绕点O做“旋似”运动， 点A的对应点是点B，若“旋似角”为90°： 分层练习-拓展 35 (1)当“旋似比”为2时，求点B的坐标； 【解】如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C， ∴∠ADO＝∠BCO＝90°. 36 (2)过点B作BD⊥x轴，点D为垂足，连接AB，若AB∥x轴，求此时的“旋似比”； 【解】如图，设AB与y轴交于点C. ∵A(－2，6)，∴AC＝2，OC＝6. ∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠BOD. 37 38 1．给下列图形分类： （1）只属轴对称； （2）只属旋转对称； （3）既属轴对称又属旋转对称； （4）不属任何对称. 习题24.1 解：（1）只属轴对称：②③⑩． （2）只属旋转对称：①④⑦． （3）既属轴对称又属旋转对称：⑤⑨． （4）不属任何对称：⑥⑧． 2．画出上题中轴对称图形的对称轴，用“”号标出上题中旋转对称图形的旋转中心. 解：图形如图所示．∵AB与A′B′关于点O成中心对称，∴AB=A′B′，AB∥A′B′． 同理得A′B′=A″B″，A′B′∥A″B″． ∴A″B″=AB，A″B″∥AB． 由此得两次中心对称，相当于一次平移. 3．画出已知线段AB关于点O（不在AB上）成中心对称的线段A'B'，再画出A'B'关于另一点O'（不与O重合，也不在A'B'上）成中心对称的线段A″B″，并且证明A″B″ AB．由此你能得出怎样的猜想？ 4．在方格纸上，格点△ABC的位置如图（1），请在图（2）~（5）中各画出一个与格点△ABC全等但位置不同的格点三角形． 解：如图，三角形即为所求． 5．如图，在平面直角坐标系中有点A（a，b），作出点A关于x轴对称的对应点A1，点A1关于y轴对称的对应点A2．连接OA1和OA2，观察点A1，A2与点O有什么关系？ 解：如图所示．点A1，A2与点O的关系是点A1与点A2关于点O成旋转对称． 解：如图.点A，B，C关于原点成中心对称的对应点分别为A′（1，-2），B′（3，-1），C′（2，1）．点A关于点B成中心对称的对应点为A″（-5，0）． 6．在平面直角坐标系中画出点A（-1，2），B（-3，1），C（-2，-1），并画出这三点关于原点成中心对称的对应点，写出它们的坐标．然后画出点A关于点B成中心对称的对应点并写出其坐标． 7．如图，已知▱ABCD的中心在原点O，顶点A（3，2），D（2，-2），求顶点B，C的坐标． 解：∵▱ABCD的中心在原点O， ∴点A与C，点B与D分别关于原点对称． ∵A（3，2），D（2，-2）， ∴C（-3，-2），B（-2，2）． 8．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（5，0），C（5，3），将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°，得△A1B1C1，求顶点A1，B1，C1的坐标． 解：如图所示，△A1B1C1即为所求．顶点A1，B1，C1的坐标分别为（-3，1），（0，5），（-3，5）． 9．△ABC在方格纸中的位置如图． （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得 A，B两点的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-4），并求出C点的坐标； 解：坐标系如图所示，C（3，-3）． x y O （2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，再作出△ABC以原点为旋转中心、按逆时针方向旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出C1，C2两点的坐标； 解：△A1B1C1，△A2B2C2如图所示．其中C1，C2两点的坐标分别为C1（3，3），C2（-3，3）． （3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，其中的一个三角形能否由另一个三角形经过某种变换而得到？若能，请指出什么变换． 解：其中的一个三角形能由另一个三角形经过某种变换而得到．是对称变换而得到． 10．在平面直角坐标系中，将抛物线y=4x2绕原点、按逆时针方向旋转180°，求这时抛物线对应的函数表达式． 解：这时抛物线对应的函数表达式为y=-4x2． 旋转的应用 特征 P (x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y). 作图 作出关于原点对称的图形，先求出对称点的坐标，再描点画图. 坐标平面内的旋转 变换 动态图形的操作与图案设计 分析图案设计 分清基本图形 知道形成过程 设计方法 利用图形变换 轴对称 平 移 旋 转 课堂小结 1．点经过某种图形变换后得到点，这种图形变换可以是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90° 【点拨】如图所示， 分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知，OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠AOM＋∠BON＝∠A＋∠AOM＝90°. ∴∠A＝∠BON. 在△AOM和△OBN中 ∴△AOM≌△OBN(AAS).∴BN＝MO，ON＝AM. ∵点A的坐标为(－4，6)，∴BN＝MO＝4，ON＝AM＝6. ∴点B的坐标为(6，4). 3．[2024·滁州校级模拟]如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝，点B在x轴正半轴上，∠AOB＝30°，把△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为(　　) A．(－，－1) B．(－1，－2) C．(－2，－1) D．(－1，－) 【点拨】如图，过点A1作A1E⊥y轴于点E. 在Rt△OAB中，∵OB＝，∠AOB＝30°， ∴AB＝1，OA＝2. 由旋转可知∠AOA1＝150°，OA1＝OA＝2， ∴∠A1OB＝120°.∴∠A1OE＝30°. ∴OE＝OA1·cos30°＝，A1E＝OA1＝1. ∴A1(－1，－)，故选D. ∵∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠CAD＝∠ABO. ∴△ACD≌△BAO(AAS).∴CD＝AO，AD＝BO. ∵点A(3，0)，点B(0，4)，∴AO＝3，BO＝4. ∴CD＝3，AD＝4.∴OD＝3＋4＝7. ∴OC＝＝＝. 7. 如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝－x2＋4绕点A(2，0)旋转180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为_______________． y＝(x－4)2－4 【点拨】由抛物线y＝－x2＋4的顶点坐标为(0，4)，易得该顶点关于点A(2，0)对称的点的坐标是(4，－4). 根据旋转的性质，可得旋转后的抛物线所对应的函数表达式为y＝(x－4)2－4. 8． [2024·新乡模拟]如图，已知△ABC的顶点C(1，0)，AB边与x轴的负半轴交于点D，∠ACD＝45°，将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，点A的对应点A′恰好落在反比例函数y＝(x＞0)的图象 上，则点A′的坐标为________． 在△AOE和△OA′F中， ∴△AOE≌△OA′F(AAS).∴AE＝OF，OE＝A′F. ∵点C(1，0)，∠ACD＝45°， ∴OC＝1，△AEC为等腰直角三角形. 设OE＝t，则CE＝AE＝t＋1， ∴OF＝AE＝t＋1，A′F＝OE＝t. ∴点A′的坐标为(t＋1，t). ∵点A′(t＋1，t)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上， ∴t(t＋1)＝6，解得t1＝2，t2＝－3(不合题意，舍去). 当t＝2时，t＋1＝3，∴点A′的坐标为(3，2). 【点拨】如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，交x轴于点P，连接AP，则PA＋PC的最小值为PA′＋PC＝A′C＝＝4. 4 ∵A(－2，6)，∠AOB＝∠COD＝90°， ∴AD＝2，OD＝6，∠AOD＝∠BOC. ∴△AOD∽△BOC. ∴＝＝＝. ∴OC＝12，BC＝4. ∴点B的坐标为(12，4). 又∵AB∥x轴， ∴∠ABO＝∠BOD，∠ACO＝∠BCO＝90°. ∴∠AOC＝∠ABO.∴△AOC∽△OBC. ∴＝＝，即＝＝3. ∴此时的“旋似比”为3. (3)当“旋似比”为时，设线段AB与y轴交于点E，点F是y轴上一点，且满足∠BFE＋∠BEF＝135°，求点F的坐标． 解：如图，延长线段AB交x轴于点H. ∵“旋似比”为， ∴同理可得，点B(3，1). 设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b， ∴解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋4. ∴易得OE＝OH＝4.∴∠OEH＝∠OHE＝45°. ∵∠BFE＋∠BEF＝135°，∴∠BFE＝90°. ∴BF⊥y轴.∴点F的坐标为(0，1). $$