职教高考----中职数学知识清单

1 中职数学知识清单 第一章 集合与充要条件 知识点 1．元素与集合的概念 元素：单独一个数字或字母或符号 集合;大写字母、 知识点 2.元素与集合的关系 1.�是集合 A 的元素，读作�属于集合 A，记� ∈ �。 2.�不是集合 A 的元素，读作�不属于集合 A，记� ∉ �。 知识点 3.集合中元素的性质 1.确定性：一个给定的集合中的元素必须是确定的.不能确定的对象，不能组成集合。 2.互异性：一个给定的集合中的元素都是互不相同的。 3.无序性：一个给定的集合中的元素排列无顺序。 知识点 4.集合的分类 有限集：集合的元素个数有限的集合. 无限集：集合中的元素个数无限的集合. 数集：集合中的元素是数.例如{1,2,3,4}. 点集：集合中的元素是点.例如     1,2 2,1， . 空集：不含任何元素的集合，符号：∅.例如,方程 2 1 0x   的实数解组成的集合,因为 方程 2 1 0x   在实数范围内无解，因此这个集合中没有任何元素. 知识点 5.集合的表示方法 列举法：把元素一一的列举出来，放在大括号里面，元素之间用逗号隔开. 描述法：把集合中所有元素的共同特征描述出来，这种表示集合的方法叫作描述 法.描述法的一般形式为：{元素的一般符号及取值 (或变化)范围|集合中元素所具有的 共同特征}. 知识点 6．常用数集的符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 � � ∗ (�＋) � � � 知识点 7.集合与集合之间的关系 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 � ⊆ �且� ⊆ � ⇔ �＝� 子集 A 中任意一个元素均为 B 中的元素 A B B A 或 真子集 A 中任意一个元素均为 B 中的元素， 且B中至少有一个元素不是A中的元素 A B 2 结论 （1）空集是任意集合的子集，空集是任意非空集合的真子集 （2）集合{a1，a2，…，an}的子集有 2 n 个，非空子集有 2 n －1 个，非空真子集有 2 n －2 个． 知识点 8．两个集合 A 与 B 之间的运算 基本运算 并集 交集 补集 自然语言 由既属于 A且又属于 B 的所有元素组成的集合 由集合 A与集合 B 的所有元素组成的 集合 由全集 U 中所 有不属于 A的元素 组成的集合 记法 A ∪ B A ∩ B ��� Venn 图表示 (阴影部分) 意义 {x|x ∈ A或 x ∈ B} {x|x ∈ A且 x ∈ B} {x|x ∈ U且 x ∉ A} 知识点 9．充要条件 p与 q的四种关系及相关表述如下： 关系 记法 p是 q的充分不必要条件 � ⇒ �且� ⇏ � p是 q的必要不充分条件 � ⇏ �且� ⇒ � p是 q的充要条件 p ⇔ q p是 q的既不充分也不必要 条件 � ⇏ �，且� ⇏ � 口诀：前推后，充分条件，后推前，必要条件，前后互推，充要条件 知识点 8．充分条件和必要条件与集合的关系 小推大，反之不成立。 第二章 不等式 知识点 1．实数的大小 两个实数 a，b，其大小关系有三种可能，即 a>b，a＝b，a<b. a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 0 的大小 知识点 2．不等式的基本性质 性质 1： .a b a c b c  ＋ ＋ （可加性） 性质 2： .a b c ac bc a b c ac bc       0 0， ； ， （可乘性） 性质 3： .a b c d a c b d   ， ＋ ＋（同向可加性） 性质 4： .a b c d ac bd     0 0， （同向同正可乘性） 性质 5： ( ).n na b a b n n     0 N 2， （可乘方性） 3 知识点 3．区间 (1)设 a，b是两个实数，且 a＜b，则有下表： 定义 名称 符 号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)实数集 R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 知识点 4．一元二次不等式及其解法 (1) 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式，称为一元二次不等式． 形如 ax2＋bx＋c＞0；ax2＋bx＋c＜0；��2＋��＋� ≥ 0；��2＋��＋� ≤ 0。（� > 0） (2)使某个一元二次不等式成立的 x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等 式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集． (3)解一元二次不等式的步骤 一化：化二次项系数为正（� > 0） ax2＋bx＋c＞0(或 ax2＋bx＋c＜0)(其中 a＞0) 二解:对应的方程 ax2＋bx＋c＝0的实根 x1，x2,(此时�＝�2－4�� ≥ 0) 三写：根据“大于号取两边，小于号取中间”写解集． (4)一元二次不等式的解： 2 4b ac   0 0 0 二次函数 cbxaxy  2 （ 0a ）的图象 2 0 ( 0) ax bx c a     的根 有两相异实根 )(, 2121 xxxx  有两相等实根 a bxx 221  无实根 知识点 5.绝对值不等式 (1)两个数的差的绝对值的几何意义： ba  表示在数轴上，数 a和数b之间的距离． 4 (2)绝对值不等式： ( 0)x a a  的解集是{ | }x a x a   ，如图 1； ( 0)x a a  的解集是{ | }x x a x a  或 ，如图 2； ( 0)ax b c c c ax b c        ； ( 0)ax b c c ax b c      或 ax b c   ； 知识点 6．分式不等式 分式不等式的解法：进行同解变形，将分式不等式转化为整式不等式来解: （1）         0 0 f x f x g x g x     ； （2）       0( ) 0 0( ) f x g xf x g xg x      ； （3）         0 0 f x f x g x g x  ＜ ＜ ； （4）       0( ) 0 0( ) f x g xf x g xg x      ； 第三章 函数 知识点 1．函数的有关概念 函数的定义 设 A，B是非空的实数集，如果对于集合 A中任意一个数 x，按照某 种确定的对应关系 f，在集合 B中都有唯一确定的数 y和它对应，那么 就称 f：A→B为从集合 A到集合 B的一个函数 函数的记法  y f x ， x A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围 A的集合叫做函数的定义域 值域 函数值 y的集合  { | }f x x A 叫做函数的值域 知识点 2．相同函数 一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 知识点 3．函数定义域求法 当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的 集合. ①一次函数(� = ��+ b, � ≠ 0),二次函数( 2y ax bx c   , � ≠ 0),指数函数(y = ��, � > 0且� ≠ 1),正弦函数(� = sin�),余弦函数(� = cos�)等函数的定义域为 R ②含有 1 �(�)的形式，此时需满足�(�) ≠ 0 ③含有 g(�)的形式，此时需满足 g(�) ≥ 0 ④含有����f(�)的形式，此时需满足 f(�) > 0 注：当函数中包含两种及以上的上述情况，应同时满足多种情况，此时联立方程组，求 得各解集的交集，该交集为这个函数的定义域. 2.在客观实际中，函数的定义域需考虑函数自变量取值的客观实际背景意义. 注意：定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 5 知识点 4．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x的不同取值范围，有着不同 的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各 段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 知识点 5．函数的单调性 (1)函数单调性的定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： ①如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是增函数． ②如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性，区间 D叫做 y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 最大值：一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M．那么，我们称 M是函数 y＝f(x)的最大值． 最小值：一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 N满足：①对于任意的 x∈I， 都有 f(x)≥N； ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝N．那么我们称 N是函数 y＝f(x)的最小值． (4)证明函数单调性的步骤 第一步 求定义域 D（已知定义域，跳过第一步） 第二步 设元：任取 x1，x2∈ �，且 x1＜x2， 第三步 作差：f(x1)-f(x2) 第四步变形：将 f(x1)-f(x2)变形，一般只提取出公因式�� − ��,变形到可以与 0 比较大小 为止 第五步 判号：确定 f(x1)-f(x2)大于 0、等于 0、小于 0 第六步 定论：x1＜x2，f(x1)-f(x2)<0,函数为增函数 x1>x2，f(x1)-f(x2)<0,函数为减函数 知识点 6．函数的奇偶性 (1)偶函数的定义 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就 叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数． (3)奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于 y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． (4) 证明奇偶性函数的步骤 第一步 求定义域，看定义域是否关于原点对称 6 第二步 计算 f(－x) 第三步 判断 f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)是否成立 第四步 下结论：若 f(－x)＝f(x)，则函数 f(x)是偶函数；若 f(－x)＝-f(x)，则函数 f(x) 是奇函数； (5)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶 奇±偶＝非奇非偶 同同异无 奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 同偶异奇 (6)函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数 f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则 f(x)在[－b，－a]上为增(减)函 数； (2)若函数 f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则 f(x)在[－b，－a]上为减(增)函 数． 结论： 1.奇函数单调区间上的单调性相同，偶函数对称区间的单调性相反。 2.常见奇函数：①y = xn,n 为奇数 ②y = sin x, y = tan x ③� = �� − �−� ④� = ��(� − 1) − ��(� + 1), � = ��(� − 1) − ��(� + 1) 3.常见偶函数①� = ��,�为偶数 ②常函数� = �, �为常数 ③� = �� + �−� ④y = cos � ⑤� = ��(� + �) + ��(� − �)其中�为常数. 知识点 7．函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内每一个的值时，都有 f(x ＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫 做 f(x)的最小正周期． 知识点 8 常见的几种函数性质 一、一次函数 （1）一次函数的定义 ①一般地，形如 y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数。 ②一般地，形如 y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当 b=0时，y=kx+b 即 y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 （2）一次函数的图象及其性质 ①正比例函数的图象及性质：正比例函数 y=kx(k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点 的直线，称为直线 y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着 x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着 x的增大而减小 7 ②一次函数的图象及性质：一次函数 y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称 为直线 y=kx+b。当 k＞0时，直线 y=kx+b从左向右上升，即 y随着 x 的增大而增大；当 k ＜0时，直线 y=kx+b从左向右下降，即 y随着 x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着 x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着 x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 二．反比例函数 （1）反比例函数的定义 一般地，形如 ky x  ( x为常数， x )的函数称为反比例函数，其中 x是自变量， x是 函数，自变量 x的取值范围是不等于 0 的一切实数， （2）反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当 0k  时，图像在一、三象限，在每个 象限， y随 x的增大而减小；当 0k  时，图像在二、四象限，在每个象限， y随 x的增大 而增大，如下图所示： （ 0k  ） （ 0k  ） 三．二次函数 （1）二次函数的定义 一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数. （2）二次函数的图象及其性质 8 函数 二次函数 2y ax bx c   （a、b、c为常数，a≠0） 图象 0a  0a  开口方向 向上 向下 对称轴 直线 2 bx a   直线 2 bx a   顶点坐标 24, 2 4 b ac b a a       24, 2 4 b ac b a a       增减性 在对称轴的左侧，即当 2 bx a   时，y 随 x的增大而减小；在对称轴的右侧，即 当 2 bx a   时，y随 x的增大而增大．简 记：左减右增 在对称轴的左侧，即当 2 bx a   时，y 随 x 的增大而增大；在对称 轴的右侧，即当 2 bx a   时，y 随 x 的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当 2 bx a   时，y 有最 小值， 24 4 ac by a   最小值 抛物线有最高点，当 2 bx a   时， y 有最大值， 24 4 ac by a   最大值 第四章 指数函数与对数函数 知识点 1．根式 (1)n次方根：如果 xn＝a，那么 x叫做 a的 n次方根，其中 n＞1，且 n∈N*. ①当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数，这时 a的 n次方根用符号 n a 表示． ②当 n为偶数时，正数的 n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数 a的正的 n次方根用符号 n a 表示，负的 n次方根用符号－ n a表示．正的 n次方根与负的 n次方根可 以合并写成 ± n a． ③负数没有偶次方根． ④0的 n(n∈N*)次方根是 0，记作 0=0n ． (2)根式：式子 n a叫做根式，这里 n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时， n na ＝a；n为偶数时， n na ＝|a|＝ , 0 , 0 a a a a    . 知识点 2．幂的运算 9 (1)a0＝1 .这里 a≠0. (2)a－n＝ 1 an (a≠0，n∈N*)． (3) ( ) m nm mnna a a  (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)． (4)a- m n＝ 1 n am (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于 0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ( 0, , )r s r sa a a a r s  R  sra  rsa ( 0, , )a r s R ( )rab  r ra b ( 0, 0, )a b r  R 知识点 3．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数 xy a （ 0a  且 1a  ）叫做指数函数，其中指数 x是自变量， 定义域是 R，a是指数函数的底数． (2)注意事项：指数函数 xy a 的底数规定大于 0且不等于 1 的理由： ①如果 0a  ，当 0 , 0, 0 , . x x x a x a     当 时 恒等于 当 时 无意义 ②如果 0a  ，如 ( 4)xy   ，当 1 1, 4 2 x  时，在实数范围内函数值不存在． ③如果 1, 1 1xa y   ，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定 0a  且 1a  ． 注意：(1)底数：大于零且不等于 1 的常数； (2) 指数：仅有自变量 x； (3) 系数： xa 的系数是 1. 知识点 5．指数函数的图象与性质 1a 10  a 图象 性质 定义域 R 值域 ),0(  过定点 )1,0( 单调性 在 R上是增函数 在 R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 知识点 6．比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律 来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，借助中间值“1”可先化为同底的两 个幂，再比较． 知识点 7.对数的定义 10 1.(1)若 ( 0, 1)xa N a a  且 ，则 x叫做以 a为底 N 的对数，记作 logax N ，其中 a叫做底数，N 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化： log ( 0, 1, 0)xax N a N a a N      . 2.几个重要的对数恒等式 log 1 0a  ， log 1a a  ， log b a a b . 3.常用对数与自然对数 常用对数： lg N ，即 10log N；自然对数： ln N ，即 loge N (其中 2.71828e  …). 4.对数的运算性质 如果 0, 1, 0, 0a a M N    ，那么 ①加法： log log log ( )a a aM N MN  ②减法： log log loga a a MM N N   ③数乘： log log ( )na an M M n R  ④ loga Na N ⑤ log log ( 0, )b n aa nM M b n R b    ⑥换底公式： loglog ( 0, 1) log b a b NN b b a   且 知识点 8 1.对数函数的概念 一般地，函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域 是 (0，＋∞) . 2．特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以 10 为底的对数函数 xy lg . （2）自然对数函数：以无理数 e 为底的对数函数 xy ln . 3．对数函数的图象和性质 对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且 a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 11 共点性 图象过定点(1,0)，即 x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数 y＝logax与 y＝ 1log a x的图象关于 x轴对称 4.不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数 a>1 的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近 x轴；对于 底数 0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近 x轴． 第五章 三角函数 知识点 1．角的概念的推广 (1)任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形. (2)角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. (3)象限角 ①定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x轴的非负半轴重合.那么, 角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. ②象限角的常用表示： 第一象限角 { | 360 360 90 , }k k k Z       第二象限角 { | 360 90 360 180 , }k k k Z         第三象限角 { | 360 180 360 270 , }k k k Z         或 { | 360 180 360 90 , }k k k Z         第四象限角 { | 360 270 360 360 , }k k k Z         或 { | 360 90 360 , }k k k Z       (4)轴线角 ①定义：轴线角是指以原点为顶点， x轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. ②轴线角的表示： 终边落在 x轴非负半轴 { | 360 , }k k Z    终边落在 y轴非负半轴 { | 360 90 , }k k Z      12 终边落在 x轴非正半轴 { | 360 180 , }k k Z      或 { | 360 180 , }k k Z      终边落在 y轴非正半轴 { | 360 270 , }k k Z      或{ | 360 90 , }k k Z      终边落在 x轴 { | 180 , }k k Z    终边落在 y轴 { | 180 90 , }k k Z      或{ | 180 90 , }k k Z      终边落在坐标轴 { | 90 , }k k Z    (4) 终边相同的角的集合：所有与角 终边相同的角连同 在内可表示为  | 360k k Z     ， . 知识点 2．弧度制 (1)弧度制概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度角，记作 1 rad ，或 1弧度，或 1(单位 可以省略不写). (2)角度与弧度的换算 180 rad  ， 01801 57.30 57 18rad            ， 1 180 rad (3)常用的角度与弧度对应表 角度制 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧制度 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   (4)扇形中的弧长公式和面积公式 ①弧长公式： rl || (是圆心角的弧度数)，②扇形面积公式： 2|| 2 1 2 1 rrlS  . 知识点 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边 OP与单位圆交于点 P(x，y) ①sinα = ��；②cosα = � �；③tanα = � � (� ≠ 0) 注：r = �2 +�2 （2）三角函数（单位圆） ①正弦函数：� = ����,定义域：R ②余弦函数：� = ����,定义域：R ③正切函数：� = ����,定义域： � � ≠ π2 + ��,� ∈ Z (3)正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 13 口诀：一全正二 S三 T四 C （4）特殊角的三角函数值 知识点 4.同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：���2α+���2α = 1;变形：sinα =± 1 − cos2α cosα =± 1 − sin2α ②商数关系：当α ≠ �2 + ��(� ∈ Z)时, ���� = ���� ���� . 知识点 5.诱导公式(其中 k ∈ Z) 口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 诱导公式的形式：sin(k ∙ π2 ± α), cos(k ∙ π 2 ± α), tan(k ∙ π 2 ± α) 注：判断能否用诱导公式时，最重要的是看括号内是否存在 π 2的整数倍 (1)奇变偶不变：k为奇数,函数名称发生改变,sin → cos, cos → sin; k为偶数,函数名 称不发生改变,sin → sin, cos → cos. 注：判断函数名变不变的小技巧： 含 zkk  ,42  ，，， 函数名不变 含 zkk  , 22 5 2 3 2  ，，，，  ，函数名变 (2) 符号看象限：将α看成锐角时，看括号内的角在第几象限并判断在原函数值的符号. 判断象限小技巧： ① zkk  ,2 直接丢掉，如 )sin()4sin()5sin(   ② 一象限角四象限角，三象限角，二象限角，   . ③口诀判断象限，确定正负：一全正二正弦（S）三正切（t）四余弦（C） 如：①sin(� + α) =− sinα,上述公式中,含 ,故函数名称不变还是为 sinα,将α看成 锐角,�+α为第三象限角,原来的函数 sinα在第三象限为负,故 sin(� + α) =− sinα. ②sin( π2 +α) = cosα,上述公式中,含 2  ,故函数名称变,变为 cosα,将α看成锐 角, � 2 +α为第二象限角,原来的函数 sinα在第二象限为正,故 sin( π 2 + α) = cosα. 公式一:sin(2�� +α) = sinα 公式二:sin(� + α) =− sinα cos(2�� + α) = cosα cos(� + α) =− cosα tan(2��+ α) = tanα tan(� + α) = tanα α 0 � 6 � 4 � 3 � 2 2� 3 3� 4 5� 6 � 3� 2 2� sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 −1 0 cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 − 1 2 − 2 2 − 3 2 −1 0 1 tanα 0 3 3 1 3 不存在 − 3 −1 − 3 3 0 不存在 0 14 公式三:sin( − α) =− sinα 公式四:sin(� − α) = sinα cos( − α) = cosα cos(� − α) =− cosα tan( − α) =− tanα tan(� − α) =− tanα 公式五:sin( π2 − α) = cosα 公式六:sin( π 2 + α) = cosα cos( π2 − α) = sinα cos( π 2 + α) =− sinα 知识点 6.两角和与差的正弦和余弦公式 1．和角公式 (1)两角和与差的余弦公式    sinsincoscoscos     sinsincoscoscos  (2)两角和与差的正弦公式    sincoscossinsin     sincoscossinsin  (3)两角和与差的正切公式   tan tan1 tan tantan           tan tan1 tan tantan         2．二倍角公式、降幂公式、辅助角公式 (1)二倍角公式 ①正弦的二倍角公式：  cossin22sin  ②余弦的二倍角公式：  22 sincos2cos  1cos2 2   2sin21 ③正切的二倍角公式： 2 2 tantan 2 1 tan     (2)两个降幂公式 2 1 cos 2cos 2   ， 2 1 cos 2sin 2   (3)辅助角公式 sin cosa x b x =  2 2 sin cos cos sina b x x   = 2 2 sin( )a b x   （其中 2 2 sin b a b    和 2 2 cos a a b    ） 结论： ①sin x ± cos x = 2sin(x ± π4 ) ②sinwx ± coswx = 2sin(wx ± π 4 ) 知识点 7、正余弦定理 1．正弦定理: a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 适用范围：两角及一边 变形形式：(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； 15 (3)sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R （角化边） 2．余弦定理: a2＝b2＋c2－2bc·cos A；cos A＝b 2＋c2－a2 2bc ； b2＝c2＋a2－2ca·cos B；cos B＝c 2＋a2－b2 2ca ； c2＝a2＋b2－2ab·cos C；cos C＝a 2＋b2－c2 2ab 适用范围：两边及一角、三边 3．三角形常用面积公式 (1) S＝1 2 a·ha(ha表示边 a上的高)； (2) S＝1 2 absin C＝1 2 acsin B＝1 2 bcsin A． 4．常用公式 A＋B＋C＝π，则 A＝π－(B＋C)， sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C) 知识点 8 三角函数图像和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R {x|x∈R，且 x≠kπ＋ π 2 } 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2kπ－ π 2 ， 2kπ＋π 2 [2kπ－π，2kπ] kπ－ π 2 ， kπ＋π 2 递减区间 2kπ＋π 2 ， 2kπ＋3π 2 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) kπ＋ π 2 ，0 kπ 2 ，0 对称轴方程 x＝kπ＋ π 2 x＝kπ 无 知识点 9 正弦函数及图像变换 1．正弦型函数的相关概念 (1)定义：一般地，形如 sin( )y A x   的函数，在物理，工程等学科的研究中经常 遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中 , ,A   都是常数，且 0, 0A   . 2．正弦型函数的性质 (1)定义域：R 16 (2)值域：[ , ]A A (3)周期： 2T    (4)奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条 件下， 对于 sin( )( 0, 0)y A x A      当 ( )k k Z   时，函数 sin( )( 0, 0)y A x A      是奇函数； 当 ( ) 2 k k Z    时，函数 sin( )( 0, 0)y A x A      是偶函数； (5)单调性：确定函数 sin( )( 0, 0)y A x A      的单调区间的思想是把 x  看 作一个整体。 由 2 2 ( ) 2 2 k x k k Z          解出 x的范围，可得单调递增区间； 由 32 2 ( ) 2 2 k x k k Z          解出 x的范围，可得单调递减区间； 3．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － φ ω －φ ω ＋ π 2ω π－φ ω 3π 2ω －φ ω 2π－φ ω ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 4．三角函数图像变换 第六章 数列 一、数列的概念 知识点 1 数列的概念 1.数列是按一定次序排列的一列数，一般用�1, �2, ⋯, ��表示，记作 �� . 2.数列中的每一个数都叫作这个数列的项，第一项又叫首项，记作 1a ，其中第 n项记 作��. 知识点 2 数列的通项公式 一个数列 �� 中的第 n项��与项数n之间的关系可以用一个公式�� = �(�), � ∈ �∗来表 示，这个公式叫数列的通项公式. 17 知识点 3 数列的前�项和 �� = �1 + �2 + �3 +⋯+ �� 数列通项公式��与前项和��之间的关系： �� = �1(� = 1) �� − ��−1(� ≥ 2, � ∈ �∗) . 二、等差数列 知识点 1 等差数列的定义 一个数列从第 2项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就 叫作等差数列.这个常数叫作公差，一般用字母 d 来表示. 定义表达式：�� − ��−1 = �, (� ≥ 2, � ∈ �∗).(常用来判断一个数列是否为等差数列) 知识点 2 等差数列的通项公式 �� = �1 + � − 1 �. �� = �� + � −� �. 知识点 3 等差中项 �, A, �成等差数列⟺ A叫作�和 b的等差中项⟺ A = �+� 2 . 知识点 4 等差数列的前项和公式 1. �� = � �1+�� 2 . 2. �� = ��1 + � �−1 2 �.(常用) 知识点 5 等差数列的性质 数列 �� 是等差数列，公差 d ,则 1. 若  *, , ,m n p q m n p q   N ,则 m n p qa a a a   . 三、等比数列 知识点 1 等比数列的定义 一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为 0 的常数，那么这个数 列就叫做等比数列．这个常数叫做公比，通常用字母 q表示（ 0q  ），即： 1 ( 0)n n a q q a    知识点 2 等比数列的通项公式 1 1 1( * 0) n na a q n N a q     ， an = amqn−m 知识点 3 等比中项 若 a，G，b成等比数列，那么称数G为 a与b的等比中项，其中G ab  ． 知识点 4 等比数列的前�项和公式 1. 1(1 ) ( 1) 1 n n a qS q q     （常用） 2. 1 1 n n a a q S q    知识点 5 等比数列的性质 设等比数列{ }na 的公比为 q， 若 , , ,m n p q N  ，且m n p q   ，则 m n p qa a a a   18 结论：①连续 k项的和依然成等差数列，即 kS ， 2k kS S ， 3 2k kS S ，…成等差数列， 且公差为 2k d ． ②连续 k项和（不为零）仍是等比数列．即 kS ， 2k kS S ， 3 2k kS S ，…成等比数列． 第七章 平面解析几何 一、直线方程与位置关系 知识点 1 数轴上 A，B两点的距离 数轴上点 A的坐标为 1x ，点 B的坐标为 2x ，则 A，B两点间的距离： 1 2| |AB x x  ． 知识点 2 两点间的距离公式 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 两 点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 之 间 的 距 离 公 式 为 ： 2 2 2 1 2 1| | ( ) ( )AB x x y y    . 知识点 3 线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ，线段AB的中点M的坐标为： 1 2 1 2 + + 2 2 x x y y （ ， ）. 知识点 4 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l与 x轴相交时，取 x轴作为基准，x轴正向与直线 l向上方 向之间所成的角α叫做直线 l的倾斜角．当直线 l与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜 角为 0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0 180   ． (2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k表示，即 )tan ( 90k     ．当直线平行于 x轴或者与 x轴重合时 k＝0；当直线的倾斜角为锐角时 k>0；当直线的倾斜角为钝角时 k<0；倾斜角为 90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的 斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度． (3)经过两点  1 1 1,P x y ，  2 2 2,P x y ( 1 2x x )的直线的斜率公式为 2 1 2 1 y yk x x    ． 知识点 5 直线方程的几种形式 (1)截距：直线 l与 x轴交点(a，0)的横坐标 a叫做直线 l在 x轴上的截距，直线 l与 y 轴交点(0，b)的纵坐标 b叫做直线 l在 y轴上的截距（注：截距不是距离）． (2)直线方程的四种形式： 名称 方程 适用范围 点斜式  0 0y y k x x   k存在 斜截式 y kx b  k存在 截距式 1x y a b   0a  且 0b  19 一般式 0Ax By C   (A，B不同时为 0) 平面直角坐标系内的所有直线 知识点 6 两条直线平行 对于两条不重合的直线 1l ， 2l ，其斜率分别为 1k ， 2k ，有 1 2 1 2l l k k  . 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1) 1 2 1 2l l k k  成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② 1l 与 2l 不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时， 1l 与 2l 的倾斜角都是90，则 1 2l l . (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 1 2 1 2l l k k  或 1l ， 2l 斜率都不存在. 知识点 7 两条直线垂直 1 2 1 2 1l l k k     . 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1) 1 2 1 2 1l l k k     成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② 1 0k  且 2 0k  . (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线 垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 1 2 1 2 1l l k k     或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 一般式：设 1 1 1 1: 0l A x B y C   ， 2 2 2 2: 0l A x B y C   则 （1） 1 1 11 2 2 2 2 / / A B Cl l A B C    ； （2） 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 0A Al l A A B B B B                      ； （3） 1l 与 2l 重合 1 1 1 2 2 2 A B C A B C    ； （4） 1l 与 2l 相交 1 1 1 2 2 1 2 2 A B A B A B A B     . 结论：①�1//�2, �1:� = �� + �1,设直线�2: � = �� + �2 �1: �� + �� + �1 = 0,设直线�2: �� + �� + �2 = 0 20 ②�1 ⊥ �2, �1:� = �� + �1,设直线�2: � =− 1 � � + �2 �1: �� ± �� + �1 = 0,设直线�2: �� ∓ �� + �2 = 0 知识点 8 直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线 1l ： 1 1 1 0A x B y C   （ 2 2 1 1 0A B  ）和 2l ： 2 2 2 0A x B y C   （ 2 2 2 2 0A B  ） 的公共点的坐标与方程组 1 1 1 2 2 2 0 0 A x B y C A x B y C        的解一一对应. 1l 与 2l 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 1l 与 2l 平行方程组无解； 1l 与 2l 重合方程组有无数个解. 知识点 9 点到直线的距离公式 平面上任意一点 0 0 0( , )P x y 到直线 l： 0Ax By C   的距离 0 0 2 2 | |Ax By Cd A B     . 知识点 10 两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线 1l ： 1 1 1 0A x B y C   （ 2 2 1 1 0A B  ）和 2l ： 2 2 2 0A x B y C   （ 2 2 2 2 0A B  ）间的距离 1 2 2 2 | |C Cd A B    . 二、圆 知识点 1 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中， A 的圆心 A的坐标为 ( , )A a b , 半径为 r , ( , )M x y 为 圆上任意一点， A 可用集合表示为： { || | }P M MA r  知识点 2 圆的标准方程 我们把方程 2 2 2( ) ( )x a y b r    称为圆心为 ( , )A a b 半径为 r的圆的标准方程. 知识点 3 圆的一般式方程 对于方程 2 2 0x y Dx Ey F     （ , ,D E F 为常数），当 2 2 4 0D E F   时，方程 2 2 0x y Dx Ey F     叫做圆的一般方程. ①当 2 2 4 0D E F   时，方程表示以 ,2 2 D E      为圆心，以 2 21 4 2 D E F  为半径 的圆； ②当 2 2 4 0D E F   时，方程表示一个点 ,2 2 D E      ③当 2 2 4 0D E F   时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：① 2x 和 2y 前系数相等（注意相等，不一定要是 1）且不 为 0；②没有 xy项；③ 2 2 4 0D E F   . 知识点 4 点与圆的位置关系 判断点 0 0( , )M x y 与 A ： 2 2 2( ) ( )x a y b r    位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设 0 0( , )M x y 到圆心 ( , )A a b 的距离为 d ，则 | |d MA 21 ① d r 则点 0 0( , )M x y 在 A 外 ② d r 则点 0 0( , )M x y 在 A 上 ③ d r 则点 0 0( , )M x y 在 A 内 （2）代数法 将点 0 0( , )M x y 带入 A ： 2 2 2( ) ( )x a y b r    方程内 ①点 0 0( , )M x y 在 A 外 2 2 2 0 0( ) ( )x a y b r    ②点 0 0( , )M x y 在 A 上 2 2 20 0( ) ( )x a y b r    ③点 0 0( , )M x y 在 A 内 2 2 2 0 0( ) ( )x a y b r    知识点 5 直线与圆的位置关系 位置关系 图示 公共点 个数 几何特征 代数特征(解的个数) 相离 0 d>r 无实数解 相切 1 d＝r 两组相同实数解 相交 2 d<r 两组不同实数解 知识点 6 计算直线 l被圆C截得的弦长为 | |AB 的方法： ①求弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式： 2 22AB r d  ③弦长公式 2| | 1 ( ) 4A B A BAB k x x x x    三、椭圆 知识点 1 椭圆的定义 平面内一个动点 P到两个定点 1F、 2F 的距离之和等于常数 )2( 2121 FFaPFPF  ， 这个动点 P的轨迹叫椭圆. 这两个定点（ 1F , 2F ）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（ 1 2| |F F ） 叫作椭圆的焦距. 知识点 2 椭圆的标准方程和几何性质 焦点位置 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上 标准方程 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a b  ） 2 2 2 2 1 y x a b   （ 0a b  ） 22 图象 焦点坐标 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c 1(0, )F c ， 2 (0, )F c , ,a b c的 关系 2 2 2a b c  范围 a x a   ， b y b   b x b   ， a y a   顶点 1( ,0)A a ， 2 ( ,0)A a ， 1(0, )B b ， 2 (0, )B b 1(0, )A a 2 (0, )A a 1( ,0)B b 2 ( ,0)B b 轴长 短轴长＝ 2b，长轴长＝ 2a 焦点 ( ,0)c (0, )c 焦距 1 2| | 2F F c 对称性 对称轴： x轴、 y轴 对称中心：原点 离心率 ce a  ， (0,1)e 四、双曲线 知识点 1 双曲线的定义 （1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点 1F , 2F 的距离的差的绝对值等于非零常数 (小于 1 2| |F F )的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 数学语言 1 2 1 2|| | | || 2 , (0 2 | |)MF MF a a F F    , （3）说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪 一支,取决于 1| |MF 与 2| |MF 的大小. (1)若 1 2| | | |MF MF ,则 1 2| | | | 0MF MF  ,点M 的轨迹是靠近定点 2F 的那一支; (2)若 1 2| | | |MF MF ,则 2 1| | | | 0MF MF  ,点M 的轨迹是靠近定点 1F 的那一支. 知识点 2 双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0, 0a b  ） 2 2 2 2 1 y x a b   （ 0, 0a b  ） 图形 23 性质 范围 x a 或 x a  y a  或 y a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 1( ,0)A a ， 2 ( ,0)A a 1(0, )A a , 2 (0, )A a 渐近线 by x a   ay x b   离心率 ce a  ， (1, )e  ， , ,a b c间的关系 2 2 2c a b  五、抛物线 知识点 1 抛物线的定义 (1)抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（其中定点 F 不在定直线 l上） 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线． (2)抛物线的数学表达式：{ || | }M MF d (d 为点M 到准线 l的距离). 知识点 2 抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 pxy 22 （ 0p  ） pxy 22  （ 0p  ） pyx 22  （ 0p  ） pyx 22  （ 0p  ） 图形 范围 0x  ， y R 0x  ， y R 0y  ， x R 0y  ， x R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 )0, 2 ( pF )0, 2 ( pF  ) 2 ,0( pF ) 2 ,0( pF  准线方程 2 p x  2 px  2 p y  2 py  顶点坐标 (0,0)O 离心率 1e  典型题型 一、直线与圆锥曲线相交，求弦长 第一步：由 直线方程(一般用 y = kx + b) 圆/椭圆/抛物线/双曲线方程 第二步：（化简整理）得一元二次方程��2 + 2�� + � = 0 第三步：由韦达定理知�1 + �2 =− � � , �1�2 = � � 第四步：由弦长公式得弦长 �� = �1 + �2 2 − 4�1�2(带入求值) 二、直线与圆锥曲线相交，求参数范围 24 第一步：由 直线方程(一般用 y = kx + b) 圆/椭圆/抛物线/双曲线方程 第二步：（化简整理）得一元二次方程��2 + 2�� + � = 0 第三步：①∵直线与圆锥曲线 2 个不同的交点，∴△> 0 ②∵直线与圆锥曲线 1个交点，∴△= 0 ③∵直线与圆锥曲线没有交点，∴△< 0 第四步：解得参数取值范围，下结论(范围用集合/区间表示) 三、直线与圆相切，求切线方程 ①点 ),( 00 yxM 在圆上 第一步：由题知圆心坐标 C(�, �), 第二步： ax bykCM    0 0 ，且 切线CM 第三步： k k 1 切线 第四步：切线方程为 )( 00 xxkyy  切线 ，即 000  ykxyxk切线 . ②点 ),( 00 yxM 不在圆上 第一步：设直线方程 )( 00 xxkyy  ，即 000  ykxykx 第二步：由题知，圆心坐标为 ),( ba ，半径为 r 第三步：圆心到直线的距离为 22 00 )1(   k ykxbka d 第四步：∵直线与圆相切，∴ � = �，即 r k ykxbka d     22 00 )1( 第四步：解得 K 值，写出直线方程(直线方程只能是一般式) 第八章 排列与组合 知识点 1 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有m种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m n  种不同的方法. 25 知识点 2 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有m种不同的方法,做第 2 步有 n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N m n  种不同的方法. 知识点 3 分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广 （1）完成一件事有 n类不同方案,在第 1 类方案中有 1m 种不同的方法,在第 2 类方案中 有 2m 种不同的方法, ……,在第 n类方案中有 nm 种不同的方法,那么完成这件事共有 1 2 nN m m m    种不同的方法. （2）完成一件事需要 n个步骤,做第 1 步有 1m 种不同的方法,做第 2 步有 2m 种不同的 方法,……,做第 n步有 nm 种不同的方法,那么完成这件事共有 1 2 nN m m m    种不 同的方法. 知识点 4 排列与组合的概念 名称 定义 排列 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m （m n ）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个元素 中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从 n个元素中取出m个元 素的一个组合 知识点 5 排列数与组合数 （1）排列数： 从 n个不同元素中取出取出m（m n ）个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n个 元素中取出m个元素的一个排列数，用符号 mnP 表示 （2）组合数： 从 n个不同元素中取出m（m n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n个元素 中取出m个元素的一个组合数，用符号 mnC 表示 知识点 6 排列数、组合数的公式及性质 （1） !( 1)( 2) ( 1) ( )! m n nP n n n n m n m         （2） ( 1)( 2) ( 1) ! ! !( )! m m n n m m P n n n n m nC P m m n m          （3）0! 1 （4） m n m n nC C  ； 1 1 m m m n n nC C C   